高中同余竞赛题目及答案

高中同余竞赛题目及答案考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三/理科班

高中同余竞赛题目及答案

一、选择题

1.若整数a与b关于模m同余，即a≡b(modm)，则下列说法正确的是（）

A.a与b的差是m的倍数

B.a与b的最大公约数不小于m

C.a与b的平方在同余意义下也成立

D.a与b不能同时被m整除

2.设整数x满足x≡2(mod3)且x≡3(mod5)，则x模15的余数是（）

A.2

B.3

C.6

D.8

3.若7x+4≡2(mod11)，则x模11的余数是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

4.对于任意整数a，下列关于同余的性质错误的是（）

A.若a≡b(modm)，则ma≡mb(modm)

B.若a≡b(modm)且c≡d(modm)，则ac≡bd(modm)

C.若a≡b(modm)，则a^2≡b^2(modm)

D.若a≡b(modm)，则a+b≡b(modm)

5.设整数n满足n≡1(mod4)且n≡3(mod5)，则n模20的最小正整数是（）

A.3

B.7

C.11

D.15

6.若整数a与b关于模m同余，则下列说法正确的是（）

A.a与b的差是m的倍数

B.a与b的最大公约数不小于m

C.a与b的平方在同余意义下也成立

D.a与b不能同时被m整除

7.设整数x满足x≡1(mod3)且x≡2(mod4)，则x模12的余数是（）

A.1

B.2

C.5

D.7

8.若9x+5≡7(mod11)，则x模11的余数是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

9.对于任意整数a，下列关于同余的性质正确的是（）

A.若a≡b(modm)，则ma≡mb(modm)

B.若a≡b(modm)且c≡d(modm)，则ac≡bd(modm)

C.若a≡b(modm)，则a^2≡b^2(modm)

D.若a≡b(modm)，则a+b≡b(modm)

10.设整数n满足n≡2(mod3)且n≡4(mod5)，则n模15的最小正整数是（）

A.2

B.4

C.7

D.10

二、填空题

1.若整数a与b关于模7同余，即a≡b(mod7)，则a与b的差是______的倍数。

2.设整数x满足x≡3(mod4)且x≡5(mod6)，则x模12的余数是______。

3.若11x+7≡9(mod13)，则x模13的余数是______。

4.对于任意整数a，若a≡b(modm)，则a^3≡______(modm)。

5.设整数n满足n≡1(mod2)且n≡3(mod4)，则n模8的最小正整数是______。

6.若整数a与b关于模5同余，即a≡b(mod5)，则a与b的平方在同余意义下______。

7.设整数x满足x≡2(mod3)且x≡4(mod5)，则x模15的余数是______。

8.若7x+3≡5(mod11)，则x模11的余数是______。

9.对于任意整数a，若a≡b(modm)，则a+b≡______(modm)。

10.设整数n满足n≡2(mod3)且n≡5(mod7)，则n模21的最小正整数是______。

三、多选题

1.下列关于同余的性质中，正确的有（）

A.若a≡b(modm)，则ma≡mb(modm)

B.若a≡b(modm)且c≡d(modm)，则ac≡bd(modm)

C.若a≡b(modm)，则a^2≡b^2(modm)

D.若a≡b(modm)，则a+b≡b(modm)

2.设整数x满足x≡1(mod3)且x≡2(mod4)，则下列说法正确的有（）

A.x模12的余数是5

B.x模12的余数是7

C.x模12的余数是9

D.x模12的余数是11

3.若整数a与b关于模m同余，即a≡b(modm)，则下列说法正确的有（）

A.a与b的差是m的倍数

B.a与b的最大公约数不小于m

C.a与b的平方在同余意义下成立

D.a与b不能同时被m整除

4.设整数n满足n≡3(mod5)且n≡4(mod6)，则下列说法正确的有（）

A.n模30的最小正整数是19

B.n模30的最小正整数是29

C.n模30的最小正整数是14

D.n模30的最小正整数是24

5.对于任意整数a，下列关于同余的性质中，正确的有（）

A.若a≡b(modm)，则ma≡mb(modm)

B.若a≡b(modm)且c≡d(modm)，则ac≡bd(modm)

C.若a≡b(modm)，则a^2≡b^2(modm)

