方差分析知识点总结

第六章方差分析

（它是用以检验两个或多个均数间差异的假设检验方法。它是一类特定情况下的统计

假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的一种引伸。）

一、方差分析与t检验的关系

t检验可以判断两组数据平均数间的差异显著性；

方差分析既可以判断两组又可以判断多组数据平均数之间的差异显著性。

二、方差分析的数学模型

用线性模型（linearmodel）来描述每一观测值：

Xij=P+T+£力

（i=1,2,3…，k；FL2,3…，n）

M—总体平均数T.一处理效应£,一试验误差

X.一是在第i次处理下的第j次观测值

二、方差分析所需用到的各计算分析值以及F检验

变异来源平方和自由度均方MSF值FooeFocn

组间SSdf=k-l-

t组何I,

MS./MS.

组内SS-组内dfe=k（n-l）d7内

总变异SSdf=nk-l

T-r

计算步骤：

计算矫正数一（C=X2/成）

1

SS=EEr；—C;SS=—zx.2—c;SS=SS—SS

TH*111ieTi

d"=nk-1；%=k-\\df=df-df

MSHSJdQ;MSe=SS（Jdfe

F值：MSt/MS

例题：［例51］以淀粉为原料生产葡萄糖过程中，残留为许多糖蜜可用于酱色生

产。生产酱色之前应尽可能彻底除杂，以保证酱色质量。今选用5中除杂方法，每

种方法做4次试验，试验结果见表5-2,试分析不同除杂方法的除杂效果？

表5-2不同除杂方法的除杂量g/kg

除杂方法

除杂量(X)合计(X)平均方差S2

(A)

A125.624.425.025.9100.925.20.442

A227.827.027.028.0109.827.50.277

A327.027.727.525.9108.127.00.649

A429.027.327.529.9113.728.41.543

A520.621.222.021.285.021.30.330

x..=517.5

单因素试验，处理数k=5,重复数n=4。各项偏差平方和及自由度计算如F：矫正数:

C=XiInk-517.59/(4x5)=133963125

SST=EEX2-C

总偏差平方和：=25.6：+24.4?++21.22-13390.3125

=138.1975

SS凸工A.2-C

处理间(不同除杂方法间)的偏差平方和：=l'(i00.%+109.&-108.L+113.7D-C4

=13518.7875-13390.3125=128.4750

处理内(误差)的偏差平方和：SSe=SST-sst=138.1975-128.4750=9.7225

总自由度：必=成-1=4x54=19

处理间自由度:df=k-\=5-\=4

处理内自由度：dfe=dfr-dft=19-4=15

用SSt、SSe分别除以dft和dfe便可得到处理间均方MSt及处理内均方MSe

MS产SSddf产128.475/4=32.12

MS,=SSJ次=9.7225/15=0.65

制作方差分析表：

变异来源偏差平方和自由度均方F值F临界值显著性

“⑸=105

处理间128.475432.1249.42**

P«4.«

处理内9.7225150.65

总变异138.197519

因为F=MSt/MSe=32.12/0.65=49.42**；

根据dfl=dftdf2;dfe=15查附表4,得FO.01(4,15)4.89：

因%F〉F0.01(4,15)=4.89,P<0.01

表明5种不同除杂方法间的除杂效果差异极显著，不同除杂方法除杂效果不同。

四、多重比较(LSD法&LSR法)

1、最小显著差数法(LSD法j

⑴先计算出达到差异显著的最小差数，记为LSD.；

(2)用两个处理平均数的差值绝对值Ix「X21与LSDa比较；

计算过程：先计算S__=:2MS/〃(n二p)%—q11

x7~MSS(―

查t值表得：to.05(dfe)=to.05(15)=2.131

t0.Ol(dfe)=t0.01(15)=2.947

所以，显著水平为0.05与0.01的最小显著差数为：

LSD0o^tQQ5dS--=2.131义0.570=1.21

LSD]=t]e5__=2.947义0.570=1.68

ai..

用两个处理平均数的差值绝对值IX.-X2I与LSD.比较：

若Ix.-x2I>LSD.则拒绝"，即xl和x2在给定的a水平上差异显著；

若Ix>-x21〈LSD.则接受”，即xl和x2在给定的a水平上差异不显著

2、LSD法的结果表示方法

(LSD法适用于各处理组与对照组比较而处理组间不进行比较的比较形式。)(1)标记

字母法

差异显著性

除杂方法

0.050.01

A428.4aA

A227.5abA

A327.0bA

Al25.2cB

A521.3dC

表5-105种除杂方法除杂效果多重比较结果（SSR法）

分析：由表5To可以看出.在a=0.05水平下，A4与A2、A2与A3均数间差异不

显著，其余均差异显著；在a=0.01水平下，A4、A2、A3三者均数间差异不显著，

其余差异显著。

（2）梯形比较法

表5-45种除杂方法除杂效果多重比较结果（LSD法）

X

除杂法x—213工—25.2X一27.0x一27.5

i.J.i.

