考研数学（数学一）模拟试卷503

考研数学(数学一)模拟试卷503

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

x7x6

1、设f(x)可导f(0)=0,f'(0)=2,F(x)=Fot2f(x3-g(x)=56,则当x—0

时,F(x)是g(x)的()

A、低阶无穷小

B、高阶无穷小

C、等价无穷小

D、同阶但非等价无穷小

标准答案：D

知识点解析：因为

F(X)=£/7(X3-t3)d/=-y£/(X3-P)d(X3-P)

当时,g(%)所以

o

lim)=2lim^^=lim^^-=/'(0)=2O

s'/5

7g(4)166X…X

~6X

故本题选D。本题考查无穷小量阶的比较。观察题干给出的两个函数，考生可以

发现F(x)为变上限积分的形式，因此要先对其化简，然后再计算。

2、设f(x)为可导函数，且f'(x)严格单调递增，则F(x)=%-a在(a,b］内()

A、有极大值

B、有极小值

C、单调递减

D、单调递增

标准答案：D

知识点解析：由导数运算法则及拉格朗日中值定理得

r(x)="""""'-1

(…尸

J，⑺(…计("乂…)

(%-0)2

-AQ'其中aVqVxgb。因为f'(x)严格单调递增，

所以f'(x)—f(&)>0,从而F‘(x)>0,即F(x)在(a,b］内单调递增。故本题选D。本

题考查函数的性质。题干中已知f'(x)严格单调递增，要想得到关于F’(x)的表达

式，就要对F(x)求导，求导之后利用已知条件和函数性质，即可得出最终答案。

3、曲线racb0的(a>0,b>0)从0=0到0=a(a>0)的一段弧长为()

(B),J1+abe"d3

(A)0

M2

(C)£yi+(ae)d^o(D)［而e<l+(而e")2d%

3

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：用极坐标表示曲线的弧长公式，有

s=广dg=ae")°+(abe*)'d6=「屋1+从dg

1。J°故本题选A。

本题考查定积分的几何应用。平面曲线由极坐标方程r=r(0)(a或邹)给出，弧长为s

。)+产⑻de

，其中r=r(0)在［a,可上有连续的导数。

1x=2x,

"2%和直线二号=亨

1-32

4、与直线L］：Z=3T.都平行，且过原点的平

面方程为()

A^x+5y+7z=0

B、x—5y+7z=0

C、x+5y—7z—13=0

D、—x+5y+7z—13=0

标准答案：A

知识点解析：由题意可得直线L］的方向向量为(2,1,-1),直线L］的方向向量为

(1,-3,2),平面的法向量n垂直于两个方向向量，则

iJk

n=21-1=-(1,5,7)

172因此过原点的平面方程为x+5y+7z=0。故本题选

A。本题考查平面方程的求解。所求平面方程的法向量垂直于两条直线的方向向

量，因此求出两条直线的方向向量之后，对它们做向量积可得平面的法向量，从而

得出平面方程。

1oonri02'

(A)A=002000

.00ojLo00.

00.•20O'

04o040

.00-2..00-3.

101-n

(D)A=001

5、下列矩阵中，A和B相似的是().00.005

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析:A项，r(A)#(B)；B项，tr(A)#r(B)；C项,IAIrIBI°由矩阵

相似的必要条件可知，A、B、C三项错误。由排除法可知，本题选D。实际上，

对于D项，r(A)=3,特征值为1(三重)，r(A-E)=2,r(B)=3,特征值为1(三

重)，r(B-E)=2,所以矩阵A和B相似。本题考查相似矩阵的性质。矩阵A和B

相似的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得PrAP=B。进而可得矩阵A和B相

似的必要条件:①r(A)=r(B)；②IAI=IBI；③入A=入B;@tr(A)=tr(B)；

⑤A和B的特征多项式相同。

6、设二次型f(X],X2，X3)=(xi+X2-2x3)2+[—3x]+(a—1)X2+7x3『+(X]+ax39

正定，则参数a的取值范围是()

