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高考 数学 一轮 复习 温习 课时 检测 打包 35

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1 第一章 第一节 集合 一、选择题 1 (2012 福建四地六校联考 )集合 M a， b， N a 1,3， a， b 为实数，若 M N 2，则 M N ( ) A 0,1,2 B 0,1,3 C 0,2,3 D 1,2,3 解析： M N 2， 2 M,2 N. a 1 2，即 a 1. 又 M a， b， b 2. A B 1,2,3 答案： D 2 (2011 山东高考 )设集合 M x|x 64. 11已知集合 A x R| 3x 11 ，集合 B x R|y x m 若 A B A，求实数 m 的取值范围 解：由题意得： A x R|x 2x 10 ( 1,2， B x R|x m x R|(x m)(x 1 m)0 由 A B A 知 BA，得 1 m2 ， 1 1 m2 ， 解得： 10 得 413时， A x|23a 1，即 a13时， A x|3a 1x2 又因为 A B，所以 2a 3a 11 2 ，解得 a 1. 综上所述， a 1 1 第一章 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 一、选择题 1命题 p： x 是函数 y x 图象的一条对称轴； q： 2 是 y x 的最小正周期，下列复合命题： p q； p q； 綈 p； 綈 q，其中真命题有 ( ) A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 解析：由于命题 p 是假命题，命题 q 是真命题，所以 p q 为假命题， p q 为真命题，綈 p 是真命题，綈 q 是假命题，因此 中只有 为真 答案： C 2已知命题 p、 q， “ 非 p 为真命题 ” 是 “ p 或 q 是假命题 ” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：由题意知， p 是假命题，不能推出 p 或 q 是假命题但当 p 或 q 是假命题时， 以非 p 为真命题是 p 或 q 是假命题的必要不充分条件 答案： B 3 (2012 蚌埠模拟 )已知命题 p： x ( ， 0)， 2x则下列命题为真命题的是 ( ) A p q B p (綈 q) C p (綈 q) D (綈 p) q 解析：由条件知， p 是假命题；又由三角函数可知 q 是真命题，故綈 p 为真， 所以 (綈 p) q 为真 答案： D 4下列命题中是假命题的是 ( ) A m R，使 f(x) (m 1) 4m 3 是幂函数，且在 (0， ) 上递减 B a0，函数 f(x) a 有零点 C ， R，使 ) D R，函数 f(x) x )都不是偶函数 解析：对 A，当 m 2 时， f(x) 10， ) 上递减；对 B，由于 14a0，故 f(x) a 有零点；对 C，当 4 ， 0 时，有 4 0) D，当 2 时， f(x)是偶函数，故 D 是假命题 2 答案： D 5设集合 A x| 命题 p： 1 A，命题 q： 2 A，若 p q 为真命题， p q 为假命题，则 a 的取值范围是 ( ) A 02 B 00，函数 f(x) c.若 x 的方程 2b 0，则下列选项的命题中为假命题的是 ( ) A x R， f(x) f( B x R， f(x) f(C x R， f(x) f( D x R， f(x) f(解析：由题知： f(x)图象的对称轴方程，所以 f(函数的最小值，即对所有的实数 x，都有 f(x) f(因此 x R， f(x) f(错误的 答案： C 二、填空题 7命题 p： “ x R， 12x” 的否定綈 p： _、綈 p 的真假为 _ 答案： x R， 12 x 真 8命题 p：若 a， b R，则 0 是 a 0 的充分条件，命题 q：函数 y x 3的定义域是 3， ) ，则 “ p q” 、 “ p q” 、 “ 綈 p” 中是真命题的有 _ 解析：依题意 p 假， q 真，所以 p q，綈 p 为真 答案： p q，綈 p 9已知全集 U R， AU， BU，如果命题 p： 3 A B，则命题 “ 非 p” 是 _ 解析： p： 3 A 或 3 B， 綈 p： 3A 且 3B， 綈 p： 3 ( 答案： 3 (三、解答题 10用符号 “ ” 与 “ ” 表示下面含有量词的命题，并判断真假 (1)所有的实数 a、 b，方程 b 0 恰有惟一解 (2)存在一个三角形，内角和不 等于 180. 