广东省广州市某中学2025-2026学年高一年级上册期末数学试题

广东省广州市第六中学2025-2026学年高一上学期期末数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合A={x|-1Wx<3,xtZ},5=1x|0<x<3},则八()

A.[0,3)B.{0,1,2}C.{-1,1,2}D.{1,2}

2."血°=0”是“函数产3111的图像关于（60）中心对称”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

3.函数=f-34-3在下列区间一定有零点的是（）

A.（-1,0）B.（0.1）C.（1,2）D.（2,3）

4.设。=2心,b=\og23,c=log053,则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

-y,0<x<a

5.已知函数/3=：,若对任意，〃WK,当〃〉o时，y=/（x）的图象与）一〃的

VX-

图象有交点，则”的取值范围为（）

A.(0,1)B.(1收)C.(0,1]D.[1,+8)

6.荀子《劝学》中说：“不积踵步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”在“进步率啷”退

步率”都是1%的前提下，我们可以把（1+1%）溺看作是经过365天的“进步值”，（1-1%）如看

1（”365

作是经过365天的“退步值”，可以计算得到，一年后的“进步值”是“退步值”的弋而。1481

倍.那么，如果每天的“进步率”和“退步率”都是20%,要使“进步值”是“退步值”的倍，大约

至少需要经过（）（In2ko.7,ln3=l.l）

A.9天B.8天C.7天D.6天

7.已知cos(a+6)=3,cos(a-夕)=,,夕e]。n，

则tana+tan夕的值为（)

A.—B.—C.侦D.45/6

333

log)(x+IXxe[O,l)

8.已知定义在R上的奇函数/(x),当xNO时，xw[l+8)'则关于x的函

数/（x）=/（x）-a（O<a<l）的所有零点之和为（）

A.2"-1B.\-aC.1-2uD,1-2"

二、多选题

9.下列不等式正确的是（）

A.a-+b~------」B.a+b>2\/ab

2

C.若a>b>c>0,则:D.a>b,ab>0,则

bb+cab

10.已知函数/（x）=Gsimrsin卜+/）+cos2x-1,则下列说法正确的是（

)

A.函数/（X）的一条对称轴是工二：兀

B.将〉，=如】21的图象向左平移夕个单位长度，再向下平移：个单位长度可得到/（工）的

oz

图象

C.函数/（X）在区间|‘。吊）单调递增

D.函数/（x）的最大值是；

H.设函数“X）的定义域为R，〃x—l）为奇函数；〃x+l）为偶函数，当时,

/（耳=-£+1,则下列结论正确的是（）

A.fB./（x+7）为奇函数

C./⑺在［2,4］上为增函数D.方程/（力+*=0仅有6个实数解

三、填空题

4>S

12.计算：兀。+—+log23xlog34+7^=___-

试卷第2页，共4页

13.已知sina+三=7,则sin2夕+三=___.

k3；2

14.设函数/(x)=3卜时+小°叫其中国表示不超过工的最大整数，如[1.2]=1,[2]=2,

[-1.2]=-2,则卜—，集合｛中=/(%)，XWR｝中所有元素之积为一.

四、解答题

15.已知角。的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合.

sin（7c-a）+5cos（27i-a）

(I)若尸(1,2)为角。终边上一点，求的值;

I+sina1-sina

(2)若a为第三象限角，化简

1-sintzI+sina

4

16.已知/(工)=4+声节-工是奇函数.

(I)求实数

(2)判断J(t)的单调性，并给出证明;

⑶若V.iw[l,2]使得/(力＜»2-'-工-3成立，求实数机的取值范围.

17.已知函数/（x）=f+ar+3,acR.

I

⑴若函数)'=7区的定义域为R,求实数〃的取值范围;

⑵若函数g(x)=/(x)—(a—2)x+a,函数y=g[g(%)]的最小值是5,求实数〃的值.

18.已知函数/(x)=Asin(s+e)人＞0,0＞0,0＜倒＜])最大值为2,两对称轴间的最小

距离为偿]=0.

