高考数学导数专项复习之利用导数求函数的极值（解析版）

专题04利用导数求函数的极值

专项突破一函数极值(点)的辨析

一、单选题

1.已知函数/(X)=1)2,则()

A./(力有极小值，无极大值B./(“有极大值，无极小值

C./(x)既有极小值又有极大值D./(“无极小值也无极大值

【解析】由题意函数/(x)=x(x-炉，可得r(x)=3x2—4x+l=(x-l)(3x—l),

当工仅,!)时，/(x)>0,/(“单调递增；

当时，r(x)<0,/(X)单调递减；当xw(l,y)时，r(x)〉0,“X)单调递增，

所以当x时，函数取得极大值；当x=l时，函数取得极小值故选：C.

2.“/小)=0”是“函数/("在、=见处有极值”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】若函数在K=不处有极值，不一定有/(不)=0,妇/(x)=UI,在x=0处无导数.但x=0是

极小值点；反之，若“不)=0,函数/*)在工=/处不一定有极值，如=/在x=0处满足八。)=0,

但」心)在x=0处无极值.所以“/(7))=。''是"函数/㈤在x=/处有极值”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

3.关于函数的极值，下列说法正确的是()

A.导数为零的点一定是函数的极值点

B,函数的极小值一定小于它的极大值

C.一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值

D.若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数

【解析】对于A选项，取/(力=金，则/'(x)=3d,/'(0)=0,当XW0时，广。)>0,

故工=0不是函数“X)的极值.点，故A不正确;

极值是函数的局部性质，极大值与极小值之间一般来说没有大小关系，故B不正确；

一个函数在它的定义域内可能有多个极大值和极小值，故C不正确：

若•个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数，D正确.

故选：D.

4.函数/(幻=#+]1-2*的极值点的个数是()

A.0B.1C.2D.无数个

【解析】由题，7(6="_2=("'>2故/(外无极值点，故选：A

xx

二、多选题

5.设函数/*)的定义域为R,飞(毛工0)是/(x)的极小值点，以下结论一定正确的是()

A.%是/(幻的最小值点B.是-/*)的极大值点

C.-勺是/(%)的极大值点D.-，%是/(%)的极大值点

【解析】对A,七(事=0)是"心的极小值点，不一定是最小俏点，故A错误；

对B,因函数-/(')与函数/("的图象关于x轴对称，故/应是-/(x)的极大值点，故B正确；

对C,因函数/(T)与函数/("的图象关于)，轴对称，故应是/(1)的极小值点，故C待误;

对D,因函数-/(-3)与函数的图象关于原点对称，故是-/(-X)的极大值点，故DE确.

故选：BD.

6.设函数/(9=(工一〃)1.，则下列说法正确的是()

A.当0<〃<1时，函数/(X)没有极大值，有极小值

B.当〃>1时，函数既有极大值也有极小值

C.当4-1时，函数/(工)有极大值，没有极小值

D.当e-2时，函数“X)没有极值

【解析]/(X)=(x-«)lRr(.¥>0),/f(x)=(x-«/ln_x+(x-q)(lnr)'=lnx-q+l(x>0)

*X

令/M(X)=lar--+l(x>0),则"/(x)=工+==(.r>0)

XXX.X

选项A：当0<〃<1时，加(.r)=*>0,则r(x)=lnx—幺+1(』>0)单调递增

H.1a.八

i।a..八f-=In----r+1=_<0

/⑴=lnl--+l=l-a>0,」(Je1，

e

则可令尸(.%)=14-：+1=。，/£口)

当0<x</时，f(x)<0,f(x)=(x—a)lm;(x:>0)单调递减，

当Qx。时，外力>0,/(x)=(K-a)lnxa>0)单调递增，

则函数/(x)没有极大值，有极小值.判断正确；

选项B：当0>1时，加(力=*>0,则/''(力=1M一0+1(%>0)单调递增

XX

//(l)=lnl-Y+l=l-a<0,/'(e")=lne“-二+l=a(l--!-)+l=^^a+l>0,

1''e"e"e"

则可令r(%J=l呻一"+l=°，/«l，e")