A428.47.U3.2“1.4.19

A227.56.2“2.3”0.5

LSD=1.21,

A327.05.7-1.8“0.05

LSDo.oi=l.68

Al25.23.9-

A521.3

结论：除A4与A2、A2与A3差异不显著外，其余方法之间的差异达到显著或极显

著水平。A4除杂效果最好，A5效果最差。

3、LSR法（最小显著极差法）

q检验

利用q检验法进行多重比较时，为了简便起见，是将极差与与耶隈比较，从而

作出统计推断。qS—称为a水平上的最小显著极差。

ax

CP:LSRS_;其中S_-.MS/n

当显著水平。=0.05和0.01时，从附表5(q值表)中根据自由度df及秩次距

e

k查出goos和goq好代入(5-19)式求得LSR;

9Q5.kqo.O5(<(fe.it)'x

LSR0.01J.^0.()I

利用q检验法进行多重比较时，步骤如下：

(1)列出平均数多重比较表；

(2)由自由度dfe、秩次距<查临界q值，计算最小显著极差LSR。.，LSR«clk；(3)

将平均数多重比较表中的各极差与相应的最小显著极差LSR005匕LSR期k比较，作出统

计推断。

对于【例5.1］各处理平均教q法多重比较见表5-7。在表5-7中，极差0.9、0.5、

1.8、3.9的秩次距为2；极差1.4、2.3、5.7的秩次距为3；极差3.2、6.

2的秩次距为4；7.1的秩次范为5o

因为MSe=0.65,故标准误S-为：S_=、MS"・..0.65/4=0.403

根据dfe=15,k=2、3、4、5,由附表5查出a=0.05、0.01水平下临界q值,

乘以标准误S一求得各最小显著极差，所得结果列于表5-8

X

表5-75种除杂方法除杂效果多重比较结果(q法)

除杂方法x元一21.37C—25.2X—27.0元一27.5

A428.47.1**3.2”1.40.9

A227.56.22.3”0.5

A327.05.7•.1.8“

Al25.23.9

A521.3

表5—8值及LSR值

dfe秩次距kq0.05Qo.oiLSRLSR

0.060.01

23.014.171.211.68

33.674.841.481.95

15

44.085.251.642.12

54.375.561.762.24

将表5-7中的均数差数(极差)与表5-8中相应秩次距k下的LSR比较，检验结果标

记于表中。

检验结果，A4、A2、心三者差异不显著，其余两两均数间的差异极显著。随着秩次距

的增加，检验尺度LSR值也在增加，可有效地控制犯I型错误的概率。

新复极差法(SSR法)

新复极差法与q检验法的检验步骤相同，唯一不同的是计算最小显著极差时需查

SSR表(附表6)而不是查q值表。最小显著极差计算公式为

LSR.二SSR.(dfek)SJ5-,:可

根据显著水平。、误差自由度df。、秩次距k,由SSR表查得的临界SSR。。=0.05

和a=0.01水平下的最小显著极差为：

LSRgt=SSSROKA<4'*S

LSRS

O.O1,k=SSRxoi(c'fB.k)V

对于【例51】分析,二0.403,依dfe=15,k二2、3、4、5,由附表6查临界

SSR0.05(15,k)»SSR0.01(15,k)值，乘以Sx,求得各最小显著极差，所得结果

列于表5-9o

表5-75种除杂方法除杂效果多重比较结果（SSR

X

除杂方法元—21.3X—25.227.()Xi-27.5

f.

