2025-2026学年高二年级上册11月月考数学试卷（解析版）

数学学科

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟.

将自己的姓名、准考号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上

的无效.

第I卷

注意事项：1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号.

2.本卷共12题，每题5分，共60分.在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.

1.记S”为等差数列｛为｝的前〃项和.若S3=6,Ss=-5,则§6二（）

A.-20B.-15C.-10D.-5

【答案】B

【解析】

【分析1由等差数列前〃项和公式结合题意列出关于首项％和公差d的方程求出首项q和公差4,再由等差

数列前〃项和公式即可计算求解.

+3d=6d=—3

【详解】设等差数列｛4｝的公差为〃，则由题可得＜

5q+10d=-5a\~5

所以$6=6%+15d=6x5+15x(-3)=-15.

故选:B.

丫2V?c

2.已知双曲线c：.-六=1（。＞0力〉0）,顶点到渐近线的距离为万，则离心率6=（）

R2相

A.V2D.----C.正D.2

3

【答案】A

【解析】

【分析】由点到直线的距离公式得出4=8,根据双曲线离心率的公式即可求解.

【详解】双曲线的顶点（±4,0）到渐近线bx±ay=0的距离为］,

\ab\c_____

即「——：=大，又c=&+/，贝1」42一24〃+/=0，即。=/?,

yJcT+b12

则离心率e=5/2•

故选：A.

3.若双曲线）/一二二1的虚轴长为25，则该双曲线的渐近线方程为（）

m

A.y=±\/7xB.y=土^^-xC.y=i7xD.y=i—x

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件求出垃，再求渐近线方程.

【详解】由题意可得，2诟=2币，得机=7,

则该双曲线的渐近线方程为），二？刀Lx?—x.

yjtn7

故选：B

4.已知双曲线C：三一与=1（/?>0）的两条渐近线的倾斜角均小于H，则。的焦距的取值范围是（）

4b2

A.（8,+e）B.（4,+00）C.（46,+8）D.（2瓜8）

【答案】A

【解析】

【分析】根据双曲线渐近线方程，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.

【详解】由双曲线C：工一马=10>0）可知c=j4+3，焦距为

4b~

该双曲线的渐近线方程为y=

因为6A0.

所以直线.y=gx的斜率g>0,所以倾斜角为锐角，符合题意;

直线y二-2工的斜率为-2,设直线y=-^.X的倾斜角为。,

222

所以tun0——,

2

因为力>0,

所以由题意可知界0〈冬，

所以tan夕<tan」n——<-A/3=>b>2>/3=>/>12n从+4〉16、

32

=物+4>4=2”2+4>8=>2c>8,

故选:A

2

5.已知双曲线工^Y=l（t/>0,〃>0）的右焦点厂与抛物线尸二81的焦点重合，抛物线准线与一条渐

a-

近线交于点A（〃7,—2G）,则双由线的方程为（）

2y2

A.-X--2-=lB.

124i3

C厂.厂-----y2=1।D.

3

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，求得。=2,，力=一2,将4卜2,-26）代入渐近线方程），二，x,得到/7二百〃，联立

方程即可求解.

22

t详解】因为抛物线V=8x的焦点为（2,0）,双曲线二:=1的右焦点F与抛物线y2=的焦点重

a~

合,

所以双曲线的右焦点为尸（2,0）,即c=2,

又因为抛物线的准线方程为1=-2,抛物线准线与一条渐近线交于点A（〃?,-26卜

则4卜2,-2百）,

因为点A在第三象限，则点A在渐近线y上，代入得〃二#4,

a1+b2=c2=42

则广，解得《a=1

b=\J3a从=3,

所以双曲线的方程为X2一二二1.

3

故选：D.

6.已知〃是的等差中项，直线方+勿+c=0与圆工2+)，2+4y-1=0交于A8两点，则的最小

值为()

A.IB.2C.4D.2石

【答案】C

【解析】

【分析】结合等差数列性质将c代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.

