闭区间上连续函数的性质

闭区间上连续函数的性质Tag内容描述：<p>1、目录 上页 下页 返回 结束 第十节 一、最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性 闭区间上连续函数的性质 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 一、最值定理 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 则使 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点 , 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 目录 上页 下页 返回 结束 二、介值定理 由定理 1 可知有证: 设 上有界 . 定理2. ( 零点定理 ) 至少有一点且 使 ( 证明略 ) 推论 在闭区间上连续。</p><p>2、微积分讲课提纲 微积分（I） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 Email:jfzhuzju.edu.cn 第四节第四节 函数极限函数极限 一、一、 函数连续的概念函数连续的概念 二、二、 连续函数的局部性质连续函数的局部性质 三、三、 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 四、四、 初等函数在其定义域上的连续性初等函数在其定义域上的连续性 一、最大值和最小值定理 定义: 设 f (x) C ( a, b ), 则 (i) f (x) 在 a, b 上为以下四种单调函数时 aO b x y aO bx y Oa b x y Oa b x y y = f (x) a, b , y = f (x) a, b , 此时, 函数 f (x) 恰好在 。</p><p>3、第17、18课时：【教学目的】1、 掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质；2、 熟练掌握零点定理及其应用。【教学重点】1、介值性定理及其应用；2、零点定理及其应用。【教学难点】介值性定理及其应用1. 10 闭区间上连续函数的性质一、有界性与最大值与最小值 最大值与最小值: 对于在区间I上有定义的函数f(x), 如果有x0I, 使得对于任一xI都有f(x)f(x0 ) (f(x)f(x0 ), 则称f(x0 )是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）. 例如, 函数f(x)=1+sin x在区间0, 2p上有最大值2和最小值0. 又如, 函。</p><p>4、福州大学数计学院1 连续的定义 定义1 设 在 内有定义， 若 ，那末就称 在点 连续， 称 为的连续点。 复习 定义2 设函数 在 内有定义, 若 则称函数 在点 连续. 定义3 设函数 在 内有定义 称函数 在点 处连续. 福州大学数计学院2 (但在点x0的去心领域内有定义 ) 福州大学数计学院3 第一类间断点:跳跃间断点与可去间断点. 特点 第二类间断点 福州大学数计学院4 初等函数求极限的方法代入法. v v 福州大学数计学院5 第九节 闭区间上连续函数的 性质 一、最大值和最小值定理 二、零点定理与介值定理 新课 要掌握证明的技巧！ 第一章 福州大学数。</p><p>5、1.5.3 闭区间上连续函数的性质 设 在区间I 有定义, 则称 是函数 在区间I 的最大值(最小值). 定理1.22 (最大最小值定理) 设 在a, b上连续, 则 在a, b上有 最大值最小值. 有 注意: 1. 若区间是开区间, 定理不一定成立; 推论1.6 (有界性定理) 2. 若区间内有间断点, 定理不一定成立. 设 在a, b上连续, 则 在a, b上有界. 有 若 显然, 函数的最大、最小值分别是它的一个 上界和一个下界. 定理1.23 (零点定理) 设函数 在闭区间 a, b上连续， 使得则至少有一点 如果 的一个零点. 几何解释： 定理1.24 (介值定理) 设函数 在闭区间 上连续, 若 则至。</p><p>6、111 闭区间上连续函数的性质,一、最大值与最小值,二、介值定理,最大值与最小值、,最大值和最小值定理、有界性定理,零点、,零点定理、介值定理,一、最大值与最小值,举例 ：,最大值与最小值： 对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有 x 0I，使得对于任一x I都有 f(x)f(x 0) (f(x)f(x 0)， 则称f(x 0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）,函数f(x)=1+sin x在区间0，2p上有最大值2和最小值0,函数f(x)=sgn x 在区间(-，+)内有最大值 1和最小值-1,一、最大值与最小值,举例 ：,最大值与最小值： 对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有 x 0I，。</p><p>7、1,一个登山运动员从早上7:00开始攀登某座山峰 ,在下午7:00到达山顶,第二天早上7:00再从山顶开始沿着上山的路下山,下午7:00到达山脚. 那么:这个运动员在这两天的某一相同时刻经过登山路线的同一地点.,2,1.12 闭区间上连续函数 的性质,介值定理( intermediate value theorem ),小结 思考题 作业,最大值(maximum )和 最小值(minimum)定理,第一章 函数与极限,3,定义,例,设f (x)在区间I上有定义,使得当,恒有,若存在点,为函数f(x)在区间I上的,最小 值,记为,则称,(大),一、最大值和最小值定理,4,在闭区间上连续的,(1) 定理1中的条件“闭区间”和。</p><p>8、第七章 实数的完备性 7.2 闭区间上连续函数性质的证明,一 有界性定理,若函数 在闭区间 上连续,则 在 上有界.,证明:,(应用有限覆盖定理证明),二 最大最小值定理,若函数 在闭区间 上连续,则 在 上有最大值和最小值.,证明:,(应用确界原理证明),三 介值性定理,设函数 在闭区间 上连续,且 ,若 为介于 和 之间任何实数, 则存在 , 使得 .,证明:,(应用区间套定理证明),四 一致连续性定理,若函数 在闭区间 上连续,则 在 上一致连续.,证明:,(应用有限覆盖定理证明),五 小结,(1) 有界性定理的证明;,(2) 最大,最小值定理的证明;,(3) 介值性定理的证明;。</p><p>9、第十节 闭区间上连续函数的性质,最大值和最小值定理 介值定理,教学要求,了解闭区间上连续函数的性质； 了解最大最小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理在函数值的估计和根的估计上的应用。,一、最大值和最小值定理,定义:,例如,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,二、介值定理,定义:,几何解释:,几何解释:,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必。