【创新设计】2013-2014版高中数学课件（打包28套）新人教A版必修1
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【创新设计】2013-2014版高中数学课件（打包28套）新人教A版必修1,创新,立异,设计,高中数学,课件,打包,28,新人,必修
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1 1 集 合 1 合的含义与表示 第 1课时 集合的含义 【 课标要求 】 1 通 过实例了解集合的含义 ， 并掌握集合中元素的三个特性 2 体会元素与集合间的 “ 从属关系 ” 3 记住常用数集的表示符号并会应用 【 核心扫描 】 1 利 用集合中元素的三个特性解题 (重点 ) 2 准确认识元素与集合之间的符号 “ ” 、 “ ” (难点 ) 新知导学 1 元素与集合的概念 (1)元 素：一般地 ， 我们把 统称为元素 (2)集合：把 组成的总体叫做集合 (简称集 ) (3)集合相等：只要构成两个集合的 是一样的 ， 我们就称这两个集合是相等的 (4)集合元素的特性： 、 、 无序性 研究对象 一些元素 元素 确定性 互异性温馨提示： 集合是原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明，它的本质是某些确定元素组成的总体集合通常用大写拉丁字母 A， B， C， 表示；而通常用小写拉丁字母 a， b， c， 表示集合中的元素 2元素与集合的关系 元素与 集合的 关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果 的元素，就说 集合 A 不属于 如果 中的元素，就说 集合 A a A A A 3常用数集及表示符号 名称 自然数集 整数集 实数集 符号 N N*或 N Z Q R 正整数集 有理数集 互动探究 探究点 1 我 们班的 “ 阳光女孩 ” 能否构成集合 ？ 为什么 ？ 提示 不能 因为 “ 阳光女孩 ” 没有明确的评判标准 ， 不符合集合中元素的确定性 探究点 2 某 同学说 “ 方程 2x 1 0的解的集合中有两个元素 ” ， 你认为这种说法对吗 ？ 为什么 ？ 提示 不对 虽然方程 2x 1 0有两个根 ， 但这两个根相等 ， 根据集合中元素的互异性知 ， 此集合中只有一个元素 探究点 3 洋 思中学 2013级高一年级 26个班构成一个集合 A. (1)高一 2班 、 高二 20班是这个集合 (2)若 a A， b A， 则元素 a， 为什么 ？ 提示 (1)高一 2班是 高二 20班不是 (2)ab， 这是因为集合 探究点 4 若 a N， 但 aN*， 那么 提示 a N， aN*， a 0. 类型一 集合的基本概念 【 例 1】 考 查下列每组对象能否构成一个集合： (1)著名的数学家； (2)某校 2013年在校的所有高个子同学； (3)不超过 20的非负数； (4)2012年度诺贝尔文学奖获得者 思路探索 紧扣集合的定义 ， 根据集合元素的确定性逐一分析 ， 作出判断 解 (1)“著 名的数学家 ” 无明确的标准 ， 对于某个人是否“ 著名 ” 无法客观地判断 ， 因此 “ 著名的数学家 ” 不能构成一个集合；类似地 ， (2)也不能构成集合； (3)任给一个实数 x，可以明确地判断是不是 “ 不超过 20的非负数 ” ， 即 “ 0x20”与 “ x20或 x0”， 两者必居其一 ， 且仅居其一 ， 故 “ 不超过20的非负数 ” 能构成集合 (4)2012年度诺贝尔文学奖获得者是中国作家莫言 ， 是确定的 ， 能构成集合 综上： (1)， (2)不能构成集合； (3)， (4)能构成集合 规律方法 键在于是否有一个明确的客观标准来衡量这些对象，即看这些元素是否具有确定性，如果条件满足就可以断定这些元素可以组成集合，否则就不能构成集合 2注意集合元素的互异性，相同的元素在集合中只能出现一次 【活学活用 1 】 ( 2013 信阳高一检测 ) 下列各组对象可以组成集合的是 ( ) A 数学必修 1 课本中所有的难题 B 方程 9 0 在实数范围内的解 C 直角坐标平面内第一象限的一些点 D. 3 的近似值的全体 解析 A 中 “ 难题 ” 的标准不确定，不能构成集合； B 中只有两个元素 3 与 3 ，是确定的， B 能构成集合； C 中 “ 一些点 ”无明确的标准，对于某个点是否在 “ 一些点 ” 中无法确定，因此 “ 直角坐标平面内第一象限的一些点 ” 不能构成集合； D 中“ 3 的近似值 ” 不明确精确到什么程度，因此 很难判断一个数如 “ 2 ” 是不是它的近似值，所以不能构成集合 答案 B 类型二 元素与集合的关系 【例 2 】 若所有形如 3 a 2 b ( a Z ， b Z) 的数组成集合 A ，判断 6 - 2 2 是不是集合 A 中的元素 思路探索 根据元素与集合的关系判断，可令 a 2 ， b 2. 