高考数学之圆锥曲线考点专项复习：椭圆的定义与方程

专题4：椭圆的定义与方程

一、单选题

1.如图所示，已知椭圆C：t+），2=1的左、右焦点分别为T尸2,点

4

M与。的焦点不重合，分别延长MF\,MF?到尸,Q,使得丽=:/,

_2-Q2

ME=小。,。是椭圆。上一点，延长皿到N,QD=-QM+-QN9

则|尸M+|QN=（）

A.10B.5C.6D.3

2.如图所示，在圆锥内放入两个球。1,Q,它们都与圆锥相切（即

与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为

这两个球都与平面a相切，切点分别为"，尸2,丹德林（GDcmde/in）

利用这个模型证明了平面。与圆锥侧面的交线为椭圆，6,5为

此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若圆锥的母线

与它的轴的夹角为30、OC.,OG的半径分别为1,4,点M为0a

上的一个定点，点。为椭圆上的一个动点，则从点2沿圆锥表面到

达M的路线长与线段可的长之和的最小值是（）

V

A.6B.8C.3x/3D.4、5

3.已知椭圆:+*~=i（o<b<2）,”,8分别为椭圆的左、右焦点，

夕为椭圆上一点，“（2,1）,胡与平分角NPK5则AMPR与.MPE的

面积之和为（）

3

A.1B.-C.2D.3

2

4.如图，已知"，后分别是椭圆C：工+2=1的左、右焦点，过

6432

片的直线4与过F2的直线4交于点N,线段KN的中点为M,线段

6N的垂直平分线与4的交点?（第一象限）在椭圆上，若。为

坐标原点，则柒的取值范围为（）

C.(0.V2)D.(0,1)

5.已知椭圆C：*■十点■=1（。＞。〉0）的两个焦点6,尸2与短轴的两个

端点耳，生都在圆f+），2=l上，尸是。上除长轴端点外的任意一点,

NRP用的平分线交C的长轴于点M,则附4|+|"阂的取值范围是

（）

A.[2,司B.[2,76）C.123）D.12,2闾

6.已知匕、鸟是椭圆?+（=1的左、右焦点，点户是椭圆上任意

43

一点，以可为直径作圆N,直线ON与圆N交于点Q（点Q不在椭

圆内部），则函•西=（）

A.273B.4C.3D.1

7.已知产是椭圆£+1=1（。＞人＞0）的一个焦点，若直线户历与椭

ab-

圆相交于48两点，且4砧=60。，则椭圆离心率的取值范围是

（）

A.（争）B.（0,争C.岭D.g，l）

8.已知椭圆C：1+*=l（a＞8＞0）的左右焦点分别为"，入，点A

a~b~

是椭圆上一点，线段”的垂直平分线与椭圆的一个交点为8,若

通=3印，则椭圆。的离心率为（）

9.已知椭圆E:1+展1的右焦点为小短轴的一个

ab

端点为M,直线/：3x-4y=0交椭圆七于A,4两点，若I"1+1"1=4,

点M到直线/的距离等于1则椭圆E的焦距长为（）

A.2B.2>/3C.x/3D.4

10.一光源尸在桌面A的正上方，半径为2的球与桌面相切，且以

与球相切，小球在光源P的中心投影下在桌面产生的投影为一椭

圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是用△尸4名其中

PA=6,则该椭圆的短轴长为（）

A.6B.8C.4GD.3

11.已知椭圆C，哈W耳心为左右焦点,点尸⑵病

在椭圆。上，△£尸招的重心为G,内心为/,且有76=4质（丸为

实数），则椭圆方程为（)

，>>97

A.5+白B.三+汇=1

OO164

C«='

D.JJ

105

二、填空题

12.圆。的半径为定长"A是圆。所在平面上与尸不重合的一个

定点，2是圆上任意一点,线段PA的垂直平分线/和直线OP相交

于点。，当点?在圆上运动时，点。的轨迹是

①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤一个点

13.已知椭圆[+）,2=1的左右焦点为"、入，点。为椭圆上任

16

意一点，过生作“尸鸟的外角平分线的垂线，垂足为点Q,过点。

作轴的垂线，垂足为N,线段。N的中点为M,则点M的轨迹方

程为

14.点厂为椭圆5+总=1的右焦点，M在椭圆上运动，点网『2）,

则AA〃/周长的最大值为.

15.如图，把椭圆卷+《=1的长轴四八等分，过每个分点作x轴

109

的垂线交椭圆的上半部分于优，…，鸟七个点，F是椭圆的一

个焦点，则|«日+|EH+I勺可+…+|鸟尸|的值为.

