高考数学复习训练：等差数列和等比数列的计算和性质（分层训练）解析版

专题13等差数列和等比数列的计算和性质

【练基础】

一、单选题

1.（2021秋•广东深圳•高三深圳市龙华中学校考阶段练习）记S”为等差数列伍，的前〃项和.已知其=0,4=5,

则

A.an=2/1-5B.a„=3n-10C.Sn=2/r-8/zD.5“=；/-2〃

【答案】A

【分析】等差数列通项公式与前n项和公式.本题还可用排除，对B,%=5,，=空产=-10=0,排除B,

22

对C,54=0,a5=S5-S4=2x5-8x5-0=10^5,排除C.对D,54=0,«5=S5-S4=1x5-2x5-O=-^5,排

22

除D,故选A.

d

S,=4«H—x4x3=0ci.=—3

【详解.】由题知，'2,解得,，工%=2〃-5,故选A.

-ua=2

a5—%+4cZ=5

【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养.利用等差数列通项公

式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断.

2.（2021•云南•统考二模）已知数列｛/｝、｛a｝都是等差数列,设｛4｝的前〃项和为S.，也｝的前〃项和为9.若

5„2n+\a.

片3浦+2'则厂()

A19II

A.一B.D

2925uT7-I

【答案】A

【分析】由题意利用等差数列的性质、等差数列的前〃项和公式，得出结论.

【详解】•••1=哭|,

Tn3〃+2

9（4+%）

.6_2a$_4+佝_2_S92x9+119

••元=加=5+加=她+斯'=工=3x9+2=京,

2

故选：A

3.（2022秋•福建莆田•高三校考期中）等差数列｛q｝的首项为1,公差不为0,若。2，生，&成等比数列，则｛%｝前6

项的和为（）

A.-24B.-3C.3D.8

【答案】A

【分析】设等差数列｛q｝的公差或4/0）,由外,%，%成等比数列求出d,代入S6可得答案.

【详解】设等差数列｛4｝的公差d（dw（））,

•・•等差数列｛4｝的首项为1,1，%，缘成等比数歹IJ，

，（q+2d）2=（4+d）（4+5d）,且q=l,dwO,

解得d=-2,

6MsAvS

・•・｛可｝前6项的和为S6=64+y£d=6xl+?^x（—2）=­24.

故选：A.

4.（2022・四川遂宁•统考模拟预测）已知数列血｝的前〃项和为S”,满足4=1.6=3,2疯=6;+J“（〃N2）,

则a2022=（）

A.4043B.4042C.4041D.4040

【答案】A

【分析】由等差中项的性质及等差数列的定义写出｛£｝通项公式，再由q,S.关系求｛〃”｝的通项公式，进而求42M.

【详解】由2医=6:+宿（〃22）知：（四｝为等差数列，

又6=*'=1,至=1%+4=2,则公差d=l,

所以£=〃，故S.=〃2,

2

则SR=（〃—（〃22）,可得q=Snn一（〃-=2〃-1,而乌=1也满足,

所以.q=2n-\,贝IJ&°Z2=2x2022-1=4043.

故选：A

5.（2022.全国•高三专题练习）已知｛%｝为等比数列，｛勺｝的前〃项和为S“，前〃项积为则下列选项中正确的

是（）

A.若S2022As“，则数列｛%｝单调递增

B.若53>笃以，则数列｛4｝单调递增

C.若数列2“｝单调递增,则峻川

D.若数列｛1｝单调递增，则4叱2的由

【答案】D

【分析】根据等比数列的前〃项和公式与通项公式可得嗫2>0与限2>1，进而可得啧夕取值同号，即可判断A、

B；

答案第2页，共28页

举例首项和公比的值即可判断C；

根据数列的单调性可得进而得到可>1,求出夕之1,即可判断D.

【详解】A：由$2022>S的,得。初2>0,即4gM>0,则4、4取值同号,

若4<o,q<0,则｛4｝不是递增数列，故A错误；

B：由小得生值>1，即卅刈>1,则4、9取值同号，

若q<0,”0,则数列｛4｝不是递增数列，故B错误;

C：若等比数列q=l,公比g=贝JS.=

所以数列⑸）为递增数列，但62<%m，故C错误;

D：由数列｛。｝为递增数列，得4>二1,所以%>1,

即心1,所以%）22之叼⑷,故D正确.

