期末模拟考试（三）-2025-2026学年人教A版高二数学下册（含解析）

2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（三）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分选择题（共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1,已知集合A={x|x<8},8={x|x=2玄AwN},贝ljAc8=（）

A.{024,6,8}B.{2,4,6,8}C.[2,4,6}D.{0,2,4,6}

2.己知某批零件的直径X（单位：毫米）服从正态分布N（10,<r2）.若

P（9<X<ll）=0.7,则从这批零件中任意抽取1个零件，该零件的直径大于11毫米的概

率为（）

A.0.35B.0.15C.0.3D.0.175

3.已知等比数列12,6,3,…，则该等比数列的第6项是（)

1

4.（2。+3/?）6的展开式的第4项的系数是（）

A.C^X22X34B.C^X23X33C.C：D.C>24X32

5.某旅行社设计了4条不同的旅游路线，小夏要从中任选2条路线，分别在假期7月和

8月出游，则不同的出游方法有（）

A.24种R.16种C.12种D.6种

6.A,B两种品牌的某种型号钢笔的市场占有率如图所示，且A,B两种品牌的钢笔的

次品率分别为4%和〃%.若市场上这种型号钢笔的次品率为2.5%,贝ija=()

B.2D.4

7.函数f(x)=x2-31nx图象上的点到直线x+y+4=0的距离的最小值为()

A.V2B.272C.3&D.40

8.若不等式对任意xcR恒成立，则实数a的取值范围是()

eA-fl

A.[0,1]B・[0,+8)C.(-oo,0]D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9.若(2x+l)比=/+q(x+l)+%(x+l)2+…+48(工+1产，则()

A.a。—1

B.q+%+,,•+。18=0

3,8-1

C・a0+a2+a4+---+al8=---

D.阳=218

10.已知随机变量X的分布列如下表：

X12345

1£3

P

T6Pi4P216

其中上加二成等比数列，则下列结论正确的是(

164

1

A.p；2成等差数列B.n-

n8-

X

C.P(2<X<5)=­D.

16

11.已知函数/(.r)的定义域为R,若=(l+x)/(l+y)，且

八0)工/(2),则下列选项正确的是()

A./(0)=1B.f(l)=O

100

C.函数/(X)为奇函数D.£/(«)=0

,1=1

第二部分非选择题(共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.某工厂为研究某种产品的产量x(吨)与所需某种原材料的重量y(吨)的相关性,

在生产过程中收集了6组对应数据(乂)，)，如下表所示.根据表中数据，得出y关于x

的经验回归方程为y=x-0.8,则m=.

X234567

y1.52345.5tn

13.有6张卡片，分别标有数字123,4,5,6.现从这6张卡片中随机抽出3张，则抽出的

3张卡片上的数字之和比剩余的3张卡片上的数字之和小3的概率为.

14.已知函数/(力=10—含.若方程4/)+/(3-/)=]0有3个实数根，则a的

取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知S〃为等差数列｛%｝的前〃项和，满足生+/=12,S4=20.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

2%,〃为奇数

(2)若包=48斗求数列也｝的前2n项和&.

-----,〃为偶数

.anan+2

16.甲、乙两人进行赛马，比赛规则如下：甲、乙各挑选3见马(马匹各不相同)，每

场比赛甲、乙均从各自挑选的马匹中挑选一匹本次比赛未上场的马进行比赛，三场比赛结

束即为本次比赛结束，三场比赛依次进行，胜利场数多的一方获得本次比赛的胜利，每场

匕赛均只有胜负，且胜利与否互不影响.在所有马匹中，有一匹快马，记为K马.经统

计，在所有比赛中，参赛者的胜负情况和选择K马与否的情况如下表所示.

单位：场

选择K马与否参赛者的胜负情况(胜)参赛者的胜负情况(负)合计

选择481260

未选择221840

合计7030100

(1)完成2x2列联表，并依据a=0.01的独立性检验，能否认为参赛者的胜负和选择

K马与否有关联？

(2)由于马匹的不同，K马参加比赛的场次会进行调整.根据以往的数据统计，参赛者

选择K马参与比赛时，安排K马参加第一场、第二场、第二场比赛的概率分别为

相应参赛者获得本次比赛胜利的概率分别为2当参赛者选择K马参加

3721463

匕赛时，在参赛者获得本次比赛胜利的条件下，求参赛者安排K马参加的是第一场比赛

的概率.

