广东省中山市某校2025-2026学年高三年级上册第四次模拟考试数学试题

广东省中山市某校2025-2026学年高三上学期第四次模拟考试

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若豆数Z满足i-l=zi(i为虚数单位)，贝lJz+W=<)

A.-2B.-1C.1D.2

2.已知全集U=R,集合A={%H—5工一6$0},4={x|-3y<3},则如图所示的住〃〃图中阴

B.(-1,3]

C.(1,3]D.13,6]

3.若/,〃?为直线，6夕为两个平面,则下列结论中正确的是()

A.若则///根B.若/_La,/_!_〃，则c_L/?

C.若///a,/_L〃，则aJ■6D.若Iua,a上户，则/_L£

4.已知a,b,C均为单位向量，且满足3+6+"=0，则(Z-瓦。二()

n「兀人兀、2兀

A.-B.-C.-D.—

6323

5.已知数列｛q｝中，其前〃项和为S”，且〃，〃“，S.成等差数列(〃£"),则为=().

A.1B.4C.7D.15

6.已知函数/(x)=AsinM+Q)(A>0,3>0,|Q|<|O的部分图象如图所示，点

4,0),(4,0)在图象上，若工"2《£?)，x#W，且/(%)=/(%)，则/(%+0)=

•5\7')

33

A.3B.C.0D.

22

7.设函数/（x）=x+-,g（x）=x+lnx,若存在4，j，使得/（%）=g（$），则|西一引的

最小值为（）

A.-B.IC.2D.e

e

8.已知椭圆+今=1伯＞0）的左右焦点分别为£,外,过鸟的直线交椭圆C于A,R

两点，若卜用=3卜用，点M满足用0=3砺*,且则椭圆。的离心率为（）

二、多选题

9.若平面向量不=（，?,2）,5=（1,〃2-1）,其中，，，，”R,则下列说法正确的是（）

A.若23+石=（2,6）,则环而

B.若&=_»,则与方同向的单位向量为（等,-日）

C.若〃=1,且〃与5的夹角为锐角，则实数胆的取值范围为（g,3）U（3,—）

D.若&6，贝iJz=2,+4'"的最小值为4

10.斗笠是遮阳挡雨的帽子，有很宽的边沿，用竹蔑、箭竹叶为原料编织而成，以竹青细蔑

加藤片扎顶滚边，竹叶夹•层油纸或者荷叶，笠面再涂上桐油.某旅游景点的老手艺人手工

编制竹蔑尖顶斗笠（斗笠近似看作圆锥），并在笠面涂上桐油（只涂外表面）.己知1mn的笠

面需涂桐油约为^kg，且斗笠所在圆锥的底面周长为160cm，斗笠所在圆锥的高为竺cm,

40兀

则（）

A.斗笠所在圆锥的底面面积为笠cm?

B.斗笠所在圆锥的体积为粤&CH?

试卷第2页，共4页

C.斗笠所在圆锥的母线长为

7C

D.1kg的桐油，大约可涂刷50个斗笠

11.己知函数f(x)=x-2cos(7ix),则()

A.函数/")有最大值B./(x)至少有3个零点

C.点是曲线)，=/(T)的对称中心D.存在。，使得/(x+4)为奇函数

三、填空题

12.已知直线5x+12y+a=O与圆f+),2—21=0相切，则。的值为.

13.在棱长为3的正方体中，点E满足=，点尸在平面3CQ内，

则人尸卜EF的最小值为.

14.已知函数〃x)=e'一人一如有两个极值点4与/，若/(5)+/(毛)之7,则实数〃的

取值范围为.

四、解答题

15.已知等比数列｛q｝的前〃项和为S“，且生=44,£=42.

(I)求数列｛q｝的通项公式；

⑵若"=国而二，求数列出｝的前〃项和小

16.如图，在四棱锥P-48co中，尸平面ABC。，AD1CD,且8。平分N4X:,

E为PC的中点，AD=CD=\,BC=PC,。8=2五，

DC

(I)证明"||平面也必；

(11)证明4。_1平面＞5£)；

(川)求四棱锥尸*8CO的体积.

