2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考【测试范围：苏科版八年级上册第1章-第2章】（全解全析）

八年级数学上学期第一次月考卷（苏科版

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：苏科版2024人年级上册第1章〜第2章。

第一部分（选择题共12分）

一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）

A.1,2,3B.3,4,5C.5,5,10D.6,9,2

【答案】B

【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可.

本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键.

【详解】解：A、•.•1+2=3,

•••以线段1,2,3为三角形的边长，不能组成三角形，不符合题意;

B、<3+4>5,

•••以线段3,4,5为三角形的边长，能组成三角形，符合题意；

C、v5I5=10,

•••以线段5,5,10为三角形的边长，不能组成三角形，不符合题意;

D、v2+6<9,

二.以线段6,9,2为三角形的边长，不能组成三角形，不符合题意；

故选：B

2.下列计算正确的是（）

A.79=±3B.Q=-2C.-V27=-3D.厢=4

【答案】C

【分析】本题考查求算术平方根，立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键.根据求算术平方根，立

方根的方法进行解题即可.

【详解】解：A、M=3,故该选项错误，不符合题意：

B、负数在实数范围内没有平方根，故该选项错误，不符合题意；

C、-炳=-3,计算正确，故该选项符合题意；

D、因为4,=64,

所以折石工4,故该选项错误，不符合题意；

故选：C.

3.某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子.将折叠椅子撑开后，它的侧面木条

可简画成如图2所示.已知椅子腿力4和。。的长度相等，。是它们的中点.为了使折叠椅子坐得舒适，厂

家将撑开后的椅子宽度力。设计为45cm,此时月。的长度是（

C.40cmD.45cm

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定定理SAS证得利用该全等

三角形的对应边相等推知8。=/1C,掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

【详解】解：•.•椅子腿44和CO的长度相等，O是它们的中点,

•'•OA=OB,OC=OD,

OA=OB

在△49C与小。。中，Z0C=NBOD,

OC=OD

.♦.△.4OC%BO£>(SAS)

BD=AC=45cm,

故选：D.

4.如图，在锐角三角形力4。中，AB=6,△//。的面积为18,4。平分/44C,若E,E分别是60,BC

上的动点，则CE+E产的最小值为（）

【答案】B

【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题.过点。作。尸于点P,交BD于点、E,过点E作EF/BC

于尸，则CP即为CE十分'的最小值，再根据三角形的面积公式求出CP的长，即为C七十E厂的最小值.

【详解】解：过点。作。_L/14干点P,交BD于点E,过点E作EFJ.BC于F,

•；BD平分/ABC,PELAB,EF1BC,

:.PE=EF,

:.CP=CE+PE=CE+EF,此时取最小值.

。的面积为18,4B=6,

.-.-x6xCP=18,

2

••.CP=6.

即CE+E/的最小值为6,

故选：B.

5.在如图所示的运算程序中，输入％的值是64时，输出的V值是（）

△EFD迫AEMC，得EF=EM>=又用叱,则与打仍=^^EFD=,^△EWC,所以

S8DFN=S4DFM=2s△防〃=2s，则^ADE.V=3sfMC,可判断③正确,然后即可求解.

【详解】解：vZ45C=45°,CD±4B于点D,BM工力C于点M,

••.Z.4DC=/EDB="MB=ACME=90°,

ZDCB=4DBC=45°,zACD=zEBD=90°-zJ,

:.CD=BD,

在〉CO和△旗。中，

ZCD=NEBD

-CD=BD,

4ADC=NEDB

.-.△.4CD^AE5D(ASA),

:.AC=BE,

故①正确：

•••DNLMD,

：."DM=9/,

/CDM=4BDN=90。-/CON,

在△(7/)”和△片DN中，

ZCDM=2BDN

<CD=BD,

NMCD=Z.NBD

:.ACDM知BDN(ASA),

DM=DN,

故②止确；

作DF上MN于点、F,如图：

A

BC

则尸N=EW,ZDFE=ZCME=9（J°,

AS\DFN=S8DFM»

•.,点E是CO的中点，

DE=CE,

在LEFD和AEMC中,

ZDEF=NCEM

<ZDFE=ACME,

DE=CE

.•.△EFQ%£WC（AAS）,

•*,EF=EM>SyFD=S4EMC»

:•S4EMD~、4EFD~'AEMC»

SdDFN=SdDFM=2s2EFD~2s△EMC，

==

S〉DENS△8N+S2EFD2s+S^EMC=3s△£“（.，

故③正确,

故选:A；

第二部分（非选择题共108分）

二、填空题（本大题有10个小题，每小题2分，共20分）

7.7154.（填“＞”、"v”或“=”）

【答案】＜

【分析】本题考查了实数的大小比较;

根据15＜16可得/正，问题得解.