，n(ad-be)?.,

M附：Z~=7---7V7----C7----77：---7，77=a+b+c+d.

(4+/?)(c+d)(〃+c)(〃+d)

a0.100.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

17.现有8款不同的高难度智力扣，每名学牛随机抽取3款进行破解.已知甲学牛只能

破解其中的4款，设甲学生抽到能破解的智力扣的数量为X.

（1）求P（X>2）；

（2）求X的分布列与数学期望.

18.某产品生产共有2〃-15eNj道工序，每道工序优秀的概率均为〃各

道工序之间相互独立.当该产品有不少于〃道工序优秀时，该产品为优品.记产品为优

品的概率为

（1）iS/?=—,/?=3.

3

①求该产品优秀工序的道数X的分布列和数学期望；

②求

（2）若该产品现共有7道工序，每件优品的利润为90元.因市场上产品更新换代的速

度很快，工厂决定优化该产品，每件产品增加2道工序，增加工序后，单位时间内的产量

是原来产量的2倍，并将优品分为一级优品和二级优品，二级优品产量占优品总产量的,,

3

且每件二级优品的利润是90元，每件一级优品的利润是180元.

①设该产品增加工序前单位时间内的产量为戈件，记该产品增加工序后单位时间内生产

的优品利润之和为Y元，试用x、p§表示E（K）；

②若该产品增加2道工序后产品为优品的概率变大，求p的取值范围.

19.若函数〃工）满足定义域为M，VxeN+，h/3«l,且

3/€/?,VxGiV+,£lnf(/)=(x+/)ln(x+l)-ln(x!),则称/(x)为“对乘函数”，f为/(x)

f=l

的“对乘系数”.

试判断函数/（x）=h+l

(1),xsN.是否为“对其函数”,若是，求出/（A）的“对

乘系数”：若不是，请说明理由.

（2）已知/（x）是“对乘系数”为m的“对乘函数”，

证明：2%e.2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（三）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

答案速查表

12345

DBABC

678910

BCDADAD

1112131415

(1)an=2n

3

ABD6.2(2)T2n=

20（喂）4n+11,7

十

152n+230

16171819

（1）①分布列见解析；

（1）\⑵

(1)认为EU）号需⑵（1）是，对乘

有关分布列见解系数为0（2）

©E（r）=300xp

(2)—析；E（X）=1②5证明见解析

187M

第一部分选择题(共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合4={%|%<8},B={%|x=2k,k£N},则4nB=()

A.{0,2,4,6,8}B.{2,4,6,8}C.{2,4,6}D.{0,2,4,6}

【答案】D

【解析】•・•集合8表示非负偶数集，即8={0,2,4,6,8,…},

又A={x\x<8},

MCiB={0,2,4,6).

【点拨】本题考查集合的交集运算以及描述法的理解，注意集合B中的元素为非负偶数是解题关

键.

2.已知某批零件的直径X(单位：毫米)服从正态分布N(10,〃2).若P(9WXW11)=

0.7,则从这批零件中任意抽取1个零件，该零件的直径大于11毫米的概率为()

A.0.35B,0.15C.0.3D.0.175

【答案】B

【解析】由题意可知，正态分布的均值〃=10,

；P(9<X<11)=0.7,且正态曲线关于直线x=10对称，

【点拨】本题考查正态分布曲线的对称性，利用对称性求出目标区间的概率是常用方法.

3.已知等比数列12,6,3,…，则该等比数列的第6项是()

A.-B.-C.-D.-

8161632

【答案】A

【解析】已知等比数列的首项由=12,第2项做=6,

•.・公比

则该等比数列的第6项=12x(丁=12x卷="

\2/3Zo

【点拨】本题考查等比数列的通项公式，先求出公比，再代入公式计算即可.