A、a=­2

B、a=-3

C、a>0

D、a为任意值

标准答案：D

知识点解析:方法一:f(Xj,X2，X3)是平方和的形式,所以f(X|,X2,X3)>0o

七+七一况二。，

/(«1,町，盯)=-3x1+(a-l)x2+7x3=0,

上述方程组的系数行列式为回=(a+

2)2+1>0,所以a取任意值，上述方程组都有唯一零解，即对任意的X/),都有

f(X|,X2，X3)>0,f正定。故本题选D。方法二：f(xi,X2，X3)=[xi+X2-2X3，

—3xi+(a—1)X2+7x3,xi+axa]=(xj,X2»X3)=xTBTBx=xTAx,其中A=BTB

且AT=AOIBI=(a*2)2+1>0,其中a为任意值，所以对任意的a,矩阵B

均可逆，则A=BTTB正定，f(xi，x2,X3)是正定二次型。故本题选D。本题考查

正定二次型的判定。若要判断二次型正定，则应给出证明，常用的方法为二次型正

定的定义或充分必要条件。二次型正定的定义：设有二次型f(x)=XTAX,如果对于

任何若0,都有f(x)>0,则称f为正定二次型。二次型f(x)=XTAX正定的充分必

要条件：①A的正惯性指数为n,其中n为向量x的维数；②A的特征值均大于

0；③A与单位矩阵E合同；④存在可逆矩阵P,使得A=P「P；⑤的所有顺序主

子式全大于0。

7、设A,B,C是三个随机事件，P(ABC)=0,且OVP(C)V1,则一定有()

A、P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)

B、P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

C、P[(A+B)IC]=P(AIC)+P(BIC)

D、P[(A+B)IC]=P(AIC)+P(BIC)

标准答案：C

知识点解析：选项A：P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)

+P(ABC),由于P(ARj,P(RC),P(AC)的值未知，所以A选项不一定成立。选项

B：因为P(ABC)=0,且OVP(C)V1,所以若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立，则

P(A),P(B)的值至少有一个为零，因此B选项不一定成立。选项C：因为P[(A+

B)C]=P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(AC)+P(BC),所以

P[(4+8)|C]=P"然，=2JiC)+P(B\C)

P(C)■因此C选项成立。选项D：因为

P[(A，B)C]=P(4C+BC)=P(4C)+P(RC)-P(ABC),

同时P(A画:P(A8)-P(4BC)=玖他,所以

P[(4+B)C]=P(XC+HC)=P(AC)+P(BC)-P(AB)t

因此

外(4”)@二"””区Lpj画”(川力-里丝，

P(C)P(c)

由于P(A8)的值未知，所以D选项不一定成立。由于P(AR)

的值未知，所以D选项不一定成立。综上所述，本题选C。本题考查三个随机事

件的概率关系。考生可依据三个随机事件的概率性质逐一判断各个选项的正误。

8、设Xi，X2，…，XN和Yi，Y2，…，YN是分别取自总体均为正态分布N(|i,

』)的两个相互独立的简单随机样本，记它们的样本方差分别为S3和S22,则统计

H-1

量T=.。(Si2+S22)的方差D(T)=()

A、2(n—l)o2

B、2no2

C、4(n—l)o2

D、4no2

标准答案：C

—y-5f~V(n-1),~X("T),

知识点解析：根据题意可得。0r且二者相互独立，

所以回故本题选C。本题考查统计量方差的计算。设X〜N3,02),X],

X2,…，Xn是来自总体的简单随机样本，样本均值为，样本方差为S2,则有如下

结论：

二、填空题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

9、设f(x)为可导的偶函数，且满足、Y乂,则曲线y=f(x)在点(一1,f(-

1))的切线方程为o

标准答案：y=4(x+1)

句、”「死犷山m幺篝龙-2,所以啊/(cos*)=0,即网/(cos父)=〃1)=0

大口识点解析：因为uTU*7

因为f(x)为偶函数,所以f(—1)=0。

根据呵色22,可得

位二牛以”声，⑴

COSX-1X所以f'(l)=-4o因为f(x)

为偶函数,所以f'(x)为奇函数,则f'(l)=-f(-l)=-4,即广“1)=4,因此所

求切线方程为y=4(x+l)。本题考查切线方程的计算。求某点的切线方程需要确

定切线的斜率，而斜率等于该点的导数值。本题涉及的知识点有：同阶无穷小的定

义，导数的极限形式，已知函数的奇偶性判断导函数的奇偶性。

10、函数f(x,y)=ax2+bxy2+2y在点(1,一1)取得极值，则ab=

标准答案：2

知识点解析：函数f(x,y)=ax2+bxy?+2y分别对x,y求偏导，得

~=2ax+by2,~=2bxy-¥2_.