【详解】因为儿。成等差数列，所以2b=。+。，c=2b-a,代入直线方程依+外+c=。得

/、/、[x—\=0fx=1

ax+by+2b-a=0,即a(x-l)+〃(y+2)=0,令彳得彳，

.y+2ty2

故直线恒过。,一2),设秋1,一2),圆化为标准方程得：C:x2+(y+2)2=5,

设圆心为C,画出直线与圆的图形，由图可知，当尸CJ.AB时，|AB|最小，

|PC|=l,|AC|=|r|=>/5,此时[A.=2\AP\=2\/AC2-PC2=2y/5^\=4.

7.等差数列｛《,｝中，％>0,。2025+。2026>°，。2025“2026<。，则使前几项和S”>。成立的最大自然数〃为

()

A.4052B.4051C.4050D.4049

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列的性质和前〃项和公式进行计算判断即可.

【详解】因为等差数列｛%｝中，％>0,生025+々2026>°，々2025，出026<。，

则4025>0，“2026(0，。2025+々2026)0.

＜

故*^4051-------迪'—4051^2026。，S4050=2025（qIa40so）=2025（a2G25।^2026）＞。.

故使前〃项和S“＞0成立的最大自然数n=4050.

故选:C.

〃'"4x＞5

8.已知函数=/4，数列｛《）满足%=/（〃）,〃£N",则“也｝为递增数列”是

（5—6z）x—M11,xs5

7

“一工。＜5”的（）条件.

3

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分又不必要

【答案】B

【解析】

a＞\

【分析】由｛〃“｝为递增数列，注意〃是正整数的条件,可得不等式组（5-。＞0,解不等式组

-4＞（5-〃）・5-11

即可判断.

a＞l

【详解】由“｛〃”｝为递增数歹「可以得到＜5-。＞0,解得2vav5,

[a6'4＞（5-«）-5-ll

7

所以“｛4j为递增数列“是‘弓WQ＜5"的必要不充分条件，

故选:B.

9.已知数列｛4,｝满足q=10,=2,则中的最小值为（）

1120「

A.—B.—C.7D.4V2+1

23

【答案】B

【解析】

【分析】由题中等式变形得出%+1—勺=2（〃+1）,由累加法求出数列｛%｝的通项公式，利用对勾函数的单

调性可求出—的最小值.

n

【详解】因为数列｛3｝满足4=10,=2,即。川一4=2（〃+1）,

当〃之2时，则有。“-4I=2〃，

所以

g-q=4,03f=6,••7t-l=2n,

上述等式全部相加得a-a,=4+6+...+2M="卜2〃）（〃-1）=〃2十〃一？，

〃।2

所以=〃2+〃_2+q=n2+8+/7,

a2

q=10也满足〃“=/J+8+〃，故对任意的〃eN"，n=/i+8+/?,

3t.ici„n~+8+〃8

所以口■二---------二〃+一+1t,

nnn

由对勾函数的单调性可知，函数y=x+»+l在（0,2夜）上单调递减，在（2夜,+8）上单调递增，

X

又因为2<2&<3,因为幺=3+9+1=型，&=2+色+1=7,故

3332232

所以％的最小值为以=空.

n33

故选：B.

10.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反

r22

向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线七：二一v==1（〃>（）,〃>0）的左、右焦点分别为耳，鸟，从工发

a"b"

4

出的光线经过图2中的43两点反射后，分别经过点C和。，且tanNB4C=-i,ABLBD，则E

7速c.fi

【答案】B

【解析】

【分析】由题意设忸用=4/,|4却=3八恒q=5，，结合双曲线定义可得日，在巴中，由勾股

定理列式求得W二口，得解.

(T9

【详解】如图，由tanNB4C=-g,得tanN8Af；=g,设跖卜4〃4却=3z，M3=51,

由双曲线定义|明一|阻=2勾附一|明=%，得/=:，

所以阿|=印，|明=4,

JJ

在RS8"鸟中，可得(当)2+(当)2=(2C)2,解得£.=口,

33a-9

11.已知双曲线G：工"一六=1|?>0/>0)与抛物线。2：y2=2px(〃>0)有公共焦点立过户作双

曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A,延长以与抛物线02相交于点丛若点A为线段用的口点，双曲线

G的离心率为e,则/=()

AC+1口V5+1「V5+1八75+2

2233

【答案】B

【解析】

【分析】根据几何关系，求得点5的坐标，结合A点在双曲线渐近线上，求得〃的等量关系，整理化简

即可求得双曲线离心率.