解： (1) a、 b R，方程 b 0 恰有惟一解，假命题 (2) 得 A B C180 ，假命题 3 11在一次投篮训练中，小明连续投了 2 次设命题 p 是 “ 第一次投中 ” ，命题 q 是 “ 第二次投中 ” 试用 p， q 以及逻辑联结词 “ ， ，綈 ” 表示下列命题： (1)两次都没投中； (2)两次都投中了； (3)恰有一次投中； (4)至少有一次投中； (5)至多有一次投中 解：依题意及逻辑联结词的意义， (1)两次没投中可表示为 (綈 p) (綈 q)； (2)两次都投中了可表示为 p q； (3)恰 有一次投中可表示为 p (綈 q) (綈 p) q； (4)至少有一次投中可表示为 p q； (5)至多有一次投中可表示为綈 (p q) 12已知命题 P：函数 y 2x)在定义域上单调递增； 命题 Q：不等式 (a 2)2(a 2)x 40 对任意实数 x 恒成立 若 P Q 是真命题，求实数 a 的取值范围 解：命题 P 函数 y 2x)在定义域上单调递增； 0a1. 又 命题 Q 不等式 (a 2)2(a 2)x 40 对任意实数 x 恒成立； a 2 或 a 20， a 2 a ， 即 2a2. P Q 是真命题， a 的取值范围是 2a2 1 第一章 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 一、选择题 1 (2011 天津高考 )设集合 A x R|x 2 0， B x R|x 0， C x R|x(x 2) 0，则 “ x A B” 是 “ x C” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析： A B x R|x 0 或 x 2， C x R|x 0 或 x 2， A B C， x A B 是 x C 的充分必要条件 答案： C 2命题 “ 若 1 x 1，则 1” 的逆否命题是 ( ) A若 x1 或 x 1，则 B若 x1 或 的解集相同 ” 的 ( ) A充分必要条件 B充分不必 要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 解析： “ 不等式 与 的解集相同 ” “ ，但 “ “ 不等式 与 的解集相同 ” ，如： 1， 1， 1， 1. 答案： C 4 “ a 0” 是 “ 函数 y ln|x a|为偶函数 ” 的 ( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条 件 2 解析：当 a 0 时，函数 y ln|x|为偶函数；当函数 y ln|x a|为偶函数时，有 x a| ln|x a|， a 0. 答案： A 5命题 “ 若 f(x)是奇函数，则 f( x)是奇函数 ” 的否命题是 ( ) A若 f(x)是偶函数，则 f( x)是偶函数 B若 f(x)不是奇函数，则 f( x)不是奇函数 C若 f( x)是奇函数，则 f(x)是奇函数 D若 f( x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函数 解析：否命题是既否定题设又否定结论 答案： B 6 (2011 湖南高考 )设集合 M 1,2， N 则 “ a 1” 是 “ NM” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 解析：当 a 1 时， N 1，此时有 NM，则条件具有充分性；当 NM 时，有 1或 2 得到 1， 1， 2， 2，故不具有必要性，所以 “ a 1” 是 “ NM” 的充分不必要条件 答案： A 二、填空题 7给出命题：已知实数 a、 b 满足 a b 1，则 命题、逆否命题三个命题中，真命题 的个数是 _ 解析： a b 11 (a b)2 2 ab14. 原命题为真，从而逆否命题为真；若 14，显然得不出 a b 1，故逆命题为假，因而否命题为假 答案： 1 8 (2012 盐城模拟 )已知直线 y 2a 1 0 和直线 2x (a 1)y 2 0(a R)，则 a _. 解析： a (a 1) 0，解得 a 13. 答案： 13 9 p： “ 向量 a 与向量 b 的夹角 为锐角 ” 是 q： “ a b0” 的 _条件 3 解析：若向量 为锐角，则 a b|a| |b|0，即 a b0；由 a b0可得 a b|a| |b|0，故 为锐角或 0 ，故 p 是 q 的充分不必要条件 答案：充分不必要 三、解答题 10已知集合 A x|42m 6 0， B x|的充分条件？如果存在求出p 的取值范围； (2)是否存在实数 p，使 “4 x 的必要条件？