17.记VA8C的内角A,B,C的对边分别为小〃，c,已知竺^=l+sinA.

tan5

(1)若4=B，求C;

(2)求*警警的取值范围.

2Z?cosB

18.已知函数/(司=府'+1+13＜()).

(1)当。=一1时，求函数y=/(M在点(。,/(。))处的切线方程；

(2)求函数/("的单调区间；

⑶若不等式/3+(a+2)e”0恒成立，求整数〃的最大值.

19.已知抛物线C：V=x,A8,。是抛物线C上的三点，且满足小_LP4,过乍PDJ.A4

于点£).

(1)若「(11)，求证直线48过定点：

⑵设P(/")(，＞0)，记点。轨迹围成的图形的面积为S「记△Q48的面积为S?,当直线46

s

的倾斜角不是钝角时，求u的最小值.

试卷第4页，共4页

《广东省中山市某校2025-2026学年高三上学期第四次模拟考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DDCCDDBBBCDBCD

题号11

答案BC

1.D

【分析】根据复数的除法运算可得z=1+i,进而即得.

【详解】因为=

所以z=彳^=1+i,z=l-i,

所以z+5=2.

故选：D.

2.D

【分析】先解不等式求出4={百-1■6},进而求出阴影部分表示的集合.

【详解】/—5x—600,解得：-10烂6,所以4={x|-lM6},

阴影部分表示的集合为8在U中的补集与A求交集，为[3,6].

故选：D

3.C

【分析】根据题意，结合线面.，面面位置关系的判定与性质，逐项分析判断，即可求解.

【详解】对于A,若H/a,mua,则/与用平行或异面，故A错误；

对于B,若I上a」上0,则。〃夕，故B错误；

对于C,若工0,则故C正确；

对于D,若/ua,aJ_£,则/与4平行或相交，故D错误.

故选：C.

4.C

【分析】利用平面向量数量积的性质进行运算即可.

【详解】•.•Z+B+2=6,•.•2=-R+®,则（2-4"=-（£-矶£+5）=-（丁-£）=0,即

则（，-瓦

故选：C

5.D

答案第1页，共14页

【分析】根据等差中项得2《,=〃+S“，再降次作差，变形得。，出=2(ai+l),再利用等比数

列性质即可求出答案.

【详解】•・•〃，〃”，S”成等差数列，・•・2q=n+Sn,

当〃=1时，2%=1+，，&=1,

当〃*2时，2々“_1=〃-1+S“-1,2a.-2a“T=1+〃“，.却=24_1+1,

・・・/+1=2(。*+1),・・・%+1是以2为首项，2为公比的等比数列,

nn4

atl+\=2,Aan=2-\,：.«4=2-l=15,

故选：D.

6.D

【分析】根据条件求出A,①和”的侑，求出函数的解析式，利用三角函数的对称性进行求

解即可.

【详解】解：由条件知函数的周期满足丁二2三一三二4%，BP—=4^,

\35)a)

得。弓

由五点法得《O+8=0,即gx：+Q=O,得8=-g，

3326

则/(X)=Asin(；x-J),

26

则/(0)=Asin(—9)=—=得A=3,

622

即/(x)=3sin(2x-g),

26

7t74

内的对称轴为丫4乃，

A=----------=-----

23

若',丫玉工吃，且/(%)=/(£),

则内，与关于工二,对称，

-4万8乃

则nil％+工2=2'彳=彳

Elr(\兀)々」8兀兀7兀3

则〃％+/)=/丁=3川(于7一%)=397=-5・

故选：D.

答案第2页，共14页

【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件先求出函数的解析式，以及礼用三

角函数的对称性是解决本题的关键.

7.B

【分析】根据题意，由条件可得/(玉)=)(1眸)，即可得到内=1叱，构造函数/心)=欣7,

求导得其最值，即可得到结果.

