2026春小学数学人教版四年级下册第一单元：四则运算 专项提升04：运算律（简便运算）（计算专练）

2026春小学数学人教版四年级下册第一单元：四则运算专项提升04：运算律（简便运算）（计算专练）一、考点梳理本专项提升聚焦人教版四年级数学下册第一单元四则运算中的核心内容——运算律（简便运算），是四年级数学计算能力的重点，也是后续学习小数、分数简便运算的基础，更是期末考试、单元检测的高频考点。本次考点梳理将全面覆盖本模块所有核心知识点，结合教材例题和考试真题，明确考点要求、考查形式，帮助学生精准把握知识脉络，夯实基础。运算律的核心考点围绕加法和乘法两大运算展开，主要包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，以及连减、连除的简便运算方法，同时涵盖运算律的灵活运用和易错考点辨析，具体梳理如下：考点一：加法交换律，这是最基础的运算律，也是简便运算的入门知识点。核心定义：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。用字母表示为：a+b=b+a（其中a、b可以是任意整数，包括0和负数，四年级阶段主要聚焦非负整数）。考查形式主要有三种：一是直接根据运算律填空，如35+46=46+（），这类题目占比约10%，侧重基础记忆；二是判断算式是否运用了加法交换律，如判断“28+57=57+28”是否正确，考查对运算律本质的理解；三是在连加算式中运用交换律凑整，如计算37+58+63，通过交换58和63的位置，先算37+63=100，再算100+58=158，简化计算过程，这类题目是基础计算题的常见形式。考点二：加法结合律，与加法交换律紧密关联，常结合使用实现简便计算。核心定义：三个数相加，先把前两个数相加，再和第三个数相加，或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，和不变。用字母表示为：(a+b)+c=a+(b+c)。考查重点在于“改变运算顺序，不改变和的大小”，常见考查形式有：填空补充结合律的完整形式，如（25+36）+64=25+（36+）；判断算式的运算顺序是否符合加法结合律；在连加算式中灵活运用结合律凑整，尤其是当算式中出现能凑成整十、整百、整千的数时，如计算125+78+22，先把后两个数结合，78+22=100，再算125+100=225。需要注意的是，加法结合律常与交换律结合使用，如计算56+38+44+62，先通过交换律调整位置为（56+44）+（38+62），再运用结合律计算，这是考试中最常见的考查形式，占比约15%。考点三：乘法交换律，与加法交换律逻辑一致，只是运算类型从加法变为乘法。核心定义：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。用字母表示为：a×b=b×a。四年级阶段，该考点的考查重点的是与“凑整因数”结合，如25和4、125和8，这些经典的“好朋友数对”是乘法交换律的核心应用场景。考查形式包括：填空，如125×38×8=125×8×38，运用了（）；判断，如“25×17=17×25”是否正确；计算题，如计算25×47×4，通过交换47和4的位置，先算25×4=100，再算100×47=4700，简化计算。这类题目难度较低，但需要学生熟练掌握凑整因数，避免因粗心导致计算错误。考点四：乘法结合律，是乘法简便运算的核心考点之一，常与乘法交换律联合使用。核心定义：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变。用字母表示为：(a×b)×c=a×(b×c)。考查重点在于“通过结合，凑出整十、整百、整千的积”，常见考查形式有：填空，如（125×8）×23=125×（8×）；计算题，如计算125×32×25，将32拆分为8×4，再运用结合律（125×8）×（25×4）=1000×100=100000；判断，如“(25×4)×5=25×(4+5)”是否正确，考查对乘法结合律与其他运算律的区分。该考点在计算题中占比约20%，是提升计算速度的关键。考点五：乘法分配律，是本专项的核心难点，也是考试中占比最高、出错率最高的考点，占比约25%。核心定义：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加（或相减）。