【详解】根据题意，作图如下:

因为双曲线G和抛物线a共焦点，故可得力+从=匹，

4

又F（c,O）到二的距离d==b,即|A目=从又A为中点，则忸日=",

xla2+h2

2

设点8（x,y）,则2匕=工+],解得X=20-§；由/+/=£可得|Q4|二Q,

1.—.1,,4ab

则由等面积可知：-x\BF\x\OA\=-x\OF\xy,解得），二—7

则中"―S"P曲7

则4=〃,））=又点A在渐近线y=2上上，即2=辿

即2a2=pb,

paap

22

=4a+4bf联立得a,-片力2_。4=0,即/卫+i=o,解得斗=正一1

又P

a2b2a22

b2百+1

故/=1+

故选:B.

12.已知双曲线G：£-3=1（。>0/>0）的一条渐近线与帼物线。2：/=16），的准线相交于点A,

点A的横坐标为夜，双曲线a的左、右焦点分别为片和心.若过点片的直线/交G的左支于“，。两

点，且|。叫=|。£|（。为坐标原点），记点。到直线/的距离为4,则@=（）

a

「V17+1D,亚

A.近1B.邑

2022

【答案】C

【解析】

【分析】由抛物线方程可得其准线方程，即可得点A坐标，从而可结合双曲线渐近线方程得再结合等

a

腰三角形性质与双曲线定义，结合勾股定理计算可得2/-2々/=。2-/,结合2的值与/一/二从计算

a

即可得解.

【详解】由抛物线G：W=]6y的准线方程为y=T,则A（及,-4）,

则双曲线的渐近线y=-2%满足T=--.72,即2=2也，

aaa

连接3鸟，取8月中点。，连接。。，

由|。@=|。制=以则8_LO，d=|04,则忸段=2d,

贝|「四％|-|他I=2〃，则|研1=|秘21—2〃=24—2〃，

即有（2d—2域+（2c/）2=（2c）2,化简得2d2-2加=。2一/.

又—二2&，则力2=8。2=c?—a?，即有2d2—2ad=8。？，

a

即“2-0—442=o,贝L---4=0,

\a）a

则.±标二上®又4>0,故工业.

a22aa2

【点睛】关键点点睛:本题关键点在于连接愿，借助双曲线的性质得到忸制=忸图-2a=2J-2a.

第II卷

注意事项：

1•月黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2.本卷共12题，共90分.

二、填空题（本大题共9小题，共45分）

13.已知数列｛aj满足6=2,。,川二1--则弓025;.

an

【答案】T

【解析】

【分析1由递推关系求出出，出，W可知数列｛凡｝是周期为3的周期数列，从而得解.

【详解】因为数列｛4｝满足q=2,《mN”），

n

11111c

所以。2=1t---=7，%=]t--=7，4=1---=2,……，

a｝2a2a3

所以数列｛%｝是周期为3的周期数列，

所以。2025=4+3x674=%=一1，

故答案为：一1

14.已知点（2,一g）在抛物线），=办2上，则该抛物线的准线方程为.

【答案】），二2

【解析】

【分析】将点（2,-g）代入抛物线方程解出。，进而求准线方程即可.

【详解】因点（2,一g）在抛物线丁二"2上，

所以一g二4X22,解得〃=-：,

28

所以抛物线方程为f=-8），，则2〃=8,

所以该抛物线的准线方程为y=?=2,

乙

故答案为：y—2

15.若数列｛q｝的前〃项和是S,t=〃2-4〃+2,则数列｛《J的通项公式是.

—1,/?=1

【答案】a=

n2n-5,n>2

【解析】

【分析】利用与S”之间关系直接求解即可.

