2025高二数学期末模拟卷01测试范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程、圆锥曲线的方程、数列含答案

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01（全国通用）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案爰在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程、圆锥曲线的方程、数列

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

I.抛物线的焦点坐标是（）

4

A.（1,0）B.（0,1）C.（2,0）D.（0,2）

2.已知2）是直线/上一点，y=（3,T）是直线/的一个法向量，则直线/的方程为（）

A.4x+3y+5-0B.4x-3y+5-0C.3x-4y+5-0D.3x+4y+5—0

3.已知数列｛勺｝与｛2｝均为等差数列，且4+d=7,%+々=11,则%+&=（）

A.9B.18C.16D.27

4.如图，在四面体Q48C中，OA=”，OB=b，。。=八点”在上，且满足OM=3M人，N为BC的

中点，则MN=（）

242

5.已知双曲线‘A1"＞。，/，＞0）的离心率为百，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.y/2x±y=0B.x±V2v=0C.x±2y=0D.2x±y=0

6.在三棱锥P—A8C中，A8=（-l,l,l）,4C=（l,0,-2）,"=（-5,1,3）,则点P到平面ABC的距离为（）

A.73B.75C.76D.y/35

7.2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭,成功将天平三号

A（01）、B（O1）、B（O2）卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地

面雷达设备标校和RCS测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空

间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号A（O1）卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点

的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远

地点距离地球表面高度为3.35万千米，求天平三号A（O1）卫星运行的轨迹方程可为（）

B.工+J

916

-1

D.

3.521.22

8.已知圆的方程为/+y2-2x=0,M（x,.y）为圆上任意一点，则匕1的取值范围是（

)

X-1

A.[-75,石]B.[-1,1]

c.司D.(f

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知等比数列｛%｝的前〃项和为工，且％=3,%=24,则下列结论正确的是（）

A.%=12B.数列｛S.+2｝为等比数列

C.S.=2%-3D.三口=2"

3/r

10.已知直线y+3〃?+l=0,下列说法正确的是（）

A.直线/过定点（-3,1）

B.点到直线/的最大距离为2石

C.育线/一定经过第四象限

D.当〃?=—1时，直线/关于直线工+2>-3=0的对称直线为x+7y-28=。

II.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为12+），2丫=/）,2,

A.曲线C有两条对称轴

B.曲线。上的点到原点的最大距离为g

c.曲线c第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为:

0

D.四叶草面积小于£

4

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.直线/过点A（-2,l）,4（1,4）,且与直线x-如，+1=（）平行，则这两条平行直线之间的距离为.

13.若数列｛q｝满足。…=%+"（其中〃，机eN*,d为常数，4彳0）,则称｛〃“｝是以机为周期，以d为

周期公差的“类周期性等差数列”.若“类周期性等差数列”｛%｝的前4项为1,1,2,2,周期为4,周期公差

为2，则｛q｝的前16项和为.

14.如图所示点尸是抛物线V=4x的焦点，点A、8分别在抛物线y2=4x及圆（x-1）2+V=4的实线部分

上运动，且A8总是平行于x轴，则ARAA的周长的取值范围是一.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分13分）已知圆C经过点A（T1）和8（-2,-2）,且圆心在直线/：x+y-1=0上.

⑴求圆C的标准方程：

（2）若过点（-2,1）作圆。的切线，求该切线方程.

16.（本小题满分15分）双曲线E：*_营=1（〃>0/>0）,已知Q（玉,），。）（七工±〃）是双曲线E上一点，A,

9分别是双曲线E的左右顶点，直线Q8的斜率之积为I.

（1）求双曲线的离心率；

（2）若双曲线E的焦距为2行，直线/过点P（2,0）旦与双曲线E交于M、N两点，若MP=3PN，求直线/的

方程.

17.（本小题满分15分）已知数列｛凡｝的前〃项和S„=2"-l,设”印/?。”.

⑴求数歹U他｝的通项公式;

（2）求数列｛为"“｝的前〃项和Tn.