4.(2Q+3b尸的展开式的第4项的系数是()

A.Cgx22x34B.Clx23x33C.或D.x24X32

【答案】B

6rr6rr

【解析】一项式(2。+3bT展开式的通项公式为T,.+1=C(2a)6T(3b)「=C^2-3a-b,

令r=3,可得展开式的第4项为4=^2333/83,

・••第4项的系数是以x23x33.

【点拨】本题考查二项式定理的通项公式，注意第4项对应的是r=3,不要混淆.

5.某旅行社设计了4条不同的旅游路线，小夏要从中任选2条路线，分别在假期7月和

8月出游，则不同的出游方法有()

A.24种B.16种C.12种D.6种

【答案】C

【解析】从4条不同的旅游路线中任选2条，分别在7月和8月出游，

这是一个排列问题，不同的出游方法有A：=4x3=12种.

【点拨】本题考查排列组合的基础应用，由于7月和8月是两个不同的时间，选出的路线有顺序

区别，故用排列数计算.

6.A,B两种品牌的某种型号钢笔的市场占有率如图所示，且A,B两种品牌的钢笔的

次品率分别为4%和a%.若市场上这种型号钢笔的次品率为2.5%,则a=()

A

25%

B75%

【答案】B

【解析】设从市场上任取一支该型号钢笔，它是次品为事件C,它是A品牌为事件从它是B品

牌为事件

由扇形图可知，P(A)=25%,P(B)=75%,

已知P(C|A)=4%,P(C|8)=Q%,

由全概率公式可得，市场上这种型号钢笔的次品率P(C)=P(A)P(C|A)+P(8)P(C|B),

艮J2.5%=25%x4%+75%xa%,

解得a=2.

【点拨】本题考查全概率公式的实际应用，能够从扇形图中提取先验概率，并结合条件概率列出

方程是解题关键.

7.函数/(%)=x2-31nx图象上的点到直线x+y+4=0的距离的最小值为()

A.V2B.2>/2C.3V2D.472

【答案】C

【解析】设函数/(%)=x2-31nx图象上与直线x+y+4=0平行的切线的切点为Qo,y0),

由f(x)=x2-31nx,得/(x)=2x-

令/'(孙)=2%o-三=-1,即2/+为0-3=。，

xo

解得第o=1或/=一|(Vx>0,故舍去)，

2

当％。=1时，y0=I-31nl=1,即切点为(1,1),

此时该切点到直线x+y+4=0的距离即为所求的最小值，

最小值为d=%/=3后

【点拨】本题考查导数的几何意义及点到直线的距离.曲线上点到直线距离的最小值，通常转化为

求与己知直线平行的切线切点到该直线的距离.

8.若不等式最<1对任意XER恒成立，则实数a的取值范围是()

A.[0,1]B・[0,+8)C.(—8,0]D.(-oo,1]

【答案】D

【解析】不等式先<1恒成立，即axea-x<1恒成立.

cra

令h(x)=axea~x,则〃(%)=a(l—x')ea~x.

若a>0,当XV1时，hz(x)>0,/i(x)单调递增；当x>l时，/iz(x)<0,九。)单调递减.

•・A(x)max=h(1)=Qef

要使九(x)<1恒成立，只需aea-1<1.

设9(Q)=aea-1,则"(a)=(a+l)ea-1,

当a>0时，租'(。)>0，@(a)单调递增，又尹(1)=1,・,•当OVaSl时，aca-i<1,即

h(x)<1恒成立.

若a=0,h[x}=0<1恒成立.

若QVO,当％VO时，ax>0,ea~x>0,当％—时，h(x)->+co,不可能恒小于等于1.

综上，Q的取值范围是[0,1].

【点拨】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题.将不等式转化为函数的最值问题，分类讨论参

数a的符号，结合极限思想分析函数的值域是解题的关键.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得。分.

