关于菲涅耳衍射图样相似性的分析与讨论

1、第28卷第6期2009年6月大学物理COLLEGEPHYSICSVol.28No.6June2009教学研究关于菲涅耳衍射图样相似性的分析与讨论蔡履中(山东大学光电工程系,山东济南250100)摘要:与夫琅禾费衍射不同,菲涅耳衍射图样对于给定波长,性.但我们的分析表明,若波长、,菲涅耳衍射图样有可能彼此相似.,与诸参数的定量关系,.关键词:菲涅耳衍射;相似性;中图分类号:O:100020712(2009)0620001203最基本的衍射类型,它们的近似条件不同,性质也有所不同1,2比较以上两式易见I(x,y,mz;).其中夫琅禾费衍射可以写成傅里叶变换m2形式,故其特性可由傅里叶变换的性质得到

2、说明.例如,对给定衍射孔径和波长,不同衍射距离处的夫琅禾费衍射图样是彼此相似的;对给定衍射距离和波长,当衍射孔径的线度发生比例缩放时夫琅禾费衍射图样也是相似的,且衍射图样的线度与衍射孔径的线度成反比.即使不借助于傅里叶变换,这些性质也可从夫琅禾费衍射公式直接看出.对于孔径函数为u(x0,y0)的平面衍射屏,位于距离z处的(x,y)平面的夫琅禾费衍射图样的强度分布可以表示为I(x,y,z;)2,z;mm(3)即mz处衍射图样与z处衍射图样相似,但前者线度增大到后者的m倍.其他性质可类似得到说明.在输入图像标度变换和衍射距离变换下衍射图样都具有相似性这一性质,使得夫琅禾费衍射具有独特的简单性.相比

3、之下,菲涅耳衍射则复杂得多.众所周知,菲涅耳衍射图样在以上两种变换下都不具有相似性.例如,对同一圆孔,当观察屏距离变化时其中心点亮暗交替;对同一观察位置,当圆孔半径缩放时观察屏中心点也会发生亮暗交替.那么,是否在不同条件下的菲涅耳衍射图样就没有任何相似性呢?对此问题的系统研究所见甚少.但我们的初步分析已表明其答案是否定的:对相同孔径形状及相同波长,在适当的距离-标度变换下菲涅耳3衍射图样也可以具有相似性.本文将对包括波长变化的更广泛情况进行分析,导出菲涅耳衍射图样具有相似性的普适条件,并讨论它的一些重要推论和应用.(z)2u(x0,y0)2exp-zx0x+y0dx0dy0(1)式中为光波波长

4、.考虑在相同孔径和波长下轴向距离发生变化的情形,并设距离z增大到原来的m倍,这时的夫琅禾费衍射图样强度分布为I(x,y,mz;)u(x0,y0)2(mz)2exp-x0x+y0dx0dy0=mu(x0,y0)2(mz)2(2)x+y0exp-dx0dy0z0mm1菲涅耳衍射图样在特定条件下的相似性在菲涅耳近似下,孔径函数u(x0,y0)在距离z处的观察平面产生的衍射图样强度分布为2收稿日期:2008-08-18基金项目:“光学”国家精品课程建设项目资助(2006);“光学”国家“十一五”规划教材建设项目资助(2007)作者简介:蔡履中(1945),男,河南封丘人,山东大学光电工程系教授,博士生

5、导师,主要从事信息光学研究和教学工作.2大学物理第28卷I(x,y,z;)=(z)u(x0,y0)上式指出,当输入图像的线度、光波长及观察距离均增大到原来的m倍时,衍射图样的线度也增大到原来的m倍.这一结果是很容易直观理解的,它相当于将原来的的光波衍射物理图像在空间中整体放大2x0+yexp-xx+y0z0expdx0dy0(4)考虑最一般的情况,设衍射孔径保持形状不变但几何线度变为原来的m倍,观察距离变为z,波长变为,在仍满足菲涅耳近似的条件下(下同),衍射图样强度变为)I;m(x,y,z到m倍,当然衍射图样仍保持与原来相似.2.2=,z=mz这是满足式(7)的另一个特例,此时式(8)化为I