故选：D

6.（2022・全国•高三专题练习）已知数列｛q｝满足%=1+2+4+…+2小，则数列的前5项和为（）

I62

A.—B.—D.

316363

【答案】D

心]]

【分析】先求出勺=2"讨-1,得至一加]，利用裂项相消法求和.

ana^\22-I

【详解】因为q=1+2+4+…+2”7=2"-1"*=22-1,

所以）=2n_（2/一）-（2T）=।______|_

a“an+i（2M-1）（2,,+1-1）（2,r-l）（2rt+'-l）2n-l2n+,-l

所…以2"前1―§…和为（二1一仃1卜W【仃1一一1卜1…十（〔仃1一仃1A）二二1一二1,162

故选：D

5

7.（2022.全国•高三专题练习）已知等差数列｛%｝与等差数列低｝的前〃项和分别为S”和。，且j=,那么年

的值为（）

A.P14cl16

B.—D.

121314

【答案】C

【分析】设等差数列｛4｝、｛包｝的公差分别为4、4,由题意利用等差数列的性质求出它们的首项、公差之间的关

系，可得结论.

【详解】设等差数列｛%｝,｛2｝的公差分别为4和公

%热吟=料,即得

二%^^等即4=34-24①

S,3a.+3d,3,一.,_

•〒二五二7=1，即4=44-3出②

13Sb、+3a24

由①©解得4=W，4=&.

1.,,

.、=q+74二)4+74J5

'可-bi+6dj4+64-万

故选：C

8.(2023・全国•高三专题练习)几位大学生响应国家的创业号召，开发J'一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，

他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,

4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,

依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>l00且该数列的前N项和为2的整数基.那么该款软件的激活码是

A.440B.330

C.220D.110

【答案】A

【详解】由题意得，数列如下：

L

1,2,

1,2,4,

则该数列的前1+2+…+左=誓”项和为

5处广1+(1+2)+―・+(1+2+...+2*-|)=2"|-4-2,

2

要使笥々>100,有心14,此时"2<2口所以2+2是第C+1组等比数列1,2,…,2/的部分和,设

2+2=1+2+…+2i=2J,

所以々=7-3214,则IN5,此时k=2,一3=29,

答案笫4页，共28页

所以应应满足条件的最小整数2=三f+5=440,故选A.

点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观

察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第

一个数列的和又作为下一个数列ii勺通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.

二、多选题

9.(2023・全国•高三专题练习)记5.为等差数列｛q｝的前〃项和，贝！()

A.56=2S4-S2B.56=3(54-52)

C.S2”,54n-52„,56“一九成等差数列D.当,言，字成等差数列

24o

【答案】BCD

【分析】利用等差数列求和公式分别判断.

【详解】由已知得s.

A选项，，=6%+154,$4=4/+6",§2=24十4,所以2/一=6%+13。,A选项错误；

B选项：3(S4-S2)=6^+15r7=Sft,B选项正确；

2

C选项，S2n=2axn+/:(2w-1)J=2axn+(2n-n^d,S4n=4q〃+2〃(4〃-l)d,S6n=6«1w4-3/i(6n-1)J,

22

S4n-S2n=2a｝n+(6n-n)d,S6n-S4l=2^/?+(1On-n)d,则

S2+Sf)n-S4n=4q〃+(⑵2-24d=2[2卬?+(6〃。-〃)d]=2(S4n-S2n),C选项正确；

一田岳S、2a.+ddS.4q+6d3,S6a.+\5d5.SS__,_S.

D选项，-^=—L—=+-,T=~5—=4+74，-46=—4—=«i+T^>n则il<2+好6=2%+3d=2xT，D

22ai2442662264

选项正确；

故选：BCD.

2"

10.(2022秋•河北沧州•高三统考阶段练习)已知数列的前〃项和为S,《=1,5用=5“+2%+I,数列

IAS+J

的前〃项和为了“，〃eN',则卜列选项止确的为()

A.数列｛4+1｝是等比数列

B.数列｛4+1｝是等差数列

C.数列｛〃0｝的通项公式为%=2”-1

D.

【答案】AC

」+1%

（分析】由a”i=-S”=2%+1可得,=2,可判断A.B的正误，再求出4,可判断C的正误，利用裂项相

4+1

消法求，，可判断D的正误.