【详解】解：

二而＜而，即而＜4,

故答案为：＜.

8.一个三角形的三边均为整数，其中两边长为2和3,则第三边的最大值为

【答案】4

【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设一角形

的第三边长是x,由此得到l<x<5,即可•得到答案.解题关键是掌握三角形三边关系定理.

【详解】解：设三角形的第三边长是X,

由三角形三边关系定理得到：3-2<x<3+2,

/.1<x<5,

•••三角形=动均为整数，

・••三角形第三边的最大值为4.

故答案为：4.

9.在3.14,一栏，灯疝，0,石，0.2020020002...（每两个2之间依次多1个0）,0.15中无理

数有个.

【答案】5

【分析】此题主要考查了算术平方根，立方根，无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无

限不循环小数为无理数.根据无理数、有理数的定义即可判定.

【详解】解：3.14,0.15是分数，0是整数，它们是有理数；

无理数有-5，-思,汇丽，石，0.2020020002……（每两个2之间依次多1个0）,共5个，

故答案为：5.

10.如图，己知,44〃。石，AB=DE,AF-DC,则图中共有对仝等三角形.

【答案】3

【分析】本题考食了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，由平仃线的性质可.得/再利

用全等三角形的判定与性质证明即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：■:AB//DE,

NBAC=Z.EDF,

在△48尸.和AOEC中,

AB=DE

Z.BAF=NEDC,

AF=DC

.-.△.4BF^AD£C（SAS）,

：ZFB=/DCE,BF=CE,

­.•ZCFB=1800-ZAFB,ZFCF=1800-ZDCE,

：.ZECF=NBFC,

在△8CF'和AER?中，

BF=EC

/BFC=NECF,

FC=CF

/.△5CF^AEFC（SAS）,

,:AF=DC,

：.AF+CF=CD+CF,即力C=QF,

在AXBC和SM中，

AB=DE

,/BAC=NEDF,

AC=DF

.•.△.48CZ△。所（SAS）,

综上所述，图中共有3对全等三角形，

故答案为：3.

II.如图，ZUBC中，点。是8c的中点，2AE=ED,且△N8C的面积为8.则阴影部分的面积是

【分析】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分.

根据题意可知：△/。C是阴影部分的面积的3倍，△48c的面枳是△力。c的面枳的2倍，依此可求解.

【详解】解：•.•点。是8c的中点，

S'ADC~gS,.ABC»

2AE=ED»

S'AEC=§,dADC，

•.•△48c的面积为8,

114

"S^ADC~5S&ABC=4,SMEC=2S4ADC=§，

故答案为：；4

12.如图，在"CQ中，/力CQ=90。，点“在CO上，满足AC=/C,过点A作比且E4=D4,

连接力8,EB,过£点作EG〃CQ交4C的延长线于点G,4G与EB交于点F,若。尸=：8。，则

BD

JF--------------•

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，设Cb=x,则8C=4C=3x,AF=4x,证明

△JCD^AEGJ(AAS),得出/C=EG=3x,CD=AG,再证明"C尸且△石G尸(/MS),得出/G=B=x,

求出4O=2x,即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：设。尸=》，则8C=3x,

.•.AC=ZC=3x,Ab'=AC+CE=4x,

-EG//CD,EALAD.

；.ZACD=NAGE=90。,

ZDAC+ZD=90°=Z.DAC+Z.EAG,

NO=NEAG,

:./\ACOgAEGJ(AAS),

AC-EG=3x,CD=AG,

:.BC=EG,

•：4EFG=NCFB,ZBCF=4G,

.•.△BCF%EGF(AAS),

:.FG=CF=x、

•••AG-5x,

/.CD=AG=5x,

:.BD=2x,

BD1

故答案为：y.

