全等三角形的九大常见模型（专项训练）-人教版八年级数学上册（原卷）

全等三角形的九大常见模

模型一：平移模型

全等模型庭解读常见触

①加（减）共线部分，得到一组对

沿同一直线平移的两个三角应边相等；

平移模型

合②利用平行线性质找对应角相

等

【模型1平移模型】

【例1】（24-25八年级上•重庆江津•期中）如图，将△A8C沿射线8C方向平移得至"△DCE,连接BD交4c

于点尸.求证：AAFB三4CFD.

HACAE

【变式1-11将Rta/IBC沿直线向右平移2个单位得到《△AB'C’,若48=4,乙48c=90°,且S^BC

=6，求S四边形88'C'H・

【变式1-2]如图，已知在即ZU8C中，々1=90。，将七入48。沿力C所在直线平移得到放使平移

的距离AF=4B,连接8月过点。作CG1B产于点G,连接OG,EG.

求证：△DFG34ECG.

【变式1-3]（1）如图1,点X,/7",C在同一条直线上，AE=CF,AD||CB,AD=C3,求证：^ADF=△CBE.

（2）若将图1中的△BEC沿CA方向平移得到图2、图3,其他条件不变，△/D尸三△C8E还成立吗？为什

么？（选择一种情况说明理由）

模型二：翻折（轴对称）模型

全等模型模型解读常见模型解题思路

①诵讨公共角.垂直.对顶角.

两个三角形过公共点所在的等腰三角形等条件得对应角相

翻折（轴对称）直线或公共边折叠，两个三等；

模型角形重合②通过公共边、中点、等边等条

e―件得对应边相等

【模型2翻折（轴对称）模型】

【例2】（2024・湖北武汉•二模）如图，将△48。的边4C沿BC边上的高4。折叠到E在边8C上，若

乙B=56O/B4E=22°,则，C的度数为（）

A.78°B.56°C.34°D.22°

【变式2-1］如图所示的图形是关于MN所在的直线为对称轴的粕对称图形，则图中全等的三角形共有（）

A.1组B.2组C.3组D.4组

【变式2・2】（24-25八年级下•河北保定•期末）如图，将折叠，使边AC落在边上，展开后得到折

A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形

【变式2・3】如图，4ABC,点。，E在5c边上，点/在4c边.匕将ZVIB。沿力。折叠，恰好与八4£。重

合，将•沿折叠，恰好与重合.下列结论

①乙8=60°；（2）AB=EC；③月。=力尸；@DE=EF；⑤乙B二2乙C,

正确的个数有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

模型三：手拉手模型

全等模型模型解读常见模型

B

两个顶角相等的等腰三角形顶角

力口（减）共顶点的角的共角部

手拉手模型顶点重合，左底角顶点互连，右底

M分，得到一组对应角相等

角顶点互连所组成的图形C

【模型3手拉手模型】

【例3】如图，△ABC为任意三角形，以边A8,AC为边分别向外作等边三角形4BD和等边三角形4CE,连

接CD,BE并且相交于点P.

求证:

⑴CD=BE；

（2）LBPC=120°.

【变式3-1]（25-26八年级上•四！1|资阳•期中）已知：如图，△48D和△AEC都是等腰直角三角形，

AB=AD,AC=AE,4B/D=NC4E=90°,连结CD,BE相交于点尸,与BE相交于点求证：BE1CD.

【变式3-2]如图，△AB。和△£6。都是等边三角形，连接力E,CD.求证：AE=CD.

【变式3-3】白△力块;中，A8=AC,点。是直线以;上一点，连接力。，以A0为边向右作△?1〃山使得

AD=AE,/-DAE=^BAC,连接CE.

⑴①如图1,求证:AABD^^ACE：

②当点力在8C边上时，请直接写出△ABC,AACD,△ACE的面积（$△.（;，S^CD，^CE）所满足的

关系;

⑵当点。在BC的延长线上时，试探究△力BC,AACD,△4CE的面积（S^ABC，^ACD，S^CE）所满足的

关系，并说明理由.