6、m(x,y,mz;)=2,z;m(10)()zx0y0u,mm,m,m倍.expexp2x0+yz-zxxdx00(5)在圆孔菲涅耳衍射中,设原来的圆孔半径、观察距离和工作波长分别是R、z和,改变后的相应值为R、z和,由式(7)及R=mR,可得两次菲涅耳衍射图样相似的条件为zz上式中Im表示当输入图像放大到m倍时的衍射图样.令x0=x0/m,y0=y0/m,上式可化为)I;m(x,y,z()z),yu(x(11)显然,上式两边分别是以上两种情况下系统的菲涅4耳数(Fresnelnunber).故上式给出了一个重要结22expx0+yz论:对不同参数的圆孔菲涅耳衍射,只要其菲涅耳数dx0dy0(

7、6)exp-x+y00zmm相同,相应的衍射图样就是彼此相似的.至于这些衍射图样的相对大小,则需根据各参数及以上各式具体分析.例如,若=,R=2R,由式(10)(此时m一套参数下得到的衍射图样=2),可知在2R、4z、参数下的衍射图样放大到2倍.是R、z、2.4辐射状孔径的衍射比较式(6)及式(4)可知,若满足2=mz则式(6)可写成)=Im(x,y,z;,z;mm(7)(8)有一类特殊的衍射孔径,它们在作几何缩放时保持不变.此类孔径可举出辐射状二值化(透过率只有1、0两个值)图形,例如在不透光屏上以屏中心为公共顶点的一些扇形开口的组合.它们在径向无变化,故不受比例缩放的影响.对此类孔径,式(

8、7)中的标度系数m可认为没有限制,故它们在不同参数、z下的衍射图样总是彼此相似的.为进一步得到在给定波长下不同距离处衍射图样的相对标度关系,可利用式(10),将式中的m改记为m,并注意到式(7)可看作在最一般条件下菲涅耳衍射图样可保持相似性的条件;而式(8)则具体表明,在满足该条件时,对工作波长,放大到m倍的输入图像在轴向距离z处的观察屏上的菲涅耳衍射图样与原输入图像在波长下距离z处的菲涅耳衍射图样相似,且前者几何大小是后者的m倍.2推论和讨论由式(7)、(8),我们可以对菲涅耳衍射图样具有相似性的一些重要情况引申出一系列很有意义的推论.2.1=m,z=mz这是满足式(7)的一个特例,此时式(

9、8)化为Im(x,y,mz;m)=I,z;mm对此类孔径有Im=I,故该式化为I(x,y,mz;)=,z;(12)上式表明,对此类孔径及给定波长,距离为mz处的衍射图样相当于将距离为z处的衍射图样放大到倍.(9)此类辐射状孔径的一个重要特例是半平面屏,第6期蔡履中:关于菲涅耳衍射图样相似性的分析与讨论3它可以看作是圆心角为180°的扇形,它所形成的衍射一般称为直边衍射.由上述分析,可知直边菲涅耳衍射图样总是相似的,而且其几何线度与观察屏轴向距离的平方根成正比.这一重要结论在一些文献中已经给出,但均是借助于考纽蜷线(Cornuspiral)1,57经复杂计算而导出的;而这里则是由衍射图

10、样相似性的分析不经具体计算直接得到.(e)、(f)的实际边边长为31.875mm,图(c)、(d)、z=长为6.4mm.由于我们选取的参数满足z/(b)中两孔径相似,且后者线度正好是4,而图(a)、(d)中两衍射图样前者的两倍,由前文分析,图(c)、应该相似,且后者线度应为前者的2倍;(e)、(f)两图的关系亦应如此.仔细比较(c)、(d)两图及(e)、(f)两图,可见两衍射图样确实是相似的,且线度相3计算机模拟验证因为实际实验过程中一般会有各种误差源及人为因素的干扰,导致最终结果的精度及可信度的降低,.2,用不同孔径、计算机模拟实验,衍射相似性的结论.以下介绍矩孔衍射的模拟实验结果.图1为矩