13.如图，在△川5c中，AB=2AC,以顶点力为圆心，适当长为半径画弧，分别交片。,力"于点M、N,再

分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线力产交边8c于点。，若

£加二12,则“8C的面积是.

【答案】18

【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解答本题

的关键.由作图过程可知，/尸为N4力。的平分线，则点。到边力C和48的距离相等，进而可得△4CQ的

面积为6,即可得出答案.

【洋解】解：过点。作于点E,作。尸_L4C,交4c的延长线于点凡

由作图过程可知，力P为/A4C的平分线,

/.DE=DF.

*,SJBD

:.-xABxDE=-x2ACxDE=ACxDF=12,

22

•・Sis=gx4CxDF=；x12=6,

・•."BC的面积是S-BD+SJCD=18-

故答案为：18.

14.若(x-2023)2+12024++J2025-〃?=0,则(x+yl=.

【答案】-1

【分析】本题主要考查了偶次方，绝对值，二次根式的非负性，乘方运算，解题的关键是熟练掌握非负性.

先利用非负性求出各未知数的值，代入代数式即可求解.

【详解】解:由(丫—2023)2+〔2024+R+J202S-+=0得,

x-2023=0,2024+^=0,2025-w=0,

解得x=2023,y=-2024,m=2025:

(x-y)m=(2O23-2O24)2025=(-l)2(Q5=-1,

故答案为：-1.

15.如图，过边长为2的等边△/8C的边力3上一点P,作尸于E,0为8c延长线上一点，当产力=。。

时，连。。交力C边于。，则OE的长为.

【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三线合一，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练

掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键.

过P作尸厂〃AC交力C于尸，由等边三角形的性质及平行线的性质可证得△/仍”是等边三角形，于是可得

AP=PF=AF,由三线合•可得4E=EF,利用AAS可证得，于是可得尸。=C。，进而

可推出。E=于是得解.

【详解】解：如图，过P作PF//BC交4c于F,

•.•△力8c是等边三角形,

cQ

ABAC=AABC=/ACB=60°,

-PF//BC,

:"APF=N4BC=60°,NZQ=N4C8=60°,NPFD=NQCD,

又£PAF=NBAC=600,

.•.△力川是等边三角形，

/.AP=PF=AF,

•/PE1ACt

AE=EF,

vAP=PF,AP=CQt

:.PF=CQ,

在小/。和△?口)中，

"PDF=NQDC

4PFD=ZLQCD,

PF=CQ

:.△PFDQAQCD(AAS),

FD=CD,

AE=EF,

:.EF+FD=AE+CDt

：.AE+CD=DE=-AC,

-AC=2t

DE=—AC=—x2=I,

22

故答案为：1.

16.如图，AB=6cm,4C=8cm,ZZ?=ZC,如果点P在线段4c上以2cm/秒的速度由8点向C点运动,

同时，点0从C点出发沿射线C。运动，若经过/秒后，"BP与ACQP全等,则/的值是

【答案】1或2/2或1

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当

△zfBPgaPC。和②当时，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解，利用全等三

角形对应边相等，列出方程是解题的关键.

【详解】解：由题意知,5尸=2f(cm),PC=(8-2/)cm,

AB=6cm,

①当尸且△尸C。时，

BA=CP,

8-2t=6,

f=1;

②当△力BPgZXQCP时，

.•.BP=CP=-BC=4cm,

2

.-.2/=4,

=2,

综上，当f的值是1或2时，能够使△48P与△CQP全等，

故答案为：1或2.

三、解答题(本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小

题9分，共88分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.计算：

(1)A/9+(-1)2-V27+V36

⑵]-2+4=-125

【答案】(1)7

⑵-3

【分析】本题考查了平方根，立方根，解题的关键是掌握以上运算法则.

(1)根据算术平方根，立方根，有理数的乘方运算法则进行计算即可；

(2)利用立方根求解即可.

【详解】(1)解：我+(-1)2-防+后

=3+1-34-6

=7；

(2)解：(-2+X)3=-125

:.-2+x=-5

：•x=-3.

18.已知在中，AB=22,8C=10,AC=2m+2.