16.已知椭圆C:工♦匚=1,点”与。的焦点不重合.若V关于C

94

的焦点的对称点分别为乜8,线段。•的中点在C上，则谶据陨上

17.已知椭圆C：[+[=1的左、右焦点分别为耳、尸2,点M（4,4）,

若点尸为椭圆c上的一个动点，则1PM-|尸用的最小值为

18.设椭圆C：5+*l（〃〉〃〉0）的左焦点为F,直线x=〃z与椭圆C

相交于A,8两点当△ABF的周长最大时，b的面积为则

椭圆。的离心率e=.

19.一动圆M与圆G：（x+l『+）尸=25内切，且与圆G：（x-l）~+y2=1

外切，则动圆圆心M的轨迹方程是_____.

20.若复数z满足|z+i|+|z"|=4,贝上在复平面内对应点的轨迹方

程是__________:结果要求化简）

21.已知椭圆。：与+皆=1（〃〉6>0）的左、右焦点分别为。仆点尸

a'b~

为椭圆C上一点，满足袍•两=0,△PKB的面积为半，直线

交椭圆。于另一点Q,且所=36。，则椭圆。的标准方程为

■

22.圆/+/=］的切线与椭圆［+《=］交于两点A1分别以A3为

切点的1+《=1的切线交于点P,则点P的轨迹方程为

43

参考答案

1.A

【解析】根据椭圆的定义和比例，有

冲|+回V|=|.(|叫+|叫卜尹二⑹

2.A

【分析】在椭圆上任取一点P,可证明△。附二©P。，可得PF\=PQ,

设点。沿圆锥表面到达M的路线长为".，则

PF}+dPM=PQ+dPM>PQ+PR=QR9当且仅当尸为直线VM与椭圆交点

时取等号，QR=VR-V。即可求解.

【解析】在椭圆上任取一点P,连接VP交球。1于点。，交球Q于点

R,连接°\Q,，P0、,尸”,。/,

在△QPG与AQPQ中有：QQ-。而-4,Ci为球。I的半径),

N01QP="FP=9叭0/为公共边，

所以△口「片=^PQ,

所以P£=PQ,设点P沿圆锥表面到达M的路线长为小,,

贝I]PFX+dPM=PQ+dpwNPQ+PR=QR,

当且仅当P为直线VM与椭圆交点时取等号，

QR=VR-VQ==^-=6

sin301,

2

所以最小值为36,

故选：A

【点评】关键点【点评】本题解题的关键是证明△。/耳二支田。得出

PFTQ,从而PF4dpM=PQ+dpMNPQ+PR=QR,转化为KR用三点

共线时求QR.

3.C

【分析】利用题设条件给出的几何图形特征知，点M到直线PP、

PF2的距离都等于点M到x轴的距离，由此计算三角形面积得解.

【解析】如图，椭圆£+3=1（。》＞0）,£,5分别为椭圆的左、右

焦点，尸为椭圆上一点，作一圆与线段FiP,的延长线都相切,

并且与线段PF?也相切，切点分别为D,A,B,

|£D|=IEA|o|P-I+IPDH4玛l+I^AIolP£|+|PB|=IEKI+|❷A|,

o|PF}\+\PB\+\F2B\=IF.F2\+\F2A\+\F2B\^\PFS\+\PF21=16母1+2应4|,

所以，川=〃-c（c为椭圆半焦距），从而点A为椭圆长轴端点，即圆心

M的轨迹是直线戈二。（除点A外）.

因点M（2,l）在NP"5的平分线上，且椭圆右端点A（2,0）,所以点M是

上述圆心轨迹上的点，即点M到直线RP,PB,FR的距离都相等，

且均为1,

△MP耳与aMPg的面积之和为:刊计1+:|勿；1,1=3（1刊"+IP❷1）=2.

故选：C

【点评】椭圆焦点三角形旁切圆圆心的轨迹是过椭圆长轴端点垂直于

该轴的直线（除长轴端点外）.

4.D

【分析】利用三角形的中位线、线段的中垂线、椭圆的定义对|。州转

化，用P点的坐标表示，通过P点在第一想象的范围，求出范围.

【解析】如图所示，点?在）‘轴右边，

因为PM为［N的垂直平分线，所以忻

由中位线定理可得|。叫=g优N|.

设点P（%，％）（%>°，%>°）.