D.若a≡b(modm)，则a+b≡b(modm)

四、判断题

1.若整数a与b关于模m同余，则a与b的平方在同余意义下也成立。

2.设整数x满足x≡1(mod3)且x≡2(mod4)，则x模12的余数是5。

3.对于任意整数a，若a≡b(modm)，则a^3≡b^3(modm)。

4.若整数n满足n≡2(mod3)且n≡4(mod5)，则n模15的最小正整数是14。

5.若7x+3≡5(mod11)，则x模11的余数是1。

6.对于任意整数a，若a≡b(modm)，则a+b≡b(modm)。

7.设整数n满足n≡1(mod2)且n≡3(mod4)，则n模8的最小正整数是7。

8.若整数a与b关于模5同余，即a≡b(mod5)，则a与b的差是5的倍数。

9.设整数x满足x≡2(mod3)且x≡4(mod5)，则x模15的余数是8。

10.对于任意整数a，若a≡b(modm)，则ma≡mb(modm)。

五、问答题

1.若整数a与b关于模m同余，即a≡b(modm)，请解释这意味着什么，并给出一个例子。

2.设整数x满足x≡3(mod4)且x≡5(mod6)，请找出x模12的余数，并说明解题过程。

3.若9x+5≡7(mod11)，请找出x模11的余数，并说明解题过程。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A

解析：a≡b(modm)意味着a-b=km，其中k为整数，即a与b的差是m的倍数。

2.D

解析：根据中国剩余定理，x=3*5*t+5*3*s+15*k，令t=1，s=1，得x=15k+14，故x≡14(mod15)。

3.C

解析：11x≡-2(mod11)，即x≡9(mod11)。

4.D

解析：若a≡b(modm)，则a+b≡b+a≡b(modm)，故D错误。

5.B

解析：n=4*5*t+5*4*s+20*k，令t=1，s=1，得n=20k+7，故n≡7(mod20)。

6.A

解析：同上题解析。

7.C

解析：x=3*4*t+4*3*s+12*k，令t=1，s=1，得x=12k+5，故x≡5(mod12)。

8.B

解析：9x≡-2(mod11)，即9x≡9(mod11)，故x≡1(mod11)。

9.A

解析：同上题解析。

10.C

解析：n=3*5*t+5*3*s+15*k，令t=1，s=1，得n=15k+7，故n≡7(mod15)。

二、填空题答案及解析

1.7

解析：同题1解析。

2.5

解析：同题2解析。

3.1

解析：11x≡2(mod13)，即x≡11^-1*2(mod13)，11^-1≡6(mod13)，故x≡12(mod13)，x≡1(mod13)。

4.b^3

解析：同题3解析。

5.3

解析：n=2*4*t+4*2*s+8*k，令t=1，s=1，得n=8k+3，故n≡3(mod8)。

6.成立

解析：同题6解析。

7.14

解析：同题10解析。

8.8

解析：7x≡2(mod11)，即x≡7^-1*2(mod11)，7^-1≡8(mod11)，故x≡16(mod11)，x≡8(mod11)。

9.b

解析：同题9解析。

10.11

解析：n=3*7*t+7*3*s+21*k，令t=1，s=1，得n=21k+11，故n≡11(mod21)。

三、多选题答案及解析

1.ABC

解析：同题1、3、4解析。

2.AD

解析：同题7解析。

3.AC

解析：同上题解析。

4.BD

解析：n=5*6*t+6*5*s+30*k，令t=2，s=1，得n=30k+24，故n≡24(mod30)；令t=3，s=1，得n=30k+29，故n≡29(mod30)。

5.ABCD

解析：同上题解析。

四、判断题答案及解析

1.正确

解析：同题1解析。

2.正确

解析：同题7解析。

3.正确

解析：同题3解析。

4.正确

解析：同题10解析。

5.正确

解析：同题8解析。

6.正确

解析：同题9解析。

7.正确

解析：同题5解析。

8.正确

解析：同上题解析。

9.正确

解析：同题10解析。

10.正确

解析：同题4解析。

五、问答题答案及解析

1.答案：整数a与b关于模m同余，即a≡b(modm)，意味着a与b的差是m的倍数，即存在整数k使得a-b=k