a”ay因为函数f(x,y)=ax2+bxy-+2y,在点(1,一1)取得极

—=2a+6=O,-I=-26+2=0,

dx(i,-ndyI(1.-1)

则a=~,6=1,因此可得a6=­

值，所以22o本题

考查多元函数求极值。设函数z=f(x,y)在点(xo，yo)取得极值，则fx'(x(),yo)=

0,fy(xo，yo)=Oo

11、-/以dy=o

标准答案：1/4

知识点解析：本题先对y积分较困难，先对x积分可以应用凑微分法，因此先交换

(dxfX\/\-x2^y2dy=fdyfx\/l-x2+y2dx,

积分次序得0°J。3j求解上述积分得

22

JdyJx\/l-x+jdx=-^JdyJJ\Td(1-x2+,y2\)

=T£{[(1[}d*T)dy4

本题考查累次

积分的计算。观察被枳函数可知，先对y枳分较困难，因此口J以先交换积分次序,

然后再进行计算。

12、函数f(X,yy：)=X2+y2+z2沿球面x?+y2+z2=2在点(1,一1,0)的外法线

dn

方向的方向导数=O

标准答案：或

知识点解析：球面x?+y2+z2=2在点(1,-1,0)的外法线向量为n=(I,-1,

0),其方向余弦为

cosa=—■,cosB=---,cosy=0o

&J2

因此

-cosa+-cosjcosy=2•'+(-2)•—+0=2^o

7

dndxx.idyy・・idz\,«oJ2

本题考查方向导数的定义及其计算。

13、设ai=(2,1,1)1,012=(—1,2,7)1,(13=(1，—1»-4)丁,若仇=(1,2,t

+1)T可以由山，江2，线性表示，但是例=(31，O)T不可以由(X1，(12，线性

表示，则t=o

标准答案：4

知识点解析：根据题意，力可以由外，a2,(13线性表示，则方程组xiai+X2S+

X3C(3=Pl有解；。2不可以由ai，a2,(X3线性表示，则方程组X](X1+X2a2+X3(X3=。2

无解。由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并在一起进行矩阵的初等变

换，即由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并在一起进行矩阵的初等变

换，即

以当t=4时，方程组xm+x2a2+X3(i3=内有解,方程组xg+x2a2+X3(X3=。2无

解，故1=4。本题考查向量组的线性相关性及线性方程组解的判断。向量H可以

由向量组⑺，a2,。3线性表示的充分必要条件为非齐次线性方程组xiai+x2a2+

X3Ct3=01有解；同理，若不能线性表示，则对应的非齐次线性方程组无解。同时，

非齐次线性方程组有解的充分必要条件为系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩；无解的

充分必要条件为系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩。

14、设随机变量Xi，X2,X3相互独立,且Xi〜N(l,4),X2〜N(2,9),X3〜

N(3,16),贝ljE[Xi(Xi+X2+X3)]=o

标准答案：10

知识点解析：已知X]〜N(l,4),X2〜N(2,9),X3〜N(3,16),则E(Xi)=1,

+

E(X2)=2,E(X3)=3,D(Xi)=4,D(X2)=9,D(X3)=I60E[Xi(Xi+X2X3)]=

E(X]2)+E(X])E(X2)+E(X1)E(X)=D(X1)[E(Xi)]2+

3+E(XI)E(X2)+E(XI)E(X3)=

10o本题考查相互独立随机变量的性质及正态分作的期望和方差公式。将所求期

望的随机变量展开，利用独立性分解成多个期望的和，结合公式D(X)=E(X2)一

(E(X)]2及正态分布的期望和方差求得最终结果。

三、解答题(本题共8题，每题分，共8分。)