乙\7

⑴求函数/(X)的解析式;

⑵函数g(x)=/(力-1在区间-白⑷上有且仅有两个零点，求实数机的取值范围;

_127

⑶若关于X的方程与+2所,用-2"2=。在(呜)上有解，求实数。的取值范围.

19.若函数/(X)满足：对于任意正数“，〃，都有/(，〃)＞(),/'(〃)＞。，且

”〃z)+/(〃)＜/(/〃+〃)，则称函数〃力为“加速增长函数”.

⑴试判断函数/。）=炉T,J（x）=log2（x+1），A（”=2'+x-l是否为“加速增长裱数”;

（直接给出结论，不需要过程）

⑵若函数g（x）=3川+。（3-，-1）-3为“加速增长函数”，求。的取值范围：

⑶若函数/（另为"加速增长函数“，且/（】）=】，求证：对任意都有

/㈤一田涛.

试卷第4页，共4页

《广东省广州市第六中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BADBCBBDADACD

题号11

答案ABD

1.B

【分析】根据符号7代表的数集-结合集合交集的定义进行求解即可.

【详解】因为A={x|-lKx<3,xeZ}={-LO,l,2},B={x|O<x<3),

所以A8={0,1,2}.

故选：B

2.A

【分析】由充分条件必要条件的定义，结合三角函数的性质，作出判断.

【详解】当siru;,=()时，/=E,AeZ,此时tan%=O,y=tau的图像关于仇,0)中心对称,

当函数y=laru的图像关于(为,0)中心对称时，%与,kwZ,此时si叫)不一定为0.

所以“S*=0”是“函数)，=tanx的图像关于(60)中心双称”的充分不必要条件.

故选：A.

3.D

【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理判断作答.

【详解】函数/(幻=丁-3%-3,

贝I/(T)=T<。,/(0)=-3<0,/(1)=-5<0,/(2)=-1<0,/(3)=15>0,

于是/(—1)/(0)>0,/(0)/(1)>0,/(1)/(2)>0,/(2)/(3)<0,

由零点存在性定理知，函数/。)在区间(-1,0)、(0,1)、(1,2)上不能保证有零点，在区间(2,3)

上一定治零点.

故选：D

4.B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行比较即可.

【详解】因为函数y=2'是实数集上的增函数，

所以有0v243V20=0vavl.

答案第1页，共15页

因为函数>=iog2%是正实数集上的增函数,

所以有log?3>log22=>〃>1.

因为函数y=Iog05A-是正实数集上的减函数,

所以有logo.53<logos1=>C<。，所以〃>。>c.

故选：B

5.C

【分析】求出分段函数的值域，根据对任意，〃R,当，〃>0时，），=/"）的图象与）'=，〃的

图象有交点，可得函数/次）的值域要覆盖所有的正实数，进而可得出答案.

【详解】当0<x<。时，f（x）=g为减函数，则/（到（，,+8）,

当"a时，/（"==为减函数，则

因为对任意，〃WR,当〃?〉。时，y=/（"的图象与y=〃?的图象有交点，

所以函数/（X）的值域要覆盖所有的正实数,

±<±

所以,解得0<441,

«>0

所以。的取值范围为（0』.

故选：C.

6.B

【分析】根据题意，得到即4）'Ne3,结合对数的运算公式，即可求解.

（1—20%）2

【详解】根据题意,设经过X天后,“进步值”时“退步值'’的e3倍,

可得篙器—即标”，即受空

33

两边同取对数，可得r（ln3Tn2）23,g|Jx>---=—=—=7.5,

In3-ln21.1-0.7

所以要使“进步值''是“退步值”的f倍，大约至少需要经过8天.

故选：B.

7.B

【分析】利用余弦的两角和差公式和切化弦思想，即可求出结果.

答案第2页，共15页

【详解】由己知得：cos((z+/7)=—=>cosacos/7-sintzsin^=^；

22

cos(a-/7)=—=>cosacos/y+sinasin>9=—；

3

两式相加得：cosacos/?=—,

11

cos(a+/?)=-,

2

瓜

/.sin(«+/?)=-cos2(«+/?)=Y=2----，

5J5

巫

所以tana+tan/?=9+迎=型空0=予=亚

cosacos/ycoscrcos/?23

10

故选：B.

