中考数学基础知识纯理论

代

数

部

分

根底知识完整版

有理数

m

有理数：整数和分数统称为有理数。有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数，所有形妇三(m,n

为互质的整数，n#0)的数都是有理数。

⑴整数和分数统称为有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称

有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；冗不是有理数；

IF有理数!正整数正整数

止侣理效［正分数整数零

⑵有理数的分类：①有理数零②有理数.负整数

负有理数｛鬻得分数,正分数

负分数

数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.

相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0：

(2)相反数的和为0oa+b=0oa、b互为相反数.

绝对值：数轴上表示某数的点离开原点的距离；

⑴正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数；

a(a>0)八

(2)绝对值可表示为：同=0(a=0)或|a|=r\器*；绝对值的问题经常分类讨论；

-a(a<0)「a’a)

有理数比大小：(1)正数的绝对值越大，这个数越大；(2)正数永远比0大，负数永远比0小；(3)正数

大于一切负数；(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小；(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数

大；(6)人数-小数>0,小数-大数<0.

互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；假设aWO,则〃的倒数是,；假设ab=l=a、

a

b互为倒数；假设ab=Toa、b互为负倒数.

有理数加法的运算律：

(I)加法的交换律:a+b=b+a；(2)加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+(-b).

有理数乘法法则：(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；

(2)任何数同零相乘都得零;

(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零：各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.

有理数乘法的运算律：

⑴乘法的交换律:ab=ba；(2'乘法的结合律:(ab)c=a(be)；

⑶乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac.

有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，即*无意义.

有理数乘方的法则：

(1)正数的任何次第都是正数；

(2)负数的奇次舞是负数；负数的偶次辕是正数；注意:当n为正奇数时：(-a)n=-a“或(a-b)n=-(b-a)n,

当n为正偶数时：或(a-b)n=(b-a)n.

乘方的定义：

(1)求一样因式积的运算，叫做乘方；

(2)乘方中，一样的因式叫做底数，一样因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做暴；

科学记数法：把一个大于10的数记成aX10"的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这和记数法叫科

学记数法.小数的科学记数法：有了负整数指数靠后，小于1的上数也可以用科学记数法表示为。x1(T*的

形式，其中。是整数数位只有一位的正数，n是正整数。这种形式不仅便于记数，而且便于比拟数的大小。

近似数的准确位；一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的准确到那一位.

有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到准确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.

混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.

实数

无理数：无限不循环小数叫做无理数，无理数不能表示成分数的形式。如：口，及,-耶，-事……。

我们一股用以下两种情况将实数进展分类：

西有爱M正分数

尸毗既碰

I正分数或宾数1。

i负分数伊玄■«十分效

了正无修1负实M货无理效

I负无

实数及数轴上的点是一一对应的。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反之数轴上的每一个点又

都表示一个实数。

实数的相反数：如果a表示一个正实数，-a就表示一个负实数，又如果a表示一个负实数，则-a表示一

个正实数。a及-a互为相反数。Q的相反数仍是0。如“及-“，+及-币,m及-m…均互为相反数。

实数的绝对值：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

例如，|-布|=#,|-n|=JT,|不|=/,|V2-布|=-(A/3)=◎…

注意：-a(a<0)是正数，

平方根：①如果一个正数X的平方等于A,则这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方

等于A,则这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/()的平方根为0/负数没有平方根。④求

一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。

立方根：①如果一个数X的立方等于A,则这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数/0的立方

根是0/负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数c

二次根式

二次根式的意义

形如右(420)的代数式叫二次根式。二次根式&有意义，。的取值范围是。20;当。<()时，右在实

数范围内没有意义。如:m20)等都是二次根式。

最筒二次根式

满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：

(D被开方数的因数是整数，因式是整式；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数一样，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

二次根式的主要性质

2

⑴(4a)=a(a>0)o

a(a>0)

(2)=|fz|=«0(。=0)

-a(a<0)

⑶y[ab=y[a-y[b(a>0,b>0).(b>0,a>0)

二次根式的运算

(1)因式的外移和内移

如果被开方数中有的因式能够开得尽方，则，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方

数是代数和的形式，则先分解因式;，变形为积的形式，再移因式到根号外面。反之，也可以将根号外面的

正因式，平方后移到根号里面去,

(2)有理化因式及分母有理化

两个含有二次根式的代数式相乘，假设它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

(3)二次根式的加、减法

先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。

(4)二次根式的乘、除法

二次根式相乘(除)，把被开方数相乘〔除)，所得的积〔商)仍作积〔商)的被开方数，并将运算结

果化为最简二次根式。

(5)有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公

式，都适用于二次根式的运算。

根式患S>(),〃>0)的化简方法

(1)把、「化为坐，然后分母有理化为叵.

