菱形的判定2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.3特殊的平行四边形21.3.2菱形的判定预习检测1.如图,用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形？请说明理由．2.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AB=5,AO=4,BO=3.求证:▱ABCD是菱形.

3.一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.前情回顾菱形的定义是什么？菱形有哪些性质？回顾反思类比猜想我们学习了矩形的定义、性质和判定,如下表.你能发现矩形的三条判定定理分别是从哪个角度得到的吗?矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形性质具有平行四边形的所有性质对角线相等四个角都是直角判定有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形ABCD回顾反思类比猜想菱形的定义与性质如下表.你认为可以从哪些角度思考菱形的判定条件？

菱形定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质具有平行四边形的所有性质对角线互相垂直且平分每一组对角菱形的四条边都相等判定?你的想法正确吗？如何证明你的猜想？推理论证获得定理猜想1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.如图,▱ABCD中,对角线AC，BD相交于点O,且AC⊥BD.求证:▱ABCD是菱形.判定1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.ABDC根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定方法：∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.符号语言：还有其他的方法吗?OABCD猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形文字语言：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.菱形的判定定理1求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.ABCDO∟证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.又∵AC⊥BD,∴BA=BC.

已知：在

ABCD中，AC⊥BD.求证：

ABCD是菱形.∴ABCD是菱形.文字语言：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.AC⊥BD∵在□ABCD中，AC⊥BD,∴□ABCD是菱形.ABCD菱形ABCDABCD□ABCD符号语言：ABCD菱形的判定定理2ABCDO题型1利用对角线判定菱形例

如图，

ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.求证：四边形ABCD是菱形.543在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是(

)A．∠ABC=90°B．AC⊥BDC．AB=CDD．AB∥CDB四边形ABCD是平行四边形ABCDO例

如图，

ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.求证：四边形ABCD是菱形.ABCDO543又∵四边形ABCD是平行四边形，∵OA=4，OB=3，AB=5，即AC⊥BD.∴AB2=OA2+OB2.∴△AOB是直角三角形，∴四边形ABCD是菱形.证明：猜想：四条边都相等的四边形是菱形.知识点2菱形的判定定理2ABCD已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵AB=BC=CD=AD,∴AB=CD，BC=AD.∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形.AB=BC=CD=ADABCD菱形ABCD四边形ABCDABCD∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∴四边形

ABCD是菱形.符号语言：菱形的判定定理3文字语言：四条边都相等的四边形是菱形.文字语言图形语言符号语言判定方法1判定方法2判定方法3菱形的判定ABCD∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形∵在□ABCD中AC⊥BD∴四边形ABCD是菱形∵在□ABCD中AB=AD∴四边形ABCD是菱形ABCDOABCD一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形四边相等的四边形是菱形1.下列命题中正确的是()A.一组邻边相等的四边形是菱形B.三条边相等的四边形是菱形C.四条边相等的四边形是菱形D.四个角相等的四边形是菱形C平行四边形四条边相等矩形2.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是()A.AC⊥BD，AC与BD互相平分B.AB=BC=CD=DAC.AB=BC，AD=CD，且AC⊥BDD.AB=CD，AD=BC，AC⊥BDC平行四边形对角线垂直ABCD3.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个平行四边形为_______，其面积为_________.24cm²菱形ABCD5cm3cm4cm判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．HGFEDCBA例

如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.题型2利用边相等判断四边形是菱形中位线HGFEDCBA例

如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.中位线证明：连接AC,BD.∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.∵点E,F,G,H为各边中点，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形.

拓展：之前我们学过四边形四边中点的连线是平行四边形。那菱形四边中点的连线是什么图形呢？总结：四边形四边中点的连线是平行四边形

矩形四边中点的连线是菱形

菱形四边中点的连线是矩形55554433如图，AC＝8，分别以A,C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A,B,C,D，连接BD交AC于点O．(1)判断四边形ABCD的形状并说明理由；(2)求BD的长．菱形6解：(1)四边形ABCD为菱形；由作法,得AB＝AD＝CB＝CD＝5，所以四边形ABCD为菱形；(2)∵四边形ABCD为菱形，∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，

∴BD＝2OB＝6．如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.CADOEMNB如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.CADOEMNB证明：∵MN是AC的垂直平分线,∴AD=CD，OA=OC，AE=CE.∵CE∥AB，∠DAO=∠ECO.

∴△ADO≌△CEO∴AD=CE.∴AD=CD=CE=AE.∴四边形ADCE是菱形.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．知识点3菱形性质和判定的综合应用BC＝2DE4120°如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．BC＝2DE4120°(1)证明：∵D,E分别是AB,AC的中点，∴DE∥BC且2DE＝BC.又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC.∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形；如图，在△ABC中，D，E分别是AB