如果存在求出 p 的取值范围 解： (1)当 x2 或 4x p4 时， “4 x 的充分条件 (2)不存在实数 p，使 “4 x 的必要条件 12 (2012 日照模拟 )设 p：实数 x 满足 43 (1)若 a 1，且 p q 为真，求实数 x 的取值范围； (2)若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 解： (1)由 43得 20 时， A (a,3a)； ，有 a2 ，33a， 解得 1a2 ； 当 a0 时，显然 A B ，不合题意 综上所述，实数 a 的取值范围是 1a2. 1 选修 4一节 坐标系 1已知伸缩变换表达式为 x 2x，y 13y， 曲线 C 在此变换下变为椭圆x 24 y2 1，求曲线 C 的方程 解： x 2 13y ， 将其代入方程x 24 y2 1， 得 (13y)2 1， 即 1， 故曲线 C 的方程为 1. 2已知圆 M 的极坐标方程为 2 4 2 4) 6 0，求 的最大值 解：原方程化为 2 4 2 ( 22 22 ) 6 0， 即 2 4( ) 6 0. 圆的直角坐标方程为 4x 4y 6 0. 圆心为 M(2,2)，半径为 2. | 2 2 2 2 3 2. 3已知两点 A， B 的极坐标分别为 (4， 2)， (4， 6) (1)求 A， B 两点间的距离； (2)求直线 极坐标方程 解： (1) 2 6 3 ， 正三角形，故 4. (2)设 O 在直线 的射影为 H， 则 H 的坐标为 (2 3， 3) 设 P( ， )为直线 任一点， 则由 直角三角形得 2 3) 2 3， 即为所求的直线 极坐标方程 4已知 P(5， 23 )， O 为极点，求使 为正三角形的 P 点的坐标 解：设 P( 1， 1)， 为正三角形，如图 60. 1 23 3 3 或 1 23 3 ， 1 5. P(5 ， 3)或 P(5 ， ) 5已知圆 2的极坐标方程分别为 2， 2 2 2 4) 2. (1)把圆 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程 解： (1)由 2 知 2 4 所以 4； 因为 2 2 2 4) 2， 所以 2 2 2 ( ) 2. 所以 2x 2y 2 0. (2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为 x y 1. 化为极坐标方程为 1， 即 4) 22 . 6在极坐标方程中，曲线 C 的方程为 4 ，过点 M(4， 6)作曲线 C 的切线，求切线长 解： 4 化为普通方程为 (y 2)2 4. 而点 M(4， 6)化为直角坐标为 M(2 3， 2)， 由勾股定理，得切线长为 3 3 2 2 22 2 2. 即切线长为 2 2. 7在极坐标系中，圆 C 的圆心 C(6， 6)，半径 r 6. (1)写出圆 C 的极坐标方程； (2)若 Q 点在圆 C 上运动， P 在 延长线上，且 3 2，求动点 P 的轨迹方程 解： (1)圆 C 的极坐标方程 12 6) (2)设 P 的坐标为 ( ， )，因为 P 在 延长线上， 又 3 的坐标为 (35 ， )， 若 Q 点在圆 C 上运动，则 35 12 6)， 即 20 6) 故点 P 的轨迹方程为 20 6) 8从极点 O 作直线与另一直线 l： 4 相交于点 M，在 取一点 P，使 12. (1)求点 P 的轨迹方程； (2)设 R 为 l 上的任意一点，试求 |最小值 解： (1)设动点 P 的极坐标为 ( ， )， M 的极坐标为 ( 0， )，则 0 12. 0 4， 3 即为所求的轨迹方程 (2)将 3 化为直角坐标方程是 3x， 即 (x 32)2 (32)2， 知 P 的轨迹是以 (32， 0)为圆心，半径为 32的圆直线 l 的直角坐标方程是 x 最小值为 1. 1 选修 4一节 相似三角形的判定及有关性质 1如图，在梯形 ， 交于点 O， 过点 O 的直线分别交 E， F，且 12， 20，求 解： 2012 53， 58. 58. 585812 152 ， 同理可求得 383820 152 ， 15. 2已知：如图，在正方形 ， P 是 的点，且 3Q 是中点求证： 证明：在正方形 ， Q 是 中点， 2. 3， 4. 又 2 2. 在 ， C D 90 ， 3如图，在 ， 别平分 点 E、 F， 交于点 M. (1)试说明： (2)判断线段 大小关系，并予以说明 解： (1) 在 ， 2 180. 别平分 2 2 2 2 180. 即 90 ， 90 ， (2)线段 相等关系，即 在 ， 又 分 同理可得， 又 在 ， 即 4如图，已知在 ， 90 ， E 是 中点， 延长线于 证明： 90 ， 90 ， 1 2 90 ， 2 C 90. 1 C. 又 E 是 中点， 3 C. 又 3 4， 1 C， 1 4. 