初中八年级数学重点学习课件：菱形（测试）（解析版）

专题09菱形

专题测试

1.（2018春•定州市期末）如图坐标系，四边形ABCD是菱形，顶点A、B在x轴上，AB=5,点C在第一

A坐标为（-2,0）,则顶点C的坐标为（）

C.(6,4)D.(7,3)

【答案】C

x轴的垂线，垂足为E,

.\AB«CE=20,即5CE=20,

；.CE=4,

在RSBCE中，BC=AB=5,CE=4,

；.BE=3,

；.AE=AB+BE=5+3=8.

XVA(-2,0),

；.OA=2,

；.OE=AE-OA=8-2=6,

AC(6,4),

故选：C.

2.（2018春•长安区期末）数学课上探究“菱形的两条对角线互相垂直”时，甲乙两同学分别给出各自的证明:

已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD交于点O.

求证：AC1BD

甲的证法：乙的证）去：

•.•四邮ABCDM形，，AB=ADQB=OD

又「AOAO,.•.iAOB^-AOD..AB=ADQB=OD,

.,.zAOB=zAOD.

.AO±OB;

•.1ZAOB+ZAOD=180°S.-.ZAOB=90°>.,AC±BD.

.-.AC±BD.

A

则关于两人的证明过程，说法正确的是（）

A.甲、乙两人都对B.甲对，乙不对

C.乙对，甲不对D.甲、乙两人都不对

【答案】A

【解析】解：甲乙两同学分别给出各自的证明都是正确的，

甲是利用全等三角形的性质证明NAOB=/AOD=90。的.

乙是利用等腰三角形的三线合一的性质证明AC1BD的.

故选：A.

3.（2018春•蜀山区期末）在菱形ABCD中，ZADC=60°,点E为AB边的中点，点P与点A关于DE对

称，连接DP、BP、CP,下列结论：①DP=CD；©AI^+BP^CD2；③/DCP=75。；©ZCPA=150°,

其中正确的是（）

A.①②B.①②④C.③④D.①②③④

【答案】B

【解析】解：如图，设DE交AP于O.

O

AEB

...四边形ABCD是菱形,

/.DA=DC=AB,

,:A、P关于DE对称，

ADEIAP,OA=OP,

ADA=DP,

，DP=CD,故①正确，

VAE=EB,AO=OP,

.♦.OE〃PB,

.*.PB±PA,

AZAPB=90°,

.•.PA2+PB2=AB2=CD2,故②正确，

若/DCP=75°,则ZCDP=30°,

:NADC=60。，

；.DP平分NADC,显然不符合题意，故③错误，

VZADC=60°,DA=DP=DC,

.*.ZDAP=ZDPA,ZDCP=ZDPC,

1

AZCPA2（360°-60°）=150°,故④正确，

故选：B.

4.（2018春•江油市期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,DHJ_AB于点H,

连接OH,ZCAD=20°,则NDHO的度数是（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

【答案】A

【解析】解：；四边形ABCD是菱形，

.,.OD=OB,AB//CD,BD1AC.

VDH±AB,

/.DH1CD,NDHB=90。，

.'.OH为RtADHB的斜边DB上的中线,

・・.OH=OD=OB,

VDH1CD,

/.Zl+Z2=90°,

VBD±AC,

・・・N2+NDCO=90。，

.\Z1=ZDCO,

・・・NDHO=NDCA,

•・•四边形ABCD是菱形，

ADA=DC,

.'.ZCAD=ZDCA=20°,

・・・NDHO=20。，

故选：A.

7

5.（2018春•莘县期末）菱形ABCD的边长1,面积为9,则AC+BD的值为（）

481632

A.3B.3c.9D.9

【答案】B

【解析】解：•.•四边形ABCD是菱形，

C

_1_1

；.AC_LBD,AO2AC,BO2BD,

7

...面积为9,

1_7

/.2«AC«DB9,

14

AC«BD9,

VAO2+BO2;-12,

11

二.（2AC）2+（2BD）2=1,

AC2+BD2=4,

2864

+-------

AC2+BD2+2AC«BD=499,

_8

AAC+BD3,

故选：B.