用字母表示为：(a+b)×c=a×c+b×c，拓展形式包括：c×(a+b)=c×a+c×b（乘左分配）、(a-b)×c=a×c-b×c（减法形式）、a×c+b×c=(a+b)×c（逆运算，提取公因数）。考查形式多样，包括：填空，如（30+2）×15=30×15+2×（）；判断，如“25×(4×8)=25×4+25×8”是否正确（混淆乘法结合律与分配律）；计算题，分为正向运用（如(40+8)×25）、逆向运用（如35×78+65×78）、拓展运用（如99×36、101×45）；解决问题，如“学校买来45套课桌椅，每张桌子125元，每把椅子75元，一共花了多少钱”，可运用乘法分配律简化计算。考点六：连减、连除的简便运算，属于四则运算中减法和除法的延伸考点，占比约15%。连减的简便运算：一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和，用字母表示为：a-b-c=a-(b+c)；逆运用为a-(b+c)=a-b-c，同时还可以交换减数位置，即a-b-c=a-c-b。考查形式主要是计算题，如283-75-25=283-(75+25)=183，172-59-72=172-72-59=41。连除的简便运算：一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积，用字母表示为：a÷b÷c=a÷(b×c)；逆运用为a÷(b×c)=a÷b÷c。考查形式以计算题为主，如480÷8÷6=480÷(8×6)=10，360÷(9×4)=360÷9÷4=10。考点七：运算律的综合运用，是考试中的拉分考点，占比约5%。这类题目需要学生灵活运用多种运算律，结合数字特点，选择最优的简便方法，如计算25×44+75×44+100，先提取公因数44，得到44×(25+75)+100=44×100+100=4500；再如计算125×88，既可以拆分为125×(80+8)，运用乘法分配律，也可以拆分为125×(8×11)，运用乘法结合律。同时，综合运用还包括加减混合、乘除混合中的简便运算，如256+139-56+361=(256-56)+(139+361)=700。此外，易错考点辨析也是考查重点，主要包括：混淆乘法结合律与乘法分配律、连减连除中符号错误、乘法分配律逆运用时漏乘、忽略0的运算特性等，这些内容将在重难点讲解中详细说明，帮助学生规避错误。二、方法点拨运算律（简便运算）的核心是“凑整”和“简化”，关键在于观察数字特点和运算符号，灵活选择合适的运算律，避免机械计算。本部分将结合各考点的特点，给出具体、可操作的方法点拨，帮助学生掌握简便运算的思路和技巧，提升计算速度和准确率，同时培养学生的观察能力和逻辑思维能力。一、加法运算律的简便运算方法点拨加法交换律和结合律的核心是“凑整”，即找到能凑成整十、整百、整千的数，通过调整位置或改变运算顺序，简化计算过程。具体方法如下：1.观察数字特点：优先寻找末尾是0、5的数，或相加能得到整十、整百的数，如15和85、23和77、46和54等。例如，计算38+55+62，观察发现38和62末尾相加为100，因此先运用加法交换律交换55和62的位置，再运用结合律计算，步骤为：38+55+62=38+62+55=(38+62)+55=100+55=155。2.多位数连加的技巧：当算式中有多个数时，分组凑整，优先凑出整百、整千的数，减少计算步骤。例如，计算123+45+77+55+89，可分组为(123+77)+(45+55)+89=200+100+89=389，这样既简便又不易出错。3.注意事项：交换加数位置时，要带着加数前面的运算符号一起移动；运用结合律时，要给凑整的数加上括号，明确运算顺序；如果没有能直接凑整的数，可通过“凑整补差”的方法，如计算198+35，将198看作200-2，转化为200+35-2=233，避免直接计算198+35的繁琐过程。二、乘法运算律的简便运算方法点拨乘法交换律、结合律和分配律的核心的是“凑整因数”，四年级阶段重点掌握25×4=100、125×8=1000、125×4=500、25×8=200等经典凑整组合，结合运算律灵活运用，具体方法如下：1.乘法交换律和结合律的运用技巧：连乘算式中，优先交换因数位置，将凑整因数结合在一起，先算凑整部分。