N)

当0<x</时，/'(力<0,〃x)=(x—a)hiv(x>0)单调递减，

当\>与时，/'(x)>0,/(x)=(x-a)lnxU>0)单调递增，

则函数/(“没有极大值，有极小值.判断错误；

V-I-11

选项C：当a=l时，z/Z(A)=—>0,则/'(力=12--+1*>0)单调递增

.1X

Xr(i)=ini-l+i-o,

则当Ovx<l时，r(x)<0,〃M=(x—l)MG>0)单调递减，

当%>1时，r(x)>0,/a)=(Al)liu(x>0)单调递增,

则函数““没有极大值，有极小值.判断错误：

选项D：当aW-ei时，

由“(力=^^>0,可得x>-。，由/”(刈=：^<0,可得o<x〈_a

XX

则用(力=1=一4+1(4>0)在(0,-4)单调递减,在(一a,+8)单调递增

X

则当X=-a时，函数rn(x)=liu--+l(x>0)取极小值

m(-a)=In(-a)-—+1=2+In(-a)>2+Ine2=0

-a

故〃i（x）=Iru-g+120在（0,+8）恒成立，

X

即f（x）=Inx—2+】N0在（0,+8）恒成立，则/（力=（x—4）＞0）单调递增，

A

故函数“可没有极值.判断正确.

故选：AD

7.下列说法正确的是（）

A.极值点处的导数值为0

B.极大值一定比极小值大

C.可导函数在闭区间内的最大值必在极值点或区间端点处取得

D.如果函数/（力的定义域为（。《）,且/（”在（。,可上递减，在上。）上递增，则“X）的最小值为了（〃）

【解析】对于A,函数的极值点处未必可导，如x=0是），=区的极值点，但y=W在x=0处不可导，A错

误；

对于B,函数的极大值和极小值可能有无数个，是由函数的单调性得到的，大小关系不确定，B错误；

对干C,可导函数在闭区间内连续，其最值必在极值点或区间端点处取得，则最大值也必在极值点或区间端

点处，C正确；

对于D,由单调性可知，函数”I）在区间（a,c）内有唯一的极小值点x=b，且根据单调性可知其为最小值

点，即最小值为了仅），D正确.

故选:CD.

8.对■于定义在R上的可导函数/a）,f（x）为其导函数，下列说法不正确的是（）

A.使/'（幻=0的x一定是函数的极值点

B.f（x）在R上单调递增是/”（外＞0在R上恒成立的充要条件

C.若函数/*）既有极小值乂有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大

D.若f（x）在A上存在极值，则它在R一定不单调

【解析】A选项，八#=。的工不一定是函数的极值点，比如〃力=V在x=0处导函数的值为0,但汇=0

不是/（x）=Y的极值点，A说法错误；

/⑶在R上单调递增，可能会在某点导函数等于0,比如f（”二F为单调递增函数，/（耳=第'在x=0处导

函数值为0,故/(x)在R上单调递增不是r(x)>0在R上恒成立的充要条件，B说法错误：

若函数既有极小值乂有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，比如〃x)=x+L,在x=-l处取

X

得极大值-2,在4=1处取得极小值2,极小值大于极大值，故C说法错误；

根据极值点和极值的定义可以判断，若IS)在R上存在极值，见它在R一定不单调，D说法正确.

故选：ABC

三、填空题

9.函数/(x)=fT2x的极小值点为.

【解析】因为函数〃x)=V—12二所以/'(力=3/-12=0,得工=±2,令/(x)>0可得函数/")增区间

为(e,—2),(2,—),7(力<0可得函数〃力的减区间为(-2,2),所以/(x)在x=2处取得极小值为

"2)=76,所以函数〃x)=d-12x的极小值点为2.