18

9.若(2x+1>8=劭+%(%+1)+。2(工+4------Fa18(x+I),则()

A.a0=1

B.+做+…+的8=。

318—1

。+。。

C.Q2+Q4+***+18=2

18

D.a18=2

【答案】AD

18218

【解析】已知(2x4-1)=Q()+(x+1)+a2(x+I)4----Fa18(x+l),

令％=-1,则(-2+I)】'=a。，即劭=1,故A正确；

令x=0,则I?'=Q0+%+Q2H---pa18=1,

.,•%4-a24----Fa18=1-a0=0,故B错误；

令％=—2,则(-3)18=—Q]+—。3+…+。18=318,

将％=0和％=一2代入得到的两式相加,得2(%++。4+…+&8)=1+3]8,

•••«0+。2+。4+…+。18=故C错误；

将原式左边变形为(2(X+l)-l)18,展开后最高次项为(2(%+1))】8=218(%+1)叫，48=

218,故D正确.

【点拨】本题考查二项式定理中的赋值法.通过巧妙地对变量汇赋特殊值(如-1,0,-2),可以求

出展开式各项系数的和或部分系数的利.

10.已知随机变量X的分布列如下表:

X12345

113

PP1P2

16416

其中2,P1*成等比数列，则下列结论正确的是()

A.PI，；，P2成等差数列B.Pi=±|

C.P(2<X<S)=D.E(X)=1

【答案】AD

【解析】由分布列的性质可知，所有概率之和为1,

LH2+Pl+：+P2+卷=1'解得Pl+P2=：•

又・噎,九：成等比数列，・・标=专W=专,

•・•概率PlNO,・・.P]=3故B错误；

O

将P1=2代入Pl+P2=p得P2=

对于A,Pi+P2=J+"；，而2x：=；,.'pi+P2=2X即Pi，：,P2成等差数列，故A正:

确；

对于C,P(2<X<5)=P(X=3)+P(X=4)=；+：=3故C错误；

4oo

对于D,F(X)=lx^-+2x^+3x^+4x^4-5x^-=1-4+12+24+15=^=^,故D正确.

、,168481616162

【点拨】本题考查离散型随机变量的分布列性质及数学期望的计算，结合了等差、等比数列的定

义注意概率值必须非负.

11.已知函数f(%)的定义域为R,若-y)=/W(y)+f(l+%)f(l+y),日

f(0)丰f(2),则下列选项正确的是()

A./(0)=1B./(1)=0

C函数/(%)为奇函数D.空驾/(n)=0

【答案】ABD

【解析】已知-y)=+/(I+x)/(l+y)，

22

令％=y=0,得/•(0)=[/(0)]+[f(1)]；

令％=y=1,得f(0)=[/(1)]2+[f(2)]2,

两式相减可得[/(0)]2=[f(2)]2,

又,：f(0)(2),：,f(0)=-f(2).

对于B,令％=l,y=0,得/(1)=/(1)/(0)+/(2)f(1),

因f(1)=f(1)[/(0)+/(2)],,:f(0)+f(2)=0,：.f(1)=0,故B正确；

22

对于A,由/•(0)=[/(0)|+[f(1)产且/=o,得/(0)=[f(o)],

解得/(0)=0或/(0)=1.

若/'CO)=0,则f(2)=-f(0)=0,这与/(0)(2)矛盾，

.•/(0)=1,故A正确；

对于C,令％=0,得/(一y)=f(0)/(y)+/⑴〃)+y),

-f(0)=l,f(1)=0,・・・/(-y)=/(y),即函数是偶函数,故C错误；

对于D,•.•，(>)是偶函数，/./(-I)=/(1)=0,/(-2)=/(2)=-f(0)=-1.

令x=l,得/•(l-y)=/(1)f(y)+f(2)/'(1+y),

即/(i-y)=-f(1+y)，

,•/(x)是偶函数，J/(I-y)=f(y-1),

•••f。+y)=-f(y-1)，即/(y+2)=一/(y)，

进而f(y+4)=-f(y+2)=f(y),

说明函数f(x)是以4为周期的周期函数.

在一个周期内，f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-l)+f(0)=0+

(-1)+0+1=0.

:鹉15)=25x[/(1)+/(2)+/(3)+f(4)]=0,故D正确•

【点拨】本题考查抽象函数的性质(奇偶性、周期性、求值).利用赋值法，通过巧妙选取x,y的

值，逐步推导出函数的基本性质是解决此类问题的核心策略.

