全国高中数学联赛模拟试题（二十六）（后附答案解析）

全国高中数学联赛模拟试题（二十六）

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一、填空题

1.设的三个内角分别为4、B、C,并且sin4cosB、sinC成等比数列，

cosA、siiiB、cosC成等差数列，则B为.

2.设双曲线二-£=1的离心率为e,过原点的直线与之交于4、8两点，若双曲线上

a'b'

存在一点C,使得直线AC的斜率与直线8C•的斜率之乘枳恰为e,则e的值为.

3.设P是4ABe所在平面内一点，满足PA+P3+Pd=3AB，若△P/1C的面积为1,则

^PAB的面枳为.

4.若一个分数?（a,人均为正整数）化为小数后，小数部分出现了连续的“2020”，例

h

如£=O.O2O2O2L,就称它为“好数”.则“好数”的分母的第二小的可能值为.

5.有甲乙两个盒子，甲盒中有5个球，乙盒中有6个球（所有球都是一样的）.每次随

机选择一个盒子，并从中取出一个球，直到某个盒子中不再有球时结束.则结束时是甲

盒中没有球的概率为.

6.在三棱锥P—A8C中，AP=3C=7.BP=CA=8,"=AB=9,则这个三棱锥的体积

为.

7.若2020在〃进制下的各位数字之和为p+5,则质数〃的所有可能值为.

8.两数列{4},{〃}满足4="＞0,4=1，且对任意正整数〃,

a.=q十幺」［也川=2+区里，贝ijlim也1■为

n17/i+in，人J_j/J_________•

a%…々

二、解答题

9.若关于z的整系数方程/++/+/•=（）的三个复数根在复平面内恰好成为一个等

腰直角三角形的三个顶点，求这个等腰直角三角形的面积的最小值.

y—0-2)-

10.两两不等的实数X、八Z满足z=G，-2)2,求x+y+z.

x=(z-2『

II.设厂是椭圆=1（4＞方＞0）左焦点，过/作两条相互垂直的直线，与椭圆的四

个交点顺次记为A、B、C、D,设尸在四边形ABC。的四条边上的射影分别为P、Q、R、

S,求证：Q、R、S四点共圆.

12.设正整数，后2,非负实数％吗，4,满足2《=1，求的最大

r=l

值.

13.如图，在乂BC中，BC最短，D、E分别在AB、4c上满足80=8=8。，设/

是U48C内心，0是VAOE外心，求证：0/1BC.

14.对两个不全等的矩形八、B,称月〉B,若4的长不小于B的长，且4的宽也不小

于8的宽.现在若对任意的〃个两两不全等的，长和宽均为不超过2020的正整数的矩形,

都必存在其中3个矩形A、B、C,使得求〃的最小值.

15.对每个正整数小定义f(〃)为从1到〃中所有与〃不互质的正整数的和.求证：若

/(，〃)=/(〃)且〃?工〃，则加-"|是合数.

试卷第2页，共2页

参考答案:

【详解】依题意，sinAsinC=cos?Z^.cosA+cosC=2sinB,

前一式积化和差可得coslA-QuZcos?B-cosB,

后一式和差化积可得cos一4_「=2co$Rw,

22

AR

所以COS(A-C)=2COS2------1=8cos2---1=4cos6+3,

22

联立两式得cos8=-；或3(舍去)，所以8=4.

故答案为：争.

9—+1

-2

［详解】设A(6/seca,btan«),B{-asec«.-btail«),C(6/sec/7,btan0),

„..,Z/lanZ7—Z/lanaL/lanB+Z/Lanub2■),

则&ic•kftc=-------------x----匕-------=—=£»--!,

asec£-"seca«sec/7+6/secaa'

因此/_i=e,即e=2^il.

2

故答案为：叵止.

2

3-7

【详解】因为PA+P8+PC=3AB，所以3R4+AB+AC=3A8，

即3PA=2AB-AC=2(AB--AC),

2

2•

记AC的中点为M,于是=

因此S曰"=5.PA"=彳SFAC=二•

2z

故答案为：y.