18.(本小题满分17分)在如图所示的多面体AFQCBE中，ABJL平面8CE,AB//CD//EF,BE1EC,48=4,

(1)在线段BC上是否存在一点G,使得EG〃平面4FC?如果存在，请指出G点位置并证明；如果不存在,

请说明理由；

(2)当三棱锥A尸C的体积为8时，求二面角。-4尸-C的余弦值.

19.（本小题满分17分）设小■两个点的坐标分别为（T,0）,（1,0）.动点尸满足|尸£|+|尸用=4,其中。

为坐标原点.记动点。的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线;

⑵设点用用，过点尸2的直线=1）与曲线C交于A,B两点.

（i）若直线，〃的斜率为2=1,设线段43的中点为。，求直线0。的方程;

（ii）设直线/的方程为x=4,且直线〃?与直线/相交于点M记M4,MN,MB的斜率分别为占，k2,勺,

证明：k、,k”&成等差数列.

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01（全国通用）

参考答案

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

91011

ACDABDBCD

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.613.7214.（4,6）

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分13分）

【解】（1）设圆的标准方程为（1-4尸+（方加2=产,

因为圆经过4-1,1）和点3（-2,-2）,且圆心在直线/：x+y-1=0上，

（-\-a）2+（\-b）2=r2

所以•（—2—4）2+（-2-力2=/，.............................3分

a+b-\=0

4=3

解得：^=-2,.............................5分

7•=5

所以圆的标准方程为为-3:+。+2）2=25..............................6分

（2）当直线/的斜率不存在时，//=-2,

此时圆心到直线的距离为5,等于半径，故满足题意；.........................8分

当直线/的斜率存在时，设/:y-l=Z（x+2）,即履-y+2攵+1=0,

则点C（3,-2）到直线I的距离为圆C的半径，

34+2+2A+1I

即-I21=5,...........................10分

J1+公

解得％=已，此时温..............................12分

综上，直线/的方程为x=-2或"去+2.............................13分

1J1

16.（本小题满分15分）

【解】（1）因为。（%为）（瓦H±4）是双曲线£：上一点，

可得写一万=1，即为.............................2分

a2b2x^-a-a-

由题意可得A（-«O）,8（«o）,———=H.................4分

/。％。玉）一〃

可得"即有e=£=JZ^E=&............................6分

a\a-

（2）由题意可得c=VLa=b=\,则双曲线的方程为/-丁=],....................7分

易知直线/斜率存在，设直线/的方程为）2）,（&工0次工±1）,

联立直线/与双曲线E的方程，可得（1-F卜2+4后21_]-软2=0,

设M（N，）'I），N（%,%）,则百+X2=_；^T，■①，.....................9分

1—kI-A

又MP=3PN，可得2-玉=3也一2）②，...............................11分

由①②可得占==提，再=七夺，...............................13分

1k1k

代入①可得弘2=15,解得％=±6，.........................................................14分

则直线/的方程为），=±逐（工-2）..........................................................15分

17.(本小题满分15分)

【解】(1)VS„=2n-l

当〃=1时，«1-S)-2-1-1.....................................................1分

当〃22时，％=S“-S.T=2"-1-(2”T_I)=2”T.....................................................3分

当〃=1时，％=1符合上式，

・・・a.=2"T(〃eN・).................................................5分

b”=log,an=log,2”T.....................................................7分

(2)设

由(1)知c”=〃2"T.................................................8分

・•・Tn=c,+c2++%+%=1・2°+2・7++(〃—1)2-2+〃2”T.............................................]0分

27；,=1-2'+2-22++(〃-1)2“T+〃2”.................................................12分

I

2n-,ann

/.-Tn=\+2+2+2-n2=-n2=(l-n)2-l.....................................................14分

n

：,Tn=(n-\)2+r..........................................................15分

18.(本小题满分17分)

【解】(1)存在，点G为8C中点，.............................1分

理由如下：取线段AB的中点H,连接E"、HG、EG..........................................................2分

,:AH〃EF,AH=EF=2,

・•・四边形AHEV是平行四边形，・•・〃石〃AF.

