高中数学第二章概率习题课离散型随机变量的方差与标准差讲义苏教版选修

习题课离散型随机变量的方差与标准差第2章

概率学习目标1.进一步理解离散型随机变量的方差的概念.2.熟练应用公式及性质求随机变量的方差.3.体会均值和方差在决策中的应用.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.方差、标准差的定义及方差的性质(1)方差及标准差的定义：设离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn①方差V(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn.(其中μ＝E(X))②标准差为

.(2)方差的性质：V(aX＋b)＝

.a2V(X)2.两个常见分布的方差(1)两点分布：若X～0－1分布，则V(X)＝

；(2)二项分布：若X～B(n，p)，则V(X)＝

.p(1－p)np(1－p)题型探究例1

一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是(1)求这位司机遇到红灯数ξ的均值与方差；解易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，解答类型一二项分布的方差问题(2)若遇上红灯，则需等待30s，求司机总共等待时间η的均值与方差.解由已知η＝30ξ，故E(η)＝30E(ξ)＝60，V(η)＝900V(ξ)＝1200.解答解决此类问题的第一步是判断随机变量服从什么分布，第二步代入相应的公式求解.若它服从两点分布，则方差为p(1－p)；若它服从二项发布，则方差为np(1－p).反思与感悟跟踪训练1

在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击10次，每次一发.记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中目标得0分；并且凡参赛的射手一律另加2分.已知射手小李击中目标的概率为0.8，求小李在比赛中得分的均值与方差.解用ξ表示小李击中目标的次数，η表示他的得分，则由题意知ξ～B(10,0.8)，η＝3ξ＋2.因为E(ξ)＝10×0.8＝8，V(ξ)＝10×0.8×0.2＝1.6，所以E(η)＝E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×8＋2＝26，V(η)＝V(3ξ＋2)＝32×V(ξ)＝9×1.6＝14.4.解答例2

某投资公司在2017年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率为项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.类型二均值、方差在决策中的应用解答解若按项目一投资，设获利X1万元，则X1的概率分布如下表：＝35000，若按项目二投资，设获利X2万元，则X2的概率分布如下表：∴E(X1)＝E(X2)，V(X1)＜V(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定.反思与感悟跟踪训练2

已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a，0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.记甲射中的环数为ξ，乙射中的环数为η.(1)求ξ，η的概率分布；解答解依据题意知，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.∴ξ，η的概率分布分别为ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.解结合(1)中ξ，η的概率分布，可得E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，V(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，V(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.∵E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高.又∵V(ξ)<V(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定.∴甲的射击技术好.解答当堂训练1.设一随机试验的结果只有A和

且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差V(ξ)＝________.答案2341解析解析随机变量ξ的概率分布为m(1－m)ξ01P1－mm∴E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.V(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m).2.已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，V(Y)分别是_____.答案2341解析解析由已知随机变量X＋Y＝8，所以Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，V(Y)＝(－1)2V(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.2,2.4若E(ξ)＝

则V(ξ)的值为_____.3.已知随机变量ξ的概率分布为答案2341解析23414.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X，Y，已知E(X)＝E(Y)，V(X)>V(Y)，则自动包装机_____的质量较好.(填“甲”或“乙”)答案2341解析解析在均值相等的情况下，方差越小，说明包装的质量越稳定，所以自动包装机乙的质量较好.乙规律与方法1.已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数y＝aX＋b的均值和方差，可直接用X的均值，方差的性