2025高考数学第二轮复习专练：直线和圆

2025版新教材高考数学第二轮复习

专题八平面解析几何

8.1直线和圆

五年高考

高考新风向

(创新知识交汇)(2024全国甲理,12,5分，难)已知b是a、c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆

/十产样产1=0交于A/两点，则忸向的最小值为()

A.1B.2C.4D.2V5

考点1直线和圆的方程

1.(2022北京,3,4分，易)若直线2x+y・l=0是圆的一条对称轴，则a=()

A.-B.--C.lD.-1

22

2.(2020课标0文,8,5分，中)点(0,-1)到直线尸"什1)距离的最大值为()

A.lB.V2C.V3D.2

3.(2023全国乙文,11,5分，中)已知实数满足f+Vdx-Zy-*。,则x-y的最大值是()

\A+—B.4C.1+3V2D.7

2

4.(多选)(2021新高考/,11,5分，中)已知点P在圆35)2+(y-5)2=16上，点4(4,0),B(0,2),则

()

A点P到直线AB的距离小于1()

B.点尸到直线A3的距离大于2

C.当NPB4最小时,|P8|二3/

D.当NPB4最大时,|P8|=3应

5.(2022全国甲文,14,5分，易)设点M在直线2x+y-1=0上，点(3,0)和(()/)均在。M上,则。M

的方程为.

6.(2022全国乙，文15,理14,5分，中)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为

(写出一个即可).

考点2直线与圆、圆与圆的位置关系

1.(2023新课标1,6,5分，易)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-l=0相切的两条直线的夹角为火则sina

=()

C卫D.在

44

2.（2020课标/文,6,5分，中）已知圆广+）2-640,过点（1⑵的直线被该圆所截得的弦的长度的

最小值为（）

A.lB.2

C.3D.4

3.（2023全国甲，文9,理8,5分，中）已知双曲线C:41=1（公＞0力＞0）的离心率为遍，。的一条渐

近线与圆（x-2）2+（y-3）2=l交于A,8两点，则|A阴二（）

.V5已2建厂3代c4近

A.—D.C.U.

5555

4.（2020课标勿理,10,5分，中）若直线/与曲线产近和圆f+VW都相切，则I的方程为

（）

A.y=2x+1B.y=2v£

Cc.y=1-x+i1rD.y=1-x+-1

•2“22

5.（2020课标/理,11,5分，中）已知O":/+,，2-2.2），・2=0,直线/:2x+y+2=0,P为/上的动点.过

点尸作OM的切线力,P8,切点为A,8,当IPMM8I最小时，直线A8的方程为（）

A.2r-y-l=0B.2x+y-l=0

C.Zr-）H-l=（）D.2x+y+l=0

6.（2023全国乙理,12,5分滩）已知。。的半径为1,直线以与。。相切于点A,直线PB与。。

交于B,C两点Q为BC的中点.若|PO|=&,则AX丽的最大值为（）

A.i+—B.-+V2

222

C.1+V2D.2+加

7.（多选）（2021新高考〃,11,5分，中）已知直线l:ax+hy-r=（）与圆C状2+迷=尸点4（〃力）,则下列

说法正确的是（）

A.若点A在圆。上,则直线/与圆C相切

B.若点A在圆。内,则直线/与圆。相离

C.若点A在圆C外,则直线/与圆C相离

D.若点4在直线I上,则直线/与圆。相切

8.（2022天津』2,5分,易）若直线工-），+〃尸0（心0）被圆。-1）2+（），-1）2=3截得的弦长等于孙则m

的值为.

精品试卷•第2页（共14页）

9.(2023新课标〃,15,5分，易)口知直线x-iny11=0与G)C:(x-1)2iy2=4交于两点,写出满

足“△ABC的面积为*的m的一个值.

10.(2022新高考〃,15,5分，中)设点A(・2,3),8(0,〃),若直线AB关于)=。对称的直线与圆

(1+3)2+。，+2)2=1有公共点，则a的取值范围是.

11.(2022新高考/,14,5分，中)写出与圆f+),2=i和(x-3F+U-4)2=16都相切的一条直线的方

程.