Vay/aa

(2)运用积的算术平方根的性质［Jab=da-yjb\a>(),/?>())］,二次根式的性质［籽=。(。20)］及

因式分解等知识化简二次根式JR(K的值为大于或等于零的整式)。注意：K是多项式时要先分解因式，

K为整数时要先分解质因数

(4)利用(石)2=〃给多项式在实数范围内分解因式。如:a2—b=(a+现—为大于零

的常数)

分母有理化的方法及技巧

分母有理化的关健是确定有理化i1式，其根本方法为：①根据(右)2=。(420)可知八的有理化因

式是土向②根据平方差公式，可知a±6的有理化因式为。干逐，力亦的有理化因式是

整式

单项式：如10()t、6a2、2.5x、vt.-n,它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个

数或一个字母也是单项式。

单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

例如：单项式lODt、vt、-n的系数分别是100、1、-lo

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

例如：在单项式100t中，字母t的指数是1,100t是一次双项式；在单项式vt中，字母v及t的指

数的和是2,vt是二次单项式。

多项式：如2x-3,3x+5y+2z,-i-ab-nr2,它们都可以看作儿人单项式的和，像这样几个单项式的和叫做

2

多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

例如：在多项式2x-3中，2x和-3是它的项，其中-3是常数项。

多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

例如：在多项式2x-3中，次数最高的项是一次项2x,这个多项式的次数是1；在多项式x?+2x+18

中，次数最高的项是二次项X2,这个多项式的次数是2。

整式：单项式及多项式统称为整式。

例如：单项式100t、vt>-n,以及多项式2x-3,3x+5y+2z,，ab-nr?等都是整式。

2

同类项：在单项式3ab2及-4ab2,它们都含有字母a,b并且a都是一次，b都是二次，像3ab?及一4ab?

这样，所含字母一样，并且一样字母指数也一样的项想叫做同类，几个常数项也叫做同类项。把多项式中

同类项合并成一项叫做合并同类项。

我们可以运用交换律、结合律、分配率把多项式中的同类项进展合并。

整式的加减

(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每•个整式括起来，再用加减号连接.整式加减的•

般步骤是：去括号合并同类项

(2)如果遇到括号.按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。括

号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉.括号里各项都改变符号.

(3)合并同类项：同类项的系数相加，所得的结果作为系数.字母和字母的指数不变.

整式的乘除

同底数箱的乘法：々3。"=”^,(叫n都是整数),即同底数暮相乘,底数不变，指数相加。

哥的乘方：(m,n都是整数)，即塞的乘方，底数不变，指数相乘。

积的乘方：(〃〃)“=〃》",In为整数)，即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的寤相

乘,

整式的乘法：(1)单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、一样字母的事分别相乘，对

于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

(2)单项式乘多项式法则：单项式及多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，

再把所得的积相加。可用下式表示：成方卅加■mMa、b、。都表示单项式)

(3)多项式的乘法法则：多项式及多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再

把所得的积相加.

整式的除法：优'+优=/・"，(。工()，m,n都是正整数，并且小>〃)，即同底数晶相除，底数不变，

指数相减。

(1)任何不等于0的数的0次暴都等于L

(2)单项式相除，把系数及同底数累分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它

的指数作为商的一个因式。

(3)多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

分式

A

分式：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，则式子一叫做分式。其中A叫做分子，B

B

叫做分母。

A

分式的意义：当A和B都表示有理数且B不等于0时，则式子一表示一个分数。由于字母可以表示不同

B

的数，所以分式比分数更具有一般性。由于分式中的分母表示除数，而除数不能为0,所以分式中的分母

不能为0,即当BW0时，分式一才有意义。

B

分数的根本性质：分数的分子或分母同时乘以或除以一个不为0的数分数的值不变。

分式的根本性质：分式的分子及分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示为

AA-C

AA-C?二C一上（CW0）,其中A,B,C是整式。

BB-CBB+C

X

分式的约分及最简分式：及分数的约分类似，我们利用分式的根本性质，约去工的分子和分母的公

VI

因式X,不改变分式的值，使一一化为——，这样的分式变形叫做分式的约分。经过约分后的分式

x：-lxx-2

―,其分子及分母没有公因式，像这样分子及分母没有公因式的分式，叫做最简分式。分式的约分，

x-2

一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果化为最简分式或整式。

分式的通分及最简公分母：及分数的通分类似，利用分式的根直性质，使分子和分母同乘适当的整式，不

改变分式的值，化成分母一样的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。为通分要先确定各分式的公分母,