【详解】当〃22时，％=S「S”T=1—4〃+2—5-1)2+4(〃—1)—2=2〃-5；

当〃=1时，q=5|=1-4+2=-1,不满足%=2〃-5；

-1,72=1

2n-5,n>2

-l,n=1

故答案为：a„=

2n-5,n>2

16.直线/过点(-2,3),且直线/在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线/的方程为.

【答案】3工+2)，=。或工+)，-1二。或工一y+5=。

【解析】

【分析】考虑直线过原点、不过原点且在两坐标轴上的截距相等、不过原点且截距相反三种情况即可.

【详解】①若直线过原点，设直线方程为y=心:，

3

因为直线/过点(-2,3),所以3=心(一2),解得女二一二，

3八

所以直线/的方程为y=-即3x+2y=。；

②若直线不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，则可设直线/的方程为4+2=1,

aa

/、-23

代人点(-2,3),得——+—=1,解得。=1,此时宜线/的方程为x+)」l=O；

7aa

③若直线不过原点，且在两坐标轴上的截距相反，则可设直线/的方程为2+上=1,

代人点(-2,3),得二+<-=1,解得。二一5,此时直线/的方程为x—y+5=0；

综上所述：直线/的方程为3x+2y=。或x+y—1=0或x—y-5=0.

故答案为：3%+2>=0或工+)，-1=0或工一)，+5=0.

17.过点M(0,1)且和抛物线C：V=4x有且仅有一个公共点的直线方程是________

【答案】Y=0或y=1或y=x+1

【解析】

【分析】与抛物线只有一个公共点的直线有切线和平行对称轴两种，然后结合条件即得.

【详解】设直线方程为>=依+1或x=0(当斜率女不存在时),

当直线与抛物线相切时只有一个公共点，满足题意,

y=kx+\

此时:由<,得女+仅欠-4)x+l=0,

y1=

由△=(2Z—4)2—4公=0得4=1,此时切线方程为y=x+1；

经检验，1=0也是抛物线的切线方程；

当直线与抛物线对称轴X轴平行时，直线与抛物线也只有一个交点，此时直线方程为y=l；

故答案为：x=0或y=l或y=x+i.

18.过原点的一条直线与圆C:(x+2>+V=3相切，交焦点为尸的抛物线)，2=2冲(〃>0)于异于原点

的P点，若归耳=7,则P的值为.

【答案】6

【解析】

【分析】根据圆C和曲线y2=2px(〃>0)关于％轴对称，设切线方程为)，二依，即可根据直线与圆的位

置关系求得女，由直线与抛物线的位置关系解出点。的坐标，由两点间的距离公式可求得P.

【详解】由圆C:*+2)2+y2=3,可得圆心。(一2,0),半径为r=6，

易知圆C:。+2尸十;/=3和曲线),2=2*(〃>0)关于x轴对称，

设切线方程为>=k

由题意得上gL=6,解得：攵=±百，

+i

x-2p

y=A/3X.1=03“2〃26

当七二百时，由・一,解得:〃、

或，即PH，3'

)'=2pxy=026p'

y=-----

.3

\2

由于产y.OL所以归q=-E+==7»解得：P=6.

2J6

当斤二一行时.同理可得〃=6.

故答案为：6.

X

19.双曲线「y=1(4>0力〉0)的左、右焦点分别为耳、鸟，点尸在双曲线右支上，直线夕吊的斜率为

a~b1

3,若&尸"鸟是直角三角形，且面积为6,则双曲线的方程为.

22

【答案】-r-^v-=1

46

【解析】

【分析】由题意得/耳「吊=9()。，tan/6入P=3,根据三角函数的定义，可得|「周、|尸闾表达式，根

据八的面积，可得。值，根据双曲线的定义，可得〃值，根据小〃，C的关系，可得〃2,即可得答案.