例如，计算25×37×4，观察到25和4是凑整因数，先交换37和4的位置，再结合计算：25×37×4=25×4×37=100×37=4700；再如计算125×32×25，32无法直接与125或25凑整，因此将32拆分为8×4（因为8是125的凑整因数，4是25的凑整因数），再运用结合律：125×32×25=125×(8×4)×25=(125×8)×(25×4)=1000×100=100000。拆分时要注意，拆分后的数与原数相等，且拆分后的数能与其他因数凑整。2.乘法分配律的运用技巧：分为正向运用、逆向运用和拓展运用，是重点也是难点，需分情况掌握。（1）正向运用：当算式是“(两个数的和或差)×一个数”的形式时，直接运用分配律，将括号内的两个数分别与括号外的数相乘，再相加或相减。例如，计算(40+8)×25，步骤为：(40+8)×25=40×25+8×25=1000+200=1200；计算(50-2)×30，步骤为：(50-2)×30=50×30-2×30=1500-60=1440。注意，括号内的两个数要分别与括号外的数相乘，不能漏乘任何一个数。（2）逆向运用：当算式是“一个数×a+一个数×b”的形式，且两个乘法算式中有相同的因数时，提取相同的因数，将剩下的两个数相加或相减，再与公因数相乘。例如，计算35×78+65×78，观察到两个乘法算式都有公因数78，提取后计算：35×78+65×78=78×(35+65)=78×100=7800；再如计算125×43-125×35，提取公因数125，得到125×(43-35)=125×8=1000。逆向运用的关键是准确识别公因数，当公因数不明显时，可通过拆分数字制造公因数，如计算36×98+72，将72拆分为36×2，得到36×98+36×2=36×(98+2)=3600。（3）拓展运用：当算式中的因数接近整十、整百、整千数时（如99、101、102、98等），将其拆分为“整十整百数±一个数”的形式，再运用乘法分配律。例如，计算99×36，将99拆分为100-1，步骤为：99×36=(100-1)×36=100×36-1×36=3600-36=3564；计算101×45，将101拆分为100+1，步骤为：101×45=(100+1)×45=100×45+1×45=4500+45=4545。拆分时要注意，多加了要减去，多减了要加上，确保拆分前后的数相等。3.注意事项：乘法分配律与乘法结合律的区分，前者涉及“乘加、乘减”混合运算，后者只涉及连乘运算；运用分配律时，括号外的数要与括号内的每一个数都相乘，避免漏乘；交换因数位置时，要带着因数前面的运算符号，确保积不变。三、连减、连除的简便运算方法点拨连减和连除的简便运算核心是“转化”，将连续的减法或除法转化为一次减法或除法，简化计算过程，具体方法如下：1.连减的简便方法：两种思路，一是“连减变减去和”，即a-b-c=a-(b+c)，适用于后两个数相加能凑整的情况，如283-75-25=283-(75+25)=283-100=183；二是“交换减数位置”，即a-b-c=a-c-b，适用于被减数与其中一个减数末尾相同，能凑整的情况，如172-59-72=172-72-59=100-59=41。注意，当算式中有括号，且括号前面是减号时，去掉括号后，括号内的加号要变减号，减号要变加号，如968-(568+109)=968-568-109=291，避免出现“968-568+109”的错误。2.连除的简便方法：与连减思路类似，一是“连除变除以积”，即a÷b÷c=a÷(b×c)，适用于后两个数相乘能凑整的情况，如480÷8÷6=480÷(8×6)=480÷48=10；二是“交换除数位置”，即a÷b÷c=a÷c÷b，适用于被除数能被其中一个除数整除，且整除后能与另一个除数凑整的情况，如360÷4÷9=360÷9÷4=40÷4=10。注意，当算式中有括号，且括号前面是除号时，去掉括号后，括号内的乘号要变除号，除号要变乘号，如540÷(9×6)=540÷9÷6=10，避免出现“540÷9×6”的错误。四、综合运用的方法点拨综合运用多种运算律时，遵循“先观察、再匹配、再转化、最后检验”的四步思路：第一步，观察算式的运算符号和数字特点，判断涉及哪些运算（加法、乘法、减法、除法）；第二步，匹配对应的运算律，连加想交换律和结合律，连乘想交换律和结合律，乘加、乘减想分配律，连减、连除想对应简便方法；第三步，实施转化，按运算律改写算式，必要时拆分或凑整，简化计算；第四步，检验结果，通过直接计算原式和简便计算的结果，验证是否一致，避免因方法运用错误导致计算失误。