解 因为在 3 a 2 b ( a Z ， b Z) 中， 令 a 2 ， b 2 ，即可得到 6 - 2 2 ， 所以 6 - 2 2 是集合 A 中的元素 规律方法 1.(1) 判断一个元素是不是某个集合的元素关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征 (2) 要熟练掌握 R 、 Q 、 Z 、 N 、 N*表示什么数集 2 解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决 【活学活用 2 】 (2013 杭州高一检测 ) 下列所给关系正确的个数是 ( ) R ； 3 Q ； 0 N*； | 4| N*. A 1 B 2 C 3 D 4 解析 是实数， 3 是无理数， 0 不是正整数， | 4| 4 是正整数， 正确， 不正确，正确的个数为 2. 答案 B 解 3 B， 3 3 2若 3 则 a 0. 此时集合 3， 1， 符合题意； 若 3 2则 a 1. 此时集合 4， 3， 符合题意 综上所述 ， 满足题意的实数 或 1. 类型三 集合中元素的特性及应用 【例 3 】 已知集合 B 含有两个元素 a - 3 和 2 a - 1 ，若 3 B ，试求实数 a 的值 思路探索 令 3 a - 3 或 3 2 a - 1 求出 a 值 检验 规律方法 含有两个元素 ， 3 B， 本题以 3是否等于 进行分类 ， 再根据集合中元素的互异性对元素进行检验 2 解决含有字母的问题 ， 常用到分类讨论的思想 ， 在进行分类讨论时 ， 务必明确分类标准 【 活学活用 3】 已 知集合 m， 1,1组成的 ，且 2是 求 解 2 A， m 2或 1 2， 则 m 2或 m 1. 当 m 2时 ， 集合 2,5,1， 符合题意； 当 m 1时 ， 集合 1,2,1， 不满足互异性 ， 舍去； 当 m 1时 ， 集合 1,2,1， 符合题意 综上知： m 2或 m 1. 易错辨析 忽略集合中元素的互异性致误 【 示例 】 写 出由方程 (a 1)x a 0的解组成的集合 A. 错解 (a 1)x a (x a)(x 1) 0. x a或 x 1， 因此 A 1， a 错因分析 错解没有注意到字母 得到了错误答案 1， a 事实上 ， 当 a 1时 ， 不满足集合中元素的互异性 正解 由 (a 1)x a 0， 得 x 1或 x a. 若 a 1， 则方程的解组成的集合为 1， 若 a1， 则方程的解组成的集合为 1， a 防范措施 忌忽视集合元素的互异性，务必将求得的参数取值代入，验证是否满足集合中元素的互异性，进而对结果进行取舍 2若方程中字母参数影响解的取值，要选择恰当分类标准，注意分类讨论思想的应用 课堂达标 1 下 列能构成集合的是 ( ) A 中央电视台著名节目主持人 B 我市跑得快的汽车 C 上海市所有的中学生 D 香港的高楼 解析 A、 B、 因此不能构成集合 答案 C 2 下列关系正确的是 ( ) 0 N ； 2 Q ； 12 R ； 2 Z. A B C D 解析 正确， 0 是自然数， 0 N ； 不正确， 2 是无理数， 2 Q ； 不正确， 12是实数， 12 R ； 不正确， 2 是整数， 2 Z. 答案 D 3 集合 相等 ， 且 0A， 则 0_B(填 “ ” ，“ ” ) 解析 由于集合 相等 ， 故它们的元素完全相同 ，而 0A， 则 0B. 答案 4 若 x N， 则满足 2x 5 0的元素组成的集合中所有元素之和为 _ 解析 由 2x 5 0， 得 x ， 又 x N， x 0,1,2， 故所有元素之和为 3. 答案 3 5 a 1和 a 2的集合 ， 求实数 解 2a 1， a 2是 集合 2a 1a 2， a 3， a 3. 