A28.47.U3.2标1.4.0.9

4

A27.56.2♦・2.3“0.5

2

A27.05.7・・1.8“

3

A25.23.9

1

A21.3

5

表5-9SSR值与LSR值

dfe秩次距kqo.05QOlLSRLSR

0.050.01

23.014.171.211.68

33.164.371.271.76

15

43.254.501.311.81

53.314.581.331.85

4、多重比较的选择

LSD法W新复极差法Wq检验法

当秩次距k=2时，取等号；秩次距kN3时，取小于号。在多重比较中，LSD法的

尺度最小，q检验法尺度最大，新复极差法尺度居中。一般地讲，一个试验资料，究

竟采用哪一种多重比较方法，主要应根据否定一个正确的H0和接受一个不正确的

H0的相对重要性来决定。试验要求严格时，用q检验法较为妥当；生物试验中，由

于试验误差较大，常采用新复极差法

（二）单因素方差分析

一、组内观察相同的方差分析如上」

二、组内观察次数不相等的方差分析

1、计算修正公式

Tij

SS=2((X2ln)-C

SS=SS-SS

dfjN-1Te

df-k-1

df=df-df

eTt

因为各处理重笈数不等，应先计算出平均重攵次数n。来代替标准误S.•3A/S-〃i

中的n,

1r22n2

n=-...-n~¥-/

okT2n.

【例5-3］在食品质量检查中，对4种不同品牌腊肉的酸价进行了随机抽样检测,

结果见表5-16,试分析4种不同品牌腊肉的酸价指标有无差异。

表5T64种品牌腊肉酸价检测结果

品牌(Ai)酸价(xD,i

Al1.61.52.01.91.31.01.21.411.91.498

A21.71.92.02.52.71.812.62.106

A30.91.01.31.11.91.61.59.31.337

A41.82.01.72.11.52.52.213.81.977

xi.47.628

处理数k=4,各处理重复数不等。方差分析如下：

(1)计算各项偏差平方和与自由度

C=X2/N=47.62/28=8D.9200

SS=EEX2—C=(1.62+1.52++2.5：+2.2：)—80.9200'W.8800

SS=E(X2〃)-C

=(11.9：/8+12.62/6+9.3/7+13.82/7)-c

=2.8027

SS=SS—SS=3.0773df=N—1=28~1=27df~k—1=

4—1:3

df=df—df=27—3=24

临界F值为:F0.05(3,24)=3.01,F0.01(3,24)=4.72,因为品牌间的F

值

(2)列出方差分析表，进行F检验

为7.287>F0.01(3,24),故P<0.01,表明4个品牌腊肉的酸价有极显著差异。

表5T74个品牌腊肉酸价方差分析表

变异来源SSdfMSF值显著性

品牌间2.802730.93427.287**

误差3.0773240.1282

总变异5.880027

(3)多重比较

因为各处理重复数不等，应先计算出平均重复次数no,

EE"2；8+&+7?+72二69762

n—r-28—

.P.4-1(25

那么，标准误为：S_=、；MS/n0=v0.1282/6.9762=0.1356

根据dfe=24,秩次距k=2,3,4,从附表5中查出a=0.05与a=0.01的临界q

值,计算最小显著极差,所得结果列于表5-18。

表5-18q值及LSR值

dfe秩次距kqqLSRLSR

0.06O.OI0.050.01

22.923.960.3960.537

2433.534.550.4790.617

43.904.910.5290.666

表5T94个种品牌腊肉酸价多重比较（q法）

差异显著性

n0A品牌4

a=0.05a=0.01

A2.10aA

2

A1.97aA

4

A1.49bAB

1

A1.33bB

3

多重比较结果表明，A2与A4、A1与A3在5%水平上差异不显著，但A2,A4

与Al,A3在5%水平上差异显著，即A2,A4的酸价高于Al,A3；A2,A4,A1在

播上差异不显著，但A2,A4与A3差异显著，A1与A3在筮上差异不显著。

（三）二因素方差分析

一、无重复观测值的二因素方差分析

无重复观测值的二因素分组资料模式

平均VP+|p

注：A因素有a个水平，B因素有b个水平，共计有ab个水平组合，每一组合观

测一次，有ab个观测值〔表5-20）,xij为A的第i水平与B的第j水平组合

观测值。

数据处理：

%=1£.v,A的第i水平b个观测值之和

i.bijj=\

丫；£、/>1的第i水平个观测值的平均数尸

a

X.Xj,B的第j水平a个观测值之和

1

x=£X,B的第j水平b个观测值的平均数〃“亨

££

Xjab个观测值的总和

i=\j=\

x,.=£X.vJabab个观测值的总平均数

尸i产i

交叉分组两因素无重复观测值的试验，A因素的每个水平有b次重复，B因素的

每个水平有a次重复，每个观测值同时受到A、B两因素及随机误差的作用。因

此全部ab个观测值的总变异可以分解为A因素水平间变异、B因素水平间变异

及试验误差三部分；自由度也相应分解。

偏差平方和与自由度的分解如下：

SSr=SSA+SSB+ss

%嬴或+4+

名颂偏差平方和与自由度的“算公式为：

总平方和C=%21ab

总平方和SS=X工(％一％)2^X%2-Cly„ij

力因素偏差平方和ss-/?£(%—%)2=iX%2—c

Ai...bi.