专项突破二求已知函数的极值(极值点)

一、单选题

1.函数)，=/-91(-2〈.”2)有()

A.极大值为5,无极小值B.极小值为-27,无极大值

C.极大值为5,极小值为-27D.极大值为5,极小值为-11

【解析】/=3X2-6A-9=3(A-3I(X+I),

由y'>0,得-2VXV-1,由y'<o,得一lvx<2,

所以函数y=丁-3/-9工(一2<工〈2)在(-2,-1)上单调递增，在(-1,2)上单调递减，

所以y=-9x(-2<x<2)在工=一1时，取得极大值5,无极小值.故选：A

2.己知函数/3=f-8x+61nx+l,则/(x)的极大值为()

A.10B.-6C.-7D.0

【解析】函数/(x)的定义域为(。、+力)，

门%)3+一(1)(13),

XX

令r(”=0,解得x=l或x=3,故

X(0,1)1(L3)3(3，同

>0=0<0=0>0

单调递增吸大值单调递减吸小值单调递增

所以的极大值为〃1)=-6,故选：B.

3.已知函数/(刈=处，则()

X

A.函数/(X)的极大值为,，无极小值B.函数“力的极小值为工，无极大值

ee

C.函数/(”的极大值点为！，无极小值点D.函数/(力的极小值点为！，无极大值点

ee

【解析】f(x)的定义域为(O,+8),/(X)=W二

所以f(x)在区间(O,e)J(x)>O,f(力递增;在区间(e,y)J(x)<OJ(力递减.

所以"e)=!是/(»的极大值，无极小值.极大值点为e,无极小值点.故选：A

e

4.函数“不卜耳/-底的极值点为()

A.0,1,-IB.在C.一立D.巫，

3333

【解析】由己知，得/(x)的定义域为(。,+?),且/(工)=3'一工=竺」，

AA

令照x)=0,得x=/(x=-乎舍去).

当X〉］时,/轲>0：当0<x<¥时,/^)<0,

.•.当X=无时，/(力取得极小值，故/(冷的极小值点为工=正，无极大值点，故选：B.

33

5.设函数/(x)=o?十〃小十ex,若1和-I是函数f(x)的两个零点，/和々足/⑴的两个极值点，则玉不等

于()

A.—1B.1C.—D.—

33

【解析】/(A-)=x(ar2+^+c),若1和-I是函数f(x)的两个零点，即1和-1是方程0^+云+。=0,4工()的两

］+(-1)=——

根，所以°得至|J'=O,c=_q,f(^x)=ax^-ax,f(x)=3av2-a,

ix(3

由已知得王和々是/(x)=0的两根，所以%•々=(=-g，故逃：C.

6.己知/是函数/(x)=gx-2siiucosAl的一个极值点，则tan，的值是()

A.1B.-C.—D.一

277

［解析】f,(x)=~~2cos2x,/.cos2x=—/.2cos2x-1=—,

36060

2

97.,《,5isinx5〃3

cos-%=—,sin-x=1-cos-XQ=—,/.tan-%=——-n=-故选：D

12012cos-x07

7.函数八x)=-x-2cosx在区间［0段］上的极小值点是()

A.0B.7C.营D.乃

66

【解析】由题设r(x)=2sinx-l,所以在。乡)上/")<0,f(x)递减，

在（g与上/⑶递增，所以极小值点为9故选：B

626

2

8.已知曲线/。）=/+泼+&+1在点（1J⑴）处的切线斜率为3,且x=7是y=/（x）的极值点，则函数的

另一个极值点为（）

A.-2B.IC.--D.2

3

/'⑴=3+2〃+。=3

a=2

【脩析】f(x)=3x2+2ax+b由题意有2解得所以

f小+2x—a+b=0

3

7

+4x-4=（3x-2）（x+2）,令/（力=0,解得x=-2或;i所以函数的另一个极值点为-2.

故选：A.

9.若x=l是函数/（x）=（V+aJ）e"2的一个极值点，则/*）的极大值为（）

A.-c3B.-2e-'C.5D.1

【解析】因为:。）=卜2+（。+2）工+。一1上川,/＜］）=0,所以〃二一1,

所以/(x)=(x2-x-l)ev+2,八幻=(V+x-2)产.

令f'（x）-。，解得x=2或3=1,

所以当XW(-00,-2),f\x)>0,/(X)单调递增；当X€(-2,1)时，f\x)<0,/(A)单调递减；

当XG(1,内),>0J(x)单调递增，

所以"V)的极大值为/(-2)=[(-2)2-(-2)-1卜22=5.故选：C.