课堂小结 1 判 断一组对象的全体能否构成集合 ， 关键是看元素是否确定 若元素不确定 ， 则不能构成集合 2 集合中的元素是确定的 ， 某一元素 a A， 要么满足 aA， 两者必居其一 这也是判断一组对象能否构成集合的依据 3集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异 性 第 2课时 集合的表示 【 课标要求 】 1 能用集合语言描述具体问题 ， 感受集合语言的意义和作用 2 理解并掌握集合的两种表示方法 列举法 、 描述法 【 核心扫描 】 1 集合的两种表示方法 (重点 ) 2对描述法表示集合的理解 (难点 ) 新知导学 1 列举法 把 集合的元素 出来 ， 并用花括号 “ ” 括起来表示集合的方法叫做列举法 温馨提示： 运用列举法表示集合 ， 应注意： (1)元素间用“ ， ” 分隔 ， 不能用其它符号代替； (2)元素不重复； (3)元素间无顺序； (4)“ ” 表示 “ 所有 ” 、 “ 整体 ” 的含义 ，不能省略 一一列举 2 描述法 (1)定义：用集合所含元素的 表示集合的方法称为描述法 (2)书写方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的 及取值 (或变化 )范围 ， 再画一条竖线 ， 在竖线后写出这个集合中元素所具有的 共同特征 一般符号 共同特征 互动探究 探究点 1 集 合 1,2与集合 (1,2)相同吗 ？ 提示 不同 集合 1,2是含两个元素的数集 ， 也可以写成x|x 1或 x 2， 集合 (1,2)是含有一个元素的点集 ， 也可以写成 (x， y)|x 1， y 2 探究点 2 集 合 x|x3与集合 t|t3表示同一个集合吗 ？ 提示 虽然两个集合的代表元素的符号 (字母 )不同 ， 但实质上它们均表示大于 3的所有实数 ， 故表示同一个集合 类型一 用列举法表示集合 【 例 1】 用 列举法表示下列集合： (1)小于 10的正偶数组成的集合； (2)方程 x(1) 0的所有实数根组成的集合； (3)直线 y x与 y 2x 1的交点组成的集合 思路探索 先分别求出满足要求的所有元素 ， 然后用列举法表示集合 解 ( 1) 小于 10 的正偶数有 2,4,6,8 ，所求集合为 2,4,6,8 ( 2) 方程 x ( 1) 0 的根为 0 ， 1 ， 所求集合为 0 ， 1,1 ( 3) 方程组y x ，y 2 x 1的解是x 1 ，y 1 ，所求集合为 ( 1,1) 规律方法 1. 问题 ( 3 ) 中的集合是点集，易错认为数集，误写为 1 2 列举法简明、直观适用于元素个数较少的集合，用列举法表示集合，要分清是数集还是点集，元素不能重复 【活学活用 1 】 用列举法表示下列集合： ( 1) 我国现有直辖市的全体； ( 2) 绝对值小于 3 的整数集合； ( 3) 一次函数 y x 1 与 y 23x 43的图象交点组成的集合 解 ( 1) 北京，上 海，天津，重庆 ； ( 2) 2 ， 1,0,1,2 ； ( 3) 方程组y x 1 ，y 23x 43的解是x 75，y 25，所求集合为75，25. 类型二 用描述法表示集合 【例 2 】 用描述法表示下列集合： ( 1) 满足不等式 3 x 2 2 x 1 的实数 x 组成的集合； ( 2) 平面直角坐标系中第一象限内的点的集合； ( 3) 所有正奇数组成的集合 思路探索 找准集合的代表元素 说明元素满足的条件 用描述法表示相应集合 解 ( 1) x |3 x 2 2 x 1 x | x 1 ( 2) ( x ， y )| x 0 ， y 0 ，且 x ， y R ( 3) x | x 2 k 1 ， k N* 规律方法 1. 点集的代表元素用有序实数对 ( x ， y ) 表示；第 ( 3)题中 ，易错写为 x | x 2 k 1 ， k N ，忽视集合 N 与 N*的差异 2 用描述法表示集合，一般模式是 x I | p ( x ) ，其中 x 是集合的代表元素， I 是代表元素的范围， p ( x ) 为集合中元素所具有的共同特征，要注意竖线不能省略 【 活学活用 2】 用 描述法表示下列集合： (1)被 3除余 2的正整数集合； (2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合 解 (1)x|x 3n 2， n N (2)(x， y)|0 类型三 列举法与描述法的综合运用 【例 3 】 集合 A x | 8 x 16 0 ，若集合 A 只有一个元素，试求实数 k 的值，并用列举法表示集合 A . 