广东省清远市凤霞中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析

广东省清远市凤霞中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点为F（3，0），离心率为，建立方程组，可求双曲线的几何量，从而可得双曲线的方程．【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5∴双曲线方程为．故选B．【点评】本题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．2.对于简单随机抽样，每次抽到的概率（）A、相等

B、不相等

C、可相等可不相等

D、无法确定参考答案：A3.下列命题正确的是（）A．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x+≥4B．若a＜0，则a+≥﹣4C．若a＞0，b＞0，则lga+lgb≥2D．若a＜0，b＜0，则参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用基本不等式，分别判断是否满足基本不等式成立的条件，然后做出判断即可．【解答】解：A.，当且仅当，即1+sin?2x=2，sin?2x=1取等号，所以A错误．B．当a＜0时，，当且仅当﹣a=，即a=﹣2时取等号，所以B错误．C．当0＜a＜1，0＜b＜1时，lga＜0．lgb＜0，所以C错误．D．若a＜0，b＜0，则，所以，当且仅当a=b时取等号，所以D正确．故选D．4.已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则多项式展开式中的常数项为（

）A.10 B.42 C.50 D.182参考答案：A【分析】先由第4项的二项式系数为最大，得出n=6，然后分析得到多项式的常数项只能是乘以中的项，乘以中的常数项，所以求出中的项与常数项，再分别与和相乘，再合并即为整个多项式的常数项.【详解】解：因为的展开式中第4项的二项式系数为，且最大所以n=6所以多项式二项式的展开通项式为所以当k=4时，当k=3时，所以展开式中常数项为故选：A.【点睛】本题主要考查二项式系数最大项和多项式乘以二项式的展开式，当n是偶数时，二项式系数最大值为，当n是奇数时，二项式系数最大值为或；多项式乘以二项式的展开式中某项系数问题，先要确定前面多项式各项应乘二项式中哪一项再分别计算即可.5.如果函数没有零点，则的取值范围为(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：C6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出各个面的面积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面是边长为1m的正方形，故底面积为1m2，侧面均为直角三角形，其中有两个是腰为1m的等腰直角三角形，面积均为：m2，另外两个是边长分别为1m，m，m的直角三角形，面积均为：m2，故几何体的表面积S=，故选：C7.的展开式中，的系数为A.10 B.20C.30 D.60参考答案：C在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选C.考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.8.已知函数的图象如图2所示（为两个极值点），且，则有（）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B略9.双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A、(1,3) B、 C、(3,+)

D、参考答案：B10.从932人中抽取一个样本容量为100的样本，采用系统抽样的方法则必须从这932人中剔除（

）人A.32

B.24

C.16

D.48参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为________.（请用数字作答）参考答案：60【分析】利用“插空法“，先把没有人坐的4把椅子排好，形成5个间隔，然后插入有人坐的3把椅子即可得到答案．【详解】第一步先把没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，共种，即60种坐法.故答案为：6012.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则双曲线C的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据双曲线的标准方程求得渐近线方程，根据其中一条的方程求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，则离心率可得．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±，一条渐近线的方程为y=2x，∴=2，设a=t，b=2t则c==t∴离心率e==故答案为：13.已知长方体的三边长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是

．参考答案：50π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】用长方体的对角线的公式，求出长方体的对角线长，即为外接球的直径，从而得到外接球的半径，用球的表面积公式可以算出外接球的表面积．【解答】解：∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为3，4，5，∴长方体的对角线长为：=5，∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径，∴球半径为R=，可得球的表面积为4πR2=50π．故答案为：50π．【点评】本题给出长方体的长、宽、高，求长方体外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积公式，属于基础题．14.设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣3y+2=0，则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为