【详解】由题意可得fa)=g(w)，即田+炉=w+ln%,

所以K|+e*=+Inx2,

又r(x)=l+e、>0,所以/(x)在R上单调递增，

即/(内)=/(m占)，所以％=1|1占,

x

且打一司=弧x2-e'\=\\nx2-x2\,

h(x)=\nx-x,XG(O,-H»),

则〃(6=_1-1=上三，其中x>0,

XX

令//(x)=0,则x=l,

当xe((),l)时，”(力>0,则力(工)单调递增，

当xe(l,+8)时，/穴“<0,则力(“单调递减，

所以当％=1时,网旦有极大值,即最大值,

所以人(力工力(1)=-1,,(刈之1,

所以W-Win-引血”=卜1|=1.

故选：B

【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数同构问题以及导数求最值问题，结合同构函数，然

后构造函数求导即可得到结果.

8.B

【分析】由\AF]=3\AF2\,万河=3而月结合正弦定理可得Z/'AM=/丹AM，又AM_1_£8,

故|AA|=|A/，再结合余弦定理计算即可得离心率.

答案第3页，共14页

【详解】由椭圆定义可知|M|+|A段=2〃=2五,由|A£|=3|A/j故|A£|=,夜，从用=等,

点M满足硒=3际即忻M刃帽，则需^=耦=储，

又|然|_恒MM闾_优M

乂sin/AMK-sin/片4M'sin/SAM^-sin/玛4M'

an1^1sinZAMF14KlsinZA/WE,LZX1^,。八。

即I/-\jf\~'/IA\A~jT/rJ='/rA\A，又/A，"K+/AMF?=18(),

\PiM\sinZ^AMpWA2|sinZF2AM

故sin/AMg=sin/AA%,则sin/6AM=sinN^AM,即NKAM=N%4M,

即AM平分6，又故|4"二|八川=]0,

贝ij忸曰=|应—(&=8，则忸制=2及_及=及,

(2c)2+2-2_c2

cosNBF?F[=

2x2cx\/2Me

由/人5耳+/8鸟耳=180°,

即2c2"?

故cos/A入片+C0S/4入6=0,=0,

即3c2-2=0,即。=乎，故6=且.

753

故选：B.

【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据已知条件得到线段之间的关系，继而利用余弦

定理求出c,即可求解.

9.BCD

答案第4页，共14页

【分析】利用向量坐标运算求出〃?，〃判断A；利用数乘向量结果求出小〃，再求出单位向量

判断B；利用向量夹角为锐角列出不等式求解判断C；利用向量垂直的坐标表示，结合基本

不等式求解判断D.

【详解】对于A,2d+B=(2〃+l,3+〃7)=(2,6),贝叶3：":6,解得=-

则不=(g,2),/；=(1,2),显然不存在使6-痛，即不，6不共线，A错误；

n=-2m=0/.

对于B,a=-2b，则。"解得即一2,2,/=1,-1,

2=-2(/7/-1)[n=-2?'

W=JT+(-I)2=夜,则与方同向的单位向量为，=(等，-等)，B正确；

对于C,当〃=1时，己=(1,2),又4与5的夹角为锐角，

则，+解得加吗，且,*3,即〃7£(〈,3)U(3,+OO),C正确；

“2-1w222

对于D,由不工〃，得=/?+2(/〃-1)=2〃2+，?-2=0,即2〃7+〃=2,

则Z=2"+4优=2"+22m2N2ndm=212*=2亚=4，

当且仅当2"=22m，即〃=2m=1时取等号，D正确.

故选：BCD

10.BCD

【分析】利用圆锥的面积、体积公式计算即可.

【详解】设斗笠所在圆锥的底面半径为「，母线长为/,高为〃，

则2"=l60cm,r=^cm,所以斗笠所在圆锥的底面面积S&=冗/=丝&m?,

Tt71

故A错误；

斗笠所在圆锥的体积=9幽x丝=上等。/，故B正确；

5371Tt71

80

因I”为.「=-cm,//?=—60cm,

nit

肝i"胸、2/8()、2KX)

所以/=J(一＞+(―厂=—加，

Vn7tn

故C正确；

答案第5页，共14页

斗笠所在圆锥的侧面积斗产兀〃=兀乂£乂罩=詈口/.