第二部分非选择题（共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.某工厂为研究某种产品的产量％（吨）与所需某种原材料的重量y（吨）的相关性,

在生产过程中收集了6组对应数据（x,y）,如下表所示.根据表中数据，得出y关于x的

经验回归方程为y=x—0.8,则m=

X234567

y1.52345.5m

【答案】6.2

【解析】由表中数据可计算得样本平均数:

一2+34-4+5+6+7.广

x=--------------=4.5>

6

1.5+2+3+4+5.5+m16+m

y=66

••,经验回归直线y=x-0.8必过样本中心点（无歹）,

,乌％=45_08=3.7,

6

解得16+m=22.2,即巾=6.2.

【点拨】本题考查线性回归方程的性质。经验回归直线一定经过样本中心点（无刃，这是求解此类

参数问题的最直接方法。

13.有6张卡片，分别标有数字123,4,5,6.现从这6张卡片中随机抽出3张，则抽出的

3张卡片上的数字之和比剩余的3张卡片上的数字之和小3的概率为.

【答案】K

【解析】6张卡片上的数字总和为1+2+3+4+5+6=21.

设抽出的3张卡片上的数字之和为，则剩余的3张卡片上的数字之和为21-x.

由题意得％=（21——3,解得靠=9.

从6张卡片中随机抽出3张，共有或=20种抽法.

要使抽出的3张卡片上的数字之和为9,可能的组合有：（1,2,6）,（1,3,5）,（2,3,4）,共3种情况.

二所求概率P一畀

【点拨】本题考查古典概型的概率计算.先利用整体和与部分和的关系求出目标和，再用列举法找

出符合条件的组合数，最后套用古典概型公式即可.

14.已知函数/'（x）=10—碧.若方程fG）+f（3-%2）=1。有3个实数根，贝IJQ的

取值范围为.

【答案】（嗒）

【解析】已知〃乃=1。一瑞=笠，

.i-、10e-x10

则m/I)=K=耳’

•••/■(X)+/(-%)==10.

八/，、7ex+le^+l

・・/(%)=10-提，随着x的增大，(/+1增大，提减小，・・・/(x)在R上单调递增•

方程fO+-x2)=10可化为fO=10-/(3-xz)=/(x2-3).

••/0)在R上单调递增，・・.2=/-3,

艮］a=(x2—3)ex.

方程有3个实数根，即函数g(x)=(x2-3)ex的图象与直线y=Q有3个交点.

求导得g'(x)=2xcx+(x2—3)cx=(x+3)(x—l)ex.

令g'(x)=0,得％=-3或X=L

当xv-3H寸，“(%)>0,g(x)单调递增；当一3cxVI时，g，(x)V0,g(x)单调递减；当

%>1时，g'O)>0,g(x)单调递增.

•,.g(x)的极大值为9(-3)=(9-3)e-3=极小值为g(1)=(1-3)e1=-2e.

又当％->-8时，g(x)->0.

画出g(x)的大致图象可知，要使直线y=a与g(x)的图象有3个交点，必须满足0vqv*

・•。的取值范围为(0*).

【点拨】本题考查利用导数研究方程根的个数.通过分析函数的奇偶性(或对称性)与单调性，将

抽象函数方程转化为具体函数方程，再分离参数构造新函数，利用导数求极值并结合极限思想画

出草图是解决此类问题的标准流程.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知Sn为等差数列｛aj的前n项和，满足a2+a4=12,S4=20.