个．参考答案：4【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】由题意将圆C和直线l先化为一般方程坐标，然后再计算曲线C上到直线l距离为的点的个数．【解答】解：化曲线C的参数方程为普通方程：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9，圆心（2，1）到直线x﹣3y+2=0的距离d==＜3，直线和圆相交，过圆心和l平行的直线和圆的2个交点符合要求，又+＜3在直线l的另外一侧有圆上的2个点符合要求，故答案为415.某算法的程序框图如图3所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是______________________．参考答案：y＝16.若，则

___________.

参考答案：略17.（5分）（2013?黄浦区二模）已知，若存在区间，使得{y|y=f（x），x?[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是．参考答案：因为函数在上为减函数，所以函数在上为增函数，因为区间，由{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则，即．说明方程有两个大于实数根．由得：．零，则t∈（0，3）．则m=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4．由t∈（0，3），所以m∈（0，4]．所以使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]的实数m的取值范围是（0，4]．故答案为（0，4]．首先分析出函数在区间[a，b]上为增函数，然后由题意得到，说明方程有两个大于实数根，分离参数m，然后利用二次函数求m的取值范围．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.求不等式的解集参考答案：解：,，不等式的解集为，不等式的解集为，不等式的解集为综上可知：不等式的解集为不等式的解集为不等式的解集为略19.甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动,在本次海选中有合格和不合格两个等级.若海选合格记1分,海选不合格记0分.假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为他们海选合格与不合格是相互独立的.(1)求在这次海选中,这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率;(2)记在这次海选中,甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量,求随机变量的分布列和数学期望.参考答案：1.记“甲海选合格”为事件,“乙海选合格”为事件,“丙海选合格”为事件,“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件..

2.的所有可能取值为0,1,2,3.;;;.所以的分布列为0123

解析1.概率与统计类解答题是高考常考的题型,以排列组合和概率统计等知识为工具,主要考查对概率事件的判断及其概率的计算,随机变量概率分布列的性质及其应用:对于1,从所求事件的对立事件的概率入手即;

2.根据的所有可能取值:0,1,2,3分别求出相应事件的概率,列出分布列,运用数学期望计算公式求解即可.20.已知函数.(Ⅰ)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围；（5分）(Ⅱ)若，证明：，总有.（7分）参考答案：(Ⅰ)由题意得，…………（1分）若函数存在单调减区间，则………………（2分）即存在取值区间，即存在取值区间………（4分）所以.…………（5分）(Ⅱ)当时，…（6分）由有，从而，要证原不等式成立，只要证对恒成立（7分）首先令，由，可知，当时单调递增，当时单调递减，所以，有………（9分）构造函数，，因为，可见，在时，，即在上是减函数，在时，，即在上是增函数，所以,在上，，所以.所以，，等号成立当且仅当时，……（11分）综上：，由于取等条件不同，故，所以原不等式成立.………………（12分）21.

已知函数若对任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使，求实数a的取值范围？

参考答案：解：

/(x)=1+

∴在【0,1】上单调递增∴根据题意可知存在x∈【1，2】，使得即能成立，令，则要使，在能成立，只需使a＞h(x)min，又函数

在上单调递减，22.已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若椭圆E的左、右焦点分别是F、H，过点H的直线l：x=my+1与椭圆E交于M、N两点，则△FMN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆E的方程为，由椭圆E经过A（﹣2，0）、两点，知，由此能求出椭圆E的方程．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），设y1＞0，y2＜0，设△FMN的内切圆的半径为R，则S△FMN=4R，当S△FMN最大时，R也最大，△FMN的内切圆的面积也最大，由此能求出△FMN的内切圆的面积的最大值及直线l的方程．【解答】解：（1）设椭圆E的方程为，∵椭圆E经过A（﹣2，0）、两点，∴，∴a2=4，b2=3∴椭圆E的方程为+=1．…（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），设y1＞0，y2＜0，如图，设△FMN的内切圆的半径为R，则S△FMN=（|MN|+|MF|+|NF|）R=[（|MF|+|MH|）+（|NF|+|NH|）]R=4R，当S△FMN最大时，R也最大，△FMN