因为1kg的桐油大约可涂笠面面积为云=—nr,

40几

40

所以1kg的桐油大约可涂刷斗笠的个数为前/一-50,

n

故D正确.

故选：BCD.

11.BC

【分析】对/(x)求导后，根据sin(心)的取值范围可确定/(x)的单调性和极值，从而得到

外力在［0,2］上的值域为12,“内)］；根据函数解析式可推导得到/(.r+2)=/(x)+2,从

而知〃xi2八)=/(*)12八(八eZ),可得A错误；结合零点存在定理可说明/(x)在［0,2］上

有三个零点，知B正确；根据/(x+l)+/(-刈=1可知C正确；假设存在“，根据奇函数定

义可化简得到“=°八，由方程组无解可知D错误.

COSTUl=0

【详解】•.,/'(x)=l+27tsing),.,.当xe［o.l)时，sin(ux)€(0,1］,则广(%)>0,

\/(X)在［04)上单调递增；

令/'(力=0,则sin(兀丫)=一］>一1,

2兀

(3、/3、I

假设存在h-,均£K2,使得sin(5)=sin(5)=-丁，

27c

则当xw(l,xjU(再,2)时,r(x)>0：当xwQ,%)时，，'(X)<0;

\f(x)在(1此),(1,2)上单调递增,在外,W)上单调递减;

又/(0)=—2,/(1)=3,/(2)=0,/./(.r,)>/(l)=3,/(^)</(2)=0；

,

f(0)=x2-2cos(7Lr2)+2=A2+2-2cos(7Lr2),cos(7tx,)<1,

.*./(^)-/(0)>^>0,即/(w)>/(0)；

\/(x)在［0,2］上的值域为［一2J(x)］；

答案第6页，共14页

对于A,v/(x4-2)=x+2-2cos(27t4-7Lr)=x+2-2cos7Lr=/(x)+2,

・••/'(X+4)=/(X+2)+2=/(X)+4,以此类推，则f(%+2A)=/(%)+22(AwZ),\/⑸无

最大值，A错误；

对于B,•・•/(())•/⑴<0且/⑴在(0,1)上单调递增，\/.)在(0,1)上有一个零点；

<。且/⑴在(土，丫2)上单调递减，'/(rj在(占,々)上有一个零点；

又"2)=0,\/(x)在［0,2］上有三个不同零点；

\/(x)至少有3个零点，B正确；

对于C,,.,/(X+l)4-/(-A)=X+1-2COS(7LV+7t)-X-2COS(-7L¥)=1+2cOS(7W)-2cOS(兀C)=1,

\/(x)的图象关于点(提对称，C正确：

对于D,假设存在4,使得/(X+〃)为奇函数，

令g(x)=/(x+«)=x+cz-2cos(7tv+7w),则g(一力=一/+4—2cos(-7LT+7U/),

-x+a-2cos(7U7-7tx)=-(%+a)+2cos(7tr+TU/),

整理可得：a=cos(M-7tr)+cos(7Lt+m)=2cosmcosnx；

［a=0

a=0n

若方程恒成立，则八，即兀,/,"、，方程组无解,

二•不存在实数。，使得/(x+〃)为奇函数，D错误.

故选：BC.

12.一18或8

【分析】直接根据圆心到直线的距离等于半径计算得到答案.

【详解】x2+y2-2x=0,gp(x-l)2+r=l,圆心为(1,0),半径r=l,

直线5x+12)，+a=。与圆/+2-24=0相切，故尸口二］,解得〃=一18或3,

V25+144

故答案为：一18或8

13.扃

【分析】在正方体中找到点4关于平面8G。的对称点，利用几何关系求AF+E尸的最小值.