【详解】因为S向=S.+2q+1,

a；“=2〃“+1,”“+]+1=2。“+2,

所以Ml—\+1

即也绊=2,且q+l=2,

所以数列｛牝+1｝是首项为2,公比为2的等比数列，故A正确，B错误;

所以4+1=2",即勺=2"-1,故C正确;

2"T11

因为（.4+1一（2”_川2e—1）-2"_广2"*7，

11

所以（=------------------1------------------1■…4—!—=1-----!—<1,

2'-l22-I22-\23-1--------2n-\2,,+|_|2”川-1

故D错误;

故选：AC.

若一（〃”），则（）

11.（2022秋•福建三明•高三三明一中校考期中）已知数列｛〃,,｝满足卬=1,。向

n

一+3＞为等比数列

A.B.｛q｝的通项公式为。”=

2”“一3

1

C.何｝为递增数列D.4------，的前〃项和乙=2"+2-3〃-4

【答案】AD

1_2+3〃,_2+3,所以」-+3=2

【详解】因为—+3,

一工一m）

又，I+3=4=0,所以工+3「是以4为首项，2为公比的等比数列,

即;+3=4x2"，所以一=2田一3,所以

所以｛q｝为递减数歹U，

<1，的前〃项和〈=（22—3）+（2'-3）+…+（2e—3）=2（2i+22+~+2"）—3〃=2x2xU_3〃=2"2—3〃—4.

1—2

故选：AD.

答案第6页，共28页

12.（2023春•江苏南京•高三南京市第一中学校考开学考试）已知数列｛叫的前〃项和为S“，且S”+q=1对于

恒成立，若定义S“⑴=S“，5产=为5尸（八2）,则以下说法正确的是（）

（-1

A.也｝是等差数列B.S(3)=〃~+2_J_

口22”

2021

C.5尸2）一59D.存在〃使得野2。0=品

(女+1)!

【答案】BC

【分析】利用退位相减法可得数列的通项及S”即可判断A选项，按照给出的定义求出色⑶即可判断B选项，数学

归纳法和累加法即可判断C、D选项.

【详解】当〃=1时，q=S1=g,

当〃N2时，由S“+a”=l,得S“T+%=1,故即凡

所以数列｛%｝为等比数列，首项4:，公比“二，故生=但：

4212;

A选项错误；

iRflYl〃

则s“=21=1_(；J，所以s?=S〃=1一6J,

，-2

S3这那时+机…+S”V+1—曾+…+1—“=〃一1+门"

1=1乙\乙）;乙）、乙）

S,0=#%=0+3+1+出+…+"T+出=（0+；_"+]―/="；+24,B选项正确;

当女=1时，sfT）=三有，

AOT+,

假设当左=机时，s,*2）-工㈣=卢^=c：；L成立，

当A=用+1时，由S*=+S,（I）+…+S.，）+sff=sjk）+SfT）可得

售T，则

M

S(州+3)_s0讨)_S(w*^)_C｛州叫+CMIS(州+3)_S(例+1)_S(IW+3)_S(m*l)pm*I|

Q/r-lQjt-I^n-2"n-2J/wm—2'2^/1-2。/1-33'

S了_s”=SjE-S2g)+C：：；,S，E_sjl=s,(M+3)-s,(w+,)+c：：；,将上式相加可得

s尸3)-s『E=s产-s，)+c;：：；+a：；+...+c*+c%，又s/)=s，)=sf),则S「+3）—s「+i）=o,故

r*(m+3)c_「/«+】」「m+l..「/n+l,.「"i+l.「”1+1

+

-=1防川十+・•°+［亚吁2+处.吁］=VW4.2L阳.2+**'+^n^m-2+

A2?火小叫

=备-璃+...+禺，+也"力赤司=福瑞，即IM时也成立'

A*+,

〜〃-i

故Sf咽-sf)C选项正确;

(2+1)!

