广东省惠州某中学2025-2026学年高一年级下册期中数学试卷（含答案）

2025.2026学年广东省惠州中学高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。

1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2,1）,则i・z=（）

A.-1+2/B.1+2，C.1-2/D.-1-2/

2.已知平面向量石不共线，R一：]“.："，初一）・："，而0・.3了，则（）

A.A,C,。三点共线B./l,B,。三点共线C./l,B,。三点共线D.B,C,。三

点共线

3.如图，P4垂直于矩形/8CO所在的平面，则图中与平面尸CQ垂直的平面

是（）

A.平面ABCD

B,平面PBC

C.平面PAD

D.平面PCD

4.已知a,6,c分别为△48C三个内角4B,C的对边，若c=acos8,则的形状为（

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

5.已知。力是空间两条不同的直线，a,0,丫为三个不同的平面，则下列命题正确的为（）

A.若a〃,〃ua,力up,则a\\b

B.若a〃a,“邛，Malp

C.若an°=a,ynp=b,a。，则ay

D.若al[5,则aip

6.正四棱台的上、下底面边长分别是2和4,侧棱长是2、句，则该棱台的体积是（）

,“62K

A.、B.——C.28D.56

33

7.如图，在正方体中，E为棱48的中点，尸为棱CG的中

点，则异面直线小E与8厂所成角的余弦值为（）

AEB

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C5

D」

8.在。中，内角4,B,。所对应边分别为。也c,则下列说法不正确的是（）

A.点G为△/44C的重心，若灰？XAfipic,则九+2产0

B.若满足QT力=2,4=30°的。有两解，则/的取值范围为（1,2）

C.若点。为△4BC内一点，且耳।2OB4：0?-0>»则SMOC：SMBC=\：6

D.若｝力.1（：2Rin（'M,.i（7i，则sine的最大值为人

«）

二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。

9.下面是关于复数.'（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（）

A.z在复平面内对应的点位于第四象限B.若复数z『l+i,则:-:J=2/2

C.z的共规复数为1+/D.z的虚部为・1

10.如图，在△48C中，.14-2,"3".1伙=若点、D为小B的中点、，点、E在BC上,且

万Z-2/T，线段力£1与。。相交于点R则下列说法正确的是（）

A.|M|=看B.4?：/・，而

C.』广正=3D.r^ZAFC-

7

11.正方体力8。。-4a（7。|棱长为2,动点。在线段小沙上，以下结论正确的

为（）

A.三棱锥B-4DP的体积为定值

B.过P,B,G三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或四边形

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C.当点P和囱重合时，三棱锥Pd山。的外接球体积为1\

D.直线9与平面小皿所成角的正弦值的范围为偿.殍|

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知圆锥的底面直径和母线长都是2,则该圆锥的侧面积为—.(结果保留兀)

13.若标=(2,2),(Tp,=(-2,3)分别表示/；,/：,则|6+小|为—.

14.素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力.“十字贯

穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制的“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿

体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于

另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧.棱交于一点

(该点为所在棱的中点).若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为4,高为6v2的正四棱柱构

成(图2),则一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的点C出发，沿表面到达点。的最短路线长为

M

图1

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知向量丁=(1.2),-(-1.AI，kER.

(1)当“♦丁时，求女的值；

(2)当“・.丁时，求出的值；

(3)若向量，’(51)且fTO-21，求实数x#的值.

16.(本小题15分)

是0O的直径，C为圆上一点，AB=2,AC=\,〃为GO所在平面外一点，且/MJLGO.刊?与平面所成

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角为45°

(1)证明：8cl平面4C；

(2)求点4到平面P8C的距离.

17.(本小题15分)

已知a也c•分别为△48c三个内角4B,。的对边，£L(a+2h)cosC+ccos/(=0.

(1)求C；

(2)若c=2,求△力8c面积的最大值.

18.(本小题17分)

如图，在长方体力申，AB=AD=2,力小=4,点P为。。的中点.

(1)求证：直线平面P/C；

(2)求直线力夕与平面4。。山|所成角的大小.

・♦T•

1•'

19.(本小题17分)

定义：函数/(x)=Xsinx+iicosx为向量-，川的和谐函数，向量二，'，"为和谐函数/(x)

=Qinx+RCOSX的和谐向量.

(1)求函数「川-＜、八：•]।的和谐向量＜;

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(2)已知和谐向量7-('1,：的和谐函数为g(x),△ABC的内角4B,。的对边分别为。力,c,其中

a-'；'，且g(力)=1.

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(/)若点G为△48C的重心，求的最大值：

(/；)若△48C为锐角三角形，4D平分乙B4c且与BC交于点D,求力。长度的取值范围.

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1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】BD

10.【答案】AB

II.【答案】ABC

12.【答案】2冗

13.【答案】5

14.【答案】4V2+2

15.【答案】k[k=2\!

16.【答案】(1)证明：•••HU平面48C,••.P/118C,

是圆。的直径，。是圆上一点，.•・8C1/1C,

y.-PAC]AC=A,

.••8CL平面PAC.

(2)解：如图，过点力作力DLPC,于点。，

平面PAC,/Qu平面PAC,

'.BCLAD,••.力。1平面P8C,

.MD即为点A到平面PBC的距离，

依题意知-1是P8与平面48c所成的角，・•・484=45°,

•••PA=AB=2,AC=1,解得尸C=v’5,

.：AD・PC=PA・AC,

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_2xI24

.•.3F—

.•.点4到平面P8C的距离为“’

5

17.【答案】解：(1)已知。力《分别为三个内角力，B,C的对边,

因为(a+2b)cosC=-cco&4,

由正弦定理---------；=2RW(siivl+2sin8)cosC=-sinCcosJ,

ninAmnDmnC

即sinJcosC+2sin8cosc=-sinCcosJ,

所以2sin8cosC=-(siMcosC+sinCcos/),

根据两角和的正弦公式和诱导公式可得2sin8cosc=-sin(A+C)=-sinB,

因为sinB#O,所以:,

因为OVCV冗，所以「二/

•>

(2)根据三角形的面枳公式可.得?\小”人一［而，

由余弦定理得1T6-2加「小~’,

化简得4=凉+人2+48,又因为东+"22",当且仅当a=b时，等号成立，

所以4-ab22nb,即小，:，

J

所以3,->\ib-'：，故△48C的面积最大值为

I<5«5

18.【答案】解：(1)证明：设力CCIAZAO,连接OP,

因为48=/。=2,且力80小8CD|为长方体，

则四边形48CD为正方形，所