8.D

【分析】根据北0时的函数解析式以及奇函数的性质作出函数图象，得到尸(幻有5个零点,

其中4个零点之和为0,利用解出最后一个零点的值，并得到所有零点

之和.

log)(X+1),XG[0,1)

【详解】当XN0时，/(x)=

1-|x-3|,xe(l,+cc)

即Ae[0,1)时，F⑴=牌!"+1)w(T⑼,

2

xe[l,3)时，/(x)=l-|x-3|=1-(3-X)=X-2G[-1,1),

xw[3,+oo)时，/(x)=l-|.r-3|=l-(x-3)=4-xe(^»,n,

画出xAO时/(x)的图象，再结合奇函数关于原点对称，画出x<0时/3)的图象,

则直线y=a(0<〃<l)与y=/(幻的图象有5个交点，即［。)=/")一。(0<〃<1)有5个零点,

设为Xo'E,F"JZ，

易得\+七-6，x34-x4--6,.%+七+.q+七一°，

答案第3页，共15页

xoe(-l,O),则一/e(0,1),

因为fM=-U),/(r。)=log1。f),

2

所以/"o)=Togi(l-Xo)=〃，

2

即logjl—x°)=-a,]_%=g尸与=jg尸=]_2",

综上，所有零点之和x0+*+工2+巧+工4=1-2"+。=1-2".

故选：D.

9.AD

【分析】运用比较法、特值法、不等式的性质逐一判断即可.

【详解】对于A：因为/+/—(，+1力=-八入2"==+'-=("垃>0,

2222

所以/+从之妇史.，所以A正确；

9

对于B：当a=6=_|时，显然a+Z?N2V^不成立，所以B不正确；

aa+c__c(a叫

*C，bb+ch(h+c)b(b+c)'

因为a>〃>c>(),

所以a-〃>0,b+c>(),

aa+cc(a-b)八

所以工一;-=*一(>°，

bb+cb(b+c)

即：>产，所以C不正确；

bb+c

对于D：因为ab>0,

所以所以D正确.

ababba

故选：AD

10.ACD

【分析】利用正弦二倍角公式、降幕公式、辅助角公式把函数解析式化成正弦型函数形式,

根据正弦型函数的对称性、单调性、最值性质、图象变换性质逐一判断即可.

答案第4页，共15页

【详解】，(x)=6siiusin(x+52i.1+cos2xi

+cosx-\=V3sinxcosx+---------1

2

75.、I_I.(_Tt

=—sin2x+-cos2x—=sin2x+—

222I6)2

III

对于AD：由〃x）=sin2x+*一5可知该函数的最大值为1-5=3,故D正确,

\0/ZLL

最小值为

因为心力呵2，+向-5=71_3

2~~2

7

所以X兀是函数/（另的一条对称轴，故A正确;

对于B：y=sin2工的图象向左平移B个单位长度，得到函数），=sin

6PH)卜电+5

的图象，

再将y=sin（2x+2的图象向下平移;个单位长度可得到尸sin（2x+£|-;的图象，故B

不正确；

对于C：由工€（0,4=>2》+）£传手显然是0,9的子集，

I6162/L2」

所以函数/（“在区间（0弓）是单调递增函数，故C正确.

故选：ACD

11.ABD

【分析】先依次求出函数对称性和周期，对于A,由函数对称性结合题设可判断选项正误;

对FB,由函数周期性结合题设可判断选项正误;对「C,由函数对称性及周期性可得到/（力

大致图像，据此可判断选项正误；对于D,方程/（“+lgx=0解的个数，即为函数/（“与

函数），=-lgx图像在同一坐标系下交点的个数，据此可判断选项正误.

【详解】因为f1-l）为奇函数,所以〃力图像关于（TO）对称;

因为/（x+1）为偶函数，所以/（“图像关于x=l对称.