(1)求小的取值范围：

(2)若△力8。为等腰三角形，求△力8C的周长.

【答案】(1)5〈加<15

⑵54

【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，解不等式组等知识，掌握三角形三边关系是解

题的关键.

<1)根据三角形三边关系求解即可；

(2)分48=力。，4C=力。两种情况讨论即可;

【详解】(1)解：根据题意，得/tB-BC<4C<4B+BC,

BP22-I0<2/H+2<22+10,

解得5<小<15；

(2)解：当48=40=22时，

△48C的周长为22+22+10=54；

当8c=AC=10时，BC+AC=20<AB,

.•.△43C不存在，故舍去，

•••△NBC的周长为54.

19.如图，在“8C中，Z^C=90°,4)为8c边上的高，斯为三角形的角平分线，4。与相交于点

A

(2)若8c=13,AC=\2,AB=5,求力。的长度.

【答案】(1)见解析：

(2)3容

【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练

掌握角平分线的定义.

(1)先根据角平分线的定义得到=再根据等角的余角相等得到=然后利用

4BFD=/AFE得至IJZAFE=ZAEF；

(2)利用等面积法计算力。的长.

【详解】(1)证明：丁8七平分48。，

:./ABE=NDBF,

AD是6.ABC的同j,

/.AD1BC,

/.NBDF—90。,

ZDBF+NBFD=90°,NABE+ZAEF=90°,

2BFD=/AEF,

ZBFD=NAFE,

Z.AFE=Z.AEF；

(2)解：vZi?/lC=90o,

：.BA^ACtAD±BC,

S=-ADBC=-ABAC,

wAftc22

S5x1260

1313

即4。的长度为卷.

20.常见的“角平分线+平行线一＞等腰三角形''模型有以下两种:

D

(1)如图①，BC平分N4BD,AC//BD,MAB=AC-

(2)如图②，AE//BC,/E平分/D4C,则△48C是等腰三角形.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边.

(1)由角平分线的定义求得48C=NC8O,由平行线的性质求得/C=NC8O,推出

/ABC=NC,再根据等角对等边即可证明力4=/C；

(2)由平行线的性质求得/及1C=NC,/EAD=/B,再由角平分线的定义求得/£4。=NE4C,推出

Z5=ZC,即可证明△XAC是等腰三角形.

【洋解】(1)证明：•••8C平分/480,

:ZBC=4CBD,

•・•AC〃BD,

:.ZC-Z.CBD,

：.ZABC=/C,

：.AB=AC；

(2)证明：•:AE〃BC,

：.MAC=/C，NEAD=NB,

•••/E平分/ZMC,

:.5AD=£EAC,

.-.Z5=ZC,

：.4B=AC,即△力8C是等腰三角形.

21.如图所示，a,b,c是数轴上三个点A,B,C所对应的实数.其中。是4的一个平方根，方是-27的

立方根，。是1-30的相反数.

B0C

⑴填空：。=_,h=_,c=_.

（2）先化简，再求值：^（«）2+|/?-t7|-|c|

【答案】（1）—2,-3,372-1

⑵-b-c；4-34

【分析】本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解

题的关键.

（1）根据数轴可得bv〃<O<c，根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答；

（2）根据数轴可得。<0力-。<0]>0,化简各式，再代入数据计算即可求解.

【详解】（1）根据数轴可得8<4<0<c

•••。是4的■个平方根，

•••a=±2

根据数轴可得。<0

:.a=-2,

-27的立方根为一3,则6=-3,

・；c是1一3&的相反数

c-3五—1»

故答案是：-2,-3,3y/2—1;

（2）-b<a<0<c

.\a<O,b-a<0,c>0,

二J（。）-+1，）一。1一|。|

=-a+a-b-c

=-b-c

当6=-3,c=3\/2—1时，

原式=_（一3）-（3右—1）

=3-3x/2+l

=4-372

22.如图，CB=CD,Z£）+Z/15C=180°,于点E,CFJ,48交力8的延长线于点尸.

£

（1）求证：X。平分

（2）若4E=18,DE=3,求力B的长.

【答案】（1）见解析

⑵15

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解

题的关键.