D选项，当X时，由衿沪小知不成立,

当〃“时，由C选项知：5广2)-5产=舒市=《工=='则5*7*=<3[=璃_2,

sf)_sF-2)=cL=c:京3,L,sF)-sN=c：x=c：；,sfy-r，上式相加得

S丁+2)+sF")=s¥)+s*+cr+c：：+…c：：L+c：;3,又由上知，5了+工川=〃-1+(9+1-6)=人则

SF+2)+SFW=〃+C：-2+C：：；+...C：;，2+C：：3=C：T+C;2+C：：；+•••C：;二+C;：3=C：：：+C："…C：；E+C：：3=C：］，可得

s产)+1即)=C$=哨⑶=■2。2喘2。汕，又由邑⑻=5』⑻+针),S*>0可得S*>铲)，

4U41•

S住2)|s(.)=5+2020)(〃+2019)…〃工2s(加⑵即$(①)J-2020)(〃+2019〉.・冬，严］:泮，心口

"""2021!"'"2x2021!2x2021!2022x2021!-2022!’

选项错误；

故选：BC.

【点睛】本题关键在于C、D选项的判断，C选项通过数学归纳法和累加法以及组合数的性质即可求解；D选项借

助C选项的结论，通过累加法以及组合数的性质进行判断即可.

三、填空题

13.(2022・湖南常德•临澧县第一中学校考一模)已知等差数列上｝的前〃项和为，，且生=3,a=25,则数列｛&｝

的公差d=__________

【答案】2

【分析】根据题意可得q=3-d,直接利用等差数列前〃项和公式计算即可.

【详解】由题意知，4=%—d=3-d,

5x4

S5=5a+=d=5(3-d)+10d=25,

解得d=2.

故答案为：2

14.(2022•全国•高三专题练习)等比数列｛qj的各项均为正数，且〃?4=9,则+^^生+…+1。83%=

【答案】7

【分析】根据等比数列性质可得。回=/延=%牝=。：=9,再利用对数的运算得解.

答案第8页，共28页

【详解】由已知得数列｛%｝是各项均为止数的等比数列，

则%%=a2a6=%%=。：=9,4=3,

所以log3q+log3勺+…+kg%=kga：=7log3a4=7,

故答案为：7.

15.(2022・全国•高三专题练习)已知数列｛凡｝满足4=2,%=4,一”=㈠)"+3，则数列m｝的前20项和为

【答案】330

【分析】分别讨论〃为奇数时，数列｛%”-J的通项公式与〃为偶数时，数列｛的“｝的通项公式，再利用分组求和法代

入求和即可.

【详解】由题意，当“为奇数时，2+2-4=(-1)+3=2,

所以数列｛组,i｝是公差为2,首项为2的等差数列，

所以％1=2+2(〃-1)=2〃，

当〃为偶数时，4,+2-凡=1+3=4,

所以数列｛6”｝是公差为4,首项为4的等差数列，

所以的a=4+4(〃-1)=4〃,

S丛=q+4+••・+6120=(6+%+…+49)+(%+“4+…+”20)

=(2+4+…+2。)+(4+8+…+40)=叁罗+若也=33。，

故答案为:330

16.(2022・全国•高三专题练习)“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不

知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求

一术中给出的.大衍求一术(也称作“中国剩余定理“)星中国古算中最有独创性的成就方一，属现代数论中的一次同

余式组问题.已知问题中，一个数被3除余2,被5除余3,被7除余2,则在不超过2022的正整数中，所有满足条件

的数的和为.

【答案】2()410

【分析】找出满足条件的最小整数值为23,可知满足条件的数形成以23为首项，以105为公差的等差数列，确定该

数列的项数，利用等差数列的求和公式可求得结果.

【详解】由题意可知，一个数被3除余2,被5除余3,被7除余2,则这个正整数的最小值为23,

因为3、5、7的最小公倍数为105,

由题意可知，满足条件的数形成以23为首项，以105为公差的等差数列，

设该数列为｛凡｝，则q=23+105（〃-1）=105〃—82,

由。”=105〃-82工2022,可得〃工嘿，所以，〃的最大值为20,

所以，满足条件的这些整数之和为20x23+”亭吧=20410.

故答案为：20410.

四、解答题

17.（2019・湖北•校联考高考模拟）等比数列｛%｝中，q=l,%=4%.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）记S.为｛&｝的前〃项和.若鼠=63,求m.

【答案】（1）。“=（一2）2或/=2"7.

（2）加=6.

【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m.

详解：［1）设｛勺｝的公比为4,由题设得%

由已知得4，=4/,解得4=0（舍去），"=-2或q=2.

故/=（-2）小或勺=2"，

⑵若勺=（-2）"\则*=由鼠=63得（-2）'"=-188,此方程没有正整数解.

3

若%=2"、则S“=2"-l.由S.=63得2m=64,解得〃?=6.