例如，计算25×44+75×44+100，第一步观察到有乘加运算，且前两个乘法算式有公因数44；第二步匹配乘法分配律的逆运用；第三步转化为44×(25+75)+100=44×100+100=4500；第四步检验，原式25×44=1100，75×44=3300，1100+3300+100=4500，结果一致，说明方法正确。此外，日常练习中要养成“先想简便，再算常规”的习惯，避免盲目计算；同时，牢记常见的凑整组合和运算律字母表达式，提高反应速度，减少思考时间。三、重难点讲解本专项提升的重点是掌握加法和乘法的五大运算律，以及连减、连除的简便运算方法，并能运用这些方法进行简便计算；难点是乘法分配律的灵活运用、运算律的辨析（避免混淆），以及在复杂算式中选择最优的简便方法。本部分将结合学生常见的易错点、难点问题，详细讲解重难点内容，拆解解题思路，帮助学生突破瓶颈，精准掌握核心知识。一、重点内容详解重点1：加法交换律和结合律的综合运用。加法运算律的核心是凑整，单独运用交换律或结合律的题目难度较低，综合运用是重点，也是考试中最常见的形式。例如，计算156+78+44+22，解题关键是先通过交换律调整位置，将能凑整的数放在一起，再运用结合律计算。具体步骤：156+78+44+22=(156+44)+(78+22)=200+100=300。这里需要注意，交换加数位置时，要带着加数前面的运算符号，不能只移动数字；结合凑整的数时，必须加上括号，明确运算顺序，否则会导致运算顺序错误，如误算为156+44+78+22=200+78+22=278+22=300，虽然结果正确，但没有体现结合律的运用，且在复杂算式中容易出错。重点2：乘法交换律和结合律的综合运用。与加法运算律类似，乘法运算律的综合运用核心是凑整因数的组合，重点掌握25与4、125与8的凑整组合，以及数字拆分技巧。例如，计算125×56×8×25，解题思路是先交换因数位置，将125与8、56与25放在一起，再拆分56为7×8，运用结合律凑整。具体步骤：125×56×8×25=(125×8)×(56×25)=1000×(7×8×25)=1000×(7×200)=1000×1400=1400000。这里的关键是拆分56，拆分时要结合其他因数的特点，确保拆分后的数能与其他因数凑整，避免盲目拆分，如将56拆分为4×14，虽然也能计算，但不如拆分为7×8简便。重点3：连减、连除的简便运算。连减和连除的简便运算虽然难度不大，但容易因符号错误导致出错，是重点考查内容。连减的重点是“括号前是减号，去括号要变号”，例如，计算362-(62+293)，正确步骤是362-62-293=300-293=7，常见错误是去掉括号后不变号，误算为362-62+293=593。连除的重点是“括号前是除号，去括号要变号”，例如，计算480÷(6×8)，正确步骤是480÷6÷8=10，常见错误是去掉括号后不变号，误算为480÷6×8=640。此外，连减和连除的交换位置技巧，也是重点，需熟练掌握，如172-59-72=172-72-59，360÷4÷9=360÷9÷4。重点4：乘法分配律的基础运用。乘法分配律是重点中的重点，基础运用包括正向运用和逆向运用，需熟练掌握字母表达式和计算步骤。正向运用的重点是“分别相乘，再相加（或相减）”，避免漏乘，例如，计算(25+12)×4，正确步骤是25×4+12×4=100+48=148，常见错误是漏乘12×4，误算为25×4+12=112。逆向运用的重点是“准确识别公因数”，例如，计算39×57+39×43，公因数是39，提取后计算39×(57+43)=3900，常见错误是无法识别公因数，或提取公因数后漏加括号，误算为39×57+43=2223+43=2266。二、难点内容详解难点1：乘法分配律的拓展运用。乘法分配律的拓展运用主要包括“因数接近整十、整百数的拆分”和“制造公因数”，是学生最容易出错的部分。（1）因数接近整十、整百数的拆分：当因数是99、101、98、102等数时，将其拆分为“整十整百数±1”或“整十整百数±2”，再运用分配律。例如，计算99×47，将99拆分为100-1，步骤为99×47=(100-1)×47=100×47-1×47=4700-47=4653，常见错误是拆分后漏乘1×47，误算为100×47-1=4699；再如计算102×38，将102拆分为100+2，步骤为102×38=(100+2)×38=100×38+2×38=3800+76=3876，常见错误是漏乘2×38，误算为100×38+2=3802。