12.(2021全国甲，文21,理20,12分，难)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线

l：x=\交C于尸,。两点，且OP_LOQ.己知点M(2,0),且CM与/相切.

(1)求。,0加的方程；

⑵设442H3是C上的三个点，直线AN2AA3均与。M相切.判断直线A*3与。M的位置

关系,并说明理由.

三年模拟

练速度

1.（2024辽宁大连三校一模,4）过点（-1,1）和（1,3）,且圆心在x轴上的圆的方程为（）

Af+V=4B.（X-2）2+）2=8

C.U-l）2+y2=50.（^-2）2+/=1（）

2.（2024山东泰安一轮检测,3）在平面内,MN是两个定点,P是动点，若丽•而=4,则点。的轨

迹为（D）

A.椭圆B.抛物线C.直线D.圆

3.（2024广东一模,4）过A（-l,0）,B（0,3）,C（9,0）三点的圆与），轴交于MN两点，则|MN]=（）

A.3B.4C.8D.6

4.（2024广东广州天河二模,6）若直线办+力=1与圆O:f+）2=1相切测圆（x-〃）2+（）心与圆

O（）

A.外切B.相交

C.内切D.没有公共点

5.（2024云南昆明一中、宁夏银川一中联考,5）过点P（-2,0）作圆C：f+yM『4=0的两条切线,

切点分别为4乃,则四边形PACB的面积为（）

A.4B.4V2C.8D.8V2

6.（2024贵州六校联盟联考[三）,7）过点4-6,-8）的直线!与圆C:f+），2=9相交于不同的两点

忆N,则线段MN的中点尸的轨迹是（）

A.一个半径为10的圆的一部分

B.一个焦距为10的椭圆的一部分

C.一条过原点的线段

D.一个半径为5的圆的一部分

7.（2024山东济南一中等校阶段性检测,5）已知P是圆0:f+六9上的动点，点Q满足

%=（3,-4）,点则|AQ|的最大值为（）

A.8B.9C.V29+3D.V30+3

8.（多选）（2024黑龙江齐齐哈尔一模,9）已知圆。:（片3）2+9=1,C2：f+0-4）2=16,则下列结论正

确的有（）

A.若圆Ci和圆C2外离，则rt>4

B.若圆Ci和圆C2外切，则。=±4

精品试卷•第4页（共14页）

C.当a=0时，圆G和圆C2有且仅有一条公切线

D.当a=-2时，圆Ci和圆。2相交

9.（多选）（2024湖南邵阳第一次联考,9）设点尸（9）为圆上一点，已知点

A（4,0）,8（5,0）,则下列结论正确的有（）

A/+），的最大值为企

B.f+产-4『4），的最小值为8

C.存在点P,使得|P昨&|以|

D.过A点作圆C的切线，则切线长为同

10.（2024浙江杭州二模,12）写出与圆^+/=1相切且方向向量为（1,75）的一条直线的方

程.

11.（2024山东烟台、德州高考诊断性考试,12）若圆3"）2+佻i）2=i关于直线尸对称的圆

恰好过点（0,4）,则实数m的值为.

12.（2024东北三省四市质量检测,13）已知4（-1,0）乃（-4,0）,|P8|二2|%|,若平面内满足到直线

/:3x+4.y+〃『0的距离为1的点P有且只有3个，则实数m=.

练思维

1.（2024山东聊城一模,8）已知P是圆C:.r+r=l外的动点，过点P作圆C的两条切线，设两

切点分别为4A当方•丽的值最小时，点P到圆心C的距离为（）

A.V2B.V2C.A/2D.2

2.（2024辽宁葫芦岛一模,8）已知Q为圆A:（x-1猿+9=1上动点，直线/I："ZA-〃）】+3"7+2〃=O和直

线/2：心+加）；6加+〃=0（〃7,〃£氐加2+〃2#））的交点为尸,则伊。|的最大值是（）

A.6+V5B.4-V5C.5+V5D.1+V5

3.（多选）（2024广东汕头一模』。如图,。4是连接河岸AB与OC的一座古桥,因保护古迹与

发展的需要，现规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求：

北

①新桥8c与河岸A3垂直;

②保护区的边界为一个圆,该圆与BC相切,且圆心M在线段上；

③古桥两端。和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.