综上，〃?=6.

点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题.

18.（2022•全国•高三专题练习）已知公比大于1的等比数列｛q｝满足々+q=20吗=等

（1）求｛%｝的通项公式;

（2）求一+…+（-l）”l41ali+1.

o,2什3

【答案】（1）4=2"；（2）二—（—1）”-7-

55

【分析】⑴由题意得到关「首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式;

答案第10页，共28页

⑵首先求得数列｛（-1广）/%｝的通项公式，然后结合等比数列前〃项和公式求解其前〃项和即可.

a+a=aq+aq=20

【详解】⑴设等比数列｛q｝的公比为狗＞1）,则《24]}

2

%=a}q=8

整理可得：2/—5q+2=0,

•;q>l、q=2,%=2,

数列的通项公式为：⑸=2.2"T=2".

（2）由于：（一广41c.=（一1广，2、2向=（一1广22川，故:

一出4+…+(T)”“44+1

=23-25+27-29+...+(-ir'-22rt+,

231-(-22)^

«-(-22)5

【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关

公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.

%+1,〃为奇数,

19.（2023・全国•高三专题练习）已知数列也“｝满足4=1,

%+2,〃为偶数.

（1）记4=%”，写出4,H并求数列他｝的通项公式;

（2）求｛%｝的前2（）项和.

【答案】（1）^=2,^=5,/?,,=3/2-1；（2）300.

【分析】（1）方法一：由题意结合递推关系式确定数列｛"｝的特征，然后求和其通项公式即可;

（2）方法二：分组求和，结合等差数列前〃项和公式即可求得数列的前20项和.

【详解】解：（1）［方法一］【最优解】：

显然2〃为偶数，则，"I=。2”+2M20+2=02—+1，

所以。2-2=生“+3，即％］=4+3，且4=%=4+1=2,

所以｛"｝是以2为首项，3为公差的等差数列，

于是4=2也=5也=3〃-1.

［方法二］:奇偶分类讨论

由题意知4=1，。2=2,%=4,所以〃I=%=2也=4=%+1=5.

由。向-凡=1（〃为奇数）及勺“-4=2（〃为偶数）可知，

数列从第一项起，

若〃为奇数，则其后一项减去该项的差为1，

若〃为偶数，则其后一项减去该项的差为2.

所以。“-2-4=3（〃eN*）,则2=4+|W-1）X3=3H-1.

［方法三］:累加法

由题意知数列｛4｝满足q=1,。e=q+2+"（〃wN）.

22

所以4=a2=6+T+^"=l+l=2，

3（一］）33（-1）2

b、=Cl4=+-4---=+1=4/24--4---------Fl=6f2+2+l=2+3=5»

则b〃=码”=（%“一°2”-1）+（"2"-1一。2”-2）+'一+（生一4）+4=l+2+l+2+・・・+2+l+q=〃x1+2（/7—1）+1=3〃-1.

所以乙=2也=5,数列也｝的通项公式以=3〃-1.

（2）［方法一］:奇偶分类讨论

S2Q=ax+a2+a,+•••+a20=（at+a3+a5+•••a19）+（a2+a4+a6+•••+a20）

=（b、-l+仇一l+4—l+・・・+b、o-l）+4+4+仇+・・・+b、o

x|Q

=2x（VM-io=3OO.

2

［方法二］:分组求和

由题意知数列｛q｝满足％=1，+1，。2,向=。2n+2,

所以。2用=42“+2=。2..|+3.

所以数列｛为｝的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；

同理，由。2”+2=。2川+1=%“+3知数列｛q｝的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.

从而数列也｝的前20项和为：

10x910x9

S20=（G+。3+。5+・・・+。19）+（。2+。4+念+・一+。20）=10x1+--—x3+10x2+--—x3=300.

【整体点评】（1）方法一：由题意讨论｛"｝的性质为最一般的思路和最优的解法；

方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；

答案第12页，共28页

方法三：写出数列｛qj的通项公式，然后累加求数列佃｝的通项公式，是一种更加灵活的思路.

(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前〃项和是一种常规的方法；

方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前〃项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的

选择.

20.(2023・全国•高三专题练习)已知｛矶｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.也｝是公比大于0的等比数列，

"=4也=48.