又有 F F， 3 5如图，在 ， 90 ， 点 D， 6， E 为 中点， 2 3，求 解：设 2t， 3t， 由射影定理得 62 2t3 t， t 6(t 6舍去 )， 2 6， 3 6， 所以斜边 2 6 3 6 5 6 故 1252 6. 再由射影定理得 2 65 6 60 2 15. 6已知：如图 ， 90 ， D、 E、 F 分别 在 ， 1313 13求证： (1) (2) 证明：设 3a， 则 a， 2a. (1)2a 23 ， 2 23 ， 又 C 为公共角， 故 由 90 得 90 ， (2)由 (1)得 2a， 故 22 ， 又 2a 22 ， 4 90 ， 7已知线段 C 为 中点， D 为 一点，连结 于点 P. (1)如图 1，当 D 为 点时，求 (2)如图 2，当 14时，求 解： (1)过 C 作 E，易证 1212 2. (2)过 C 作 E， 设 x， 4x，则 3x，易证 1232x， 3； 由勾股定理可知 5x， 52x， 则 23， 可得 x， 则 A， A 12. 8已知，边长为 8 的等边 ，若 D、 E 分别是 的点， 5 且 60 ，设 x， y，求 y 关于 x 的函数关系式，并求出 y 的最小值 解： 60 ， 120. 又 180 B 120 ， 又 B C 60 ， 由 x， y，得 8 x， 8 y， 88 x y. y 18x 8 18(x 4)2 6. 当 4，即 D 为 中点时， 最小值 6. 1 选修 4一节 绝对值不等式 1已知关于 x 的不等式 |x 1| |x 2| a 1b 1a b 对任意正实数 a、 b 恒成立，求实数 x 的取值范围 解： a 1b 1a b 2 1 当且仅当 1 时取 “ ” 号 a 1b 1a b 的最小值为 4. |x 1| |x 2|4. 当 x 1 时， x 1 2 x4 ， x 32， 32 x 1. 当 1 x 2 时， x 1 2 x4,34. 1 x 2 当 x2 时， x 1 x 24 ， x 52， 2 x 52. 综上 x 的取值范围是 32， 52 . 2已知函数 f(x) x 1| |x 5| a) (1)当 a 2 时，求函数 f(x)的最小值； (2)当函数 f(x)的定义域为 R 时，求实数 a 的取值范围 解：函数的定义域满足 |x 1| |x 5| a0， 即 |x 1| |x 5|a. (1)当 a 2 时， f(x) x 1| |x 5| 2)， 设 g(x) |x 1| |x 5|，则 g(x) |x 1| |x 5| 2x 6 x ，4 x ，6 2x x ，g(x)4， f(x) 2) 1. (2)由 (1)知， g(x) |x 1| |x 5|的最小值为 4， |x 1| |x 5| a0， 一切实数 x 恒成立，求实数 b 的取值范围 解： (1)由 f(x)4 得 |6x a|4 ，解得 x 4 x 4 依题意， 4 12， 4 56， a 1； (2)当 a 1 时， f(x) |6x 1|， f(x 1) |6x 7|， f(x 1) |6x 5| f(x 1) f(x 1) |6x 7| |6x 5|(6 x 7) (6x 5)| 12， b12. 4设对于任意实数 x，不等式 |x 7| |x 1| m 恒成立 (1)求 m 的取值范围； (2)当 m 取最大值时，解关于 x 的不等式： |x 3| 2x2 m 12. 解： (1)设 f(x) |x 7| |x 1|， 则有 f(x) 6 2x， x 7，8， 7 x1 ，2x 6， x f(x)有最小值 8，所以 m8 . (2)当 m 取最大值 m 8 时， 原不等式等价于： |x 3| 2x4 ， 等价于： x3 ，x 3 2x4 或 x33 x 2x4 解得： x3 或 13 x3. 所以原不等式的解集为 x|x 13 5已知 f(x) x|x a| 2. (1)当 a 1 时，解不等式 f(x)|x 2|； 3 (2)当 x (0,1时， f(x)121 恒成立，求实数 a 的取值范围 解： (1)a 1 时， f(x)|x 2|， 即 x|x 1| 2|x 2|. 当 x2 时，由 x(x 1) 2x 20x2. x ； 当 1 x2 时，由 x(x 1) 22 x 2x2. 1 x2； 当 x1 时，由 x(1 x) 22 xx R. x1. 综上：可知原不等式的解集为 x|x2 (2)当 x (0,1时， f(x)121， 即 x|x a| 2121 恒成立， 也即 12x 1xa32x 1x在 x (0,1上恒成立， 而 g(x) 12x 10,1上为增函数， 故 g(x)g(1) 12； h(x) 32x 1x2 32 6，当且仅当 32x 1x，即 x 63 时，等号成立 故 a 12， 6 . 