答案第7页，共14页

【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，棱长为3,A.E=-EC；,

所以E(2,l,3),A(3,0,3),C(0,3,0),C,(0,3,3),8(330),

设直线AC与平面8C0的交点为〃，由正方体性质可知，

AC_LBD,A。_LBC、,80p|BG=8,8£)u平面BC】。，BGu平面BQD,

所以AC_L平面BCQ,所以4(3,0,3)在平面BCQ的投影为〃，且"(1,2,1),

则A(3,0,3)关于平面BQD的对称点即点4(3,0,3)关于"(1,2,1)的对称点,设为G,则为

0(-1,4,-1),

所以从尸+七〃的最小值为GE,为，32+32+4=后.

故答案为：V34.

【点睛】

14.(2x/e,4-

【分析】求导可得/'")=e'+ei-。=0两个根为王与七，令f=e)分析可得4=9小=记

为方程/一)+。=0的两人不相等实根，根据韦达定理，可得

A|2T,X2

/1+/,=e+e*=a.t}t2=e-e=e,则不+再=1,根据/(m)+/(9)之-4,代入化简.整理

计算，即可得答案.

【详解】由题意f\x)=e'+e--a=0的两个根为4与再，

即ev,+ef-4=0,所以e"+[=a,

er,

同理^2+9F一.=(),即4+；=〃，

答案第8页，共14页

令r=e'，则乙=炉出=产为方程/—a+e=o的两个不相等实根,

x,2v,X2

6+q=e+e'=a,//2=e­e=e,则+x2=1,

所以判别式△=/-4e>0,解得心2人.

又/(X1)+/(9)=e"一叫+e^―91-ax2

e(e"+)

=er,+eX2-el-x,-eHTl-ar,-ar,=ev,+e”——---------a\x,+x)

炉e"2

=a-a-a>-4,所以a«4,

综上，实数。的取值范围[2&,41

故答案为：（2&,4]

15.(l)^=22rt-'

⑵1=1匕

2〃+1

【分析】（I）设｛〃”｝的公比为夕，根据等比数列通项公式和求和公式求解即可;

（2）利用裂项相消即可求解.

【详解】（1）设｛4｝的公比为夕，由%=4%,得^=4,

由S3=42,得4(1')=42,解得4=2

1-4

所以4=aq"T=24-1=22"T

⑵由勺=2"l得

iiiiriiA

b;=-------------=-----------------=-------------=---------------I

2/,2n+,

"log2t/„.|og2^,+1log22-'log22(2〃-1)(2〃+1)2\2n-\2〃+1/

叱-1。nS1)If1111。11〃

"2(3；2(35)2V2/?-l2n+\)2(2n+\)2〃+1

4

16.(I)略；(II)略；(III)-.

3

【分析】(I)在平面中找小的平行线；(II)在平面PB。找两条相交直线与AC垂

直；(III)求出四边形A8CO的面枳与四棱锥尸-A3CO的高PD即可求四棱锥尸-ABC。的体

积.

答案第9页，共14页

【详解】(I)证明：设4。口8/)="，连结E“，在AAOC中，因为人£)=8,

且04平分/4DC,所以〃为4c的中点，又E1为PC的中点，从而EH//PA,

因为Hfu平面BDE，平面BDE,所以以||平面BDE：

(II)证明：因为/Y)_L平面ABC。，ACu平面A8CD,所以PD_LAC,

由⑴知8O_LAC,PDcBD=D,PDu平面PBD,BDu平面尸80,

从而AC_L平面P8O；

(III)W：在AfiC。中，DC=1,DB=20,4BDC=4S,得

BC2=I2+(2>/2)2-2xlx2>/2cos45°=5,BC=6

在Rf"DC中,PC=BC=>/5,DC=\从而PD=2,

SABCD=2S&BCD=2x-xlx2x/2XCOS45°=2,

4

故四棱锥P-ABCD的体积匕32)=T.

J

【点睛】考查线面平行、线面垂直的证明以及棱锥的体积计算.