(I)求｛,｝和色｝的通项公式；

(II)记。"=息+7，〃6”，

J1

(i)证明值-％｝是等比数列；

(ii)证明2居雪<2应(〃eN.)

【答案】⑴a-nwN",(II)(i)证明见解析:(ii)证明见解析.

【分析】(I)由等差数列的求和公式运算可得｛q｝的通项，由等比数列的通项公式运算可得｛"｝的通项公式：

(ID(i)运算可得c：-4=24,结合等比数列的定义即可得证；

<ii)放缩得要,进而可得叵结合错位相减法即可得证.

【详解】(I)因为｛qj是公差为2的等差数列，其前8项和为64.

gx7

所以q+42+…+/=+-yx2=64,所以〃|二1,

所以4,=4+2(H-1)=2H-1,/IG^*；

设等比数列｛b„｝的公比为q\q>0),

所以4-夕'一人班二^不一/二会，解得夕=4(负值舍去)，

所以4=M"T=4",〃WN・；

(ID(i)由题意，6=邑+/=42"+],

所以d-4=k"+—什+*)=2.4”，

诉|、124n口QM一0”2一2・4

所以与一。2,=0,且"TT；-—^^一4，

2*t

所以数列依-d,｝是等比数列；

⑴由题意知，/^吗绢则=等<条，

所以段?＜停=善苓*'

所以引香,裴异

1123〃

则mil/丁》+3+…+亲

〃+2

两式相减得1=1+；+/+…+击（=2----

T

所以（=4一会，

所噂剧强哥邦一黑卜班

【点睛】关键点点睛:

最后一问考查数列不等式的证明，因为之瓦］无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证.

【提能力】

一、单选题

21.（2。19•湖南长沙♦宁乡一中校考模拟预测）（2017新课标全国/理科）记S”为等差数列｛凡｝的前〃项和.若

4+6=24,$6=48,则｛q｝的公差为

A.1B.2

C.4D.8

【答案】C

6x52a+7d=24

【详解】设公差为d,4+6=4+3d+q+4d=2q+7d=24,S6=6《+—广d=6q+15d=48,联立(।.

2[bq+154=4o

解得4=4,故选C.

点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如｛〃“｝为等差数列，若〃?+〃=〃+4,则

乙+4”=q+1”

22.（2023・全国•高三专题练习）已知函数〃幻=卜3+4》，记等差数列｛6,｝的前〃项和为S.,若f（q+2）=100,

/(%)22+2)=—100，则邑022=(

答案第14页，共28页

A.-4044B.-2022C.2022D.4044

【答案】A

【分析】先判断函数是奇函数，再求出4+的磔=-4,再利用等差数列的前〃项和公式得解.

【详解】解：因为/（一幻=一：/—41=一/（幻,.•./"）是奇函数，

因为〃4+2）=100,/（限+2）=T00,所以/（q+2）=-/•（娱+2）,

所以4+2+02022+2=0，所以aj+/ozzM-4，

2022

所以S?3=苛（4+出磔）=-4044•

故选：A

23.（2022秋・北京・高三北京八中校考开学考试）已知数列也｝是等差数列，数列也｝是等比数列，若

%+4+%=6,仄々&=8,则的值是（）

A.5B.IC.2D.4

【答案】B

【分析】由等差中项及等比中项的性质求解即可.

【详解】由等差中项的性质可得/+纬+%=34=6「4=2,由等比中项的性质可得她女=瓜=&.••优=2,因此，

妇&=也=3=]

她区4,

故选：B.

24.（2023・湖南衡阳•校考模拟预测）在流行病学中，基本传染数R。是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力

的情况下，一个感染者平均传染的人数.R。一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中

传染的概率决定.对于R°>l,而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径.假

设某种传染病的基本传染数R。=3,平均感染周期为7天（初始感染者传染R。个人为第一轮传染，经过一个周期后

这R。个人每人再传染R。个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为

（参考数据：36=729,4=1024）（）

A.35B.42C.49D.56

【答案】B

【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算〃轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，

然后可得需要的天数.

【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要〃轮传染，

则每轮新增感染人数为此"，

经过〃轮传染，总共感染人数为：1+%+92+…+'"=芸二，

1一&)

VRo=3,・•・当感染人数增加到1000人时，一匚—二1000,化简得3"=667,

1-3

由3、=243,3$=729,故得〃。6,又：平均感染周期为7天，

所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6x7=42天，

故选：B

【点睛】等比数列基本鼠的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关

公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前〃项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善「运用

整体代换思想简化运算过程.