6.（2018秋•焦作期末）菱形ABCD的周长为52cm,一条对角线的长为24cm,则该菱形的面积为<

【答案】120

【解析】解：；菱形ABCD的周长等于52cm,

，边长=52=4=13cm.

VAC1BD,AO=CO,BO=DO,BD=24,

，OA=5,

AAC=10,

工菱形的面积为10x24=2=120cm2.

故答案为：120.

7.（2018春•姜堰区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,DH1.AB于点H,连接OH,

【解析】解：VAH=DH,DH±AB,

.,.ZDAH=ZADH=45°,

•.•四边形ABCD是菱形，

1

ZDAO2/DAB=22.5。，AC1BD,

.,.ZAOD=90°,ZADO=67.5°,

.,.ZHDO=ZADO-NADH=22.5。,

VZDHB=90°,DO=OB,

，OH=OD,

ZDHO=ZHDO=22.5°

故答案为22.5°.

8.（2018春•宁城县期末）如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使NABC=60。，则四边形ABCD

的面积为

【答案】6火

【解析】解：•••纸条的对边平行，即AB〃CD,AD〃BC,

:.四边形ABCD是平行四边形，

•两张纸条的宽度都是3,

AS四边形ABCD=ABx3=BCx3,

，AB=BC,

平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形.

如图，过A作AEJ_BC,垂足为E,

...NBAE=90°-60°=30°,

；.AB=2BE,

在AABE中，AB2=BE2+AE2,

_1

即AB24AB2+32,

解得AB=2\/3,

AS叫边彩ABCD=BOAE=2\后、3=60.

故答案是：6G.

9.（2018春•高新区期末）如图，在AABC中，NABC=90。，BD为AC的中线，过点C作CE_LBD于点E,

过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.若

【答案】5

【解析】解：：AG〃BD,BD=FG,

四边形BGFD是平行四边形，

VCF1BD,

ACFXAG,

乂•.•点D是AC中点,

_1

；.BD=DF2AC,

四边形BGFD是菱形，

设GF=x,则AF=13-x,AC=2x,

;在RlAACF中，/CFA=90°,

/.AF2+CF2=AC2,即（13-x）2+62=（2x）2,

解得：x=5,

即BG=5.

故答案是：5.

10.（2018春•黔东南州期末）如图是由6个形状大小完全相同菱形组成的网格，若菱形的边长为1,一个内

角（NO）为60。，AABC的各顶点都在格点上，则BC边上的高为.

【答案】G

【解析】解：如图，连接EA,EC,

:菱形的边长为1,由题意得/AEF=30。，/BEF=60。，AE=W,

.•./AEC=90°,

■:/ACE=/ACG=NBCG=60。，

；.NECB=180°,

，E、C、B共线，

AAE即为AACB的BC边上的高，

:.AE=®

故答案为W.

11.（2018春•白山期末）如图，ABCD为矩形纸片，E、F分别为AB、DC上的点，将此矩形两次翻折，EM

和FN为折痕，其中A，、D，分别为A、D的对应点，且点A在射线EF上；B\。分别为B、C的对应点，

且点C在射线FE±.

(1)求证：四边形ENFM为平行四边形；

(2)若四边形ENFM为菱形，求NEMF的度数.

【解析】证明：(1)•・•矩形ABCD,

・・・AB〃CD,

AZCFE=ZAEF,

由翻折可得：NAEM=NMEF,NCFN=NEFN,

・・・NMEF=NEFN,

AME/7FN,

・・・四边形ENFM是平行四边形；

(2),・,四边形ENFM为菱形，

・・・MF=ME,

.'.ZMFE=ZMEF,

VAB/7CD,

・・・NMFE=NFEN,

VZAEM=ZMEF,

ZAEM+ZMEF+ZFEN=180°,

.\ZAEM=60°,

.'.ZEMF=60°.

12.(2018春•宜宾期末)如图，在菱形ABCD中，ZA=60°.点E、F分别是边AB、AD上的点，且满足

ZBCE=ZDCF,连结EF.

(1)求证：4CEF为等腰三角形；

(2)若AF=2,求4AEF的面积；

(3)若G是CE的中点，连结BG并延长交DC于点H,连结FH,求证：BF=FH.