0瓦

17.(1)C=—

⑵(0,1)

【分析】(1)先由题给条件求得A=8=m，进而求得。=与；

63

(2)先利用正弦定理和题给条件求得A=5-28和再构造函数

),=2一旦</<1,求得此函数值域即为竺2等警的取值范围

」t22bcosB

【详解】(1)由A=B,y=l+sinA

tanB

可得8sA=[+sinA,则cos?A=(l+sinA)sinA

tan4

整理得2sin?A+sinA-1=(),解之得sinA=g或sinA=-1

又0<A<],则4=已，则8哈则0=^

(2)A,8为V4BC的内角，则l+sinA>0

则由当=l+sinA,可得警>0,则A3均为锐角

tanBtanB

答案第10页，共14页

2A.2A

.cos——sin—

lanB=^2^_=_1___1.

1+sinA(而4+=为

22

—fcC兀八兀A7tf]c7tA八c兀

又0<8<—,0<-----<—,则B=-----,0<B<—

2424424

/\

则人=色一28,则sin4=sin--2B=cos2B

2\2)

囚为6/sinB=力sinA,

tvsinB+^sinA2"sinA2Z?cos2B2cos2B-\八1

则rillI-------------=-------=--------=----------=2cos8------

2bcosB2bcosB2bcos,13cosBcos8

令r=cos{0<B<：),则£«

又/⑴=2—在」单调递增,=0,/(D=l

可得0v2f-；<I,则2853-高石的取值范围为(0,1),

则驾怒F"的取值范围为(°」)

18.⑴尸T；

⑵增区间-上]],减区间I11，；，+e；

I2(2a))(2Ila))

⑶-2

【分析】(1)求导确定切线斜率即可求解；

(2)求导，由ra)>o,ra)<o可求得单调区间；

(3)构造函数Mx)=x+〃e2K+(a+2)e'+l,xeR,求导，确定函数单调性，求得最值即可

求解；

【详解】(1)函数“X)的定义域为区/(。)=1-2©21旬=-1,

则曲线在点(0J(0))处的切线为y—0=Tx(x-0),

即产一x.

(2)因为/'(耳=1+2优21

•.•"0时，由r(x)>。，得x<3U，令r(x)<o,得x>'U，

答案第11页，共14页

所以在18；ln上单调递增,(1/1、

在71n--,+e上单调递减.

(2I2a)J

综上所述，/（"的单调递增区间为卜8,手«-（1），单调递减区间为（fn{2）也

（3）依题知，/（x）+（a+2）e'«0恒成立，即加2'+工+1+（。+2）。”0恒成立，

设力⑴=x+ae2x+（a+2）ev+1,xGR,

则"（x）=I+2ae2x+（a+2）er=（t/ev+l）（2ev+l）,

当avO时，由〃（力＞0,得x＜ln-）］，由"（工）＜0,得x＞ln―-，

所以力（X）在（e/n,力）上单调递增，在卜,J,+8）上单调递减，

1Y+卜1+2）（一扑140恒成立,

则/?(%)<h+〃•

整理得

设〃?(x)=ln]——,x<0,则"«力=-工+4=号＞o恒成立，所以tn（x）在（一叫0）上单

\x)xXXX

调递增，又aeZ,fiw(-l)=0+i=l>0,w(-2)=lni+i<ln-^+l=0

22de2

故整数。的最大值为-2.

19.（1）证明见解析

（分析】（1）设A（x，y）,8（电,/），得到AB的方程%-（乂+%）通+■%=。，再由&%.%=T，

化简得到,+%=-2-），①，进而得到"+2y）+%），,（y+l）=0,结合方程组「八，即

y+1=（）

可求解：

（2）由（I）结合夕A_L依，得到*-+0=得出"恒过点E（/+1,T）,

（1、

再由DP_LO£,得到。点的轨迹是以庄为直径的圆，求得号=兀产+,设45的方程为

I4J

My+/）=x-（J+l）,联立方程组，结合韦达定理和基本不等式，求得邑2（产+11，得到

答案第12页，共14页

（尸+年S+邛3丫

3>、，令得到S,4)，令Z$+