又•・•A/u平面AFC,“石0平面AFC,:.〃平面AFC.3分

•:H、G分别为AB、BC的中点,

・・・”G是VABC的中位线，J.HG//AC.

•；ACu平面人尸C,HGa平面AFC,/.HG//平面AFC.5分

二HGcHE=H,HG、〃七匚平面七〃6,

平面EHG//平面AFC.

,/EGu平面EHG,AEG〃平面AFC.7分

(2)设8=(>0),

llxCDxCEx«E=ixix4x2=—=8

由AFC=^A-DFC=x

32323

可得C£>=f=6.8分

以E为坐标原点，EC、EB、七厂所在直线分别为x、），、z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系.

由题可知尸(0。2),C(4,0,0),A(0,2,4),D(4,0,6),

AF=(0,-2,-2),CF=(-4,a2),FD=(4,0,4).10分

设平面AFC的法向量为〃2=(x,y,4),

则上"=『一2[0"上/

mA.CF[-4内+2Z]=0[4=2芭

令芭=1,得％=-2,Z]=2,

所以平面Ab。的一个法向量为机=(1,-2,2).12分

设平面AFD的法向量为n=(x2,y2,z2),

nA-AF(一2%-2z=0y=-z

则nl<=>\~2=42:9

nLFD4/+4z2=0[x2=-z2

令Z2=l,得当=%=-1，

所以平面A")的一个法向量为〃=(-l,T,l).14分

/\m-n-1+2+26

cos()111=-----------=——

、m,n/=卜桐।3xG3，

由图可知二面角O-A/—C为锐角，

故二面角。-4/-C的余弦值为立.

17分

3

19.(本小题满分17分)

【解】⑴由归用+|?用=4(＞忻勾=2),1分

所以2a=4,c=l,即4=2,6=/一不=3,3分

故点尸的轨迹为椭圆，且其方程为!

4分

(2)设A(5,y),WwM，

y=kx-k

联立),2=(3+422)工2_8上?％+442—12=0,

---F--=1

43

8A2

X+乂=-----7

1-3+4公

故.....7分

4犬一12

x.x=--------—

'23+4公

(i)当&=]时，x。=上;&.=[,切=

33

故9,故直线。。的方程为：y=—：x，即3x+4），=0.9分

44

(近)又因为女尸口二八3.L，&二k弓士,

••10分

X,-12x1-1

,,c,31313x+x,-2

故匕+&=2女-----------------=2k------------1--2---------

2X1-12x2-l2x}x2.X]一占+]

33+4公________

13分

24公一128公

--------s-----------+1

3+4公3+4公7

16分

故人+勺=2上,故尤，上，月成等差数列..........................................................17分

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01（全国通用）

全解全析

（考试时间：12（）分钟，分值：15（）分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程、圆椎曲线的方程、数列

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4()分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.抛物线)的焦点坐标是()

4

A.(1,0)B.(0,1)C.(2,0)D.(0,2)

【答案】B

【解析】由抛物线)，可得抛物线的标准方程为/=4)，，所以抛物线的焦点坐标为尸(0」).

4

故选B.

2.已知尸(1,2)是直线/上一点，v=(3,T)是直线/的一个法向量，则直线/的方程为()

A.4x++5=0B.4x-3y+5=0C.3x-4y+5=0D.3x+4y+5=0

【答案】C

J__3

【解析】由y=(3,~4)是直线/的•个法向量，可知直线的斜率为一二二履

T

又直线/过点尸(1,2),所以直线/的方程为即力-4)，+5=0.故选：C

3.已知数列｛4｝与｛"｝均为等差数列，且见+"=7,仆+4=11,则为+a=()

A.9B.18C.16D.27

【答案】A

【解析】因为数列｛%｝与｛〃｝均为等差数列，且%+4=7,6+&=11，

所以々2+4+4+4=7+11=18所以外+4+2+4=2®+4)=18,则％+4=9.故选：A.

