2023-2024学年苏科数学八年级上册第3章《勾股定理》单元测试卷

苏科新版八年级上学期《第3章勾股定理》

一.选择题（共7小题）

1.如图，在中，/ACB=90°,CD1AB,垂足为。，4/平分NC48,交CD于

点、E,交CB于点、F,则下列结论成立的是（）

A.EC=EFB.FE=FCC.CE=CFD.CE=CF=EF

2.（读诗解题）有诗日：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕

女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉：.良工高士好奇，算出索长有几？"（注：一步合五尺）（）

A.12尺B.13.5尺C.14.5KD.15.5K

3.由12个有公共顶点。的直角三角形拼成的图形如图所示，ZAOB=ZBOC=ZCOD=

ZDOE=ZEOF=NFOG=NGOH=ZHO/=ZIOJ=NJOK=NKOL=/L()M=30°,

若0M=«，则的长为（）

DC

IJ

A.-LB.1C.512D.112

8181

4.如图，直线。〃爪等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a、b上,若Nl=30°,则

N2的度数是（）

工.

A.45°B.30°C.15°D.10°

5.连接旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，若把绳子的下端拉开距旗杆底部端5米，则绳

子下端刚好接触地面，则旗杆的高度是（)

A.3米B.4米C.12米D.13米

6.直角三角形两直角边心力的平方和等于斜边c的平方，即（)

A.a2+c2=b2B.a2+b1=c1C.b2-a2=c2D.a2-b2=c2

7.以下列条件构成的三角形中，不属于直角三角形的是（）

A.ZA=ZB=45°B.ZA=ZB+ZC

C.48=5,BC=\2,AC=\3D.ZJ=2Z5=3ZC

二.填空题（共8小题）

8.如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，边上的高

9.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”

（如图I）.图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方

形ABCD,正方形EFG/f,正方形"NAT的面枳分别为S】，Sz，S%若S+S2+S3=10,

则S2的值是.

图1

10.如图所示，一个梯子48长5机，顶端4靠在墙4C上，这时梯子下端8与墙角。间的

距离为3加梯子滑动后停在。£位置上，如图，测得力8的长为1/〃，则梯了•顶端4下落

11.观察下列一类勾股数：3,4,5；5,12,13：7,24,25；…请你根据规律写出第4组

勾股数为.

12.三角形的三边长分别为3,4,5,则这个三角形的面积是.

13.如图，是由两个相同的直角三角形川9c和尸OE拼成的，则图中与N4相等的角有

个，分别是;N1与N/关系是;N2与N1的关系是

14.现用火柴棒摆一个直角三角形，两直角边分别用了3根、4根长度相同的火柴棒，则斜

边需要用根.

15.已知△力8c的三边长为5,12,x,可知当x=12时△ABC是等腰三角形：

（1）当x为时，ZX/IBC是直角三角形；

（2）猜想：当x的取值范围为时，△48C为锐角三角形.

三.解答题（共3小题）

16.如图，在△48C中，ADVBC,垂足为Q,40=4,80=2,8=8.

（1）求证：ZZ?JC=90°；

（2）尸为4C边上一点，连接力产，若2是以4?为腰的等腰三角形，请求出6。的

长.

17.如图，在四边形48C。中，已知：AB=\,BC=2,CD=2,力。=3,且48J_EC.试

18.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国

古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了

证明勾股定理，创制了一幅“弦图"（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.如

图①是用四个能够完全重合的直角三角形拼成的图形，其中直角边长分别为a,b,斜边

长为c,用含b,。的代数式表示：

（1）大正方形的面积为：小正方形的面积为；

（2）四个直角三角形的面积和为,根据图中面积关系，可列出a,c之

间的关系式为:

（3）如图②，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则Si，&，S3满足的

关系是：

（4）如图③直角三角形的两条直角边长分别为3、5,分别以直角三角形的三边为直径

作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积和为.