11、孔衍射的计算结果,其中(a)表示水平和竖直宽度分别为1.0mm和1.5mm的矩孔,(b)表示水平和竖直宽度分别为2.0mm和3.0mm的矩孔;(c)为孔径(a)在波长=400nm、距离z=0.5m的条件下最大强度归一化的菲涅耳衍射强度图样;(d)为孔径(b)在波长=600nm、距离z=1.5m下归一化的衍射强度图样.为对图样中较暗(f)两图中分别给出了区域看得更清楚,我们在(e)、(d)两图的光强增大到1.5倍时的光强分将(c)、(b)两图的实际布.各图均为255×255像素,(a)、差1倍.果,.4结语我们利用最基本的菲涅耳衍射公式,通过简单的变量代换方法,分析了菲涅耳衍射图样的相

12、似性问题,得出了衍射图样具有相似性的普适条件,以及相似图样的线度大小与有关参数的定量关系,并对圆孔衍射、直边衍射等特例进行了讨论.这些分析和结论可以在不借助复杂运算的条件下,使我们更深刻和全面地认识菲涅耳衍射的物理图像和性质.它不仅揭示了菲涅耳衍射一些鲜见报道的特性,也可以为学习者提供一个培养创新思维及研究能力的很好例证.参考文献:1BornM,WolfE.PrinciplesofOpticsM.6ed.Oxford:thPergamonPress,1980:3822387,4282435.2蔡履中.光学M.3版.北京:科学出版社,2007:2202229.3蔡履中.菲涅耳衍射在标度-距离变换

13、下的相似性J.山东大学学报(自然科学版),2001,30(1):56261.4福尔斯GR.现代光学导论M.陈时胜,林礼煌,译.上海:上海科学技术出版社,1980:289.5PedrottiFL,PedrottiLS.IntroductiontoOpticsM.EnglewoodCliffs:Prentice-Hall,1987:4412449.6赵达尊,张怀玉.波动光学M.北京:宇航出版社,1988:1352138.7梁诠廷.物理光学(修订本)M.北京:机械工业出版社,1987:2112216.图1矩孔菲涅耳衍射的模拟计算结果(下转11页)第6期章曦,等:对匀速率曲线运动的探讨1146结语法向

14、加速度还可以取成其他的函数形式,鉴于篇幅,没有一一列举.其中一些规律性的结论还有待于进一步探讨,不过目前可以明确的一点是,对于以上讨论的各种情形,系统的动力学行为都是确定性(非混沌)的.这从第5部分可以看出:吸引子的数目不随参数C的改变而改变(在我们计算结果中,吸引子的数目是30,这是因为我们所取函数的周期为1,且数值计算的总时间为30).程序是用MATLAB编写的,但程序当中并没有直接调用求解常微分方程的指令,Runge-Kutta公式编的,因而在C+下完全可以作类似的计算.参考文献:1吴王杰,王晓,蒋敏.大学物理学M.北京:高等教育出版社,2005:19.2数学手册编写组.数学手册M.北京

15、:人民教育出版社,1979:375.3张志涌.精通MATLAB6.5.北京:北京航空航天,2003.4孙志忠,.M.南京:东南大,foriform-velocitycurvilinearmovementZHANGXi,CHENLi,LIPei2jun,WUFang2ping,DONGQiu2yun12111(1.DepartmentofAppliedMathematicsandPhysics,InstituteofScience,PLAUniversityofScienceandTechnology,Nanjing211101,China;2.DepartmentofPhysics,South

16、eastUniversity,Nanjing211189,China)Abstract:Severalkindsofuniform-velocitycurvilinearmovementareshownbymathematicalcalculation.Keywords:mathematicalcalculation;uniform-velocitycurvilinearmovement;attractor(上接3页)AnalysisanddiscussiononthesimilarityofFresneldiffractionpatternsCAILü2zhong(Departme

17、ntofOptics,ShandongUniversity,Jinan,Shandong250100,China)Abstract:DifferentfromFraunhoferdiffraction,Fresneldiffractionhasbeenconsideredtohavenothepropertyofsimilarity.However,ourstudyshownthatFresneldiffractionpatternsalsohavesimilaritypropertyundercertainconditions.Inthispaperthegeneralrequirementforthispropertyisgiven,andtherelationbetweenthescaleoftheFresneldiffractionpatternandtheparametersofthedif