则/5-1）+/（-1）=0=>/3+/（-工-2）=0=>/（司=_/（-工_2）,

从而

答案第5页，共15页

/(2T)=-/(-2T)=/(2+X)=-〃-2+X)=Wx+4)=/(x+8)=-/(x+4)=/(x)

所以是周期函数，周期为8.

对于A,因/(x)图像关于x=l对称,则佃=/(2-9"目，

乂/(X)图像关于(一1，0)对称，则/(_i!)=+=_'(_()=---(3)+1=_\'故

A正确；

对于B,因的一个周期为8,则于(％+7)=/(%+7-8)=/(%-1)为奇函数,故B正确;

对于C,因时，/(x)=r2+],/('=一/(-―2).

则xc[-3,-l)时，/W=-/(-X-2)=-[-(-X-2)2+1]=(X+2)2-1.

一r+LX€[-1,11

则小・卜,\2「、.

(A+2)-hxe[-3,-l)

又小)=〃2r),则加心八二5]

对于D,方程/(x)+lgx=O解的个数，即为函数/(工)与函数y=-lgx图像在同一坐标系F

交点的个数，

由图可得交点有6个，即方程有6个解，故D正确.

故选：ABD

答案第6页，共15页

【分析】运用换底公式，结合指数幕的运算公式、对数的运算性质进行运算即可.

+柜X亶+7%3T

【详解】33

n++log23xlog34+7=1+

U6J2；1g2Ig3

,⑶唱)21g2,2_180

=1+-+——+71=1+-+2+-=

\2)1g23721

故答案为:,

13.-i/0.5

2

【分析】根据诱导公式、二倍角公式等知识来求得正确答案.

【详解】sin(2a+[)2n]

=-cos2a+-

I3J

=2sin2ftz+—j-1=2x-­,=

3124

故答案为：-;

5

14.

4

【分析】代入计算求出函数值；分段求出函数的值域，进而求出集合中所有元素之积.

【详解】函数〃])=评访+小°叫

,.2n..2n.

贝ji/(史]=31Ism—I.|cos—]

i3+43

l3,

,sin(r2n>,

/(x+2n)=3^+4【《»<仆2刈=3[如.H+41raMi=/((),

因此函数/(X)的周期为2工，

则{=/(x)，xeR}={)'|丁=/(x)，xe©2兀)},

当x=0时，/(0)=30+4,=5；

当0<x<5时，0<sinx<l,0<cosx<1,f(x)=3°+4°=2；

当x=T时，，闾=3/4=4；

答案第7页，共15页

当色兀时，0<sin.r<l,-l<cosx<0,/(x)=3°+4T=j；

当71Vx时，-1<sin.r<0,-1<cosx<0,/(x)=3-1+4-1=—：

37rc4

当一Wxv27i时，-1<sinx<0,0<cosx<1,f(x)=3~+4°=-,

23

3U今人754]754_._350

因此集合为《77,了,彳,2,4,51,—x-x-x2x4x5=—,

(124312439

所以集合中所有元素之积为35*0.

故答案为：J；呼

49

15.⑴二

4

⑵-2tana

【分析】(1)根据诱导公式化简式子，利用同角三角函数关系中的商关系、三角函数的定义

进行求解即口J;

(2)根据同角三角函数关系，结合三角函数值正负的性质进行运算即可.

sin(7t-cr)-i-5cos(27r-a)_sina+5cosa_tana+5

【详解】(1)(3A(TI)-2cosa-sina-2-tana»

2sin-n-a+cos—+a

[2)[2)

因为尸(1,2)为角。终边上一点,

2

所以tana=[=2,代入上式,

(1-sina)'

(1+sina)(l-sina

(14-sintz)"/(l-sina)-l(l+sina)-1(1-sina)'1+sina1-sintz

■H-1--------------------------------

1-sin2aV1-sin2aVcos2aVcos2a|cOS6f||cOS6?|

因为a为第三象限角，

所以cosacO,

〃+sina/1-sinofl+sina1-sina1+sinaI-sinal+sina-l+sina

所以/--------J----------=----------------------=-----------------------=----------------------

V1-sinaV1+sinaIcosalIcosal-cosa-cosa-cosa

=-2tana.