10.设尸(力为函数/("的导函数，己知/厂")+货("=1映*1)=—3,则()

A.犷(X)在(。,+8)单调递增B.9(力在(O,y)单调递减

C.4(力在(0,+e)上有极大值、D.4红)在(0,+⑹上有吸小值5

【解析】由题意知：4>0,,/(可+〃力=也，令双#=9*),则/(幻=疗'(力+/(*=小，显然当不£(0』)

XX

时,/U)=—<0,g(x)=O(x)单减,

x

当”e(1,位)时，/*)=叵>o,g(x)=#(x)单增，故A,B错误；M'(x)在(0,”)上有极小值/⑴，令x=1,

X

则r(D+F⑴=0,

又「。)二一3,则/⑴=3,故引力在(0,+8)上有极小值c错误；D正确•

故选：D.

二、填空题

11.若/(X)=3x-V的两个极值点为X，毛，则$+工2=.

【解析】由f(x)=3x-G可得/(.()=3-3/,

令C(x)v0解得x<T或x>1,令/'(外>0解得-1<xv1,

所以/*)在(-OO-D和(1,-HX))上单调递减，在(-1,1)上单调递增，

所以函数的极值点为7和1，则％+工2=。.故答案为：0

三、解答题

12.已知函数

⑴求曲线)，=/(x)在点(1,/(I))处的切线的斜率；

(2)求函数/(x)的单调区间与极值；

【解析】⑴因为/("二7+2工，所以/”⑴=7+2=1,

因此曲线N=/(x)在点(1,1)处的切线的斜率为1：

(2)令/'(文)=一/+21=0,解得：4=0或2.

X(fO)0(0,2)2(2,+8)

—0+0—

小）极小值/极大值

所以/1）在（-叫0）,（2,y）人是减函数，在（0,2）内是增函数.

4

因此函数/（“）在x=0处取得极小值/（0）,且/（0）=0,函数/（x）在x=2处取得极大值，巨"2）二§；

综上：”力的单调递增区间为（0、2）,单调递减区间为（y,0）,（2,+8）,极小值为0,极大值为:

13.已知函数/（x）=aln（x+l）+gx2-or+l（a>1）.

⑴求函数y=/（x）在点（0J（0））处的切线方程；

（2）当“>1时，求函数y=/（x）的极值.

【解析】（1）因为/（0）=1,

x(.v-a+l)

fXx)=-^—+x-a=J'(0)=0,

x+lx+\

所以函数）=/'（X）在点（0J'（o））处的切线方程为y=1.

⑵函数的定义域为㈠什），令八小。，得生彘山二°.解得片°或A小.

当心1时，/（X）,r（力随X变化的情况如下:

X(-1,0)0a-\(tZ-l,4-=O)

/'（X）+0—0+

/W单调递增极大值单调递减极小值单调递增

可知/（力的单调减区间是（0,。-1）,增区间是（T,0）和（。T+8）,

13

极大值为/（o）=1，极小值为=a\na--a2^^.

14.已知函数/（司=任+④；-242+34卜、（X6我），当aeK且arg时,求函数/（"的极值.

[解析]由题意得/（X）=[x2+（a+2）x-2/+4a]e"

2

令.f'（x）=。,解得"=一勿或x=a-2,由知，一2awa—2,

下面分两种情况讨论：

①若々>5，则一2aVa—2,当x变化时，尸（不），/5）的变化情况如下表；

(-2a,a-2)

X(YO,-2CI)-2aa-2(a-2,+oo)

+0—0+

/a)/极大值极小值

"（%）在（y,Q）,（。-2+00）上是增函数,在（-24M-2）上是减函数,

・•・函数/（X）在x=一2〃处取得极大值f（-2a），且〃-2a）=%e%，

函数/（力在x=a-2处取得极小直/（。―2）,且"a—2）=（4-3a）e"2.