6已知对于任意非零实数 m，不等式 |2m 1| |1 m| |m|(|x 1| |2x 3|)恒成立，求实数 x 的取值范围 解： |x 1| |2x 3| |2m 1| |1 m|m| 恒成立， |2m 1| |1 m|m| |2m 1 1 m|m| 1， 只需 |x 1| |2x 3|1. (1)当 x 32时，原式等价于 1 x 2x 31 ， 即 x 3. x 3. (2)当 32x1 时，原式等价于 1 x 2x 31 ， 即 x 1. 4 1 x1. (3)当 x1 时，原式等价于 x 1 2x 31 ， 即 x 5. x1. 综上 x 的取值范围为 ( ， 3 1， ) 1 第七章 第一节 空间几何体的结构特征及三视图和直观图 一、选择题 1 (2011 广东高考 )正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有 ( ) A 20 B 15 C 12 D 10 解析：如图，在正五棱柱 顶点 A 出发的对角线有两条： 理从 B、 C、 D、 E 点出发的对角线也有两条，共 25 10 条 答案： D 方形 O A B C 的边长为 1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 ( ) A 6 B 8 C 2 3 2 D 2 2 3 解析：根据水平放置平面图形的直观图的画法，可得原图形是一个平行四边形，如图，对角线 2 2， 1， 3，所以周长为 8. 答案： B 3 (2012 豫南九校联考 )右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 4，腰长为 4 的等腰梯形，则该几何体的侧面积是 ( ) A 6 B 12 C 18 D 24 解析：由三视图可知，该几何体的上、下底面半径分别为 1,2，圆台的母线长为 4，所以该几何体的侧面积为 (1 2)4 12. 答案： B 是长方体 去几何体 后得到的几何体，其中 E 为线段 1的点， F 为线段 1的点，且 下列结论中 不 正确的是 ( ) A 四边形 矩形 C 是棱柱 D 是棱台 解析：根据棱台的定义 (侧棱延长之后，必交于一点，即棱台可以还原成棱锥 )可知，几何体 不是棱台 答案： D 5 (2011 山东高考 )右图是长 和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题： 存在三棱柱，其正视图、俯视图如右图； 存在四棱柱，其正视图、俯视图如右图； 存在圆柱，其正视图、俯视图如右图其中真命题的个数是 ( ) A 3 B 2 C 1 D 0 解析：把底面为等腰直角三角形的直三棱柱的一个直角边所在侧面放在水平面上，就可以使得这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题 是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上，即可使得这个四棱柱的正视图和俯视图符合要求，命题 是真命题；只 要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求，命题 也是真命题 答案： A 6将正三棱柱截去三个角 (如图 (1)所示 A、 B、 C 分别是 边的中点 )得到几何体如图 (2)，则该几何体按图 (2)所示方向的侧视图为 ( ) 解析：由正三棱柱的性质得侧面 底面 侧视图必为直角梯形，又线段 答案： A 3 二、填空题 7在棱长为 1 的正方体 对角线 ，交 ，得四边形 出下列结论： 四边形 可能为梯形； 四边形 可能为菱形； 四边形 底面 的投影一定是正方形； 四边形 可能垂直于平面 四边形 积的最小值为 62 . 其中正确的是 _ (请写出所有正确结论的序号 ) 解析：四边形 平行四边形， 显然不成立，当 E、 F 分别为 成立，四边形 底面的投影恒为正方形 、 F 分别为 边形 面积最小，最小值为 62 . 答案： 8一个几何体是由若干个相同的小正方体组成的，其正视图和侧视图如图所示，则这个几何体最多可由 _个这样的小正方体组成 解析：依题意可知这个几何体最多可由 9 2 2 13 个这样的小正方体组成 答案： 13 9 (2012 临沂模拟 )已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸 (单位： 可得这个几何体的体积是 8 0003 正视图中的 h 等于 _解析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，且底面是一个边长为 20 的正方形，所以 V 132020 h 8 0003 ， h 20. 4 答案： 20 三、解答题 10正四棱锥的高为 3，侧棱长为 7，求侧面上斜高 (棱锥侧面三角形的高 )为多少？ 