4.193

t详解】我们总可以将一个“好数”适当乘一个10的方案力减去其整数部分后使之成为一个

小数点后前四位是“2020”的真分数，于是0.2020wf<0.2021,

b

11115a-b1

进而---4-----<----,n即n---«-----<----.

500b54765005b476

答案第1页，共7页

若5a—b=l,则476v5〃W500旦〃三4(mod5),所以b=99.

若5a—〃=2,则952<5。41000且人三3(m(xl5),所以/，=193,198.

若5〃一〃之3,则5〃>1428力之286.

另一方面，急39aO2。?。？是“好数”，因此〃的第二小的可能值为193.

故答案为：193.

V319

5.----

512

【详解】相当于前十次中至少有五次选择了甲盒的概率，

10

即SC；0I%319.

21022"512

319

故答案为：彳行.

6.I6VH

【详解】可以把这个三棱锥嵌入到一个长宽高分别为4,闻.4行长方体中，使其六条棱分别

为长方体六个面的面对角线，

于是三棱锥的体积恰为长方体的;，即:x4xj豆x4G=16«i.

JD

故答案为：16JTT.

7.2,107

【详解】类似于在十进制下，我们有(pT)l[2020-(〃+5)],

于是("-1)12014=2x19x53,

再注意〃为质数，就有〃=2,3,107,

逐一验证得〃=2或〃=107.

故答案为：2,107.

2a+2_.

-----,0<6/<1

8.«3a+1

1,a.A

【详解】易知两数列均为严格递增的正数列，且不同时存在极限(否则对递推式取极限得矛

盾).

将两个递推式等号两边加I，可得：

答案第2页，共7页

|[_（&+I）（a+D5=33

an+i+,-,

bn

1I

再取倒数可得%+]=言_（可+i）（"+i）'b~^\=VH-（q+1）（2+1）

11\-a

所以-------------=-----------

an.+\b.+1a+16+12a+2

\-a由3a+1

当0<4<1时，由得见<■；-,于是数列｛4｝有极限，从而｛〃｝没有极限，即

an+\2a+2

lim—=0,

…b”

3cLi,..l_L^

-------,1101-^=1+lim+Iim=

此时叫凡n-^

abn%…她3a+1,

当a=l时，q=以，于是都没有极限.

此时lim^-=1+lim—+lim——=1,

n-»ccb”-"n->»ab

当一附卷〉照，所以。£

于是数列｛〃｝有极限，｛““｝没有极限,

此时如=

liml+lim±+lim-L=l

/1->»4eq瓦

2a+2八.

lim^-=--------,0<«<1

综上可得:3a+l

“廿b

1,a.A

2a+2

0<6/<I

故答案为:3a+\

1,

9.1

【详解】设该等腰直角三角形斜边中点对应的复数为Z,直角顶点对应的复数为

z,+z2（z2^O）,

则另外两个顶点对应的复数分别为Z+Zzi和Z-Zzi,依题意有:

化简得3%+z3=+2Z,Z2+z；=q,z：+z^z2+z,z^+z^=-r

所以2z；=3q_p屋Z,4Z[Z；+8z；=pq-9reZ.

进而马+2Z[GQ,与34+22=-〃£2联立就有4任。.

答案第3页，共7页

再由2x；=3g-/ez知Z?GZ,于是忆性1,所以等腰直角三角形的面积最小为1.

另一方面，z3+V+z+l=0的三个复数根恰是面积为I的等腰直角三角形的顶点.

10.5或6.

y-\=(%-1)(A-3)Iy-4=(x-4).r

【详解】由原方程变形可得到z-1=6』1)()，-3)和z-4=(y-4))，,

x-1=(z-l)(z-3)[x-4=(z-4)z

又由x,y,2两两不等知x,y,2±l,4,

于是(x-3)(.y-3)(%-3)=1=折

令〃=x+y+ZM=Ay+)，z+zr,化简得3〃=q+9.

另一方面，原方程三式相加得〃=(〃?-2,/)-4〃+12,

化筒得4二心卓卫，

联立就有6〃=〃2-5〃+30,即〃=5或6.