2

②若〃<§，则一加>〃-2,当x变化时，/'（力，”X）的变化筲况如下表:

X2,〃-2)a—2(a-2,-2a)—2a(―2〃,+oc)

/'（X）+0—0+

/('•)/极大值极小值/

・・・小）在（7,。-2）,（-2a,+oo）上是增函数,在（。-2,2a）上是减函数,

・•・函数/（力在x=a-2处取得极大值〃。一2）,且/（〃-2）=（4-3.）/2,

函数/（“在x=-2a处取得极小值f（-2a）,且f（-2a）=3ae2a.

综上，当时，/（x）的极大值为3近口，极小值为（4-%）产2；

当〃<|时，/"）的极大值为（4-3a）e“-2,极小值为3粥0.

15.已知函数/(x)=x-l+£.

(1)若函数/(x)在点(1J⑴)处的切线平行于x轴，求〃的值；

(2)求函数/*)的极值.

【解析】⑴由题设/'。)=1-二，又曲线)，=/")在(IJ⑴)处的切线平行于“轴，

e

所以/'O)=l_q=0，解得〃=e.

c

⑵①当aKO时/'(X)>O,/(X)在(-8,4<Q)上为增函数，所以/(X)无极值.

②当。>0时，令/'(x)=O,得：e'=i，可得x=lna.

所以xe(fIna)上r(x)<0；xe(lnt7,-Ko)_tf(x)>0.

则f("在(3,hia)上单调递减，在(Ina,茁)上单调递增，

故/(A)在x=Ina处取得极小值/(Ina)=Ina,无极大值.

综上，当心。时/(力无极值；当。>0时f(x)在x=lna处取得极小值Ina,无极大值.

16.已知函数/(x)=lnx-2x.

⑴求“X)的单调区间；

⑵设函数"(X)=矿(x)+〃x)+2MaeR),求Mx)的极值.

【解析】(1)由已知f(x)=lnx-2工，所以/，(力=，-2=二^5>0),

X/X

令r(x)>o,可得0cx<：,/'(工)<(),可得

所以当Ovx<；时，/(“单调递港，

当时，/(x)单调递减，

所以/(⑼的单调递增区间为(o，g)，单调递减区间为(；，+8；

(2)由已知〃(x)=q/"(x)+/(x)+2x=--2a+lnx,

X

所以〃(力=-W+,=F，x>。，当“40时，"(x)>0恒成立，

XX

所以在定义域内单调递增，没有极值.

当〃>0时，令厅(力=0,得X=a,

所以xe(O,〃)，/f(x)<0：xe(a+oo),/Z(x)>0,

即A(x)在区间(O,a)单调递减，在(a,包)单调递增，

当二=。时，取至【J极小值人(“极小=〃(a)=l-2a+hia,没有极大值,

综上，当〃£()时，〃(力在定义域单调递增，没有极值；

当〃〉0时，/?(x)的极小值为I-加+lna,没有极大值.

17.设函数/(x)=alnx+x2一(〃+2)x,其中。>0.

⑴若曲线y=/(x)在点(2J(2))处切线的倾斜角为?，求。的值;

⑵求/(x)的极值.

【解析】(l)f(x)=g+2x—(a+2),

x

因为曲线片/(X)在点(2J(2))处切线的倾斜角为?，

所以f(2)=>4—(a+2)=1,解得a=2.所以，a=2.

(2)函数的定义域为(0,+8),

2

E“-a2x~(a+2)x+a

因为/(x)=-+2x-(a+2)=-----——1——=------——1,

XXX

故令f(X)=0得X=£或x=1

所以，当0<a<2时，x=此时盯f〃力的变化情况如下表:

a

X1(1，何

H)2

/(A)+0——0+

小)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

所以，当工=5时，有极大值/5=41啖-1-9，当x=l时，有极小值/⑴=一"1.

当4=2时，X=-|=1,此时，/(幻之0在(0,+功上恒成立，

所以/(X)在(0,+8)上单调递增，函数无极值.

当心2时，工=>1,此时X,f(x),/(X)的变化情况如下表:

a

X(0,1)1

(闾2加)

/(A)+0——0+

/(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

所以，当X=5时，有极小值./(彳)=4卜］5-11-9,当X=1时，有极大值/(1)=一4一1.