一般取各分母的所有因式的最高次暴的积作公分母，它叫做最简公分母。

分式的运算：

乘法法则：分式乘分式，川分了的积作为积的分了，分母的积作为积的分母。

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，及被除式相乘。

aca・cacacada・d

—•—=———+—=—X—=

bdb・dbdbdbcb・c

在分式的计算中，运算结果应化为最简分式，分子、分母是多项式时，先分解因式便于约分。

根据乘方的意义和分式乘法的法则，可得：

分式的乘方：一般地，当n是正整数时，（£）"=/即分式的乘方要把分子、分母分别乘方。

分式的加减法法则：同分母分式巾加减，分母不变，把分子相加减。

异分母分式相加减：先通分，变为同分母分式，再加减。

a,ba±ba,ccid,bead±be

­±-=------±—=±=-------

cccbdbdbdbd

式及数有一样的运算法则：先乘方，再乘除，然后加减。

负数整数幕的意义；一般地，当n是正整数时，「=，（〃/（））,这就是说，才〃（。工（））是。〃的倒数。

乘法公式

乘法公式：（】）平方差公式:平方差公式可以用语言表达为“两个数的和及这两个的差积等于这两个数的

平方差"，即用字母表示为：（/。）0?一方）="一氏其构造特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，

并且这两个二项式中有一项为哪一项完全一样的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.

（2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言表达为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加

上（或减去）第一数及第二数乘积的2倍，加上第二数的平方〃，即用字母表示为：（a+b）2=J+2a〃凡（a

-5）2=，一2日加济其构造特征是：左边是“两个数的和或差〃的平方，右边是三项，首末两项是平方项，

且符号一样，中间项是2数，且符号由左边的“和〃或“差”来确定.在完全平方公式中，字母a、。都具

有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如（3外f一2/=

（3日力2-2X（3Gy）X2+22=9f+6灯一12户/-4rM,或者（3外9-2）2=（3x）?+2X3x（夕一2）+（y-2）2=

9户6灯一12户/-看成是完全平方公式中的a,2看成是戾后者是把3x看成是完全平方公式中的a,

y—2看成是b.

（3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里

的各项都变号。

乘法公式的几种常见的恒等变形有：（证明方法：左右展开计算，比照）

(1).a+t)=(^*-^)7—2ab=(a-i>)?+2ab.

(2).ab=-[(Kb)?—(a2+Z>2)]=-[(^)2-(a-«2]=-f—1.

24I2JI2J

(3).(a+a2+(a-/>)2=2a2+2/?2.

⑷.2=a2+/>2+c+2aZH-2/?c^2ca.

利用.上述的恒等变形，我们可以迅速地解决有关看似及乘法公式无关的问题，并且还会收到事半功倍的效

果.

因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将

这个多项式分解因式，它及整式乘法互为逆运算。

常用的因式分解方法：

(1)提公因式法：把〃心+〃76+加5分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式01,另

一个因式(a+/?+c)是，〃a++除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。

i多项式各项都含有的一样因式，叫做这个多项式各项的公因式。

ii公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；

②字母：各项都含有的一样字母；

③指数：一样字母的最低次豪。

(2)公式法：(1)常用公式：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2

(2)常见的两个二项式基的变号规律：

①(。一份2"二S一4产；②(〃一份21二—3—。产，为正整数)

⑶十字相乘法：i二次项系数为1的二次三项式*+x+g中，如果能把常数项夕分解成两个因式”⑦

的积，并且。+〃等于一次项系数中〃，则它就可以分解成

x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a^x+b)

ii二次项系数不为1的二次三项式以2+"+c中，如果能把二次项系数〃分解成两个因数4,4的

积，把常数项。分解成两个因数G，Q的积，并且等于一次项系数8,则它就可以分解成：

22CX+cc

ax+bx+c=a[a2x+(qc2+^2\)\2=+a\a2x+c2)