【详解】因为点P在双曲线右支上，直线尸人的斜率为3,且，PF尸2是直角三角形，

所以/月尸乙二90。，且tan/E6P=3,则sin/4鸟尸二噜,8$/大入户=噜

设焦距为2c,即忻图二2c,

所以|尸耳|=|耳周.sin/耳鸟尸=当次,|尸玛|=山玛卜85/4鸟尸=^^，

因为,/耳鸟的面积为6,所以gx|P"冈尸局二gx2警x半=6,

解得C=M，

巫=2”，则”巫巫

由双曲线的定义得归用_归周=x710=2,

555

所以从=c2—a2=10—4=6»

故答案为：—-^--1

46

20.在数列｛qj中q=1,%=2,且勺+2-4=1+(—1)"(〃eN)则SOL

【答案】2601

【解析】

【分析】

〃分为奇数和偶数两种情况讨论，是两个等差数列，然后分组求和.

【详解】解：由4+2-q=1+(T)”(〃eN+),

〃为奇数时，。”+2=。〃=q=i

〃为偶数时，。”+2-4=2,此时为公差是2的等差数列

S[()1=4+%+“3+%++4()0+4oi

=(q+〃3++4OI)+(〃2+〃4++〃ioo)

一“c50x(50-1)x2

=51+50x2+——-------1—

2

=2601

故答案：2601

【点睛】考查对(-1)”(〃£乂)的讨论、等差数列的求和公式以及分组求和，基础题.

21.已知数列｛4｝的通项公式为〃“在《和4*之间插入左个2(ZEN*)形成一个新数列也｝,

则血｝的前2025项的和为.

【答案】7893

【解析】

【分析】先确定｛4｝的前2025项中｛凡｝的项数，然后计算｛%｝的前63项的和，然后计算插入的2的个

数和总和，从而求得结果.

【详解】由于在4和%之间插入上个2(婕N")形成一个新数列｛bn｝,

所以新数列中包含％至%的总项数由〃个4项和1+2+,・+(〃-1)个插入的2构成，

总项数为n+-------=--------.

22

计算最大的机，使得团(〃2+1)<2025,当=63时，63x64=2016,

22

即Eif63个原数对应新数列的2016项，那么剩下的项数为2025-2016=9项，为插入的2.

数列｛〃”｝的前63项的和为S63=63x1+竺华二Dx2=3969,｛2｝的前2016项中插入的2的个数为

2016-63=1953个，

从第2017项到第2025项有9个2,所以插入的2的总个数为1953+9=1962个，则插入的2的和为

5=1962x2=3924.

所以｛"｝的前2025项的和为3969+3924=7893.

故答案为:7893.

三、解答题（本大题共3小题，共45分）

a.1

22.已知数列｛《J满足，a.%.n

T1+TF3。〃，若“广4一

（1）求证：｛2｝是等差数列；

（2）求色”｝的前〃项和S”的最小值:

（3）求｛眄〃|｝的前〃项和

【答案】（1）证明见解析

（2）-22

13，23

——2n~+—2小n<4

⑶Tn=\

3,23..

—n~---n+44,7?>5

122

【解析】

【分析】（1）根据递推关系和等差数列的定义，推导出。,川-2=3即可得解;

（2）根据等差数列求和公式求S“，再根据"的符号分析S”的最值；

（3）结合（2）的5,及2的符号，按照〃44和〃之5分情况讨论求出了.即可.

【小问1详解】

因为。向二/一，所以13凡+1cl11c

—=——=3+—，即--------=3,

1+3%

所以b.+「b”=3,又伪二」■二-10,

a\

所以｛2｝是以-［（）为首项，3为公差的等差数列.

【小问2详解】

由（1）知〃=-10+3（〃-1）=3〃-13,

的Hc〃(一10+3/2-13)3223

所以=----------------=—n-------n,

”222

B

令2二3〃-13>0,解得〃〉一,

3

可知当〃之5时，b”>0；当〃44时，b”<0,

4892

所以S”的最小值为邑=另一另二-22.

【小问3详解】

a

2

因为2=3〃-13,b1=-10,S=—n------n,

22

当〃之5时，”>0：当〃V4时，b“<2,

323

所以当〃V4时，Tn=—(4+4+…+1%)=-S”=――n"+—w：

当〃25时，7；=-S4+(\-S4)=\-2S4

3223_„3223__3223..