2+1

15、设f(x)连续，且Htf(x+t)=/,已知f(2)=l。求积分Ji2f(x)dx的值。

标准答案：令u=x+t,则1=U—X,dt=du,根据?奂元积分法，fixtf(x+t)dt=

2x+l

2x2x2x2x

fx(u-x)f(u)du=Jxuf(u)du-xjxf(u)du=/在等式『、"(⑴加—xfxf(u)du=

两端同时对x求导可得2xf(2x)x2—xf(x)—Jx2'f(u)du—x[2f(2x)—f(x)]=移项合

并得Jx2xf(u)du=2xf(2x)+在上式中，令x=1,结合f(2)=1,可得Ji2f(u)du=2x1

+(2+2)=6。本题考查换元法化简积分，其中涉及变限积分求导。首先容易观察

到令u=x+t时，则已知积分的上、下限变为x和2x。结合变限积分化简已知积

分,将其变形为关于x的函数Jx2xf(t)出的表达式，令x=l,即可得出最终积分。

知识点解析：暂无解析

y(T)1

2Aylzir.1

16、求累级数台2n+l的收敛域及和函数，并求W2n+l4”的和。

/♦2

4♦](“)2/3

=X

X

2nli

标准答案:当IxIVI时，幕级数收敛；当I

xl>1时，幕级数发散；当乂=±1时，察级数口收敛，因此募级数的收敛域为

[-hl]o因此有(p(0)=0,S(0)=lo本题考查幕级数求和及基级数的性质。本题

求收敛域时，首先利用比值判别法求出事级数的收敛半径，再单独判断端点处级数

的敛散性。鼎级数的和函数利用基级数的性质，即对原基级数逐项求导或逐项求积

分不改变级数的敛散性。

知识点解析：暂无解析

17、设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导且f(a)#f(b),试证明存在中

/'一)二『⑺

美(a,b),使得3r1+而+配

标准答案：f(x)在［a,b］上满足拉格朗日中值定理的条件，因此由拉格朗日中值定

理知令g(x)=x3,由柯西中值定理知

/(6)寸(。)=/'(5)即46)力。)二-4)

g(b)-g(a)gr(f)*63-a33-

所以7"、f(、一/'(6)/人33\

3f结合已经得出的结论f(b)-f(a)

=f(q)(b-a),有0本题考查拉格朗日中值定理和柯西中值定理。首先根据拉格

朗日中值定理得出f(b)-f(a)=f(n)(b-a),再根据柯西中值定理得出f(b)-f(a)=

(b3-a3),最后联立两式即可得出结论。

知识点解析：暂无解析

其中S是椭球面/+齐+。2-的上半

18、计算曲面积分1=s2x3dydz+3y3dzdx,

部分的上侧。

I},添加的曲面片的法向量

标准答案:添加曲面片S］=

向下。记添加后的封闭曲面为口根据封闭区域的高斯公式，则有本题考查第二

类曲面积分。解决第二类曲面积分有两种思路，第一种是分片逐个投影计算积分后

再相加；第二种是添加曲面片，构造封闭曲面利用高斯公式计算积分。一般情况

下，添加曲面后利用高斯公式可以简化计算过程。

知识点解析：暂无解析

19、求内接于abc(其中a,b,c>0)的长方体体积的最大值。

222

标准答案：设内接于已知椭球面°bc的长方体的体积为V,且点A(x,

y,z)是长方体在第一卦限内的一个顶点。由于椭球面关于三个坐标轴均对称，因

冈

此V=8xyz且满足(其中A,b,c>0)o构造拉格朗日函数，设L(x,y,z,

九尸8xyz+对x,y,z,入分别求偏导数，并令其等于0,上述方程组的前三个式子

分别乘以x,y,z,则有可得九=0时，8xyz=0,不合题意，因此有，结合方程组

的第四个式子有根据题意，内接长方体没有最小值，但存在最大值，因此对应第

一卦限顶点为本题考查条件极值。根据题意找出长方体体积的表达式，结合已知

条件构造拉格朗日函数，对函数中各个变量求偏导数令其等于0,求出各驻点，比

较各驻点的函数值。

知识点解析：暂无解析

20、设二次型f(X],X2，X3)=XTAX=axJ+6X22+3X32—4X|X2—8x1x3—4X2X3，其

中一2是二次型矩阵A的一个特征值。⑴求a的值；(II)试用正交变换将二次型f

化为标准形，并写出所用的正交变换。

'a-2-4-

—26—2

标准答案：⑴题干所给二次型f对应的矩阵A=-23」，已知入=-2是A

的特征值，因此有0得到a=3。(II)由矩阵A的特征多项式I入E—Al==(入

—7)1入+2),矩阵A的特征值是入1=上=7,九3=—2。对于1=7,齐次方程组(7E

一A)x=0的基础解系为对于人=-2,齐次方程组(一2E-A)x=0的基础解系为a3

=因为a]，a2不正交，故需正交化，有那么令Q=(yi,Y2，Y3)=，则在正交变换

Tr222

X=Qy下，有XAX=yAy=7yi+7y2-2y3o本题考查二次型的标准化及正定

矩阵的判断。先根据一2