步骤：(1)列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况：

(2)尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；

(3)将原多项式分解成(x+〃)(x+q)的形式。

关键：乘积等于常数项的两个因数，它们的和是一次项的系数

二次项、常数项分解坚直写，符号决定常数式，穿插相乘验中项，横向写出两因式

(4)分组分解法

i定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如"一"2+〃一力没有公因式，又不能直接利用

分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可到达分解因

式的目的.例如：

2222>

a-b-^-a-h=(^-^)^-^-b)=(a-b)(<a+b)+(a-b)=(a-bXa+b-i-\),

这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

ii原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

iii有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即

可,

方程

方程的概念：

(I)含有未知数的等式叫方程.

(2)在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1,系数不为0,这样的方程叫一元一次方

程.

等式的根本性质：

a=b,则a+c=b+c或

a-c=b-c.

(2)等式两边同时乘以(或除以)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式.假设a=b,则ac=bc或

ab

7=7

(3)对称性：等式的左右两边交换位置，结果仍是等式.假设a=b,则6=2.

⑷传递性:如果a=b,且b=c,则a=c,这一性质叫等量代换.

解方程

移项的有关概念：

把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，叫做移项.这个法则是根据等式的性质1推出

来的，是解方程的依据.要明白移项就是根据解方程变形的需要，把某一项从方程的左边移到右边或从右

边移到左边，移动的项一定要变号.

解一元一次方程的步骤：

⑴去分母等式的性质2

注意拿这个最小公倍数乘遍方程的每一项，切记不可漏乘某•项，分母是小数的，要先利用分数的性质，

把分母化为整数，假设分子是代数式，则必加括号.

⑵去括号去括号法则、乘法分配律

严格执行去括号的法则，假设是数乘括号，切记不漏乘括号内的项，减号后去括号，括号内各项的符号一

定要变号.

⑶移项等式的性质1

越过“一的叫移项，属移项者必变号；未移项的项不变号，注意不遗漏,移项时把含未知数的项移在左边,

数移在右边，书写时，先写不移动的项，把移动过来的项改变符号写在后面

⑷合并同类项合并同类项法则

注意在合并时，仅将系数加到了一起，而字母及其指数均不改变.

⑸系数化为1等式的性质2

两边同除以未知数的系数，记住未知数的系数永远是分母(除数)，切不可分子、分母颠倒.

⑹检验

分式方程

分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

解分式方程的思路：解分式方程的根本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程

两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的i般思路和做法。

注意：一般的解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应如下检验：

将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；否则,

这个解不是原分式方程的解。

二元一次方程组

有关概念

含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程叫做二元一次方程

把具有一样未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

使二元次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元次方程的解

二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

消兀

由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含有另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实

现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个

未知数，得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

一元二次方程：

1、只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为办2+/比+。=0（a、b、c为常数，a#0）的形式，这

样的方程叫一元二次方程。

2、把这2+加：+。=0（a、b、c为常数，a#0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一

次项系数；c为常数项。

3、解一元二次方程的方法：①配方法〈即将其变为（X+6）2=几?的形式。

②公式法（注意在找a、b、c时须先把方程化为一般形式）

2a

③分解因式法把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提

公因式”和"十字相乘”）

4、根及系数的关系：当b2-4ac〉0时，方程有两个不等的实数根；

当b'4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

当b?-4ac<0时，方程无实数根。

5、韦达定理：如果一元二次方程0^+加+0=。的两根分别为xi、x2,则有：

hc

X1+X,=--X],X-y=-o

a~a

6、一元二次方程的根及系数的关系的作用：

（1）方程的一根，求另一根；

（2）不解方程，求二次方程的根治、X2的对称式的值，特别注意以下公式：

22

©%14-^2=（X]+x2）-lxX②，+，='卜"

x2

z

③（芭-x2）=（斗+x2y-4x^2

x+x22

④|罚一%2l=7(i2)-4X,X2⑤(IX]I+1七1)2=(内+X2)-2七々+2|4工21

⑥X；+^2=(X]+X2Y-3X]X2(X1+x2)⑦其他能用玉+々或阳工2表达的代数式。

2

（3）方程的两根XI、X2,可以构造一元二次方程：x-u+x2）x+x,x2=o

（4）两数XI、X2的和及积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程/一（为+%）上+M七=0

的根

不等式

不等关系

1.一般地，用符号“<〃（或）,">"（或"2”）连接的式子叫做丕等式.