“，2

x=4cos—-

7

最后，当《〉,=4<:。$2午时可以取至1」5,

,84

z=4cos'——

7

x=4cos'—

9

当《y=4cos*弓-时aj以取至lj6.

.,4乃

z=4cos~——

9

11.证明见解析

【详解•】实际上结论对一切非等轴双曲线的圆锥曲线都是成立的(对等轴双曲线则变为四点

共线)为证明原结论，我们来说明尸在人8上的射影。在定圆上.

以厂为原点重新建立平面直角坐标系，设椭圆的离心率为e,焦准距为〃，不妨设A在第一

象限，AT与x轴正半轴夹角为锐角〃，〃在第二象限，

于是：AF=—且一=—,

1-ecos。1+esin，

..__，/epcosBepcosB、_z即sin。epcosS、

从而A(~r—z，T2N-,7),

1-ecos。I-—ecosOl+esin。l+esin〃

答案第4页，共7页

”,、一sinO-cosO+e.sin0+cos0

所以3"+8S。"Jsin^-cos^+e

记EP与x轴的夹角为a,再记sin9-cos8=f,则sing+cosg=

我们有cosa=一-/,,sincr=',.

\]e~+2+2et\Je2+2+2et

-CDAF•BFep

另一方面，FP=,==..=,

yIAF2+BE-J/+2+2日

所以p（-a+e）印.尸里），

e2+2+2ete2+2+2et

不难验证它在圆（x-上与尸+尸=（叵4尸上.

2-e22-夕

同理Q、R、S均在此圆上，结论成立.

4（r+〃+1-

27,r（n+l）2

【详解】注意到，对任意的1«江〃，都有尸+如'4/+〃十],

/

（这是因为上式等价于。〃一‘"〃+'+"20）

7"I

于是由均值不等式，

野•（沙2,《AZ2

<,4,

7(〃+1)2

v4(,/+〃+］、4(胃+〃+1)3

一万5+1)21-3―/-27/r(??+l)2

等号成立当且仅当*%=寸"；+%,力”,=1及%=%==*=。，

/=!2"

2〃+1H+2

即《35+1)’""-3(〃+1)=J=°时.

4(〃2+〃+Ip

综上，原式的最大值为

27n2(n+\)2

13.证明见解析

【详解】设A8C的外接圆P，M、N、。分别是弧A3、AC.8c的中点.

如图连结线段，则由3C=CE得胸=ME.

又M4=M8，所以何4于是MO_LA£.

答案第5页，共7页

又PNLAC,所以MO//PN洞理NO//PM,

再由PM=PN,即知四边形OM/W是菱形，

A

所以MN_LOP,并且OP=2PMsin]=Q3=Q/.

Q

另一方面，由鸡爪定理又有MV_LA/,所以OP〃。/且。尸=@,

即四边形OP0是平行四边形，所以O〃/PQ,所以O/1BC

14.2021

【详解】一方面，当〃=2021时,若不存在满足要求的3个矩形,我们把所有的矩形如下分

类：

对一个矩形4,若在剩下2020个矩形中，存在一个矩形8,使得.4>4,则称4为“父矩形”，

否则称A为“子矩形

由抽屉原理，其中必有一类至少含有1011个矩形，设它们的宽为又吞占人••W/「

但易知所有的"父矩形''之间两两不能比较大小，所有的“子矩形”之间也两两不能比较大小,

于是必有EVX2V<»wn且相应的它们的长X>X>>.v,on.

合在一起即M</<<A-1011<凶0“<y1010<<y,,与它们均为不超过2020的正整数矛盾二

另一方面，当〃W2020时，考虑所有长宽满足要求的，周长为4)40的矩形，共1010个，及

周长为4042的矩形，也共1010个.

由于周长相等的两个矩形无法比大小，因此这2020个矩形中不存在满足要求的3个矩形.

综上,〃的最小值为2021.

15.证明见解析

【详解】首先计算/'(〃)的表达式，注意到从1到〃中所有与〃互质的正整数有*(〃)个，并

且它们是以，和〃T的形式成对出现的，

答案第6页，共