经测量，点4、。分别位于点。正北方向60m、正东方向170m处,艮据图中

所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（）

A.新桥8C的长为150m

B.圆心M可以在点A处

C.圆心M到点O的距离至多为35m

D.当。团长为20m时，圆形保护区的面积最大

4.（2024大湾区二模,14）在平面直角坐标系X。），中，圆C经过点。（0,0）和点4（0,4）,与x轴正

半轴相交于点B若在第一象限内的圆弧AB上存在点P,使cosNO以=W，则圆C的标准方

程为.

5.（2024湖北黄冈中学四模［3）已知圆C:.r2+（>,-2）2=1和圆D-,yr+yr-Gx-10y+30=0,A/>N分别

是圆C、D上的动点,P为工轴上的动点，则IPM+EN的最小值是.

6.（2024安徽师大附中二模,14）若实数满足«+9=25,则J50+8X+6y+J50+8x-6y

的最大值为.

练风向

1.（多想少算）（2024黑龙江双鸭山第三十一中学等校二模,6）已知点P是圆

C:（X-2）2+（J-V3）2=1上的动点，点41,。）,仅0,8）,则当/以8最大时,sin/%8二（）

A.—B.1

2

C.3D*

44

2.（新定义理解）（2024江苏苏锡常镇一调,7）莱莫恩（Lemoine）定理指出:过AABC的三个顶

点A,B,C作它的外接圆的切线，分别和BC.CAAB所在直线交于点P,Q,R,则P,Q,R三点在

同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线.在平面直角坐标系/Oy中，若三角形

的三个顶点坐标分别为A（0,l）,B（2,0）,C（0,-4）,则该三角形的Lemoine线的方程为（）

A.2v-3>,-2=0B.2x+3y-8=0

C.3x+2y-22=0D.2x-3y-32=0

3.（概念深度理解）（2024浙江丽水、湖州、衢州教学质量检测，13）已知圆

。:〃谓+（2m-1）产2公:/-2=0,若对于任意的〃WR,存在一条直线被圆C所截得的弦长为定值

〃，贝ijm+n=.

精品试卷•第6页（共M页）

专题八平面解析儿何

8.1直线和圆

五年高考

高考新风向

（创新知识交汇）（2024全国甲理,12,5分，难）已知Z?是a、c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆

F+）2+4y-l=0交于两点，则|A用的最小值为（C）

A.lB.2C.4D.2V5

考点1直线和圆的方程

1.（2022北京,3,4分,易）若直线2¥+广1=0是圆（心〃）2+）,2=1的一条对称轴,则4=（A）

A.iB.-iC.lD.-l

22

2.（2020课标〃tt,8,5分，中）点（0,-1）到直线产*r+l）距离的最大值为（B）

A.lB.V2C.V3D.2

3.（2023全国乙文,11,5分,中）己知实数乂），满足/+）242，-4=0,则7的最大值是（C）

A.1包B.4C.1+3^2D.7

2

4.（多选）（2021新高考/,11,5分，中）已知点P在圆a-5）2+（y-5）2=16上，点4（4,0）,B（0,2）,则

（ACD）

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当/PBA最小时,|P8|二3夜

D.当NP84最大时,|P8|=3位

5.(2022全国甲文,14,5分，易)设点M在直线2r+v-l=0上，点(3,0)和(0,1)均在。加上，则。M

的方程为(X-1尸+(\叶1)2=5.

6.(2022全国乙，文15,理14,5分，中)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为

222

(x-2)2+(y-3)2=13或(工-2)2+(\-1)2=5或值-0±(y-三募或(％-§+(v-l)2=詈(写出一个

即可).