解： 如图所示，正四棱锥 S 高 3， 侧棱 7， 在 ， 2， 4. 2 2. 作 E，则 E 为 点 连接 为斜高 在 ， 122， 3， 5，即侧面上的斜高为 5. 11某几何体的一条棱长为 7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，求 a b 的最大值 解： 如图，把几何体放到长方体中，使得长方体的对角线刚好为几何体的已知棱，设长方体的对角线 7，则它的正视图投影长为 6，侧视图投影长为 a，俯视图投影长为 b，则 ( 6)22( 7)2，即 8， 又 a 当且仅当 “ a b 2” 时等式成立 a b4. 即 a b 的最大值为 4. 12已知正三棱锥 V 正视图、侧视图和俯视图如图所示 (1)画出该三棱 锥的直观图； (2)求出侧视图的面积 5 解： (1)如图所示 (2)根据三视图间的关系可得 2 3， 侧视图中 42 23 32 2 3 2 2 3， S 122 32 3 6. 1 第七章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 1已知三个命题： 若点 P 不在平面 内， A、 B、 C 三点都在平面 内， 则 P、 A、B、 C 四点不在同一平面内； 两两相交的三条直线在同一平面内； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形其中正确命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析：当 A、 B、 C 三点都在平面 内，且三点共线时， P、 A、 B、 C 四点在同一个平面内，故 错误；三棱锥的三条侧棱所在 的直线两两相交，但三条直线不在同一平面内，故 错误；两组对边分别相等的四边形也可能是空间四边形，故 错误 答案： A l， A、 B ， C ，且 Cl，直线 l M，过 A、 B、 C 三点的平面记作 ，则 与 的交线必通过 ( ) A点 A B点 B C点 C 但不过点 M D点 C 和点 M 解析： ， M M . 又 l， M l， M . 根据公理 3 可知， M 在 与 的交线上 同理可知，点 C 也在 与 的交线上 答案： D 四面体 ，若截面 正方形，则在下列命题中，错误的为 ( ) A B 截面 D异面直线 成的角为 45 解析：依题意得 平面 平面 平面 平面 此有 平面 正方形，因此有 线 成的角是 45. 答案： C 2 4 (2012 沈阳模拟 )在正方体 E、 F 分别为棱 在空间中与三条直线 相交的直线 ( ) A不存在 B有且只有两条 C有且只有三条 D有无数条 解析：在 任取一点 D 与点 M 确定的平面与直线 ，则直线 三条直线都相交，由点 M 的任意性可知这样的直线有无数条 答案： D 5 (2012 宿州模拟 )如图， M 是正方体 出下列四个命题： 过 M 点有且只有一条直线与直线 过 M 点有且只有一条直线与直线 过 M 点有且只有一个平面与直线 过 M 点有且只有一个平面与直线 其中真命题是 ( ) A B C D 解析：由于两相交直线可确定一个平面，设 l 过 M 点，与 交，则 l 与 ， l 与 ，又 l 为平面 与平面 的交线，如图所示 为 l，故 正确 由于 ， B、 正确 显然 正确 过 M 点有无数个平面与 错误 答案： C 6正四棱锥 S 侧棱长为 2，底面边长为 3， E 为 中点，则异面直线 C 所成的角为 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 3 解析：设 点为 O，则 接 补角 )即为异面直线 1222 ， 1262 ， ， 232264 2. ， 12， 60. 答案： C 二、填空题 7如图， G、 H、 M、 N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 异面直线的图形有 _ 解析： 中， 以 G、 M、 N、 H 四点共面，从而 面； 中，根据异面直线的判定定理，易知 面 答案： 8下列命题中正确的是 _ 若 平 面 外，它的三条边所在的直线分别交平面 于 P、 Q、 R，则 P、 Q、R 三点共线； 若三条直线 a、 b、 c 互相平行且分别交直线 l 于 A、 B、 C 三点，则这四条直线共面； 空间中不共面的五个点一定能确定 10 个平面； 若 a 不平行于平面 ，且 a ，则 内的所有直线与 a 异面 解析：在 中，因为 P、 Q、 R 三点既在平面 ，又在平面 上，所以这三点必在平面 平面 的交线上，即 P、 Q、 R 三点共线，所以 正确； 在 中，因为 a b，所以 a 与 b 确定一个平面 ，而 l 上有 A、 B 两点在该平面上，所以 l ，即 a、 b、 l 三线 共面于 ；同理 a、 c、 l 三线也共面，不妨设为 ，而 、 有两条公共的直线 a、 l，所以 与 重合，即这些直线共面，所以 正确； 在 中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定 7 个平面，所以 错； 在 中，由题设知， a 和 相交，设 a P，如图，在 内过点 P 的直 4 线 l 与 a 共面，所以 错 答案： 9直三棱柱 90 ， 异面直线 _ 解析：延长 点 M，使 其补角为异 面直线 接 知 此，异面直线 0. 