综上，当0vav2时，极大值二。hig-l-十，极小值/(1)=一〃一1；

当〃=2时，函数无极值;

当〃>2时，极小值/(］)=“吟-1-亍

极大值/(1)=一。一1.

18.已知函数f(x)=ex-asinx(a>0),曲线y=f(x)在(0,7(0))处的切线也与曲线y=2x-V相切

(1)求实数。的值；

(2)求/(X)在一^什②］内的极小值.

【解析】(1)丁J"(x)=e"-acosx,「./'(0)=l-a,又/(0)=I,

所以丁二fM在(0,/(0))处的切线方程为y=(\-a)x+\t

因为其也与曲线尸21--相切，则联立己=(1丁)”：1,得f-(〃+1*+1=(),

y=2x-x

由A=(a+l)2—4=0及a>0,解得a=l.

⑵由(I)得/(x)=e'-sinx,f\x)=ex-cosx,

g。)上递增，乂.(一］)

令g(x)=/'(X),则g'(x)=e'+sin%在一T",<(),g'(0)=l>0.

e2

工存在天£一不。，使得/(%))=(),即e"+sinXo=O,

\乙｝

当aC-y,X0时，g\x)<0,g(x)递减：当时，g'a)>0,g(x)递增,

I2/

\*g(0)=0,g(%)=e%—cosx=-sinx-cosx=-417：

000sin^0+—<0,

・•・当xe(小,0)时，g(x)<0,即r(x)v0.又八0)=(),当xw(0,+oo)时，r(x)>0,

「.x=0是/(幻在(天),十》)内的极小道点..・•当xw(-],Xo)时，g(x)递减，即/'(%)递减，

•・・/。)在(一多/)内没有极小值点.，〃外在卜多+8)的极小值是/(。)=1.

专项突破三函数(导函数)与极值(点)的关系

一、单选题

I.已知定义在R上的函数/*),其导函数/‘(X)的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是()

①FS)>/([)>/«•)；

②函数/。)在X=C处取得极小值，在X=e处取得极大值；

③函数/(-V)在％。处取得极大值，在x=e处取得极小值；

④函数f(X)的最小值为/(d).

A.③B.①②C.@@D.④

【解析】由/*)的图像可得，当天<c时，/'(x)>0J(x)单调递增；当C<x<e时，八幻<0J(x)单调递

减；当x>e时，/(x)>04(x)单调递增.

对于①，由题意可得/(〃)</(〃)</'(c),所以①不正确.

对于②，由题意得函数在％处取得极大值，在％=e处取得极小值，故②不正确.

对于③，由②的解析可得正确.

对卜④，由题意可得/(")不是最小值，故④不正确.

综上可得③正确.故选：A.

2.函数“X)的定义域为开区间(a,〃)，导函数广(x)在(。力)内的图像如图所示，则函数人力在开区间(。㈤

内有极小值点()

函数rw在（。出）内的图象与x轴有四个公共点，

在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，

在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，

所以函数/'（力在开区间（。口）内的极小值点有1个，故选：A.

3.已知函数/（X）的导函数的图象如图所示，则“X）极值点的个数为（）

【解析】对于处处可导的函数，函数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0,另一个是该点左、

右的导数值异号，

由图象可知，导函数与x轴有5个交点，因为在。附近的左侧/（X）＜（）,右侧/'（"）＜（）,所以（）不是/（力

极值点.其余四个点的左、右的导数值异号，所以是极值点，

故”外极值点的个数是4.故选：A.

4.已知函数/（x）=V+瓜?+6的图象如图所示，则3•占等于（）

A.2Bc,iD.

-I2

【解析】由函数)，=〃力的图象知：x=l和X=2是/(x)=0的根,

/(l)=l+/?+c=O

即《解得〃=Tc=2,

/(2)=8+4/?+2c=0

所以f(x)=d-3x2+2x,可得/'(x)=3x2-6x+2,

又由结合图象可得A，玉是函数f(x)的极值点，