苏科新版八年级上学期《第3章勾股定理》

参考答案与试题解析

一.选择题（共7小题）

1.如图，在Rt△48c中，/ACB=90°,CDLAB,垂足为。，4尸平分NC48,交CD于

点、E,交CB于点F,则下列结论成立的是（）

A.EC=EFB.FE=FCC.CE=CFD.CE=CF=EF

【考点】直角三角形的性质；等腰三角形的判定.

【答案】C

【分析】求出尸=N84RZB=ZACD,根据三角形外角性质得出NCE/=NC7咕,

即可得出答案：

【解答】解：•••在中，ZJC5=90°,CDLAB,

:,NCDB=NACB=90°,

；・N4CD+NBCD=9Q',/BCD"B=90°,

JZACD=ZB,

:彳尸平分NC48,

：.NCAE=NBAF,

，ZACD+ZCAE=NB+NBAF,

:・NCEF=NCFE,

：,CE=CF.

故选：C.

2.（读诗解题）有诗日：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕

女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士好奇，算出索长有几？"（注：一步合五尺）（）

A.12尺B.13.5RC.14.5尺D.15.5尺

【考点】勾股定理的应用.

【答案】C

【分析】设出绳索的长为x尺，利用勾股定理列出方程（x-4）2+l（）2=x2,解出方程即

可.

【解答】解：设绳索长为x尺,

则由题意得（x-4）2+102=x2

解得x=14.5（尺）

3.由12个有公共顶点。的直角三角形拼成的图形如图所示，NAOB=/BOC=NCOD=

NDOE=/EOF=4F0G=4GOH=ZHOI=ZIOJ=/JOK=2KoL=ZWM=30°,

【考点】勾股定理.

【答案】D

【分析】根据含30°角的直角二角形的性质及勾股定埋可求得力4=%，（JB=gAB

2

二104再找规律可得。。=返（近）3。/OM=^-OF=（1）nOA,

22222

结合。n=畲可求解。力的长，进而可求。。的长.

【解答】解：由题意知，ZABO=ZBCO=-=ZLMO=90°,

■:/AOB=NBOC=・*・=NLOM=30°,

・•・ZA=ZOBC=ZOCD=-=ZOLM=60°,

：.AB=^-OA.OB="

22

同理可得，OC=返08=(近)2OA,

2

。。=返仪?=

2

OM=^.OF=(2ZL：120/=«

22

129

：.OD=(近)3.,j„=2..=512

2(V3)11(V3)881

故选：D.

4.如图，直线等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a、b上,若Nl=30"，则

Z2的度数是()

A.45°B.30°C.15°D.10°

【考点】等腰直角三角形；平行线的性质.

【答案】C

【分析】根据。〃从得到Nl+N3+N4+N2=18()°,将Nl=3()°,N3=45°,Z4=

90°代入即可求出N2的度数.

【解答】解：如图.

AZ1+Z3+Z4+Z2=180°,

VZl=30°,Z3=45°,Z4=90°,

AZ2=15°,

故选：C.

h

5.连接旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，若把绳子的下端拉开距旗杆底部端5米，则绳

子下端刚好接触地面，则旗杆的高度是（）

A.3米B.4米C.12米D.13米

【考点】勾股定理的应用.

【答案】C

【分析】根据题意设旗杆的高48为x米，则绳子4。的长为（x+1）米，再利用勾股定

理即可求得/出的长，即旗杆的高.

【解答】：加图：设旗杆的高/也为x米，则绳子力C的长为（x+1）米，

在中，8C=5米，

AB2+BC2=AC2,

/.X2+52=（X+1）2,

解得x=12,

：,AB=\2.

...旗杆的高12米，

故选：C.

6.直角三角形两直角边〃、方的平方和等于斜边c的平方，即（）

A.a1+c1=b1B.a2+h2=c2C.h1-a2=c2D.a2-h2=c2

【考点】勾股定理.

【答案】B

【分析】根据已知条件直角三角形两直角边。、b的平方和等于斜边。的平方即可■作出判

断.

【解答】解：•・•直角三角形两直角边为。、田旦两直角边4、6的平方和等于斜边C的平

方，

:.a1+b2=c2,

故选：B.