答案： 60 三、解答题 10如图所示，已知 E、 F 分别是正方体 判断四边形 解：如图，取 ，连接 M、 F 分别是 在正方体 1 四边形 又 E、 M 分别是 四边形 平行四边形 四边形 又 四边形 知： E、 F、 G、 H 分别是正方体 B、明： 线共点 证明：连结 题意知 B， 四边形 平行四边形 又 故 12 交 5 设交点为 K， 则 K 平面 K 平面 K 面 K 平面 平面 平面 K 线共点 12如图，在长方体 3， 4，点 O 是 中点 (1)求证： 平面 (2)求异面直线 解： (1)证 明：如图，连接 1，连接 O、 C 和 中点， 又 平面 面 平面 (2)由 在 ，由题设可得 52， 52， 2 2. 由余弦定理得 22 2 2 5222 522 2 2 25 ， 故异面直线 25 1 第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及性质 一、选择题 1给出以下命题，其中错误的是 ( ) A如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 B垂直于同一平面的两条直线互相平行 C垂直于同一直线的两个平面互相平行 D两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 解析：一条直线可以垂直于一个平面内的无数条平行直线，但这条直线不垂直这个平面 答案： A 2设 l， m 是两条不同的直线， 是一个 平面，则下列命题正确的是 ( ) A若 l m， m ，则 l B若 l ， l m，则 m C若 l ， m ，则 l m D若 l ， m ，则 l m 解析：根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面可知B 正确 答案： B 3若 m、 n 是两条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是 ( ) A若 m ， ，则 m B若 m， n， m n，则 C若 m ， m ，则 D若 ， ，则 解析：对于 A，由 m ， 显然不能得知 m ；对于 B，由条件也不能确定 ；对于 C，由 m 得，在平面 上必存在直线 l m.又 m ，因此 l ，且 l ，故 ；对于 D，垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，因此 D 也不正确 答案： C 4 (2012 皖南八校联考 )已知 ， ， 是三个不同的平面，命题 “ ，且 ” 是真命题，如果把 ， ， 中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有 ( ) A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 解析：若 ， 换为直线 a， b，则命题化为 “ a b，且 a b ” ，此命题为真 2 命题；若 ， 换为直线 a， b，则命题化为 “ a ，且 a bb ” ，此命题为假命题；若 ， 换为直线 a， b，则命题化为 “ a ，且 b a b” ，此命题为真命题，故选C. 答案： C 5 (2012 宿迁模拟 )已知两条直线 m， n，两个平面 ， ，给出下面四个命题： m n， m n ； ， m ， n m n； m n， m n ； ， m n， m n . 