思路探索 明确集合 A 的含义 对 k 加以讨论 求出 k 值 写出集合 A 解 (1)当 k 0时 ， 原方程为 16 8x 0. x 2， 此时 A 2 (2)当 k0时 ， 由集合 方程 8x 16 0有两个相等实根 则 64 64k 0， 即 k 1. 从而 4， 集合 A 4 综上所述 ， 实数 或 1.当 k 0时 ， A 2； 当 k 1时 ， A 4 规律方法 1.(1)本题在求解过程中 ， 常因忽略讨论 而漏解 (2)因 8x 16 0是否为一元二次方程而分 k 0和 k0而展开讨论 ， 从而做到不重不漏 2 解答与描述法有关的问题时 ， 明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点 【活学活用 3 】 把本例中条件 “ 有一个元素 ” 改为 “ 有两个元素 ” ，求实数 k 取值范围的集合 解 由题意可知方程 8 x 16 0 有两个实根 k 0 64 64 k 0解得 k 1 ，且 k 0. 所以 k 的范围集合为 k | k 1 ，且 k 0 易错辨析 描述法与列举法相互转化中的误区 【 示例 】 用 列举法表示集合 A (x， y)|y 1， 1x1且x Z 错解 注 意到 x 1,0,1， y ( 1)2 1 0， y 0 1 1， 因此集合 A 0， 1 错因分析 错以为求关于 2 对列举法表示集合的实质认识不清 ， 对集合理解不到位 ，个别同学错得 A x 1， y 0或 x 0， y 1或 x 1， y0 正解 1x1， 且 x Z， x 1,0,1. 当 x 1时 ， y 1 0；当 x 0时 ， y 1. 因此 A ( 1,0)， (0， 1)， (1,0) 防范措施 首先应看集合元素的表示形式 ， 再看此集合元素的公共属性 2集合表示方法的变换过程 课堂达标 1 已知集合 A x N| 3 x 3 ，则有 ( ) A 1 A B 0 A C. 3 A D 2 A 解析 0 N 且 3 0 3 ， 0 A . 答案 B 2 集合 0,1,2,3,4,5,6,7用描述法可表示为 ( ) A x|的整数 B x N|x7 C x Q|0x7 D x|0x7 解析 集合 0,1,2,3,4,5,6,7表示前 7个自然数 ， 故用描述法可表示为 x N|x7 答案 B 3 (2013扬州高一检测 )已 知 x N， 则方程 x 2 0的解集用列举法可表示为 _ 解析 由 x 2 0， 得 x 2或 x 1. 又 x N， x 1. 答案 1 4 已知集合 A 1,0,1， 集合 B y|y |x|， x A， 则 B_. 解析 x A， 当 x 1时 ， y |x| 1； 当 x 0时 ， y |x| 0；当 x 1时 ， y |x| 1. 答案 0,1 5 用适当的方法表示下列集合： (1)A (x， y)|x y 4， x N*， y N*； (2)平面直角坐标系中所有第二象限的点 解 (1) x N*， y N*， x 1， y 3或 x 2， y 2或 x 3， y 1， A (1,3)， (2,2)， (3,1) (2)(x， y)|x 0， y 0 课堂小结 1 表 示集合的要求： (1)根据要表示的集合元素的特点 ， 选择适当方法表示集合 ， 一般要符合最简原则 (2)一般情况下 ， 元素个数无限的集合不宜用列举法表示 ， 描述法既可以表示元素个数无限的集合 ， 也可以表示元素个数有限的集合 2 在用描述法表示集合时应注意： (1)弄清元素所具有的形式 (即代表元素是什么 )， 是数 、 还是有序实数对 (点 )、 还是集合或其他形式 ？ (2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑 合间的基本关系 【 课标要求 】 1 理 解集合之间包含与相等的含义 2 能识别给定集合的子集 、 真子集 ， 能判定集合间关系 3 在具体情境中了解空集的含义 【 核心扫描 】 1 集 合间关系的判断 (重 、 难点 ) 2元素与集合及集合与集合关系的表示 (易混点 ) 3 0， 0， 的区别 (易错点 ) 新知导学 1子集及其相关概念 温馨提示： 元素与集合之间的关系是从属关系；集合与集合之间是包含关系 (1)“ ” 是表示元素与集合之间的关系 ， 比如有 1 N， 1N. (2)“ ” 是表示集合与集合之间的关系 ， 比如有 NR，1,2,33,2,1 (3)“ ” 的左边是元素 ， 右边是集合 ， 而 “ ” 的两边均为集合 2 空集 (1)定 义： 元素的集合叫做空集 (2)符号表示为： . (3)规定：空集是任何集合的 3 子集的有关性质 (1)任 何一个集合是它本身的 ， 即 . (2)对于集合 A， B， C，如果 AB，且 BC，那么 . 不含任何 子集 子集 AA AC 互动探究 探究点 1 能 否把 “ AB”理解成 “ 中部分元素组成的集合 ” ？ 提示 不能 这是因为当 A 时 ， AB， 但 当 A 也有 AB， 但 中的所有元素 ，这两种情况都有 A 所以上述理解是错误的 探究点 2 如 何判断集合 相等 ？ 提示 判断集合 相等的方法有二： 方法一：依据两个集合中的元素是否完全相同进行判定； 方法二：判定是否同时满足 AB， 且 BA. 探究点 3 就 是 0， 或 就是 0， 这两种说法正确吗 ？ 提示 两种说法均是错误的， 是不含任何元素的集合，概念中强调了两点： “ 不含任何元素 ” 、 “ 集合 ” ： (1)0是一个数，而非集合，故 不是 0； (2)0表示集合，但集合中有且仅有一个元素 0是非空集合，故 0与 含义不同，所以 不是 0 类型一 子集 、 真子集的概念问题 【 例 1】 已 知集合 M x|x 2且 x N， N x| 2 x 2且x Z (1)试判断集合 M、 (2)写出集合 集合 思路探索 把用描述法表示的集合用列举法表示出来 ，以便于观察集合的关系和写子集与真子集 解 M x|x 2且 x N 0,1， N x| 2 x 2， 且 x Z 1,0,1 (1)M N. (2)， 0， 1， 0,1， ： ， 1， 0， 1， 1,0， 1,1， 0,1 规律方法 首先要注意两个特殊的子集： 和自身；其次按含一个元素的子集 ， 含两个元素的子集 依次写出 ， 以免重复或遗漏 2 若集合 A含 那么它子集个数为 2n；真子集个数为 2n 1， 非空真子集个数为 2n 2. 【 活学活用 1】 已 知集合 A x|3x 2 0， x R Bx|0 x 5， x N， 则满足条件 AC的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析 易知 A 1,2， B 1,2,3,4， 又 ACB. 集合 1,2， 1,2,3， 1,2,4， 1,2,3,4 答案 D 类型二 集合的相等问题 【例 2 】 集合1 ， a ，0 ， a b ，则 0 1 3 0 1 4的值 为 ( ) A 0 B 1 C 1 D 1 思路探索 集合相等 集合的元素相同 a 0 b 0 ， 1 1 3 1. 解析 1 ， a ，0 ， a b ， 又 a 0 ， 0 ， b 0. 1 ， a 1. 又 a 1 ， a 1 ， 0 1 3 0 1 4 ( 1)2 0 1 3 02 0 1 4 1. 答案 C 规律方法 0”为着眼点 ， 中 为突破口 2 两个集合相等 ， 则所含元素完全相同 ， 与顺序无关 ， 但要注意检验 ， 排除与集合元素互异性或与已知矛盾的情形 例如本题中 a 1不满足互异性 ， 否则会错选 D. 【活学活用 2 】 设集合 A 1 ， 2 ， 1 ， B 1 ， 3 a, 0 ，若 A B ，求实数 a 的值 解 由 A B 及两集合元素特征， 1 0 ，3 a 2 ，a 1 ，a 1 或 a a 1 ，代入检验满足互异性 a 1. 类型三 由集合间的关系求参数范围问题 【 例 3】 已 知集合 A x| 3x4， B x|2m 1 x m 1，且 B 思路探索 借助数轴分析 ， 注意 解 B A ， ( 1) 当 B 时， m 1 2 m 1 ，解得 m 2. ( 2) 当 B 时，有 3 2 m 1 ，m 1 4 ，2 m 1 m 1 ，解得 1 m 2 ，综上得 m 1. 规律方法 1.(1)分析集合间的关系时 ， 首先要分析 、 简化每个集合 (2)借助数轴 ， 利用数轴分析法 ， 将各个集合在数轴上表示出来 ， 以形定数 ， 还要注意验证端点值 ， 做到准确无误 ， 一般含 “ ” 用实心点表示 ， 不含 “ ” 用空心点表示 2 此类问题要注意对空集的讨论 【 活学活用 3】 已 知集合 A x|1x2， B x|1xa，a1 (1)若 A B， 求 (2)若 BA， 求 解 (1)若 A B， 由图可知 a 2. (2)若 BA，由图可知 1a2. 