16.(1)-2

答案第8页，共15页

(2)单调递减函数，证明见解析

喏,+00)

【分析】(I)根据奇函数的定义和性质进行求解即可;

(2)根据函数单调性的性质，结合指数函数的单调性进行判断并证明:

(3)根据指数晶的运算法则化简不等式，通过构造函数，利用函数单调性的性质求出所构

函数的最值进行求解即可,

【详解】⑴因为2、1>1

4

所以函数的定义域为实数集，

4

因为/（x）=a+]q]-x是奇函数，

4

所以/⑼=0=>a+_j_=0na=-2,

4

即/（力=-2+汨[7，

4（4A44

因为〃戈）+/（一]）=-2+--------+x+-2+----------x=-4+---------+-------

八）j\）2-x+l（2r+i）2-x+\2V+I

4x2'4-4（l+2r）+4x2r+4

=-4+H--------=0,

l+2v2V+I1+2V

所以函数/("是奇函数，即a=-2；

(2)f(x)是单调递减函数,理由如下:

设是任意两个实数，且用<占，

/(6八七)二-2+45"+(+仃4-马^卜4F7T4F7T+(…J

_4/”)

-(2*+l)(2Jl)(2~h

因为为<与,

所以28+1>0,2町+1>02"—2%>0,马一n>0,

因此/（内）-/（丹）>。=/（内）>/&）,

所以该函数是单调递减函数；

44

（3）2T-x-3=>-2+—~--x<w-2-t-x-3=>1+—~-<m-2T

答案第9页，共15页

n2\"〃7,

2V+1

Vxe[l,2]使得/(力＜加2、7-3成立,

(4x2,、

只需，"2'+万；、，xe[L2],

令2』,因为K«1,2],所以/«2,4],

Mt/\4/4(/+1)-44

设身⑺=1+——=/+—----L——=7+4--------,

r+1/+It+i

4ri

因为函数＞=，+4,)，=-二万在/42,4]时都是单调递增函数,

4

所以函数g〃)=f+4-看在/目r2,4]时都是单调递增函数，

436

所以gSa=g(4)=4+4=丁,

于是有，〃＞《，所以实数W的取值范围为+8、.

17.(l)-2y/3＜a＜2y/3;

⑵〃=T.

【分析】(1)由题可得/(力=0无实数根，据此可得答案;

(2)令g(1)=/2a+2,g[g(%)]=/()=(/+l)2+a+2,通过讨论a+2与万⑺对称轴大

小关系结合题设可得答案

1/、

【详解】(1)因)'=再的定义域为R,则对DxeR，/(x)wO.

从而方程/(x)=f+奴+3=0无实数根,

贝必=/-12<()=-26<”26：

(2)g(x)=f+心+3-("2)工+々=工2+2_丫+3+々.

贝ijg[身(力]=屋(x)+2g(x)+3+a.令g(x)=(x+1)?+2+4=12。+2.

令g[g(x)]=〃(，)=『+2l+3+a=(f+l)2+2+a.

若a+2K-l=.S—3,则人，)2人(-1)=2+〃=5=4=3,这与a4-3矛盾；

若a+2>—1=a>-3,川丁)2/?(a+2)=(a+3)-+2+a=5=a=—1或a=-6(舍).

答案第10页，共15页

综上，当y=g[g(x)]的最小值为5时，«=-1.

18.⑴〃x)=2sin(2x+9

⑵匕E

⑶信,+j

【分析】(1)根据正弦型函数的最值、周期性、特殊角H勺正弦值进行求解即可；

(2)根据特殊角的正弦值，结合函数零点的定义进行求解即可；

(3)由题意COS?2x+y+2acos(2x+1)+2"3=0,令f=cos(2x+、)w(-l,g),则问题

转化为方程5+23+2〃-3=0在(-1g)上有解，分离参数，构造函数〃($)=：-$+2,利用

单调性求值域即可求解.

【详解】(1)因为函数〃入)最大值为2,所以A=2.