4.如图，在四面体O48C中，OA=o，OB=b，OC=c-点”在OA上，且满足OM=3MA，N为BC的

A

N

B

B.二""cc.D.3+4+L

322232422

【答案】D

【解析】如图，连接QN,QN是8C的中点，ON=；O3+；OC,

1.113311

OM=3MA,；,OM=」0A,：.MN=ON-OM=^OB+-OC--OA=--a+-b+-c.故选：D.

4224422

5.已知双曲线a＞。，…）的离心率为岛则该双曲线的渐近线方程为（）

A.\[lx±y=0B.x±\f2y=0C.x±2y=0D.2x±y=0

【答案】A

【解析】由双曲线E-[=1的离心率为白，得叵逵=6,解得2=血,

a'b~aa

而曲线£-1=1的渐近线方程为y=±.,即），=±Vij

a'-b'a

所以该双曲线的渐近线方程为x/1r±y=0.故选：A.

6.在三棱锥P—A3C中，/W=（T/,1）,4。=（1,0,-2）,"=（-5,1,3）,则点。到平面A8C的距离为（）

A.GB.75C.>/6D.V35

【答案】C

【解析】因A8=(—1J1),^C=(l,0,-2),AP=(—5,1,3),

n-AB=-x+y+z=0

设平面ABC的法向量为〃=（x,y,z）,则,故可取刀=（2,1,1）,

n-AC=x-2z=0

所以—距离为端=与篝联脸

76;故选c

7.2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号

A（01）、B（01）、B（02）卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地

面雷达设备标校和RCS测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空

间环境测最和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号A(Ol)卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点

的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远

地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号A(01)卫星运行的轨迹方程可为()

79

B.-厂----4F.-V--=11

916

D.1

—3.527+1.2■2>

【答案】A

【解析】根据椭圆的定义，设长轴长为2小焦距为2c,

由题可知，1.35+1.3+3.35=2〃，即。=3万千米，

因为天平三号A(01)卫星，运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径为0.65万千米,

则。一。=1.35+0.65=2,可得c=l万千米，因此〃二/一「2=3272=8,

所以椭圆的方程为二+汇=1.故选：A.

98

8.已知圆的方程为/+/-2%=0,M(x,y)为圆上任意一点，则二的取值范围是()

x-1

A.[-石,@B.[-1,1]

C.D.(-oo,-l]U[l,+oo)

【答案】C

【解析】圆的方程为V+y2-2x=0,g|J(x-l)2+y2=l,圆心为c(l,o),半径”1,

则匕!表示圆上的点与点41,2)的连线的斜率，过点A(l,2)作圆的切线方程，

显然，切线斜率存在，设切线方程为y-2=&(x-l),即履-)，+2-4=0.

则靠二：=1.解得左=±G，所以岩的取值范围为卜4一石][6”).故选：c.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知等比数列也｝的前〃项和为工，且《=3,%=24,则下列结论正确的是()

A.4=12B.数列｛$+2｝为等比数列

C.S“=24-3D,注3=2"

【答案】ACD

【解析】设等比数列｛q｝的公比为/则&=4"=24=/=8=4=2,所以6=4/=3X22=12,故

A正确；

2s

所以S=3（J2"）,3.2“3.则S“+2=3x2“_],+2=5,S,+2=3x2-1=11,S3+2=3x2-1=23,

"1-2、~

显然(S2+2)2=(S1+2)(S3+2),所以数列｛S“+2｝不是等比数列，故B错误:

勺=3x2""，S“=3x2"-3=2x/-3,故C正确;

S2LS_3X22"一3一（3、2"—3）3X2”（2“7）_2”

故D正确.

S〃3x2”-33x（2”-1）

故选：ACD.