</p><p>10、第十节 闭区间上连续函数的性质,一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与界值定理 三、小结,一、有界性与最大值最小值定理,定义:,例如,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,二、零点定理与介值定理,定义:,几何解释:,几何解释:,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,例1,证,由零点定理,例2,证,由零点定理,。</p><p>11、1.10 闭区间上连续函数的性质,一、最大值和最小值定理,二、介值定理,三、小结,高等数学,中国劳动关系学院,China Institute of Industrial Relation,一、最大值和最小值定理,定义:,例如,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,二、介值定理,定义:,几何解释:,几何解释:,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,例1,证。</p><p>12、闭区间上连续函数的性质,最大值和最小值定理 介值定理,一、最大值和最小值定理 P55,定义:,例如,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,推论(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,证：,取,当|x|X时, | f (x)-A|1,又|f (x)|-|A| f (x)-A|1,即: | f (x)|A|+1, f(x) 在(-，+)上连续， f(x)在-X，X上连续。,由最值定理, M00, x X, 都有| f (x)|M0,取M=max|A|+1, M0,例1 设 f (x) 在(-, +)上连续，且 存在,证。</p><p>13、第七节,一、最大值最小值定理,二、零点定理与介值定理,闭区间上连续函数的性质,第二章,定义,例如,一、最大值最小值定理,定理2.18(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的,即: 设,则,使,函数在该区间上一定有最大值和最小值.,(证明略),1 若区间是开区间, 定理不一定成立; 2 若区间内有间断点, 定理不一定成立.,注,f (x)在0, 2上无最大值和最小值,推论 (有界性定理),在闭区间上连续的函数在该区,间上一定有界.,例1,证,- X,X,定理2.19 ( 零点定理 ),至少存在一点,使,( 证明略 ),定义 如果,则称,为 f (x) 的零点.,二、零点定理与介值定理,定2.2。</p><p>14、1,1.10 闭区间上连续函数 的性质,介值定理( intermediate value theorem ),小结 思考题 作业,最大值(maximum )和 最小值(minimum)定理,第一章 函数与极限,2,定义,例,设f (x)在区间I上有定义,使得当,恒有,若存在点,为函数f(x)在区间I上的,最小 值,记为,则称,(大),一、最大值和最小值定理,3,在闭区间上连续的,(1) 定理1中的条件“闭区间”和“连续性”,定理1(最大值和最小值定理),函数一定有最大值和最小值.,是不可少的.,4,在开区间(0,1)内连续,在(0,1)内,又如:,在闭区间0,2上有,函数f (x)在0,2上,既没有最大值,如:,函数,没有最大值或最小值。</p><p>15、第十节 闭区间上连续函数的性质,一、最大值、最小值定理 二、介值定理 三、小结,一、最大值和最小值定理,定义:,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意：1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,注意：1.若区间是开区间, 定理不一定成立;,2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,则f(x)在a, b上有最大值M，最小值m.,二、介值定理,定义:,定理。</p><p>16、第五节 连续函数的性质,一 连续函数的运算性质,二 闭区间上连续函数的性质,三 小结与思考判断题,定理1,例如,1、四则运算的连续性,一、连续函数的运算性质,定理4,例如,定理3 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,定理3,注,1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续,例1,解,例2,解,同理可得,二、初等函数的连续性,定理4 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,例1,例2,解,解,初等函数求极限的方法。</p><p>17、一元微积分学,大 学 数 学（一）,第9讲 闭区间上连续函数的性质,第三章 函数的极限与连续性,本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“”和 “X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解。</p><p>18、三、闭区间上连续函数的性质,我们不证明，只给出几何说明。,即在闭区间,使得,也不存在最小值。,也不存在最小值。,是连续函数,【注意】,定理的结论不一定成立。,(1),对开区间内的连续函数,或闭区间上有,它的最大值是,点上取得。,则对于满足,使得,定理2指出：,则至少存在一点,几何意义：,例,实根。,证明,故,根据推论可知，,至少存在一点,由推论知：,练习,证明,证明,小结,1. 函数在一点连续必须满足的三个条件;,5. 间断点的分类与判别;,2. 区间上的连续函数;,第一类间断点:,无穷型,振荡型.,间断点,6. 闭区间上连续函数的性质.,可去型,跳跃型.。</p><p>19、1.10 闭区间上连续函数的性质,闭区间上的连续函数有着十分优良的性质, 这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值, 起着十分重要的作用. 下面我们就不加证明地给出这些结论, 好在这些结论在几何意义是比较明显的.,一、最大值和最小值定理,定义: 对于定义在区间I上的函数f(x), 如果有x0I, 使得对一切的xI, 都有 f(x) f(x0) (或 f(x) f(x0) ) 则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大(小)值. 此时称x0为最大(小)值点.,又例如, y=sgnx在(-, +)上有: ymax=1, ymin=-1, 在(0, +)上有: ymax=ymin=1.,定理1(最大值和最小值定理): 在闭区间上连。</p>