(1)求数列｛。"的通项公式；

(2°3九为奇数

(2)若％=8%/田胡，求数列｛aJ的前2兀项和72n・

van<In+2

【答案】⑴斯=2…2)%=詈一表+点

【解析】解：(1)设等差数列｛。八｝的首项为由,公差为d,

由a2+。4=12,得2。1+4d=12,即+2d=6........................................2分

由S4=20,得4%+等d=20,即2%+3d=10.........................................4分

联立解得%=2,d=2........................................5分

•••an=Qi+(九一l)d=2+(n-1)x2=2n.........................................6分

力为奇数

：2）由（1）得％=

n为偶数

2n-2(n+2)

（4n,n为奇数

即加=24鹿将........................8分

I许，九为偶数

2

当n为偶数时，bn=-=--三......................9分

“7i（n+2）nn+2

数列｛匕｝的前2n项和72n=（与+/+•••+b2n-i）+但+/+…+b2n）.................................10分

其中奇数项之和为：

瓦+以+…+82时1=41+434-…+42n-1=墨—；；）=4（］；：T）=42：二4................................12分

偶数项之和为：

历+/+•••+/=（»1）+（U+••・+（/-煮）=»煮...................14分

_42n+1-4,11_422+11,7A

2n-1522n+2-152n+230.................................................分

【点拨】本题考查等差数列的通项公式及分组求和法.对于分段定义的数列求和，通常采用分组求

和法，将奇数项和偶数项分别求和，其中偶数项求和用到了裂项相消法，奇数项求和用到了等比

数列求和公式.

16.甲、乙两人进行赛马，比赛规则如下：甲、乙各挑选3匹马（马匹各不相同），每

场比赛甲、乙均从各自挑选的马匹中挑选一匹本次比赛未上场的马进行比赛，三场比赛结

束即为本次比赛结束，三场比赛依次进行，胜利场数多的一方获得本次比赛的胜利，每场

匕赛均只有胜负，且胜利与否互不影响.在所有马匹中，有一匹快马，记为K马.经统

计，在所有比赛中，参赛者的胜负情况和选择K马与否的情况如下表所示.

单位：场

选择K马与否参赛者的胜负情况（胜）参赛者的胜负情况（负）合计

选择481260

未选择221840

合计7030100

（1）完成2x2列联表，并依据a=0.01的独立性检验，能否认为参赛者的胜负和选择

K马与否有关联？

（2）由于马匹的不同，K马参加比赛的场次会进行调整.根据以往的数据统计，参赛者

选择K马参与比赛时，安排K马参加第一场、第二场、第三场比赛的概率分别为

相应参赛者获得本次比赛胜利的概率分别为：3，|.当参赛者选择K马参加比赛时，在参

463

赛者获得本次比赛胜利的条件下，求参赛者安排K马参加的是第一场比赛的概率.

附./=_____/________.

”（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）+h

a0.100.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）列联表见解析，认为参赛者的胜负和选择K马与否有关（2）黑

18/

【解析】解：（1）补充完整的2x2列联表如下：

选择K马与否参赛者的胜负情况（胜）参赛者的胜负情况（负）合计

选择481260

未选择221840

合计7030100

3分

零假设为仇：参赛者的胜负和选择K马与否无关.

由表中的数据得X2=10tx荔鬻2产=曰.7.1436分

•••7.143>6.635,

则依据a=0.01的独立性检验，可以推断假设不成立，即认为参赛者的胜负和选择K马与否有

关.8分

⑵设事件4="参赛者安排K马参加第一场比赛”，事件A2="参赛者安排K马参加第二场比赛”,

事件83="参赛者安排K马参加第三场比赛"，事件B="参赛者获得本次比赛的胜利”.

由题意知，P（&）=：/（4）J,「（4）=!

J/CaX

。(8|&)=：/(8]&)=*〃(8|力3)二：10分

当参赛者选择K马参加比赛时，参赛者获得本次比赛胜利的概率为:

P(B)=P(4)P(8|&)+P(&)P(BM2)+P63)P(8|A3)

13,25,82

=-X-+-X-H-----X-.................12分

3476213

1,5,1663+60+64187

=-H-------1——=----------------=——13分

42163252252

当参赛者选择K马参加比赛时，在参赛者获得比赛胜利的条件下，参赛者安排K马参加的是第一

场比赛的概率为:

P(2)_P(/li)P(8|A：,

P(Ai|B)=14分

P(B)P(8)

1_63

15分

252

【点拨】本题考交独立性检验以及全概率公式与条件概率（贝叶斯公式）的应用。第二问中，明

确“原因”事件（安排在第几场）和“结果”事件（获得胜利），理清条件概率的关系是解题关键。

17.现有8款不同的高难度智力扣，每名学生随机抽取3款进行破解.已知甲学生只能

破解其中的4款，设甲学生抽到能破解的智力扣的数量为X.