考点2直线与圆、圆与圆的位置关系

1.(2023新课标/,6,5分，易)过点(0,-2)与圆/+尸4片1=()相切的两条直线的夹角为d则sina

=(B)

A.1B卫

4

C.包D.正

44

2.(2020课标/文,6,5分，中)已知圆》+产6.(),过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的

最小值为(B)

A.1B.2

C.3D.4

22

3.(2023全国甲，文9,理8,5分，中)己知双曲线C邑-9=1(〃>0力>0)的离心率为遥C的一条渐

Q/

近线与圆(x-2)2+(y-3)2=l交于人,8两点，则|八8|=(D)

A三B.这C.这D”

5555

4.(2020课标妙,10,5分，中)若直线/与曲线产《和圆f+)2三都相切，则/的方程为

(D)

\.y=2x+\B.y=2x+1

C.)=*lD.号吗

5.(2020课标/理/1,5分，中)已知O历:*+)，22-2/2=0直线/:2x+)，+2=0,P为I上的动点.过

点尸作OM的切线切点为A,B,当IPMMBI最小时，直线AB的方程为(D)

A.2x-y-l=0B.2x+y-l=0

C.2x-y+\=0D.2x+y+\=0

6.(2023全国乙理,12,5分，难)已知OO的半径为1,直线必与OO相切于点A,直线P8与OO

交于B,C两点,D为BC的中点.若|尸。|二尤,则瓦?•丽的最大值为(A)

精品试卷•第8页(共14页)

A.^F—B.-+V2

222

C.1+V2D.2+V2

7.(多选)(2021新高考〃［1,5分，中)已知直线I'.ax+by-i-^O与圆。:『+)，=户,点人①力),则下列

说法正确的是(ABD)

A.若点A在圆。上,则直线/与圆C相切

B.若点A在圆。内,则直线/与圆。相离

C.若点A在圆。外,则直线/与圆C相离

D.若点N在直线I上,则直线/与圆C相切

8.(2022天津,12,5分，易)若直线心)叶〃?=0("?>0)被圆(41)2+()，-1)2=3截得的弦长等于九则m

的值为2.

9.(2023新课标〃,15,5分，易)已知直线x-my^-\=0与OC:(x-l)2+y2=4交于A,B两点,写出满

足“△ABC的面积为的，〃的一个值.2或・2或/或一(写出一个即可).

10.(2022新高考〃,15,5分，中)设点423),8(0a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆

(X+3)2+()，+2)2=1有公共点，则a的取值范围是_［；［］.

11.(2022新高考/,14,5分，中)写出与圆x2+y2=l和(%-3-+3-4)2=16都相切的一条直线的方

程户・1(或3n+4y-5=0或7x-24y-25=0).

12.(2021全国甲，文21,理20,12分，难)抛物线C的顶点为坐标原点。，焦点在x轴上，直线

i.x=\交C于P,Q两点，且OP_LOQ.已知点M(2,0),且CM与/相切.

⑴求C,OM的方程；

⑵设AiAA是C上的三个点，直线4A2AA3均与。M相切.判断直线A如与OM的位置

关系,并说明理由.

解析(1)由题意可设抛物线。的方程为尸=2/“(〃>0),则P.Q的坐标为

(1,±展),..・00_10。，

：.OPOQ=i-2p=0,：.p=^

・•・抛物线。的方程为丁二元

•・・。加的圆心为(2,0),。知与直线入=1相切,・・・0M的半径为I,，。知的方程为(r2)2+)2=1.

(2)直线A2A3与。M相切.理由如下：

设4(yQo)/2(*,yi)A(y幻，2)「・,直线A1A2/1A3均与。M相切,•，.如科1,)，［丹1y邦1,

由AI,A2的坐标可得直线A\A2的方程为y-yo二患零(六光)，整理，得六。0+)，1)”)敏1=0,由于直

线4A2与。M相切,AM到直线4A2的距离d=12+yoM二1,整理得

八+仇+必产

（jo-Dyf+2）必+3-据=o,@

同理可得，（犬-1就+2）处2+3-九=0.②

观察①②，得）”,丁2是关于），的一元二次方程（九-1）尸+2泡r+3-%=0的两根,

2yo

+丫2=一

3-必

ym=布

同理，得直线A2A3的方程为x-（y\+）吻+〉1户=0,

则点"（2,0）到直线AM3的距离d=|2+%》21，把（*）代入，得

2

%/i+(yi+y2)

如…一讲"嘴泮L.・・直线.与。M相切.