方法技巧 分类讨论思想在集合关系中的应用 所 谓分类讨论 ， 就是当问题所涉及的对象不能统一解决时 ， 就需要对研究对象按某个标准进行分类 ， 然后对每一类分别研究得出每一类结论 ， 最后综合各类结果得到整个问题的答案 在集合包含关系或涉及集合的元素含有参数时 ， 常借助分类讨论思想转化求解 【 示例 】 (2013济南高一检测 )已 知集合 A x|4x 30， B x|3 0， 且 BA， 求实数 思路分析 解 由 4 x 3 0 ，得 x 1 或 x 3. 集合 A 1,3 ( 1) 当 B 时，此时 m 0 ，满足 B A . ( 2) 当 B 时，则 m 0 ， B x | 3 0 3m. B A ， 3m 1 或3m 3 ，解之得 m 3 或 m 1. 综上可知，所求实数 m 的集合为 0,1,3 题后反思 一定要警惕 “ ” 这一陷阱 ， 考虑不周而漏掉对空集的讨论 ， 往往造成不应有的失分 ， 初学者要切记 2在方程或不等式中，当一次项或二次项系数含参数时，在参数取值范围不确定的情况下要注意分类讨论 课堂达标 1 集 合 0与 的关系是 ( ) A 0 B 0 C 0 D 0 解析 空集是任何非空集合的真子集 ， 故 集合与集合之间无属于关系 ， 故 集不含任何元素 ， 0含有一个元素 0， 故 C、 答案 A 2 已知集合 A x| 1 x 4， B x|x a， 若 A B，则实数 ( ) A a 4 B a4 C a 4 D a4 解析 由 A B， 结合数轴 ， 得 a4. 答案 D 3 已知集合 A 2,9， 集合 B 1 m,9， 且 A B， 则实数m _. 解析 A B， 1 m 2， m 1. 答案 1 4 已知集合 A 1,3,2m 1， 集合 B 3， 若 BA，则实数 m _. 解析 B 3， A 1,3,2m 1， 且 BA， 1,3,2m 1， 又 ， 2m 1， 解得 m 1， 经检验合题意 答案 1 5 已知集合 A (x， y)|x y 2， x， y N， 试写出 解 A (x， y)|x y 2， x， y N， A (0,2)， (1,1)， (2,0) 集有： ， (0,2)， (1,1)， (2,0)， (0,2)，(1,1)， (0,2)， (2,0)， (1,1)， (2,0)， (0,2)， (1,1)，(2,0) 课堂小结 1 子集和真子集 (1)A两种情况： A 是 不要漏掉 A (2)在真子集的定义中 ， A B， 其次至少有一个 x B， 但 xA. (3)集合与集合之间的关系有包含关系 、 相等关系 ， 其中包含关系有：包含于 ()、 包含 ()， 真包含于 ( )、 真包含 ( )等 ， 用这些符号时要注意方向 2 空集 (1)空 集是任何集合的子集 ， 是任何非空集合的真子集 (2)若利用 “ AB” 或 “ A B” 解题 ， 要讨论 A 和 A两种情况 3涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用 1 合的基本运算 第 1课时 并集、交集 【 课标要求 】 1 理 解两个集合的并集与交集的含义 ， 会求两个简单集合的并集与交集； 2 能使用 体会直观图示对理解抽象概念的作用 【 核心扫描 】 1 并 集概念中的 “ 或 ” 的含义的理解 (难点 ) 2 集 合的交 、 并运算 (重点 ) 3 数轴或 用数轴表示集合时端点值的取舍 (易错点 ) 新知导学 1 并集和交集的概念及其表示 文字语言 符号语言 图形语言 并集 由属于集合 A 属于集合 做 的并集，记作 . A B . A B x|x A，或 x B 或 交集 由 集合 A 集合 做 的交集，记作 . A B . 既属于 又属于 A B x|x A，且 x B 温馨提示： “ x A，或 x B” 这一条件，包括下列三种情况： x A但 xB； x B但 xA； x A且 x A 、 2 交集与并集的性质 (1)A A ， A ， A B B A. (2)A A A， A ， A B B A. (3)A B AAB . A A B 动探究 探究点 1 “ A B” 是 把集合 中的元素放在一起形成的新集合吗 ？ 