(1)求P(XN2)；

（2）求X的分布列与数学期望.

【答案】（1）1（2）分布列见解析，E（X）=|

【解析】解：(1)由题意可知，甲学生能破解的智力扣有4款，不能破解的也有4款.

从8款中随机抽取3款，抽到能破解的数量X服从超几何分布.

P(X>2)=P(X=2)+P(X=3).....................................2分

P(X=2)=等=等=..................4分

^85b/

P(X=3)=警=2=2....................................6分

,P(XN2)皂+»*：....................................7分

(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.

p(x=0)=^=-=-....................................9分

k7C15614

P(X=1)=詈=竺=?..................11分

k7C§567

••・X的分布列为：

X0123

1331

P

L477TJ

....................................13分

数学期望E(X)=0x套+1乂；+2乂升3乂看=升5+看=卷=|..................15分

【点拨】本题考查超儿何分布的概率计算、分布列及数学期望。识别出模型为超几何分布是解题

的基础，计算时注意组合数的准确性。

18.某产品生产共有2八一1(几WN+)道工序，每道工序优秀的概率均为p(0VpV1),

各道工序之间相互独立.当该产品有不少于几道工序优秀时、该产品为优品,记产品为优

品的概率为

(1)设p=1,n=3.

①求该产品优秀工序的道数X的分布列和数学期望；

②求P3-

(2)若该产品现共有7道工序，每件优品的利润为90元.因市场上产品更新换代的速

度很快，工厂决定优化该产品，每件产品增加2道工序，增加工序后，单位时间内的产量

是原来产量的2倍，并将优品分为一级优品和二级优品，二级优品产量占优品总产量的%

且每件二级优品的利润是90元，每件一级优品的利润是180元.

①设该产品增加工序前单位时间内的产量为x件，记该产品增加工序后单位时间内生产的

优品利润之和为丫元，试用x,P5表示E(Y)；

②若该产品增加2道工序后产品为优品的概率变大，求p的取值范围.

【答案】(1)①分布列见解析，E(X)=|②p3=^(2)®E(y)=300xp5@(pl)

【解析】解：(I)①当九=3时，工序总数为2X3-1=5道.

•；每道工序优秀的概率均为p=5且相互独立，・・・X〜8(5*).....................................1分

X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.

P(X=k)=建(1)(|)(k=0,123,4,5)

P(X=0)=W，P(X=1)=枭,P(X=2)=枭,P(X=3)=券P(X=4)=*P(X=5)=

13分

243

X的分布列为:

X012345

32808040101

p

24324?24?24?242242

.....................................4分

数学期望E(X)=5x：=：.....................................5分

②由题意，有不少于3道工序优秀时为优品，

・・・P3=P(XN3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=^+^+^=K.....................................

7分

⑵①增加工序前产量为x,增加后产量为2x.

增加2道工序后，产品总工序数为9,优品概率为P5(因为2"一1=9="=5).

单位时间内生产的优品数量的期望为2%•ps.....................................9分

其中一级优品占：，二级优品占；，

・•・利润之和的期望E(y)=2x-p5x(180x|+90x0.....................................11分

=2xp5x(120+30)=300%内.....................12分

②增加2道工序前，工序数为7(即几=4),优品概率为P4；增加后工序数为9,优品概率为

P5-

由题意知p5>p4.

P4表示7道工序中至少有4道优秀的概率.

增加2道工序后，要成为优品(至少5道优秀)，可以分为以下情况：

前7道中至少有5道优秀(概率为P(X7之5)),此时新增的2道无论怎样都满足条件；

前7道中恰有4道优秀(概率为C枭气1一p)3),此时新增的2道中至少有1道优秀(概率为

l-(l-p)2)；

前7道中恰有3道优秀(概率为C>3(i-p)4),此时新增的2道必须全部优秀(概率为p2).

卬5=P(X7>5)+C切4(1-p)3[l-(1-p)2]+C汨3(1-