精品试卷•第10页（共14页）

三年模拟

练速度

1.（2024辽宁大连三校一模,4）过点（-1,1）和（1,3）,且圆心在x轴上的圆的方程为（D）

Af+V=4B.（X-2）2+）2=8

C.（x-l）2+y2=5D.（X-2）2+/=1（）

2.（2024山东泰安一轮检测,3）在平面内,MN是两个定点,P是动点，若而•而=4,则点。的轨

迹为（D）

A.椭圆B.抛物线C.直线D.圆

3.（2024广东一模,4）过4T,0）,3（0,3）,C（9,0）三点的圆与y轴交于M,N两点，则|MM=

（D）

A.3B.4C.8D.6

4.（2024广东广州天河二模,6）若直线ax+外=1与圆。:犬+'2=］相切，则圆（片4）2+。询2二：与圆

O（B）

A.外切B.相交

C.内切D.没有公共点

5.（2024云南昆明一中、宁夏银川一中联考,5）过点P（-2,0）作圆。:《+9-4r4=0的两条切线,

切点分别为AB,则四边形加CB的面积为（C）

A.4B.4V2C.8D.8V2

6.（2024贵州六校联盟联考（三）,7）过点4-6,-8）的直线I与圆C:f+V=9相交于不同的两点

MN,则线段MN的中点P的轨迹是（D）

A.一个半径为10的圆的一部分

B.一个焦距为10的椭圆的一部分

C一•条过原点的线段

D.一个半径为5的圆的一部分

7.（2024山东济南一中等校阶段性检测,5）已知P是圆Ol+y2=9上的动点，点Q满足

丽=（3,-4）,点则HQ|的最大值为（C）

A.8B.9C.V29+3D.V30+3

8.（多选）（2024黑龙江齐齐哈尔一模,9）己知圆Ci：（『3）2+y2=i,C2：f+GF）2=16,则下列结论正

确的有（BCD）

A.若圆G和圆。2外离，则心4

B.若圆Ci和圆Cz外切，则a=±4

C.当a=0时，圆Ci和圆C2有且仅有一条公切线

D.当斫-2时，圆Ci和圆C2相交

9.（多选）（2024湖南邵阳第一次联考⑼设点Pg）为圆C:『+V=l上一点，已知点

A（4,0）,B（5,0）,则下列结论正确的有（AD）

A/+），的最大值为企

B，+V-4『4），的最小值为8

C.存在点P,使得|PB|二迎照|

D.过A点作圆。的切线,则切线长为行

10.（2024浙江杭州二模,12）写出与圆f+），2=l相切且方向向量为（1,遮）的一条直线的方程

v=N%+2或y=A-2（写出一个即可）.

11.（2024山东烟台、德州高考诊断性考试，⑵若圆g力）2+°，-1）2=1关于直线产x对称的圆

恰好过点（0,4）,则实数m的值为4.

12.（2024东北三省四市质量检测』3）已知4（-1,0）1（40）,|P阴=2|以|,若平面内满足到直线

Z:3x+4yH-,n=0的距离为1的点P有且只有3个,则实数m=±5

练思维

1.（2024山东聊城一模,8）已知P是圆C:f+）2=1外的动点，过点P作圆C的两条切线，设两

切点分别为4石,当西•丽的值最小时，点P到圆心C的距离为（A）

A.V2B.V2C.V2D.2

2.（2024辽宁葫芦岛一模,8）已知Q为圆4:（X・1）2+）2=1上动点，直线l\：fnx-ny+3m+2n=0和直

线/2：〃氏+西；6加+〃=0（〃7,〃£1<m2+〃2翔）的交点为尸,则|尸。|的最大值是（A）

A.6+V5B.d-VsC.5+V5D.1+V5

3.（多选）（2024广东汕头一模,11）如图,。4是连接河岸AB与OC的一座古桥,因保护