提示 不是 当集合 有公共元素时 ， 公共元素只能计一次 探究点 2 能 否认为 没有公共元素时 ， 就没有交集 ？ 提示 不能当 无公共元素时， 的交集仍存在，此时AB . 探究点 3 对 任意集合 A， B，一定有 A B A B，这一结论是否正确？ 提示 不正确，当 A A B A B，结论不成立 类型一 两个集合的并集运算 【 例 1】 (1)已 知集合 A 1,2,4， B 2,4,6， 则 A B_. (2)已知 A x| 若 A B R， 求 思路探索 借助于 利于直观求解 (1)解析 A 1,2,4， B 2,4,6， A B 1,2,4,6， 如图 答案 1,2,4,6 ( 2) 解 在数轴上标出集合 A 、 B ，如图 要使 A B R ， 则a 8 5 ，a a 3 ，即 a 3 ； 若 B 时，2 a 2 ，a 3 5 ，2 a a 3 ，解得： 1 a 2 ， 综上所述， a 的取值范围是 a | 1 a 2 或 a 3 易错辨析 忽视集合运算中的空集效应 【示例】 若 A x | 2 x 3 0 ， B x | 2 0 ，且 A B B ，求由实数 a 组成的集合 C . 错解 由 A x | 2 x 3 0 ，得 A 1, 3 A B B ， B A ，从而 B 1 或 B 3 当 B 1 时，由 a ( 1) 2 0 ，得 a 2 ； 当 B 3 时，由 a 3 2 0 ，得 a 23. 故由实数 a 组成的集合 C 2 ，23. 错因分析 由交集定义容易知道，对于任何一个集合 A ，都有 A ，所以错解忽略了 B 时的情况 正解 当 B 时，同上解法，得 a 2 或 a 23； 当 B 时，由 2 0 无实数根，得 a 0. 综上可知，实数 a 组成的集合 C 2 ， 0 ，23. 防范措施 交集 ， 不但要理解概念 ， 还要弄清 、 熟记并集 、 交集的一些性质 这些性质往往是解此类问题的突破口 2已知集合间的包含关系 (或由已知条件推出 )时，要有分类讨论的意识，另外空集这一特殊集合也不容忽视 课堂达标 1 已知集合 M 1,2,3,4， N 2,2， 下列结论成立的是 ( ) A NM B M N M C MN N D MN 2 解析 由 M 1,2,3,4， N 2,2， MN 2 答案 D 2 满足条件 M 1 1,2,3的集合 ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析 由已知得 M 2,3或 1,2,3， 共 2个 答案 B 3 若集合 A x| 2x3， B x|x 1， 或 x 4， 则AB _. 解析 如图所示 ， AB x| 2x 1 答案 x| 2x 1 4 已知集合 A x|x1， B x|xa， 且 A B R， 则实数_ 解析 如图所示 ， A B R， 实数 上或在 1的左边 ， a1. 答案 a1 5 若集合 A x| 2 x 4， B x|x m 0 (1)若 AB ， 求实数 (2)若 AB A， 求实数 解 (1) A x| 2 x 4， B x|x m， 又 AB ， m 2. (2) A x| 2 x 4， B x|x m， 由 AB A， 得 AB， m4. 课堂小结 1 求 集合的并 、 交是集合间的基本运算 ， 运算结果仍然还是集合 ，区分交集与并集的关键是 “ 且 ” 与 “ 或 ” 在处理有关交集与并集的问题时 ， 常常从这两个字眼出发去揭示 、 挖掘题设条件 2 进行集合的交 、 并运算注意三点： (1)意义化：分清集合的类型 ， 是表示数集 、 点集还是图形 (2)直观化：借助数轴 、 (3)求出有关集合中方程、不等式的解，不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式运算时还要注意：勿忘对空集的讨论；勿忘集合中元素的互异性；对于含参数的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍 第 2课时 补集及集合运算的综合应用 【 课标要求 】 1 理 解在给定集合中一个子集的补集的含义 ， 会求给定集合的补集 2 熟练掌握集合的交 、 并 、 补运算 【 核心扫描 】 1 求 给定集合的补集 (重点 ) 2 交 、并、补的综合运算 (难点 ) 新知导学 1 全集 (1)定 义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 ， 那么就称这个集合为全集 (2)记法：全集通常记作 . 