7.以下列条件构成的三角形中，不属于直角三角形的是（）

A.N力=N8=45°B.N/=NB+NC

C.AB=5,8C=12,4c=13D.N/=2N8=3NC

【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理.

【答案】D

【分析】根据三角形的内角和定理以及勾股定理的逆定理逐项分析即可.

【解答】解：4、•・・/[=N4=45°,・・・/。=90°,则三角形是直角三角形；

B、・・・N/1=N8+NC,・・・2/4=180°,AZJ=90<,,则三角形是百角三角形：

。、・.78=5,BC=\2.4c=13,.\AB2+BC2=AC2,则三角形是直角三角形：

D、〈NA=2NB=3NC,：,ZJ18Q0^90°,则三角形不是直角三角形，

11

故选：D.

二.填空题（共8小题）

8.如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，8c边上的高是_司巨_.

【考点】勾股定理；三角形的面枳.

【答案】见试题解答内容

【分析】用正方形的面积减去三角形力CD、ABE、CM的面积可得出答案.

【解答】解：由题意知，小四边形分别为小正方形，所以夙C为EF、/。的中点,

S/SABC=S正方形AEFD-S,,AEB-S^BFC-S^CDA

=2X2-Ax1X2-Ax1X1-Ax1X2,

222

=3

2

22

BC=yJi+i=V2.

则△力BC中8C边上的高是+巨.

22

故答案为：士亚.

9.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”

（如图1）.图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方

形N8CQ,正方形EEGH,正方形MNK7的面积分别为Si,S2,S3,若Si+S2+S3=10，

则S?的值是_凶」.

3

图1图2

【考点】勾股定理的证明.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x,将其余八个全等的三角形面

积一个设为y，从而用x,y表示出Si，S2，S3,得出答案即司.

【解答】解：将四边形M7KN的面积设为x,将其余八个全等的三角形面积一个设为y,

•・•正方形48C。，正方形EFGH,正方形MNK7的面积分别为Si，S2,S3,5I+S2+53=10,

工得出SI=8J4X,S2=4y+x,Sy=x,

，5+S2+S，=3x+12y=IO,故3x+12v=10,

x+4y=—,

,3

所以S2=x+4y=—,

3

故答案为：12..

3

10.如图所示，一个梯子/出长5加，顶端/靠在墙力C上，这时梯子下端4与墙角。间的

距离为3机梯子滑动后停在QE位置上，如图，测得。8的长为Im,则梯子顶端力下落

【考点】勾股定理的⑹用.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据梯子、墙、地面构成直角三角形，利用勾股定理解答即可.

【解答】解：在Rt△48C中，AB=5m,BC=3m,根据勾股定理得/C=二府=4

米，

RtZ\CO£1中，ED=AB=5m,CO=8C+O8=3+1=4米，

根据勾股定理得CE=,/DE2.CD2=3,所以花=4C-CE=1米，

即梯子顶端下滑了1/H.

11.观察下列一类勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；…请你根据规律写出第4组

勾股数为9,40,41.

【考点】勾股数.

【答案】见试题解答内容

【分析】通过观察,得出规律:这类勾股数分别为2〃+1,2M+2”，2/3+2〃+1,由此可写

出第4组勾股数.

【解答】解：通过观察得：

第1组勾股数分别为:2X1+1,2X12+2X1,2X12+2X1+1；

第2组勾股数分别为:2X2+1,2X22+2X2,2X22+2X2+1；

第3组勾股数分别为：2X3+1,2X32+2X3,2X32+2X3+1：

所以第4组勾股数为:2X4=1=9,2X42+2X4=40,2X42+2X4+1=41.

故答案为：9,40,41.

12.三角形的三边长分别为3,4,5,则这个三角形的面积是

【考点】勾股定理的逆定理.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据勾股定理的逆定理判断此三角形为直角三角形，然后利用三角形面积公式

即可求得答案.

【解答】解：•••三角形的三边长分别为3,4,5,

・・.52=32+42,

・•・此三角形为直角三角形，

・•・这个三角形的面积=^X3X4=6.

故答案为：6.

13.如图，是由两个相同的直角三角形力8C和立陀拼成的，则图中与N4相等的角有，

个，分别是/DCB,/F；Z1与关系是_互余：N2与N1的关系是一相等.