10.已知直线/："a-)，+3〃?+1=0,下列说法正确的是()

A.直线/过定点(-3,1)

B.点P（L-1）到直线/的最大距离为2&

C.直线/一定经过第四象限

D.当〃?=-1时，直线/关于直线x+2y—3=0的对称直线为x+7y-28=。

【答案】ABD

【解析】对于A,m（x+3）-y+l=O,令1,可得：x=-3,y=l,

'/-y4-1=0

所以直线/过定点A（-3,1）,故A正确；

对于B,直线/过定点A（-3,1）,当AP_L/时，点P（l,-1）到直线/的距离最大，

且最大距离为|AP|="1+3）2+（1+1）2=2二,故B正确；

对于C,直线/过定点A（-3』），不一定经过第四象限，故C错误；

对于D,当〃?=一1时，直线，：入十，十2—0,

设直线/关于直线x+2），-3=0的对称直线为6，

6一定经过直线/和直线"2丁-3=。的交点，设为产，

x+2y-3=0,fx=-7/、

由，八可得：_,所以P-7,5,

x+y+2=0［了=）

在直线/上任取一点。（一2,0）关于直线x+2y-3=0的对称点0（«为一定在L上，

上=2

所以：八，解得：〃=。的=4,

a-238c八

----+2——3=0

22

所以0（0,4）,尸（一7,5）在直线4上，

所以三=*,化简可得：x+7y-28=0,故D正确.

4-50+7

故选：ACD.

11.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为卜2+），2）=/）,

A.曲线C有两条对称轴

B.曲线C上的点到原点的最大距离为;

c.曲线。第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为:

O

D.四叶草面积小于

4

【答案】BCD

【解析】对于A:当工变为T时，（W+y2）'=fy2不变，所以四叶草图象关于），轴对称；

当），变为力时，［2+产）'=12y2不变，所以四叶草图象关于X轴对称；

当丁变为X时，［2+），2）3=犬>2不变，所以四叶草图象关于），=不轴对称；

当V变为f.时，（/+/）'不变，所以四叶草图象关于），=一不轴对称；

综上可知：有四条对称轴，错误；

对于B：因为（丁+力3=X2炉，所以卜2+9丫=i）,2W（七:,一,所以V+,所以、+〜

取等号时V=>？=：,所以最大距离为正确；

对于C：设任意一点P（x,用（x>0,y>0）,所以围成的矩形面积为孙,,

因为卜2+丁2）3=129，所以一,2=卜2+,2羟（2孙）3,所以孙力,

取等号时工=），=立，所以围成矩形面积的最大值为:，正确；

48

对于D：由B可知/+>・20!，所以四叶草包含在圆/+）5二。的内部，

44

因为圆的面积为：S=n-=^,所以四叶草的面积小于正确.

444

故选：BCD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.直线/过点4-2,1）,8（1,4）,且与直线+1=0平行，则这两条平行直线之间的距离为.

【答案】.

【解析】因为直线/过点A（-2,1）,8（1,4）,

所以直线/的方程为：—=三，即x-y+3=0,

x+21+2

因为与直线x—〃少+1=。平行，

H—j|

所以机=1,所以两平行线间的距离"=12+（T）2=夜，

13.若数列｛%｝满足4+,“二。”+”（其中〃，机eN.，d为常数，dwO）,则称｛4｝是以〃，为周期，以d为

周期公差的“类周期性等差数列若“类周期性等差数列”｛为｝的前4项为1,1,2,2,周期为4,周期公差

为2,则｛可｝的前16项和为.

【答案】72

【解析】依题意，4+生+/+。4=1+1+2+2=6,

a5+a6+a7+«g=a1+2+a2+2+a34-2+a4+2=6+8=14,

cig+%。+।+t/p=%+2+46-2+%+2+OJJ+2=14+8=22,

〃i3+4+45+%=%+ai0+4]+q2+8=22+8=30,

所以｛q｝的前16项和为6+14+22+30=72.