2.要区别方程及不等式：方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相显的关系.

3.准确“翻译”不等式，正确理解“非负数”、"不小于”等数学术语.

非负数<=>大于等于0（20）<=>0和正数<=>不小于0

非正数<=>小于等于0（WQ）<=>0和负数<=>不大于0

4.不等式的根本性质：掌握不等式的根本性质，并会灵活运用：

（1）不等式的两边加上（或减去）同一个整式,不等号的方向不变，即：

如果a>b,则a+c>b+c,a-c>b-c.

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数,不等号的方向不变，即

如果a>b,并且c>0,则ac>bc,.

CC

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：

如果a>b,并且c<0,则ac<bc,—<—

cc

6、比拟大小：（a、b分别表示两个实数或整式）

一般地:如果a>b,则a-b是正数;反过来，如果a-b是正数,则a>b;

如果a=b,则a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,则a=b;

如果a<b,则a-b是负数;反过来,如果a-b是正数,则a<b;

即:a〉b<==>a-b>0

a=b<===>a-b=0

a<b<===>a-b<0

（由此可见,要比拟两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了）

7.不等式的解集：

1.能使不等式成立的未知数的值,叫做丕笠式的解;一个不等式的所有解，组成这个不等式的解集;求不等

式的解集的过程,叫做解不等式.

2.不等式的解可以有无数多个，一般是在某个范围内的所有数，及方程的解不同.

3.不等式的解集在数轴上的表示：

用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：

①边界:有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；

②方向：大向右,小向左

8.一元一次不等式：

1.只含有•个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1.像这样的不等式叫做•元•次不等

式,

2.解一元一次不等式的过程及解一元一次方程类似，特别要注意，当不等式两边都乘以一个负数时，不等

号要改变方向.

3.解一元一次不等式的步骤：

①去分母；

②去括号；

③移项；

④合并同类项；

⑤系数化为1（不等号的改变问题）

4.一元一次不等式根本情形为ax>b（或ax<b）

①当a>0时，解为

a

②当a=0时，且b<0,则x取一切实数；

当a=0时，且b，0,则无解;

③当水o时，解为工<2；

a

9、一元一次不等式组

把两个不等式合起来，就组成了一个一元一次不等式组。

几个不等式的解集的公共局部，叫做由它们所组成的不等式的解集。解不等式就是求它的解集。

对于具有多种不等关系的问题，可通过不等式组解决。解一元一次不等式组时。一般先求出其中各不

等式的解集，再求出这些解集的公共局部，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。

列方程解应用题

1、列方程解应用题的一般步骤：

（1）将实际问题抽象成数学问题；

（2）分析问题中的量和未知量，找出等量关系；

（3）设未知数，列出方程；

（4）解方程；

（5）检验并作答.

核心：在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问

题为x;但也有时也须根据条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含

有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。

不等式应用的探索（利用不等式解决实际问题）

列不等式解应用题根本步骤及列方程解应用题相类似,即：

①审：认真审题,找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如"大于”、"小于〃、“不大于〃、

“不小于”等含义；

②设：设出适当的未知数；

③列：根据题中的不等关系列出不等式；

④解：解出所列的不等式的解集；

⑤答：写出答案,并检验答案是否符合题意.

函数

变量及函数：在一个变化过程中，有两个变量（如x、y）,对于自变量（x）的每一个确定值.函数（y）

都有唯一确定的值及它对应，这时，y就是x的函数，常量：在变化过程中，始终保持不变的量；变量：

在变化过程中，可以取不同数值的量：通常在表土时，等式左功的是函数，等式右i力的是自变量。

一次函数:假设两个变量x、y之间的关系式可以表示成kkx+b（k,b为常数，kWO）的形式，则称y是x

的一次函数（X为自变量，y是函数）.正比例函数y=kx（kHO）是一次函数y=kx+b（k#0）特例.

一次函数的图像：1、一次函数丫=1<乂+1）（k#0）的图象是一条直线，我们只要确定两个点，再过这两个点

作直线就可以作出一次函数的图象，它也称为直线y=kx+b.直线y=kx+b（kWO）可以看着由直线尸kx（k

K0）上下平移|b|个单位长度而得到.当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移.