（1）通过证明尸（AAS）,再根据其性质得出=再根据角平分线的判定进行证明即可：

（2）先证明△£4CgA4C（AAS）,再根据全等三角形的性质及线段的和差进行求解即可.

【详解】（1）证明：•.•CE_L4）,ChAB,

/DEC=NCFB=900,

vZD+ZJ5C=I8O°,NCBF+N4BC=180°,

二.ZD=Z.CBF,

ZD=NCBF

在ACZ）E与aCB/中，）/DEC=NBFC,

CD=CB

：ACDE.CBF（AAS）,

:.CE=CF,

/./C平分NTU5：

（2）由（1）知力C平分

；・NEAC=NFAC,

在AE/C和△以《中，

ZAEC=ZAFC

NEAC=/FAC,

AC=AC

.,.△E4cg△E4C(AAS),

JE=JF=18,

由（1）知△COEg△。产，

:.BF=DE=3,

43=力厂一5/=18—3=15.

23.（1）如图1,△ZBC和△力。E是顶角相等的等腰三角形，即48=4C,AD=AE,且/BAC=/DAE,

分别连接8。，CE.求证：BD=CE；

（2）如图2,△48C和△力力上都是等腰三角形，即力8=力。,力。二4E,且N84C=NQ4E=90°,B,C,D

在同一条直线上.请判断线段8。与CE存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由.

图1图2

【答案】（1）见解析；（2）BD=CE,BDA.CE,理由见解析

【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，证明三角

形全等是解题的关键.

(1)先得出44)=/。石，再证明△力8。丝△4?£(SAS),根据全等三角形的性质即可得出结论;

(2)先得出=再证明△48。咨△力CE(SAS),得到8O=CE,ZADB=ZAEC,由

ZECD+ZADB=ZEAD+ZAEC,得至I」NEC。=NE4O=90。，由此即可求解.

【详解】(1)证明：・.・/84。=NONE,

,'.ABAC-NCAD=NDAE-/CAD,

：.ZBAD=/CAE,

在4ABD和中，

AB=AC

</BAD=NCAE,

AD=AE

.•.△48，gZ\/CE(SAS),

BD=CE；

(2)解：BD=CE,BDLCE,理由如下：

vAB=ACtAD=AE,/BAC=/DAE=9/,

:.ABAC+/CAD=/CAD+ZDAE,

即侬O=NC4E,

在4ABD和△/€?£■中，

AB=AC

,/BAD=/CAE,

AD=AE

：.BD=CE,ZADB=ZAEC,

•••ZECD+N/1DB=ZEAD+Z.AEC,

：・4CD=/EAD=90。,

:.BDICE.

24.先观察下列等式，再回答问题：

第一个等式：Ji+i+4=i+---=i-；

V1-2-122

第二个等式：行弓“法比

第三个等式：ffh+H通

(1)根据上述三个等式提供的信息填空，3+*+*_=_;

(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第〃个等式(〃为正整数)；

(3)对于任何实数〃，⑷表示不超过。的最大整数，如［3］=3,［石］=2,计算:

卜*+5+卜城+*+>9+/+…+J1+募+募］的值.

【答案】⑴

（3）2023

【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键.

（1）根据题中所给信息可判结果;

（2）根据第一问的结果用字母代替数字即可:

（3）根据规律将原式进行正确变形求解;

【详解】（1）•••第个等式Jl十1十二=1十！一l=14；

VI222122

第二个等式＞/+*=1+；+

故根据规律可猜测第五个等式为卷,

故答案为：

JoJU

（2）根据⑴总结规律可得：第〃个等式为3+5+*j肃

(3)根据规律可化简J+器+"+j+*+"+,1+*+/+…+J1+11

----------------------

2023220242

1

=；i+1+

扑（“扑卜哈卜…+（2023x2024

111

=(1x2023)+-----1-----+----+-…+2023x2024

1x22x33x4

2023+1-1+---+---+1

+2023—2024

22334

2023+1———

2024

2023—20^23

2024

=2023.