所有元素 U 2补集 文字语言 对于一个集合 A，由全集 的所有元素组成的集合称为集合 的补集，记作 . 符号语言 . 图形语言 不属于集合 A x|x U，且 xA 温馨提示： (1)补集是集合之间的一种运算 求集合 是全集 随着所选全集的不同 ， 得到的补集也是不同的 (2) 首先必须具备 AU；其次是定义 x|x U， 且 xA 3 补集的性质 ， U U， U( . A 互动探究 探究点 1 全 集一定包含任何一个元素吗 ？ 若全集是数集 ， 则一定是实数集 提示 全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素 ， 而非任何元素 ， 我们研究的问题并不一定是实数集 ， 也有可能为整数集 、 自然数集或有理数集等等 探究点 2 吗 ？ 提示 不一定相等 当 A 二者相等 ， 否则不相等 探究点 3 集 合 在全集 提示 没有， A( . 类型一 补集的运算 【 例 1】 (1)已 知全集 U 0,1,2,3,4， 集合 A 1,2,3， B2,4， 则 ( ) A 1,2,4 B 2,3,4 C 0,2,4 D 0,2,3,4 (2)设全集 U R， 集合 A x|x 3， B x| 32 由数轴可知： 显然 ， 规律方法 则先把集合中的元素一一列举出来 ， 然后结合补集的定义来求解 ， 并注意借助 2 如果所给集合是无限集 ， 则常借助于数轴 ， 把已知集合及全集分别表示在数轴上 ， 然后再根据补集的定义求解 ， 这样处理比较形象直观 ， 解答过程中注意边界问题 【 活学活用 1】 设 U x| 5x 2， 或 2 x5， x Z， A x|2x 15 0， B 3,3,4， 求 解 U x| 5x 2， 或 2 x5， x Z 5， 4， 3,3,4,5， 又 A x|2x 15 0 3,5 由补集的定义知： 5， 4,3,4， 5， 4,5 类型二 补集的应用 【 例 2】 已 知全集 U R， 集合 A x|x 1， B x|2a x a 3， 且 B求 思路探索 可先求出 再结合 B 规律方法 解答本题的关键是利用 B B 与 B进行分类讨论，转化为与之等价的不等式 (组 )求解不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，注意检验 解 由题意得 x | x 1 ( 1) 若 B ，则 a 3 2 a ， 即 a 3 ，满足 B ( 2) 若 B ，则由 B 得 2 a 1 且 2 a a 3 ，即12 a 3. 综上可得 a 12. 【 活学活用 2】 设 U 0,1,2,3， A x U|0， 若1,2， 则实 数 m _. 解析 U 0,1,2,3， 1,2， A 0,3 又 0,3是方程 0的两根 ， m 3. 答案 3 类型三 交、并、补的综合运算 【例 3 】 设 A x |2 2 0, B x | 3 x 2 a 0 ， A B 2 (1) 求 a 的值及 A ， B ； (2) 设全集 U A B ，求 ( ( ； (3) 写出 ( ( 的所有子集 思路探索 (1) 由 A B 2 2 A 且 2 B 解出 a 及 A ，B . (2) 利用集合的运算求 ( ( 进而求出所有子集 解 ( 1) A B 2 ， 2 A ，且 2 B ，代入可求 a 5. A x |2 5 x 2 0 12， 2 ， B x | 3 x 10 0 5,2 ( 2) 由 ( 1) 可知 U 5 ，12， 2 ， 5 ， 12. ( ( 5 ，12. ( 3) 由 ( 2) 可知 ( ( 的所有子集为 ， 5 ，12， 5 ，12. 规律方法 2)问中 ， 易误认为 “ B， A”导致逻辑错误 2 进行集合的交 、 并 、 补运算时应紧扣定义 ， 适当借助 【 活学活用 3】 设 全集为 R， A x|3， ( P x | x 0 或 x 52. ( 3) x | 0 x 52， ( A B ) ( x | 1 x 2 x | 0 x 52 x | 0 x 2 课堂小结
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