数学人教版八年级上册《课题学习 最短路径》.4_课题学习__最短路径问题.ppt

1、13.4 课题学习,最短路径问题,复习引入,线段公理： 两点之间，线段最短.,垂线段性质： 垂线段最短.,B,问题1,如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,思考： 你能把这个问题转化 为数学问题吗？,A,B,l,l,当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？,分析：,A,B,l,如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点， 如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？,联想：,两点之间，线段最短.,？,l,（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？ （2）我们能否把A、B两点转化到直线l 的

2、异侧呢？ 转化需要遵循的原则是什么？ （3）利用什么知识可以实现转化目标？,分析：,l,如下左图，作点B关于直线 l 的对称点B . 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB的和最小？,如上右图，在连接AB两点的线中，线段AB最短. 因此，线段AB与直线 l 的交点C的位置即为所求.,l,在直线 l 上任取另一点C ， 连接AC 、BC 、B C 直线 l 是点B、B的对称轴， 点C、C在对称轴上， BC=BC，BC=BC AC+BC=AC+BC=AB 在ABC中，ABAC+BC， AC+BC AC+BC， 即AC+BC最小,l,证明：如图.,问题1 归纳,问题2,（造桥选址问题）如图，A和

3、B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）,思考： 你能把这个问题转化 为数学问题吗？,如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么折线AMNB在什么情况下最短呢？,分析：,a,b,由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.,分析：,如左图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A，使AA等于河宽，则AA=MN，AM=AN，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？,参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.,如图，沿垂直于河岸的方

4、向平移A到A，使AA等于河宽，连接AB交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.,a,b,解：,另任意造桥MN， 连接AM、BN、AN.,由平移性质可知， AMAN，AMAN， AAMNM N.,AM+MN+BNAA+AB， AM+MN+BNAA+AN+BN.,在ANB中，由线段公理知AN+BN AB，,AM +MN +BN AM+MN+BN.,证明：,a,b,问题2 归纳,小结归纳,转化,轴对称 变换,平移 变换,两点之间，线段最短.,如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到马厩. 请你帮他确定这一天的最短路线.,课堂练习,已知：如图，在l1、l2之间有一点A.,求作：分别在l1、l2上确定一点M、N，使AM+MN+NA最小.,如图，作点A关于l1和l2的对称点A1、A2， 连接A1A2，交l1于M点，交l2于N点. 连接AM和AN，则AM+MN+NA最小. 因此，那天这样走路线最短.,课堂小结,你也许很喜欢台球，在玩台球过程中也用到数学知识. 如图，四边形ABCD是长方形的球桌台面，有两个球分别位于P、Q两点上，先找出P点关于BC的对称点P，连接PQ交BC于M点，则P处的