其中正确命题的序号是 ( ) A B C D 解析：对于 ，由于两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直，因此 是正确的；对于 ，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不一定平行，因此 是错误的；对于 ，直线 n 可能位于平面 内，此时结论显然不成立，因此 是错误的；对于 ，由 m 且 得 m ，又 m n，故 n ，因此 是正确的 答案： C 6如图，四边形 ， 1， 2， 对角线成四面体 A 平面 A 平面 下列结论正确的是 ( ) A A C C 90 C 与平面 A 成的角为 30 D四面体 A 体积为 13 解析：取 中点 O， A B A D， A O 平面 A 平面面 A 平面 A O 平面 垂直于 C A C 在平面 的射影， 盾， A C 不垂直于 A 错误； 面 A 平面 平面A A C 在平面 A 的射影为 A D， A B A D 1， 2， A B A D， 3 A B A C， B 正确； D 为直线 与平面 A 成的角， D 45 ， C 错误； 13S A 16， D 错误 答案： B 二、填空题 7已知直线 l， m， n，平面 ， m ， n ，则 “ l ” 是 “ l m 且 l n” 的 _条件 (填 “ 充分不必要 ” 、 “ 必要不充分 ” 、 “ 充要 ”“ 既不充分也不必要 ”) 解析：若 l ，则 l 垂直于平面 内的任意直线，故 l m 且 l n，但若 l m 且 l n，不能得出 l . 答案：充分不必要 8正四棱锥 S 底面边长为 2，高为 2， E 是边 中点，动点 P 在表面上运动，并且总保持 动点 P 的轨迹的周长为 _ 解析：如图，取 中点 F、 中点 G，连接 点 H， 易知 又 平面 H H， 平面 故点 P 的轨迹是 周长为 2 6. 答案： 2 6 9如图所示，在四棱锥 P ， 底面 底面各边都相等， M 是 的一动点，当点 M 满足 _时，平面 平面 只要填写个你认为是正确的条件即可 ) 解析：由 得 平面 以 所以当 ，即有 平面 面 平面 平面 答案： ) 三、解答题 平面 2， 90 ，E 为 90 ，求证： 平面 证明： 2， 90 ， 2 2. 设 x，则 2 2 x， 4 4 1 (2 2 x)2， (2 2)2 1. 90 ， x 2. D 为 中点 又 A， 平面 棱锥 A ， 90 ， 1， 平面 60 ，E， F 分别是 的动点，且 (0 1) (1)求证：不论 为何值，总有平面 平面 (2)当 为何值时，平面 平面 解： (1) 平面 B， 平面 又 (0 1)， 不论 为何值，恒有 平面 面 不论 为何值恒有平面 平面 (2)由 (1)知， 平面 平面 平面 1， 90 ， 60 ， 2， 20 6. 7. 由 得 67. 67. 12 (2012 郑州模拟 )如图，直角三角形 在的平面垂直于正三角形 在的平面，其中 平面 2E、F 分别为 中点 (1)证明： (2)求直线 平面 成 的角 解： (1)证明：连接 5 因为 E、 F 分别是 中点，所以 又 以 因为 等边三角形，所以 F 所以 平面 面 (2)连接 平面 所以 平面 平面 因为 平面 12 所以 12又因为 12 所以 四边形 矩形 所以 所以 平面 则 为直线 平面 成的角 在 ，因为 32 1212以 3， 故 60 ， 即直线 平面 成的角为 60 1 第七章 第四节 直线、平面平行的判定及性质 一、选择题 1一条直线 l 上有相异三个点 A、 B、 C 到平面 的距离相等，那么直线 l 与平面 的 位 置 关 系 是 ( ) A l B l C l 与 相交但不垂直 D l 或 l 解析： l 时，直线 l 上任意点到 的距离都相等， l 时，直线 l 上所有的点到 的距离都是 0， l 时，直线 l 上有两个点到 距离相等 ， l 与 斜交时，也只能有两点到 距离相等 答案： D a 的等边三角形 中线 中位线 于点 G，已知 A 转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是 ( ) 动点 A 在平面 的射影在线段 ； 平面 A 三棱锥 A 体积有最大值 A B C D 解析： 中由已知可得面 A 面 点 A 在面 的射影在线段 平面 A 当面 A 面 ，三棱锥 A 体积达到最大 答案： C 3设 、 、 为三个不同的平面， m、 n 是两条不同的直线，在命题 “ m，n ，且 _，则 m n” 中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题 ， n ； m ， n ； n ， m . 可以填入的条件有 ( ) A 或 B 或 C 或 D 或 或 解析：由面面平行的性质定理可知， 正确；当 n ， m 时， n 和 m 在同一平面内，且没有公共点，所以平行， 正确 答案： C 2 4 (2012 荆州模拟 )设 x、 y、 z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形： x、 y、z 均为直线； x、 y 是直线， z 是平面； z 是直线， x、 y 是平面； x、 y、 z 均为平面，其中使 “ x z 且 y z x y” 为 真 命 题 的 是 ( ) A B C D 解析：根据空间中的直线、平面