r.1i・l

B因素偏差平方和SS=aX(%-%)2=1X%2.C

BJ：a4

i=ij=i

误差平方和SS=SST-SSA-SSB0

总自由度df=ab-l

i

4因素自由度dfA=a-l

B因素自由度df=b-l

B

误差自由度dfe=dfi-fA-dfB=(a-l)(b-1)

MSA=SSx/dfAi

相应均方为MSB=SSB/dfit,

MSe=SSt/dfe

例题：某厂现有化验员3人，担任该厂牛奶酸度（°T）的检验。每天从牛奶中抽样一次进行检验，

连续10天的检验分析结果见表5-22。试分析3名化验员的化验技术有无差异，以及每天的原料

牛奶酸度有无差异（新鲜牛奶的酸度不超过20°T）。

化验BBBBBBBBBB

Xi.Xi.

员12345678910

A11.7110.8112.3912.5610.6413.2613.3412.6711.2712.68121.3312.13

1

A11.7810.712.512.3510.3212.9313.8112.4811.612.65121.1212.11

2

A11.6110.7512.412.4110.7213.113.5812.8811.4612.94121.8512.19

3

X.35.1032.2637.2937.3231.6839.2940.7338.0334.3338.27364.3

i

X.11.7010.7512.4312.4410.5613.1013.5812.6811.4412.76

s

力因素（化验员）有3个水平，即a=3；B因素（天数）有10个水平，即b

SVaXb=3X10=30个观测值。

1计算各项偏差平方和与自由度

=x..2/ab=364.302/(3x10)=4423.8163

SS=EEXi—C=(II.7I2+II.782+…+”必)

/4423.8163

=27.2509

E32121

SS=bX一C=-2\3+J22+121,852)C

J0.0283

E

SS=aT。书取102+32.262+.一+3&272)C

S=26.7591

ss=ss—ss—SS

eTAB

27.2509—0.0283-

dfr=ab—1=3x10—1

df=29

df=b—1=10——1=9

d/二df—df—df=29—2—9=18

eTAB

2列出方差分析表，进行F检验

表6-22表5-22资料的方差分析表

变异来源SSdfMSF值显著性

化验员间0.028320.01420.550

日期间26.759192.9732115.240**

误差0.4635180.0258

合计27.250929

注：牛⑼⑻二工"

结果表明，3个化验员的化验技术没有显著差异，不同日期牛奶的酸度有极显著差异。

3多重比较

在两因素无重复观测值试验中，A因素每一水平的重复数恰为B因素的水

平数b,故A因素的标准误为5-=MSs~bb；同理，B因素的标准误s.AMS~a

”•3e

对例5-4分析,a=3,MSe=0.0258。故S_=、MS/a=JO.0258/3=0.093

x.je

根据dfe=18,秩次距k=2,3,…，10,查临界q值，计算最小显著极差LSR,

见表5-24

表5-24q值与LSR值

dfe秩次距kQLSRLSR

qo.os0.010.050.01

22.974.070.280.38

33.614.70.340.44

44.005.090.370.47

54.285.380.400.50

1864.495.60.420.52

74.675.790.430.54

84.825.940.450.55

94.966.080.460.57

105.076.20.470.58

B因素各水平均值多重比较结果见5-25

测

定x.-10.

日Xx.j-10.5611.4411.7012.4312.4412.6812.7613.10

-J

期75，

B713.583.022.832.141.881.151.140.900.820.48

B613.102.542.351.661.400.670.660.420.34

B1012.762.202.011.321.060.330.320.08

B812.682.121.931.240.980.250.24

B412.441.881.691.000.740.01

B312.431.871.680.990.73

B111.701.140.950.26

B911.440.880.69

B210.750.19

B510.56

附表：多重比较结果字母表示*

处理均值5%显著水平1%极显著水平

B713.58aA

B613.10bAB

B1012.76beBC

B812.68beBC

B412.44cC

B312.43cC

B111.70dD

B911.44dD

B210.75eE

B510.56eE

结果表明，除B2与B5,B1与B4与B3,B8与B3、BIO与B3、B4、

差异不显著外，其余不同测定日间牛奶酸度均差异极显著或显著。酸度最高的是B7,最低的是B5

和B2。从牛奶质量要求看，连续10d的牛奶酸度均在鲜奶范围内。

二、两因素重4（试验的方差分析

（对两因素和多因素等重复试验结果进行的分析，可以研究因素的简单效应、主效应和因素间

的交互作用（互作效应）。）

设A、B两因索，力因素有a个水平，B因素有b个水平，共有ab个水平组合，每个水平组合有

n次重复试验，则全试验共有abn个观测Io试验结果的数据模式如表5-27所示。

用因紊.7----------j•

除--------------用合计无，用平均二J

无r।*1*,*>宜-占L

6,.・

­•&叱-JJ

t1.1

nf

1

乐&H.'亘由

1・・l0•一・，'9

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n.li.lA”,ur尸

dW

♦¥•T-4-0…

JB

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«T«T

也比』逼应J-11J•

，一%.