模型四：半角模型

全等模型模型解读常见模型

有公共顶点，锐角等于较大角的一

D

半，且组成这个较大角的两边相力|^~\延长一边，构造全等三角形，

半角模型等.通过作辅助线将角的倍分关从而得到线段之间的数量关

系转化为角的相等关系，并进一系

BEC

步构成全等三角形

【模型4半角模型】

【例4】（25-26八年级上•山东济宁•阶段检测）如图，正方形ABCD中，M,N分别在C。、8C上，连接

AM、AN、MN,乙MAN=45°.

⑴若将△力DM绕点力顺时针旋转90。，点。与点8重合，得到△力8E；请你补全图形.

⑵直接写出线段DM、BN、MN之间的数量关系；

⑶根据（2）的结论，写出证明过程；

⑷如果正方形的边长是5,求△CMN的周长.

【变式4-1】如图，在Rt△48c和中，乙BAC=cBDC=9b,4c=4,AB=AC>乙CBD=30。，M,N

分别在4Q,CO上，乙MAN=45\则△£）.•%的周长为.

【变式4-2］如图，在口△48C中，AB=AC,/-ABC=Z.ACB=45°,D、E是斜边BC上两点，且

/.DAE=45°,若80=3,CE=4,S^ADE=15,则△480与△AEC的面积之和为()

A.36B.21C.30D.22

【变式4-3】如图，梯形4"。。中，ADWC,AB=RC=DC,点"、”分别在4。、3"上，KzFCF=

(1)求证：BF=EF-ED；

（2）连结AC,若乙B=80°/DEC=70。，求乙4CF的度数.

模型五：一线三等角模型

全等模型模型解读常解题思路

利用三角形内角和为。和

C180

左图，两个三角形有一条边共:1%p

£^内、外角关系，通过等角代换

三等角线；/

得到一组相等的角，利用

模型右图，同一直线上有三个相等的

AAAS或ASA证明三角形全

角的顶点，=42=乙3PBC

等

【模型5一线三等角模型】

【例5】如图，在“8（7中，48=力。=9,点E在边彳C上，彳£的中垂线交于点。，若乙4DE=^B,CD

=3BD,则CE等于（）

A.3B.2C.4D.7

【变式5-1】如图，在△ABC中，Z-ACB=90°,AC=BC,BEICE,于点E,A。1CE于点O.△BEC^j△CDA

全等吗？请说明理由.

【变式5・2】（25-26八年级上•湖北武汉•期末）如图，。是线段"的中点，CFWAB,过点。作直线交48、CF

于点E、F.

A

£

MD

BNC

(1)证明:DE=DF；

(2)若8c的垂直平分线交线段BC、ED于点N、M,BC=2MN,AB=8,求线段E尸的长.

【变式5-3](25-26八年级上•云南昆明•期末)一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外

两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模

(1)如图1,在△力8C中，乙BAC=9。°,=点力在直线MM上，过点B作801MN于点。，过点。作

CE工MN于点E,由4648+4DBA=90°,^DAB+/.CAE=.又知道

/-BOA=/.AEC,AB=AC,可以推理得至lJ△AB。w△C4E,进而得到4。=CE,AE=.

(2)当图1中的直线MN绕点A旋转到图2的位置时，求证：DE=BD-CE.

⑶当图1中的直线MN绕点4旋转到图3的位置时，请直接写出DE,BD,CE.之间的数量关系:

⑷如图4,若将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线MN上，且满足

^BDA=LBAC=Z.AEC=a,其中a为任意锐角或钝角，请问结论△三△C4E是否成立？若成立，请

给出证明：若不成立，请说明理由.

模型六：雨伞模型

全等模型触解读常

AP平分ZBAC,BD1AP,垂足

通过延长线段与直线相交，从而构A

/K为点D,延长BD交AC,于点

模型造一对全等三角形，并将已知条件

C,证明△ABDW2XACD,得至IJ

中的线段和角进行转移pAB=AC,BD=CD

【模型6雨伞模型】

【例6】(25-26八年级上•江苏南通•期中)如图，△48。中，AC=BC,^ACB=90°,AD平分Nb4c交8C

于点。，过点8作BE14),交4D延长线于点E,厂为43的中点，连接C凡交40于点G,连接8G.

(1)求证：△8EG是等腰直角三角形；

⑵线段8E与线段4。有何数量关系？并说明理由.