=-n~-----n-2S,=~n~------n-2x(-22)=—n~------〃+44,

2242222

3，23

——n~+—n.n<4

22

所以323

—n2------/?+44,/?>5

122

0,

23.已知椭圆工+工=1（〃＞人＞0）的离心率为3，A3分别为椭圆的左、右顶点，C为椭圆的上顶点,

且04。=-4・

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线/:工=，肛，+3交椭圆于M,N两点，直线AM的斜率为勺，直线BN的斜率为42,求｝的

值.

【答案】（1）二十片=1

1612

【解析】

【分析】（1）根据数最积公式，可得关系，根据离心率，可得的关系，联立求解，即可得答案.

（2）将直线与椭圆联立，结合韦达定理，设加（币）。乂（占,），2），可得）'1十%，,为表达式，由题意得

1

的表达式，化简整理，即可得答案.

“2

【小问।详解】

由题意4一〃,0）1（4,0）,。（0,份，所以3i=（-v-b）,C3=（a,-b）,

因为C4・C3=—4，所以—〃2+〃2=—4,

又离心率e=£=」l一t=!，解得耳■二』,

a\a22a14

联立解得。2=16,从=12,

22

所以椭圆的标准方程为三4-^=1.

1612

【小问2详解】

^+£=i

将直线与椭圆联立J1612，得⑶〃2+4)y2+i8m)，-21=0,

x=my+3

-18w-21

设加(中凹)”(“2，为)，则X+MJ2,2J

3w+43m+4

又A(T,0),8(4,0),所以仁二』7，包=上二，

x+4x2-4

-2\m(-18/n।

所以冗二K（々-4）二y（〃叫T）二碎片以一，=3m2+4一13〃/+4-叼

h%（X+4）%（〃%+7）冲防+7%-21/n_

3〉+4+%

-3m

'-3fn7,

7

°）过点（i，T,，离心率e=L.

2

（1）求椭圆E的标准方程;

（2）过椭圆E的右焦点尸作两条相互垂直的直线A8,CO与E分别交于A4,C,。四点，设线段

A6,C。的中点分别为M,N.

①证明：直线/WN过定点;

②求四边形AC4。面积最小值.

【答案】（1）—+^=i

43

（2）①过定点（三。），证明见解析；②一

749

U针斤】

和离心率e二!直接可得椭圆方程;

【分析】（1）根据椭圆过点

2

（2）①根据直线A3的斜率进行分类讨论，根据根与系数关系分别求出中点的坐标，进而可判断直线过定

点.

②由弦长公式可得M臼,|cq,再由AB_LCD直接计算四边形的面积，由基本不等式可得最不小值.

小问1详解】

,2

因为椭圆七：0+工=1（〃>b>0）过点，离心率《=r且/一%

a2h2

22

I9c\Ja-b_L,即＜=3,得4/？=3〃2,

所以

2a~4

99

代入K=1,得力=1,即/=4,所以〃2=3.

4/3/

故椭圆E的标准方程为三+二=1.

43

【小问2详解】

①当直线AB的斜率存在且不等于零时，设斜率为攵伏工0）,因4B_LC£＞,所以直线CO的斜率为

K

因为右焦点下（1,0）,直线AB的方程为y=-r-l）,设4%，必）,5（々,月）・

\y=k（x-i）

由＜:22,消去y得，（3-4公）/-8公X+4/-12=0.

।—+—=1

143

22222

J=（-Sk）-4（3+4k）（4k-12）=1W+1）＞0,芭+心=§公=

■3+4/-3+4公

%+x,4k23k

所以线段AB的中点M的坐标xw==二工'W=/LD=-许，即

4k23k

).

3+4F'3+4-

V2I

同理将直线CQ的方程y=-yGv-l）,代入椭圆方程L+匕=1，同理可得（只需将人换成-7），

K43k

411、3k....43k、

所以线段CO的中点N的坐标x=,y=——z-1)=—；——，即at"(一；——,—；——).

v35+4NNk卜3k2+43k2+43k2+4

3k3k

所以MW的斜率j=3氏；+43'=