画密数图象的一般步骤：一、列表（一次函数只用列出两个点即可，其他函数一般需要列出5个以上的点，

所列点是自变量及其应的函数道），二、描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数的

值为纵坐标，描出表格中的个点，一般画一次函数只用两点），三、连线（依次用平滑曲线连接各点）。

一次函数的性质：

正比例函数一次函数

表达式y二kx(kWO)y=kx+b(krO)

k>0k<0k>0k<0

/

图象/./

1.图象是经过原1.图象是经过原

点及第一、三象限点及第二、四象限

函数y的值随x的函数y的值随x的搀

性质的直线；的直线；

增大再增大.大而减小.

2.函数y的值随x2.函数y的值随x

的增大而增大.的增大而减小.

一次函数的图象及k,b的关系如下页图所示:

y=kx+bk>()K<0

i卜

/

___z----------►

b>0/

k

b<0

/

待定系数法求一次函数的解析式的步骤：

设出函数解析式；②根据条件确定解析式中未知的系数（把两点带入函数一般式列出方程组，求出待定系

数，把待定系数值再带入函数一般式，得到函数解析式）；③写出解析式.

反比例函数

定义：一般地，形如），二幺（%为常数，kwo）的函数称为反比例函数。），=（还可以写成y=

XX

反比例函数解析式的特征；

⑴等号左边是函数），，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数％［也叫做比例系数〃），分母中

含有自变量X,且指数为1.（2）比例系数左。0,（3）自变量X的取值为一切非零实数。（4）函数y的

取值是一切非零实数。

反比例函数的图像

（1）、图像的画法：描点法

①列表（应以。为中心，沿0的两边分别取三对或以上互为相反的数）

②描点（有小到大的顺序）连线（从左到右光滑的曲线I

k

⑵、反比例函数的图像是双曲线，y=-（2为常数，女工0）中自变量xwO,函数值y=（）,所以双

x

曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸局部逐渐靠近坐标轴，但是永远不及坐标轴相交。

⑶、反比例函数的图像既是中心对称图形1对称中心是原点），也是轴对称图形（对称轴是），=x或

y=-x）»

VL

⑷、反比例函数），二七（ZwO）中比例系数2的几何意义是：过双曲线>（左工0）上任意引x轴

XX

），轴的垂线，所得矩形面积为阳。

反比例函数性质如下表：

k的取值图像所函数的增减性图像例如

在象限

k>o一、三象在每个象限内，y值

限随X的增大而减小

k<o二、四象在每个象限内，y值

限随X的增大而增大

反比例函数解析式确实定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出女）

“反比例关系”及“反比例函数"：成反比例的关系式不一定是反比例函数，但是反比例函数丁二&中的

X

两个变量必成反比例关系。

一次函数及一元一次方程的关系。

由丫=10<+>当y取一个确定的值时，可以将y值代入y=kx+b得到一元一次方程，从而求出x的值。特别

的，y=0时，一元一次方程的解就是一次函数及x轴的交点坐标的横坐标的值。

一次函数及二元一次方程组的关系。

一元一次方程的解就是一次函数及x轴的交点坐标的横坐标的值。二元一次方程组的解可以把方程组中的

两个方程看作是两个•次函数，画出这两个函数的图象，则它们的交点坐标就是方程组的解。

一次函数及不等式的关系：

可以借助函数图象解决一元一次不等式的有关问题。

函数图像的交点

利用多个不同的函数解析式可以建立方程组，假设方程组有解，则这些函数有交点，交点坐标即为方程组

的麻

函数值的大小比拟

当两个或两个以上的函数图像同时在坐标系中时，中选定X的值时，假设某一个函数图像在其余函数图像

上方，则该函数值在此X值时大于其余函数值，依据此方法可以确定X的取值范围。

二次函数

二次函数的定义:一般地，形如y=ax2^hx+c(0/九。为常数，。工。)的函数称为式的二次函数，其中

x为自变量，'为因变量，4戾°分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.这里需要强调：和一元

二次方程类似，二次项系数awO,而Me可以为零.

二次函数丁二奴?+加?的构造特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量X的二次式，X的最高次数是2.

⑵4,dC是常数，。是二次项系数，力是一次项系数，C是常数项.