【变式6-1］如图,在A4QG乩CP平分，ACR.4PleP于点P,己知八4”的面积为九则阴影部分的面积

为.

【变式6-2］如图，四边形力〃CO中，七是。C的中点，连接力E,4E平分乙DAB,乙。=乙C=90。，AD=4BC

=8,则线段的长为.

AD

B

【变式6-3】【问题情境】

利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，0P平分乙MON,点A为。M上一点,过点力作

AC10P,垂足为C,延长AC交ON于点B,易证A40C三ABOC,则4C=BC.其分析过程如下:

在A/10C和A80C中,

0P平分NMON=乙4。。=Z.BOC

0C=OC,AC1OP^WCA=Z.OCB=90°

=AAOCwXBOC(

在括号内填写全等判定方法字母简称

=>AC=BC()

在括号内填写理由依据

【问题探究】

如图2,A/1BC中，AB=AC,^BAC=90°,CD平分乙4CB,BE上CD,垂足E在。。的延长线上.证明:

CD=2BE；

【拓展延伸】

如图3,在2L48C中，AB=AC,^BAC=90°,D在线段8c上，向8c左侧作iBDE=E/ACB,BEIDE于£,

DE交4B于凡试探究BE和。尸之间的数量关系，并证明你的结论.

A

D

E

图1图2

模型七：加、r分线模型

全等模型模型解读常见模型解题思路

角平分线+对称型角平分线+垂直两边型

利用角平分线图形的对称性，有角平分线时,常通过

在角的两边构造对称等瞟三角角平分线构造等腰三

形或全等三角形，可以得到对角形或构造全等三角

角平分线模型1OFB

应边、对应角相等.利用对称形，利用等腰三角形的

角平分线+垂直平分型角平分线+平行线型

性把一些线段或角进行转移，三线合一或全等三角形

这是经常使用的一种解题技巧的判定和住质进行解题

【模型7角平分线模型】

【例7】在数学活动课上，小明提出这样•个问题：乙B=NC=90。，E是BC的中点，DE平分/ADC,ZCED=

35。，如图，则上EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是.

【变式7-1]（25-26八年级上•福建南平•期中）如图，在△力8c中，=90°,4D平分/B4C交8c于点O,

CE1.AD,垂足为E,BD=ED,求证：CD平分乙4CE.

【变式7・2]（24-25九年级上•重庆巴南・期末）在学习了四边形的相关知识后，奋进组进行了更深入的思考:

在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被对角线平分所得的两个小角所对的边存在一定

的数量关系？通过讨论，奋进组的解决思路是利用构造三角形全等得出结论，根据他们的想法和思路，完

成以下作图和填空：

(I)如图，用尺规过点。作40的垂线，交力。于点立(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)已知：在四边形4BCD中，/.BAD+Z-BCD=180°,AC平分CE1交4B的延长线于点

CF1AD,求证：CB=CD.

证明：♦.\4C平分NB40,CE1AB,CFLAD,

二①，Z.CEB=Z.CFD=90°.

•:乙3AD+乙BCD=180°,

.'.Z.ABC4-Z.ADC=180°.

又.,zABC+cEBC=180°,

②.

△BCE^△DCF(③).

•••CB=CD.

通过以上探究，请你帮助奋进组完成下面命题：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则

被该对角线平分所得的两个相等小角④.

【变式7-3](25-26八年级上•山东潍坊•期中)工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1,乙AOB

是一个任意角，在边。4。8上分别取。M=ON,移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合，

即PM=PN.过角尺顶点P的射线OP便是乙4。8的平分线，已知角尺的夹角MPN=90。.

⑴请解释工人师傅这样做能得到角平分线的原因；

⑵小明认为，当上4。8=90。时，工人师傅就不需要先在边。408上分别取0M=0N,如图2,直接移动

角尺，使角尺的两边分别与。4。8相交于点M,N,且满足PM=PN,便可以得到。P平分-1。£你觉得

小明的观点对吗？并说明理由；

⑶如图3,^AOB=90°,OQ平分4108.P是射线0Q上的一点，过点P作PEJ.OB干点E,

。£=5.点C在射线04上运动，过点P作PO_LPC,与直线08交于点D.若0。=2,请直接写出。C的

长.