（2）制造公因数：当算式中没有明显的公因数时，通过拆分数字，制造出相同的公因数，再运用分配律。例如，计算36×98+72，观察到72=36×2，因此将72拆分为36×2，得到36×98+36×2=36×(98+2)=3600；再如计算125×88，既可以拆分为125×(80+8)，运用分配律，也可以拆分为125×(8×11)，运用结合律，这里需要学生灵活选择拆分方法，避免盲目拆分。难点2：运算律的辨析与区分。学生容易混淆的运算律主要有三组：加法结合律与乘法结合律、乘法结合律与乘法分配律、连减与连除的简便运算方法。（1）加法结合律与乘法结合律的区分：两者的逻辑一致，都是改变运算顺序，不改变结果，但适用运算类型不同。加法结合律适用于加法运算，符号为“+”，字母表达式为(a+b)+c=a+(b+c)；乘法结合律适用于乘法运算，符号为“×”，字母表达式为(a×b)×c=a×(b×c)。例如，判断“(25+4)+5=25+(4×5)”是否正确，该题混淆了加法结合律和乘法结合律，左边是加法结合，右边错误地将加法改为乘法，因此错误。（2）乘法结合律与乘法分配律的区分：这是最容易混淆的一组，核心区别在于运算符号和运算顺序。乘法结合律只涉及连乘运算，没有加减运算，是“先结合再相乘”；乘法分配律涉及乘加、乘减混合运算，是“分别相乘再相加（或相减）”。例如，判断“25×(4×8)=25×4+25×8”是否正确，左边是连乘，运用乘法结合律，结果为800；右边是乘加，运用乘法分配律，结果为300，两者不相等，因此错误。再如，计算25×48，若拆分为25×(4×12)，运用乘法结合律，结果为1200；若拆分为25×(40+8)，运用乘法分配律，结果也为1200，虽然结果相同，但运用的运算律不同，需明确区分。（3）连减与连除的简便运算方法区分：两者的思路类似，但运算符号不同，连减是“减去和”，连除是“除以积”，去括号时符号变化不同。连减：a-b-c=a-(b+c)，去括号时，括号内的减号变加号；连除：a÷b÷c=a÷(b×c)，去括号时，括号内的除号变乘号。例如，计算360-(60+80)=360-60-80=220，计算360÷(60×8)=360÷60÷8=0.75，避免出现“360-(60+80)=360-60+80”和“360÷(60×8)=360÷60×8”的错误。难点3：复杂算式中运算律的灵活选择。当算式中同时出现加法、乘法、减法、除法时，学生难以判断该运用哪种运算律，容易出现思路混乱、方法错误的问题。例如，计算25×44+75×44-100，解题思路是先提取公因数44，得到44×(25+75)-100=44×100-100=4300；再如计算125×88-25×88+88，提取公因数88，得到88×(125-25+1)=88×101=8888。解决这类问题的关键是，先观察算式中是否有相同的因数（优先考虑乘法分配律），再观察是否有能凑整的数（考虑交换律、结合律），最后结合连减、连除的方法，逐步简化算式，避免盲目计算。三、易错点辨析与规避方法1.漏乘问题：主要出现在乘法分配律的运用中，如(25+12)×4，漏乘12×4；99×36，漏乘1×36。规避方法：牢记乘法分配律“分别相乘，再相加（或相减）”，计算时先写出两个乘法算式，再进行加减运算，如(25+12)×4=25×4+12×4，一步一步书写，避免跳步。2.符号错误：主要出现在连减、连除的去括号过程中，如362-(62+293)，去括号后变为362-62+293；480÷(6×8)，去括号后变为480÷6×8。规避方法：牢记“减号去括号，括号内符号变；除号去括号，括号内符号变”，去括号前先标记括号内的符号，再逐一调整。3.运算律混淆：主要是乘法结合律与乘法分配律混淆。规避方法：牢记两种运算律的适用场景，连乘用结合律，乘加、乘减用分配律；通过对比练习，加深理解，如对比计算25×(4×8)和25×(4+8)，明确两者的区别。4.拆分错误：主要出现在乘法分配律的拓展运用中，如将99拆分为100+1，将101拆分为100-1。规避方法：牢记“接近整百数，比整百数小就减，比整百数大就加”，拆分后验证拆分前后的数是否相等，如99=100-1，101=100+1，避免拆分错误。