二次函数的三种形式

一般式

y=ax：+bx+c(aWO,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,4ac-b2/4a)；

顶点式

y=a(x-h)2+k(a^O,a>h、k为常数)顶点坐标为(h,k)对称轴为x二h

交点式

y=a(x-xi)(x-x2)［仅限于及x轴有交点A(xi,0)和B(x2»0)的抛物线］;

二次项系数〃决定抛物线的开口方向：

当时o抛物线开口向上；当时=抛物线开口向下

同决定抛物线的开口大小：回越大，抛物线开口越小；间越小，抛物线开口越大.

注：抛物线y=a(x-h)2+k(aK0,a、h、k为常数)及产ax?(aHO,a为常数)形状一样，位置不同，把抛物

线丫=a*2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k,平移的方向、距离要根据h,k的

值来决定，抛物线y=a(x-h)2+k(aK0,a、h、k为常数)顶点坐标为(h,k)对称轴为x=h。

用待定系数法求函数的表达式

二次函数的表达式(a'"'C为常数，"0)中有三个量a、b、c,因此需要知

道三个点确实定坐标，将点的坐标代入表达式中得到一个三元一次方程组，再利用消元法解

出a、b、co得到二次函数的表达式，这种方法称之为待定系数法。

二次函数的特性

轴对称

抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a0

对称轴及抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

顶点

抛物线有一个顶点P,坐标为P(-b/2a,4ac-b74a)

当-b/2a=()时，P在y轴上；当△=b2;-4ac=0时，P在x轴上。

决定对称轴位置的因素

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a及b同号时〔即ab>0),对称轴在y轴左：因为假设对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a<0,

所以b/2a要大于0,所以a、b要同号

当a及b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是-b/2a>0,

所以b/2a要小于0,所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异,即当a及b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左；当a及b异号时

(即abV0),对称轴在y轴右。

决定抛物线及y轴交点的因素

常数项u决定抛物线及y轴交点。

抛物线及y轴交于(0,c)

二次函数及一元二次方程的关系

22

抛物线y=ax+bx+c及x轴交点的横坐标Xi.x2是一元二次方程ax+bx+c=0(a#0)的根。

抛物线y=ax2+bx+c,当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0

从-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像及x轴有两个交点；

从一44。二0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像及x轴有一个交点；

4ac<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像及x轴没有交点

注意：二次函数尸ax?+bx+c通过移项后可以变成ax?+bx+c-y=0,因此的y(纵坐标)值确定并且该点在

二次函数的的图像上时，可以借助ax2+bx+c-y=0来求得x(横坐标)。

实际应用

1、实际问题模型

(1)日历上数字排列的规律是：横行每整行排列7个连续的数，竖列中，下面的数比上面的数大7.日历

上的数字范围是在1到31之间，不能超出这个范围.

(2)几种常用的面积公式：

长方形面积公式：S=ab,a为长，b为宽，S为面积；正方形面积公式：S=a2,a为边长，S为面积；

梯形面积公式：S=L(a+b)h,a,b为上下底边长，h为梯形的高，S为梯形面积；

2

圆形的面积公式：S=-r为圆的半径，S为圆的面积；

三角形面积公式：S=-ah,a为三角形的一边长，h为这一边上的高，S为三角形的面积.

2

(3)几种常用的周长公式：

长方形的周长：L=2(a+b),a,b为长方形的长和宽，L为周长.

正方形的周长：L=4a,a为正方形的边长，I.为周长.

圆：L=2nr,r为半径，L为周长.

(4)柱体的体积等于底面积乘以高，当体积不变时，底面越大，高度就越低.所以等积变化的相等关系一

般为：变形前的体积;变形后的体积.

(5)工程问题根本关系式：

工作总量工作总量

工作总量=工作效率X工作时间工作时间二工作效率=

工作效率工作时间

合作效率=甲的效率I乙的效率

（6）关于销售问题：①进价，本钱价，售价，定价，标价的意义；

②单件利润:售价-进价，总利润;销量X单件利润；

利润

③利润率=淅71乂100%。

进价

（7）关于储蓄中的一些概念：本金：顾客存入银行的钱；利息：银行给顾客的酬金；

本息：本金及利息的和；期数：存入的时间；

利率：每个期数内利息及本金的比；

利息=本金x利率X期数；

本息=本金+利息.

（8）行程类应用题根本关系：

路程=速度X时间速度二路程♦时间时间:路程+速度

相遇问题：甲、乙相向而行，贝IJ：甲走的路程+