14.如图所示点尸是抛物线丁=软的焦点，点A、3分别在抛物线V=4x及圆（x-iy+y2=4的实线部分

上运动，且A8总是平行于大轴，则..E4B的周长的取值范围是一.

【答案】（4.6）

【解析】过点A作准线x=-l的垂线，垂足为E,

则▲EAB的周长为|AF|+|48|+忸目=|A£|+|A.+2=|阳+2=/+3,

V2=4x

由，(1)—可得:‘尸母，所以1</<3,故-E4B的周长的取值范围为（4,6）.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)已知圆C经过点和8(-2,-2),且圆心在直线/：x+y-l=O±.

⑴求圆C的标准方程；

(2)若过点(-2,1)作圆C的切线，求该切线方程.

【解】(1)设圆的标准方程为4+()-”=产，

因为圆经过4-1,1)和点3(-2-2),且圆心在直线/：x+y-l=O上,

(-l-d)2+(l-Z?)2=r2

所以<(-2-a)2+(-2-b)2=r,...............................3分

a+b-\=O

4=3

解得：\b=-2,

5分

r=5

所以圆的标准方程为(x-3)2+(y+2)2=25.6分

(2)当直线/的斜率不存在时，/:x=-2,

此时圆心到直线的距离为5,等于半径，故满足题意；.........................8分

当直线/的斜率存在时，设/:y-1=攵3+2),即丘-y+2k+l=0,

则点C(3,-2)到直线I的距离为圆C的半径,

即/网芋3一5

.............................10分

J1+k2

解得后=4，此时/：.y=4'+£.

12分

13

综上，直线/的方程为工=-2或尸£"三.13分

16.(本小题满分15分)双曲线E：*2()力＞0),已知。(玉,口)(义工切)是双曲线E上一点,A,

3分别是双曲线E的左右顶点，直线QA,Q8的斜率之积为I.

（I）求双曲线的离心率：

⑵若双曲线E的焦距为2&，直线/过点P（2,0）旦与双曲线E交于M、N两点，若MP=3PN，求直线/的

方程.

【解】（1）因为。（七,为）（七。±。）是双曲线E上一点，

22b2

可得》A，即为.............................2分

由题意可得4（一。,0）,秋。,0）,kQ&kQB=^-上=字”=1，..................4分

x0-ax„-a~

可得a=〃，即有e=£=浮S

.............................6分

（2）由题意可得c=VLa=b=\,则双曲线的方程为丁-），2=1,....................7分

易知直线/斜率存在，设直线/的方程为）=&（1-2）,伏工（U=±l）,

联立直线,与双曲线E的方程，可得（1-公卜2+4&、_|_以2=0,

设Ngy?），则-①，.......................9分

\-k1-A*

又MP=3PN，可得2-玉=3（々一2）②，...............................11分

……4一2厂一4一2〉

由①②可得=——,玉=----三一，...............................13分

\-k\-k

代入①可得女2=15,解得k=±有,...............................14分

则直线/的方程为），=±6（X-2）................................15分

17.（本小题满分15分）已知数列｛4｝的前〃项和工=2"-1,设a=log2%.

⑴求数列出｝的通项公式；

⑵求数列｛。也.J的前〃项和

【解】(1)VS„=2--1

当〃=1时，q=S=2—l=l.....................................................1分

n

当〃之2时，«,t=-S„_,=2-1-(2"-'-1)=2"-'.....................................................3分

当〃=1时，％=1符合上式，

・・・4=2"T(〃WN・).................................................5分

2=log,an=log22”T=〃_[(〃£7•)：.....................................................7分

(2)设

由(1)知c“二〃2"T.................................................8分

:.7；,=C,+C2++%+q=1•2。+2•2++(/?-1)*+〃2小.........................]0分

27；=1-2'+2-22+•+(〃-1)2"“+nT.................................................12分

・•・-7；=1+2+2?…+2"T_”2"=-nV=(l-w)2M-l.....................................................]4分