【解析】解：(1)证明：：四边形ABCD为菱形,

，CD=CB,ZCDF=ZCBE,

在ACDF和ACBE中

fZ-CDF=Z.CBE

\/.DCF=Z.BCE

[CD=CB

/.△CDF^ACBE(AAS),

ACF=CE,

/.△CEF为等腰三角形；

(2)VACDF^ACBE,

；.DF=BE,

VAD=AB,

；.AF=AE,

又•../A=60°,

/.△AEF为等边三角形，

；.AE=AF=2,

作FM1AB于点M,

1

AM=-AE=1

•••2，

/.FM12=*SAF2-AM2,

,FM=ylAF2-AM2=yj?2-I2=A/3,

11

S△AEF=_4E•FM=—x2x5y5=y/3

(3)证明：・・・G是CE中点,

・・・CG=EG,

VAB/7CD,

AZHCG=ZBEG,

在ZkCHG和ZkEBG中

(Z-HCG=乙BEG

CG=EG

/.CGH=Z.EGB

/.△CHG^AEBG(ASA),

AHC=BE,

由(1)知：ACDF^ACBE,

，DF=BE,

VDC=AB,HC=BE,

:.DH=AE,

又・.・AE=EF,

・・・DH=EF,

又・・・NBEF=180。-ZFEA=120°,

AZD=ZFEB=120°,

在ADFH和aEFB中

fDH=EF

\z.D=^FEB

[DF=BE

/.△DFH^AEFB(SAS),

・・・BF=FH.

13.(2018春•锦江区期末)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长AC到E,使CE=CO,

连接EB,ED.

(1)求证：EB=ED；

(2)过点A作AF,AD,交BC于点G,交BE于点F,若NAEB=45。，

①试判断4ABF的形状，并加以证明；

②设CE=m,求EF的长(用含m的式子表示).

【答案】见解析

【解析】解：（1）证明：・・♦四边形ABCD是菱形，

AEA1BD,OB=OD,

，EB=ED

（2）①结论：ZkABF是等腰三角形（AB=AF）；

理由：VZAEB=45°,EO±OB,

•••△BOE是等腰直角三角形，

・・・NOBE=NOEB=45。，

VAG±BC,

，NAGB=NBOC=90。，

AZGAC+ZACB=90°,ZACB+ZOBC=90°,

:.ZCAG=ZCBO=ZABO,

,:ZABF=ZABO+ZOBE=ZABO+450,ZAFB=ZCAG+ZAEB=ZCAG+45%

AZAFB=ZABF,

・・・AB=AF,

••・△ABF是等腰三角形.

②作EH±AF交AF的延长线于H.

由题意CE=OC=OA=m,OB=AC=OD=2m,AE=3m,AB=AF=\

_1EH

tanZCBO=tanZCAG2AH,

=3j5=6j5

.♦.EH5m,AH5m,

=电

.*.FH=AH-AF5m,

=yjFH2+EH2=K—m)2+=*

在RSEFH中，EF/55m.

14.(2018春•房山区期末)如图，在R3ABC中，ZACB=90°,CD是斜边AB上的中线，分别过点A,

C作AE〃DC,CE〃AB,两线交于点E.

(1)求证：四边形AECD是菱形；

(2)如果NB=60。，BC=2,求四边形AECD的面积.

【答案】见解析

【解析】解：(1)证明：VAE/7DC,CE/7AB,

...四边形AECD是平行四边形，

：RSABC中，NACB=90。，CD是斜边AB上的中线,

；.CD=AD,

四边形AECD是菱形；

(2)连接DE.

VZACB=90°,ZB=60°,

.•.NBAC=30°

AAB=4,AC=28,

；四边形AECD是菱形，

；.EC=AD=DB,

又：EC〃DB

四边形ECBD是平行四边形，

；.ED=CB=2,

1

=—X

，S菱形AECD2ACXED=2A/?.

15.(2018春•镇原县期末)如图，在QABCD中，对角线AC,BD交于点O,点E,点F在BD上，且BE

=DF连接AE并延长，交BC于点G,连接CF并延长，交AD于点H.

(1)求证：ZkAOE四△COF；

(2)若AC平分NHAG,求证：四边形AGCH是菱形.

【答案】见解析

【解析】证明：（1）•・•四边形ABCD是平行四边形,

AOA=OC