25.【教材呈现】

⑴如图1,连接△ABC的顶点力和它所对的边8C的中点。，所得线段力。叫做△48C的边8C上的中线.写

出图1中的一个等量关系

【尝试感悟】

（2）小明学了中线这个知识后，遇到这样一个问题：在△川5c中，48=8,AC=6,。是8c的中点，求8C

上的中线月。的取值范围.丁是小明在小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2,延K月。到

E,使DE=AD,请完成证明“△力。。且产。夕’的推理过程.

①求证：AADCEDB.

②求力。的取值范围.

【问题解决】

(3)如图3,在△48。中，ZZ?=90°,AB=2,力。是△/出。的中线，C£_L8C,CE=4,且//Of=90。，求力E

长.

E

图1图2图3

【答案】(1)8。=。。

⑵①见解析；②1<4)<7

(3)6

【分析】本题主要考杳了中线的定义，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，全等三角形的性质和判定,

构造全等三角形来解决中线的取值范围和求解线段长度的问题，构造辅助线是解本题的关键.

(1)根据中线的定义求解即可.

(2)①利用己知条件证明即可；②根据三角形三边关系可得力8-AEvAEv/lB+AE,再

用全等三角形的性质可得力。的取值范围.

(3)延长力。交E。的延长线;凡求证A/BO且ASA),可得出C/=48=2,4。=。Q，再利用垂直

平分线的性质即可求得/1E的长.

【洋解】(1)解：•.•力。是△48C的边8c上的中线,

BD=CD,

故答案为：BD=CD；

(2)①由(1)可得BD=CD,

在2EDB和△/。。中，

DE=AD

NEDB=Z.ADC,

BD=CD

:.^ADC^EDB（SAS）,

②：&ADg&EDB,

BE=AC=6,

在A/18E中，44=8,BE=6,

根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边,

即4B-BE<4E〈4B+BE,

-AE=2AD,

/.8—6<2ADv8+6,

1<AD<7；

（3）延长力。交EC的延长线于凡如图所示：

•;ABA.BC,EF1BC,

:..NABD=NFCD=90°,

在4ABD和△尸8中，

NABD=NFCD

BD=CD,

Z.ADB=4FDC

.•.△4%）g/CQ（ASA）,

:.CF=AB=2,AD=DF,

•/ZJDE=90°,

二.皮）垂直平分/尸，

/.AE=EFt

vEF=CE+CF=CE+AB=4+2=6,

AE=6.

26.在△4BC,AB=AC,NA4C=a。，点。在平面内，连接力D,将线段力。绕点4顺时针旋转（180-a）。

得到4f.

(1)如图1,当a=120时，点。、£都在8C边上，求证：BD=2AD；

(2)点。在△48。内，点E在△48C外，连接A。，CE,/为的CE中点，连接

i)如图2,求证：BD=2AF；

ii)令a=90,当4,F,。三点在同一直线上时，BD=4,ZAFC=120°,求。户的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)i)证明见解析；ii)2

【分析】(1)先推出△力EO是等边三角形，进而得到==即可证明；

(2)i)先证明丝△GFC(SAS),再证得△84^A4CG(SAS),推出6Q=4G,即可证明；ii)由i)

NADB=NFGC=9/,即可判断点。为8c中点，即可求解.

【详解】(1)证明：•.•Z8=4C,44c=120。，

.-.Z5=1(l80°-/BAC)=30°,

:.Z£AD=60°,

由旋转得/E=/O，

.•.△4ED是等边三角形,

：•AE=ED,ZAED=60°,

:./BAE=ZAED-ZB=30°=/B,

•••AE-ED-BE»

•••BD=2AD.

(2)i)证明：延长4•至点G,使EG=/E,连接CG,

•・/为的CE中点,

EF=CF

•ZFE=NGFC,且力歹=G"，

.-.△/1F£^AGFC（SAS）,

•••AE=CG,且Z£AF=Z.G»

.-.AE//CGt

由旋转性质，AD=AE,

AD=CG、

vABAC=a,NDAE=180--a,

+ZOF=180-ez,

-AE//CG,

4CG+/Of=180。，

ZACG=/.BAD,

:.△5/iD^A/iCG（SAS）,

BD=AG,

vAG-AF+FG=2AF,

：.BD=2AF.

ii）解：当a=90。时，ZUBC是等腰直角三角形，NBZC=90。，旋转角/。力£=180。-90。=9。。