模型八：平行线中点模型

全等模型模型解读常

如图，已知ABIICD.点E,F分

平行线之间夹中点，通过延长过中

别在直线AB、CD上，点0为线

平行线中点点的线段与平行线相交，从而构造

段EF的中点，延长PO交CD于

模型一对全等三角形，并将已知条件中

C―4---------nu

LFQ点Q,证明APOE三AQOF

的线段和角进行转移

【模型8平行线中点模型】

【例8】（2026•江苏扬州•一模）综合与探窕

学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法〃添加辅助

线.所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的

有关知识来解决问题的方法.

如图1,在Rt△力8c中，取BC的中点O,连接40并延长，使得4。=。。，连接8。、CD,四边形力8DC为平

行四边形.

图1图2图3备用图

初步探究：

⑴如图2,数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将Rt△4BC保持固

定，绕点4按逆时针方向旋转，其中上力CB=4力£7）=90。，若N48C=30。，当点E；落在AB边上

时，连接4E并延长，使得CE=EF,连接幺尸、BF,判断四边形4cB尸的形状，并说明理由.

深入探究：

⑵如图3,当Rt绕点力按逆时针方向旋转90。时，连接C。、BE,取BE的中点P,连接4P交CO于点

。，试判断4P和CD的数量关系和位置关系，并说明理由.

【变式8-1］如图，△A8C是等边三角形，点。、£1分别是射线"、射线8c上的动点，点。从点A出发沿射线AC

移动，点E从点C出发沿射线8c移动，点。、点E同时出发并且运动速度相同.连接B。、DE.

⑴如图①，当点D移动到线段4C的中点时，求/DEC度数.

(2)如图②，当点。在线段4c上移动但不是中点时，试探索DE与BD之间的数量关系，并说明理由.

⑶如图③，当点D移动到线段AC的延长线上时，(2)中的结论是否仍然成立？并说明理由.

【变式8-2】如图1,点4是直线MN上一点，点8是直线PQ上一点，且MN〃PQ.4M48和4的平分线交

于点C.

(1)求证：BCLAC：

(2)过点C作直线交MN于点。(不与点力重合)，交PQ于点E,

①若点。在点A的右侧，如图2,求证：AD+BE=ABx

②若点。在点力的左侧，则线段为D、BE、力8有何数量关系？直接写出结论，不说理由.

图1图2

【变式8-3】【问题初探】

(1)数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1,在△A8C中，A8=AC,点/是AC上一点，点£是

4B延长线上的一点，连接E凡交BC于点。，若E0=0巴求证：BE=CF.

①如图2,小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM,使DM=BD,连接9M,

利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；

②如图3,小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EMII4C交C8的延长线于点M,利

用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；

请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；

【类比分析】

（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了

新的问题，请你解答，

如图4,在中，点石在线段48上，。是的中点，连接CE,AD,CE与4D相交于点N,若

Z.EAD+Z.ANC=180°,求证：AB=C/V；

A

图4

【学以致用】

（3）如图5,在Rta/IBC中，4B力C=90。，Z-C=30°,力尸平分48AC,点E在线段的延长线上运动，

过点E作EDIIA凡交AC于点N,交BC于点。，W.BD=CD,请直接写出线段4E,CN和BC之间的数量关系.

模型九：婆罗摩笈多模型

全等模型模型解读常思路

向外作双等腰

条件：AB1AD,AC1AE,AB=方法：倍长中线AF

直龟三角形（知

AD,AC=AE,F是BC的中点'、*结论：AF1DE.DE=2AF

\/

中点，证垂直）1/

//

向外作双等腰条件：AB1AD,AC1AE,AB=方法：作DM_LAF,EN1AF

直龟三角形（知AD,AC=AE,AF1BC结论：G是DE的中点，BC=

垂直，证中点）2AG

7L

向内作双等腰条件：AB1AD,AC1AE,AB=

方法：倍长中线AF

直角三角形（知AD,AC=AE,F是BC的中点

\t结论：AF1DE,DE=2AF

I1

中点，证垂）11

If

*

向内作双等腰条件：AB1AD,AC1AE,AB=