2022年四川省自贡市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2022年四川省自贡市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.用待定系数法求微分方程y"-y=xex的一个特解时，特解的形式是(式中α、b是常数)。A.(αx2+bx)ex

B.(αx2+b)ex

C.αx2ex

D.(αx+b)ex

2.

A.

B.

C.

D.

3.设Y=x2-2x+a，贝0点x=1()。A.为y的极大值点B.为y的极小值点C.不为y的极值点D.是否为y的极值点与a有关

4.微分方程y"-y'=0的通解为()。A.

B.

C.

D.

5.

6.

7.设x2是f(x)的一个原函数，则f(x)=A.A.2x

B.x3

C.(1/3)x3+C

D.3x3+C

8.下列反常积分收敛的是（）。

A.

B.

C.

D.

9.设函数z=sin(xy2)，则等于()。A.cos(xy2)

B.xy2cos(xy2)

C.2xyeos(xy2)

D.y2cos(xy2)

10.A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线，又有铅直渐近线

11.等于()。A.-1B.-1/2C.1/2D.1

12.

[]A.e-x+C

B.-e-x+C

C.ex+C

D.-ex+C

13.A.0B.1C.2D.4

14.

15.A.A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.收敛性与k有关

16.A.A.∞B.1C.0D.－1

17.A.A.0

B.

C.arctanx

D.

18.下列关系正确的是（）。A.

B.

C.

D.

19.A.A.1

B.3

C.

D.0

20.

二、填空题(20题)21.

22.函数x=ln(1＋x2-y2)的全微分dz=_________．

23.

24.设f(x)=x(x-1)，贝f'(1)=_________．

25.设f(x)=ax3-6ax2+b在区间[-1，2]的最大值为2，最小值为-29，又知a＞0,则a，b的取值为______.

26.极限=________。

27.

28.设y=f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极小值，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为________。

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.二阶常系数线性微分方程y-4y＋4y=0的通解为__________．

39.

40.设函数y=y(x)由方程x2y+y2x+2y=1确定，则y'=______．

三、计算题(20题)41.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

42.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

43.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

44.证明：

45.

46.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

47.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

48.

49.

50.

51.求微分方程的通解．

52.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

53.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

54.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

55.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

56.

57.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

58.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

59.

60.

四、解答题(10题)61.

62.

63.求微分方程xy'-y=x2的通解．

64.

65.(本题满分8分)

66.

67.

68.

69.

70.

五、高等数学(0题)71.f(z，y)=e-x.sin(x+2y)，求

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.Ay"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根为r1=1，r2=-1

y"-y=xex中自由项f(x)=xex，α=1是特征单根，应设y*=x(ax+b)ex=(αx2+bx)ex。

所以选A。

2.B

3.B本题考查的知识点为一元函数的极值。求解的一般步骤为：先求出函数的一阶导数，令偏导数等于零，确定函数的驻点．再依极值的充分条件来判定所求驻点是否为极值点。由于y=x2-2x+a，可由y'=2x-2=0，解得y有唯一驻点x=1．又由于y"=2，可得知y"|x=1=2＞0。由极值的充分条件可知x=1为y的极小值点，故应选B。如果利用配方法，可得y=(x-1)2+a-1≥a-1，且y|x=1=a-1，由极值的定义可知x=1为y的极小值点，因此选B。

4.B本题考查的知识点为二阶常系数齐次微分方程的求解。微分方程为y"-y'=0特征方程为r2-r=0特征根为r1=1，r2=0方程的通解为y=C1ex+c2可知应选B。

5.B

6.D解析：

7.A由于x2为f(x)的一个原函数，由原函数的定义可知f(x)=(x2)'=2x，故选A。

8.D

9.D本题考查的知识点为偏导数的运算。由z=sin(xy2)，知可知应选D。

10.D本题考查了曲线的渐近线的知识点，

11.C本题考查的知识点为定积分的运算。

故应选C。

12.B

13.A本题考查了二重积分的知识点。

14.B

15.C

16.C本题考查的知识点为导数的几何意义．

17.A

18.C本题考查的知识点为不定积分的性质。

19.B本题考查的知识点为重要极限公式．可知应选B．

20.D解析：

21.

22.

23.-2y

24.1

25.

f'(x)=3ax2-12ax，f'(x)=0,则x=0或x=4，而x=4不在[-1，2]中，故舍去.f''(x)=6ax-12a，f''(0)=-12a，因为a＞0，所以，f''(0)＜0，所以x=0是极值点.又因f(-1)=-a-6a+b=b-7a，f(0)=b，f(2)=8a-24a+b=b-16a，因为a＞0,故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小.所以b-16a=-29，即16a=2+29=31，故a=.

26.因为所求极限中的x的变化趋势是趋近于无穷，因此它不是重要极限的形式，由于=0，即当x→∞时，为无穷小量，而cosx-1为有界函数，利用无穷小量性质知

27.本题考查的知识点为定积分的基本公式。

28.y=f(x0)y=f(x)在点x0处可导，且y=f(x)有极小值f(x0)，这意味着x0为f(x)的极小值点。由极值的必要条件可知，必有f"(x0)=0，因此曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0)=0，即y=f(x0)为所求切线方程。

29.2cos(x2+y2)(xdx+ydy)2cos(x2+y2)(xdx+ydy)解析：

30.ex2

31.1/(1-x)2

32.

本题考查的知识点为二重积分的计算．

33.

34.2

35.

36.-2sin2-2sin2解析：

37.

38.

39.

40.

；本题考查的知识点为隐函数的求导．

将x2y+y2x+2y=1两端关于x求导，(2xy+x2y')+(2yy'x+y2)+2y'=0，(x2+2xy+2)y'+(2xy+y2)=0，因此y'=

41.由等价无穷小量的定义可知

42.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

43.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

44.

45.

46.

47.

列表：

说明

48.

49.

50.

51.

52.

53.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

54.由二重积分物理意义知

55.

56.

57.函数的定义域为

注意

58.

59.由一阶线性微分方程通解公式有

60.

则

61.

62.解如图所示，把积分区域D作为y一型区域，即

63.将方程化为标准形式本题考查的知识点为求解一阶线性微分方程．

求解一阶线性微分方程常可以采用两种解法：

64.

65.本题考查的知识点为定积分的计算．

66.

67.

68.

69.

70.

71.f(x