4

-3-*

J■

,匕J西川._________________________

开，，.,.J.J・F，冗4.

乩含计也rx-ij-------6A-

显平均F.rl1.1-rI七一।......」

两因素等重复试验数据模式（部分）

B因素As合计Xi..

A因素

BB•••B

XX•••X

111121Ibl

XX•♦♦Xx..

112122lb21

AxXX•••X

1Ijl113123IM

♦♦•♦••

XX•••X

lln12nIba

X.X.X.X.

lj1112lb

>•>•

1J1b

计算方法:

"%，每个组合处理n次重复之和1二ZJ

i-i卬"

A-..=.rEx/A因素第i水平bn个数据之和口.二圆加

，…押'j"押

4一=空。为B因素第j水平an个数据之和MMX•产EE

x/an

i/-，

x...=6Z6x承abn个数据总和x...=xjabn

f«fj»9l«1

偏差平方和与自由度分解

SS=SS+SS+SS+SS

dfr=dfA+dfn+df：B+df：

SS=SS+SS+SSdfAB=

dfs+dfit+df；B

各项平方和、自由度及均方的计算公式如

下•

矫定数C-xiiabn

总平方和与自由度SS=ZZZXLC,df=abn

—k177

因素水平组合平方和与自由度SSe=-ZX2-C,dfB=ab-1

Z

力因素平方和与自由度SS二—X2-Cdf=a-1

AhnA

B因素平方和与自由度5S=_zwC,df=b-1

BanJ-8

SSSSSS

交互作用平方和与自由度巴B=ABA~B

df=(^-1)(b-1)

A\H

SS—SSTSSAB,df

误差平方和与自由度e

=ab{n-1)

MSA=SSA/dfA,MSB

—SSn/dfn.

所以，相应均方为w!

Ax//'^xBMSe~SSe/

dfe

列方差分析表，进行F检脸

表5-28方差分析表（固定模型）

变异来源偏差平方和自由度方差F值显著性

A因素SSa-lSS/(a-l)MS/MSe

AAA

B因素SSb-lSS/(b-1)MS/MSeB

BB

AXBSS(a-1)(b-1)SS/(a-1)(b-1)MS/MSe

AXBAXBAXB

误差SSeab(n-1)

总计SSabn-1

T

多重比较

例题：现有3种食品添加剂对3种不同配方蛋糕质量的影响试验结果，试作方差

分析

表5-293种食品添加剂对3种不同配方蛋糕质量的影响

食品添加剂（B）

配方（A）

BlB2B3

876

Al875

866

978

A2997

866

7810

A3779

689

A因素（配方）有3个水平，即a=3;B因素（食品添加剂）有3个水平，

即b=3；共有ab=3X3=9个水平组合；每个水平组合重复数n=3；全试验共有

(1)计算各项平方和与自由度

C=xi/abn

-20L/(3x3x3)=1496.33

SS=z注Xi—C=(82+82+--+92+92)-C

=40.67

SS』££xi-C=1(241+202+...+28>)-C

AHflt3

=30.00

SS=—£X2-C

Abni-

一(6L+69：+712)-C

3x3

=6.23

SS=—(70?+65：+662)-C

Ban/3x3

=1.56

SS=ss-ss-SS

/8=3捣-6.23-1«56

=22.21

SS=SST-SSAB=40.61-30.00=10.67

df=abn-1=3x3x3-1=26

df=ab-1=3x34=8

AB

df=a—1=3—1=2

df-b-1=3-1=2

df=(a-1)(/?-1)=(3-1)(3-1)=4

dfK=ab(n-1)=3x3(3-1)=18

(2)列出方差分析表，进行F检验

表5-30方差分析表

异来源平方和由度均方F值显著性

因素间6.2323.125.29*

因素间1.5620.781.32

AxB22.2145.559.41**

误差10.67180.59

总变异40.6726

查临界F值：F0.05(2