因为函数/(x)两对称轴间的最小距离为?，

一

所以函数/(X)的最小正周期为2x5=7r,

因为。>0,

所以九="n0=2,即f(x)=2sin(2x+e),

CD

因为四二0，所以2X¥+Q=ez)n夕=E—€Z),

13J33

因为o〈帆|vg,所以令2=1,即*=

所以函数/(X)的解析式为了(X)=2sin(2x+T)；

(2)^(A)=/(X)-1=0=>y(x)=l=>sin2x+g=；,

2x+-j=2痴+看(攵e7)..或2x+g=2lcn+^-(keZ),

解得x=wZ),或1=履+?左€2),

因为xe-强加)，且函数区间一?，上有且仅有两个零点,

所以从左到右的零点为-三，-->,且:<〃区工3

12412412

所以实数,"的取值范围仔，詈

答案第11页，共15页

(3)因为/(x)=2sin(2x+1J,

所以由——+2«sin2x~--2a+2=()

46)

n

nsin2x+—|+2«sin[2x+----2a+2=0

332)

=>sin212x+--2«cos2x+—\-2a+2=0

3J

=>1-cos*2x+--2acos2x+—\-2a+2=0

3J3

即cos?2x+y+2acos(2x+1J+24-3=0,其中XWO,yj,

33

因为兀,则？n<2x+四7T<兀，令/=cos(2x+g71)w-I,；,

k3yJ33\3732>

则有『+2〃/+2。一3=0，则关于/的方程/+2w+2〃一3=。在（一1，；）上有解,

由入2〃+%-3=。可得2〃=讶

令s=，+le则2a=3（sT）=2-2,

、乙）ss

因为），=：,y=2-s•在（（）,■!）上均为减函数，

所以函数4（S）=2-S+2在[（）,1〕上为减函数，且当s趋向于0时，力（5）趋向于正无穷大,

sI2，

则〃（s）＞dU，所以解得。

6612

（11）

故实数。的取值范围是.

I"7

19.（1）答案见解析

⑵[-3,3]

⑶证明见解析

【分析】（I）根据加速增长函数定义，结合二次函数、对数函数、指数函数的单调性逐一

判断即可;

（2）根据加速增长函数定义，结合换元法、因式分解法、指数晶的运算性质、指数函数的

单调性进行求解即可；

（3）利用赋值法，结合加速增长函数定义进行证明即可.

【详解】（1）函数/（x）=fr,£（x）=log2（x+l）不是“加速增长函数”，A（x）=2'+x—l

答案第12页，共15页

是“加速增长函数”，理由如下：

工(x)=f-x=x(x-l),显然/(1)=0,不符合加速增长函数的定义；

当X>0时，函数人(力=1咤2(4+1)单调递增，

所以力(力>£(。)=0；

当〃?>0,〃>0时，

fi(〃?)+&(〃)=log?(m+l)+log2(w+l)=log2[(w+l)(w+l)],

£(〃?+〃)=log2(/〃+〃+1),

因为(〃?+l)(〃+1)-(/〃+〃+1)=〃〃?+〃?+〃+1-〃一〃-1=nm>0,

所以(/〃+1)(〃+1)>〃?+〃+1,

所以log?[(，〃+1)("+1)]>log?(，〃+〃+1)，即人(〃z)+人⑺>&(〃?+〃)，

所以不符合加速增长函数的定义；

因为函数)，=2',)，=x-l是正实数集上的增函数，

所以人(力=2'+1-1是正实数集上的增函数，

于是当x>0时，有是(力>力(0)=0;

当tn>0,〃>0时，

△(〃?)+AM)-/.(〃?+〃)=2"+6一1+2”+〃一1一(2g”+〃?+,?-1)

=2m+T-2,n+"-1=2,n+2Z,-2,n-2Z,-1=2W,(1-2")-(1-Z)=(1-2")(2M,-1),

因为〃?>0,”>0,

所以2m因此2—1>0,1-2”<0,

于是£(")+/(〃)-力(M+〃)v0n6(m)+/(