四、巩固提升训练（附答案）本部分巩固提升训练围绕本次专项核心考点，分基础题、提高题、拓展题三个层次，题型涵盖填空、判断、计算、解决问题，全面考查学生对运算律（简便运算）的掌握情况，帮助学生巩固基础、提升能力，每道题目均附详细答案和解题思路，便于学生自查自纠。一、基础题（每题5分，共50分）1.根据运算律填空。（1）35+46=46+（）（2）(28+36)+64=28+（36+）（3）25×47×4=25×4×（）（4）(125×8)×23=125×（8×）（5）(40+8)×25=40×25+8×（）（6）38×75+62×75=75×（38+）（7）560-27-73=560-（27+）（8）480÷8÷6=480÷（8×）（9）99×36=（100-）×36（10）101×45=（100+）×452.判断对错（对的打“√”，错的打“×”）。（1）28+37=37+28，运用了加法交换律。（）（2）(15+20)×4=15×4+20（）（3）25×(4×8)=25×4+25×8（）（4）560-(60+80)=560-60+80（）（5）36×98+72=36×(98+2)（）3.用简便方法计算下面各题。（1）38+55+62（2）125+78+22（3）25×47×4（4）125×32×25（5）283-75-25（6）480÷8÷6（7）(40+8)×25（8）35×78+65×78（9）99×36（10）101×45二、提高题（每题8分，共40分）1.用简便方法计算下面各题。（1）156+78+44+22（2）125×56×8×25（3）362-(62+293)（4）540÷(9×6)（5）36×98+72（6）125×88（7）35×47-35×37（8）256+139-56+361（9）796-238-196（10）35×102-702.解决问题。（1）学校买来45套课桌椅，每张桌子125元，每把椅子75元，一共花了多少钱？（2）超市运来一批水果，苹果有35箱，每箱28千克；香蕉有65箱，每箱28千克，苹果和香蕉一共多少千克？（3）一根绳子长500米，第一次用去125米，第二次用去75米，还剩多少米？三、拓展题（每题10分，共10分）用简便方法计算下面各题。（1）25×44+75×44+100（2）125×88-25×88+88（3）99×99+99（4）38×101-38（5）199×45+45四、答案与解题思路（一）基础题答案1.（1）35（2）64（3）47（4）23（5）25（6）62（7）73（8）6（9）1（10）12.（1）√（2）×（漏乘20×4）（3）×（混淆乘法结合律与分配律）（4）×（去括号符号错误）（5）√（72=36×2，提取公因数36）3.（1）38+55+62=38+62+55=100+55=155（运用加法交换律）（2）125+78+22=125+(78+22)=125+100=225（运用加法结合律）（3）25×47×4=25×4×47=100×47=4700（运用乘法交换律）（4）125×32×25=125×(8×4)×25=(125×8)×(25×4)=1000×100=100000（运用乘法交换律和结合律）（5）283-75-25=283-(75+25)=283-100=183（运用连减简便方法）（6）480÷8÷6=480÷(8×6)=480÷48=10（运用连除简便方法）（7）(40+8)×25=40×25+8×25=1000+200=1200（运用乘法分配律正向运用）（8）35×78+65×78=78×(35+65)=78×100=7800（运用乘法分配律逆向运用）（9）99×36=(100-1)×36=100×36-1×36=3600-36=3564（运用乘法分配律拓展运用）（10）101×45=(100+1)×45=100×45+1×45=4500+45=4545（运用乘法分配律拓展运用）（二）提高题答案1.（1）156+78+44+22=(156+44)+(78+22)=200+100=300（运用加法交换律和结合律）（2）125×56×8×25=(125×8)×(56×25)=1000×(7×8×25)=1000×1400=1400000（运用乘法交换律和结合律，拆分56）（3）362-(62+293)=362-62-293=300-293=7（运用连减简便方法，去括号变号）（4）540÷(9×6)=540÷9÷6=60÷6=10（运用连除简便方法，去括号变号）（5）36×98+72=36×98+