25.(2。23•全国•高三专题练习)己知函数/。)=3+葭-2cosx,若不相等的实数。，/九C成等比数列，R=f(e),

S=/S),T=/(0),则R、S、T的大小关系为()

A.R<S<TB.T<R<S

C.S<R<TD.T<S<R

【答案】D

【分析】本题利用函数/(x)的奇偶性及单调性求得函数f(x)的值域，然后利用均值不等式判断掾与b的大小关系

从而进行判断.

【详解】•••y=e'+eT,，=8sx均为偶函数，

故函数/(处为偶函数，

/*(x)=el-e-*+2sinx,令g(x)=e'-尸+2sinx

g'(x)=e*+e-A-2cosx,

-,­er+e-\.2Ver«e-r=2，cosxe[-l,l],

.-./(x)..0,故g(x)单调递增,即/(工)单调递增，

又•・•r(0)=0,・••在(0,+8)上f(x)..0恒成立，

故在(0.+8)函数/(X)递增，且在0)=0,

故函数在(YO,0)递减，在(0,+8)递增，

且函数/a)-。恒成立，

答案第16页，共28页

"b,C成等比数列，.,方=z

当。均为正数时，

由均值不等式有：a+c•回应2\h\,①，

当。，。均为负数时，

由均值不等式有：4+c=-［（-a）+（-c）］,,-2庇=-2|〃|,②，

n+r

由①©有：牙…闻，

又「a,b,C互不相等，故受>1"，

故/］竽|>/（〃）>/（0）,

:.T<S<Rf

故选：D.

26.（2D22秋.吉林四平.高三四平市第一高级中学校考期末）已知数列｛q｝的首项是％=1,前〃项和为S“，且

Sw=2S”+3〃+l（〃eN）设。”=1。&（。“+3）,若存在常数3使不等式&2房木（〃^^）恒成立，则&的取

值范围为（）

A.［1,+8）1

B.D.一,4-00

36

【答案】C

【分析】首先由数列通项与前〃项和的关系得到数列｛〃“｝的递推关系q“=2凡+3,再构造等比数列｛/+?｝,求数

c—1

列｛。”+3｝的通项公式，进一步求出数列｛〃.｝的通项公式，从而可求数列｛〃｝通项公式，代入所求式子（,二16）（「

分子、分母同除以〃构造基本不等式即可求出的最大值，从而求出女的范围.

5+16）q

【详解】由S.x=2S“+3,?+l,则当心2时,得S“=2S.T+3（〃—1）+1,

两式相减得%x=2a”+3,变形可得：.+3=2(凡+3),

又4+3=4,ax+a2=S2=2S,+3x1+1=6,所以生=5,+3=2(at+3),

••・数歹U{a”+3}是以4为首项、2为公比的等比数列，故%+3=4x21=2向，

所以qt=k)g2&+3)=〃+l,

g-l=〃="=]<_J_=±i

所以(〃+16)c“(〃+16)(〃+l)1+i7〃+i6〃+3+17-8+1725，当且仅当〃=4时等号成立，故A之五.

n

故选：c.

【点睛】关键点点睛：构造等比数列｛4+3｝求｛q｝的通项公式，即可得｛qj通项公式，再由不等式恒成立，结合基

本不等式求1三三一的最值，即可求参数范围・

(n+16)cn

2〃

27.(2023•四川泸州•泸州老窖天府中学校考模拟预测)已知数列｛4｝扎wN”j,则数列占.

的前10项和%=()

A.3B.更C.史D.2

111111

【答案】C

【分析】将递推式两边同时倒下，然后构造等差数列求出数列｛为｝的通项公式，再利用裂项相消法求和即可.

0

【详解】解”"篇

11=一1

4+Ian--2.

J数列，是首项为:，公差为g的等差数列,

・£耳+(〃-1年嗓2

n

a2J\\}

-2n-=------=2-------

〃+1〃（〃+「）V?7?+1；

.的前10项和兀=2“一扑2><0..+2乂得一《卜20

・•・数列

〃+1TT

故选:C.

28.(2022•江苏南京・金陵中学校考二模)设｛为｝是公差4=-2的等差数列，如果％+4+%+…+%=50,那么

%+%+%+…+%=<）

A.