1

DRE

【考点】直角三角形的性质.

【答案】见试题解答内容

【分析】此题主要考查直角三角形的性质，结合题意，求得结果.

【解答】解：•・•两直角三角形全等,

:.NA=NF,

又•・•有同角的余角相等可得,

NA=NDCB,

•；/FDE=90°,即CDl/8,

AZ1与//互余,

又•・•ZA=ZF,

根据等角的余角相等可得N1=N2,

故答案为：图中与N4相等的角有2个，分别是NQC从ZF；N1与/力关系是互余;

N2与N1的关系是相等.

14.现用火柴棒提一个直角三角形，两直角边分别用了3根、4根长度相同的火柴棒，则斜

边需要用根.

【考点】勾股定理.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据勾股定理即可求得斜边需要的火柴棒的数量.

【解答】解：•・•两直角边分别用了3根、4根长度相同的火柴棒，

・•・斜边需用4§2+42=5（根）.

故答案为5.

15.已知△ABC的三边长为5,12,x,可知当x=12时△/8C是等腰三角形；

（1）当x为13或JT历时,是直角三角形；

（2）猜想：当x的取值范围为JmVxV13时,△48C为锐角三角形.

【考点】勾股定理的逆定理.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）题中没有指明哪个是斜边则应该分两种情况进行分析；

（2）根据勾股定理可知x的平方取值范围在12与5的平方和与平方差之间.

【解答】解：（1）分两种情况：

①当第三边x为斜边时，X=752+122=13;

②当边长为12的边为斜边时，x=7122-52=^

故当x为13或历时，△48C是直角三角形；

（2）V122-52=1I9,122+52=169,

.,.119<^<169,即VT1^<XV13.

故答案为13或JIB；V119<X<13.

三.解答题（共3小题）

16.如图，在△NBC中，AD1BC,垂足为。，AD=4,BD=2,CD=8.

（1）求证：ZBAC=90°；

（2）P为8C边上一点，连接力尸，若是以48为腰的等腰三角形，请求出8P的

长.

A

【考点】勾股定理的逆定理：等腰三角形的判定；勾股定理.

【答案】（1）证明过程见解答；

（2）6P的长为2爪或4.

【分析】（1）在Rt^ABD中利用勾股定理可求力/，同理在RtAJCD中利用勾股定理可

求4c2,而8C=CZ）+8Q=10,易求4c2+482=10。=8。2,从而可知是直角三角

形.

（2）分两种情况：①当8P=48时；②当时；分别求出行的长即可.

【解答】（1）证明：VJD15C,40=4,80=2,

：,AB2=AD2+BDZ=20,

又•・"Q_L4C,。。=8,40=4,

：,AC2=CD2+AD1=S0.

,:BC=CD+BD=\3

・•・*=]oo,

/.JC2+JZ?2=100=5CS

：,ZBAC=90°,△45C是直角三角形.

（2）解：分两种情况：

①当时，

VJD±Z?C,

•,^^=VBD2+AD2=2V5,

:.BP=AB=2爬;

②当力。=43时，BP=2BD=4.

综上所述：的长为2机或4.

17.如图，在四边形/8C。中，已知：AB=\,BC=2,8=2,力。=3,且48_1_8c.试

说明力C_LC。的理由.

D

A

BC

【考点】勾股定理的逆定理.

【答案】见试题解答内容

【分析】先在△/18C中，根据勾股定理求出力C?的值，再在△月CO中根据勾股定理的逆

定理，判断出力C_LCD

【解答】证明：因为在△48C中力8_L8C,根据勾股定理：AC2=AB2+BC2=12+22=5,

•・•在△4CQ中，AC2+CD2=5+4=9,AD2=9,

:.AC2+CD2=AD1,

・•・根据勾股定理的逆定理，△力。为直角三角形，

所以力C_LCQ.

18.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国

占书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了

证明勾股定理，创制了一幅“弦图"（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.如

图①是用四个能够完全重合的直角三角形拼成的图形，其中直角边长分别为a,