由两点间的距离公式，得

=<+2cr0+cT=a^-exi）,

Va~

同理可得仍周=a-ex0,

所以但修=代用-1尸用=次,故QM=气,

因为。=8,c=472,所以e二q,

r-也

故［0阙二孚与,所以幽=三士=&.

2\0F2\4五8

因为不£（0,8）,所以：/£（0,1）.

O

故耦的取值范围为（。,1）・

故选：D.

【点评】本题考杳了椭圆的定义、直线和椭圆的关系、三角形中位线

和线段的中垂线的几何性质，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，

转化的数学思想，属于难题.

5.B

【分析】由/耳尸鸟的平分线交C长轴于点M,得到

，再结合椭圆的定义,得到

忸r用rz|胃间=l"/W嘴俨

进而求得|M阴+|M闵的取值范围.

【解析】由椭圆。的两个焦点6,尼与短轴的两个端点与，层都在圆

V+1/=1上，得/7=c=l,则6/2=Z?2+C2=2,所以椭圆C的方程为'=1,

故4((H),B2(O,-I),

由N印第的平分线交C长轴于点M,显然，幻二稿,

SPFM力用PMsin4PM附

AgM__2__________________|11

SgMg|PF211PMsinNF2PM归国'

5小M=M即四E以笆如虫网

所以，p周怩MJR\PF2\\F2M\

由|P周+|P周=2a=2及，|M附+|M周=2c=2,得|尸周=0优M|,

设M(ZO)(-1</1<1),则怩M=>"而a-cv|P闾va+j

即行-1<|P闾<行+1,也就是正-12)<&+1,所以

一丝“＜红,

22

所以四+|砒=2病71,0“＜g,

所以24M可+眼见＜6.

故选：B.

【点评】本题主要考查了椭圆的定义及标准方程，以及圆的方程,角

平分线性质等知识的综合应用，着重考查推理论证能力及运算求解能

力，属于难题.

6.C

【分析】利用向量的数量积运算可得函•弧=（前西。利用

\QO\=\QN\+\NO\,进一步利用椭圆的定义可转化为/-/,进而得解.

【解析】连接刊"设椭圆的基本量为。也J

函弧=（8+西）•（的+殂）=（西）2-（西

22222

=（|QN]+1NO]?-C=（甲+苧'-c=a-c=b=3

故答案为：3.

【点评】本题考杳椭圆的定义与平面向量的数量积的运算，属中档题,

关键是利用向量的数量积运算进行转化，并结合椭圆的定义计算.

7.A

【分析】将与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到

一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得

离心率的范围.

【解析】如图设片，尸分别为椭圆的左、右焦点，设直线广履与椭圆

相交于4B,连接研,8F.

根据椭圆的对称性可得：四边形4""为平行四边形.

由椭圆的定义有：|钻"|阴=2g1g|=2c,qa尸一120。

由余弦定理有：|FF|2=\AF^+|AF|2-2|AZ<|.|AF|cosl20o

即4c二=（|A用+1AF『-|秋|.|A目训伍|+1AF『-『生四）

所以4c2川A用+1A目『-[=4/一/=3/

当且仅当|4%二|"|时取等号，又尸丘的斜率存在，故A,8不可能在y

轴上.

所以等号不能成立，即即£所以1〉6>手

a~42

故选：A

【点评】本题考查椭圆的对称性和焦点三角形，考查利用椭圆的定义

和余弦定理、重要不等式求椭圆的离心率的范围，属于难题.

8.B

【分析】线段”的垂直平分线与椭圆的一个交点为'可得

|AB|=|8KI.根据福=3中，|8不+|86|=2%可得1861=1，IA"l=a'点

A是椭圆短轴的一个端点，不妨设为上端点.作轴，垂足为点

C.可得利用性质可得点8的坐标.代入椭圆方程可得

离心率.

【解析】由题意知|明=|防又布=3可，所以线段49过点入且

\AF2\=2\F2B\,

不妨设怩M=〃J故忻臼=\AB\=|你|+优耳=3怩1=3加,

由椭圆定义可得忻闿+优卸=2。=痴，

12

故怩却=5〃，忸用=5%H周=%IM=〃T"|=a,

故点A为椭圆短轴的一个端点，

不妨设A（0,8）,过点5作8M_Lx轴于M,

由AAO6和ABg相似,又|A闾=2|他可得网=如*'

所以点优M=躯。甘，所以点5作,一）,

代入椭圆的方程可得名■+《=],解得:即”g.

4a4ba~33

故选：B.

【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、相似三角形的性

质、方程的解法，考查了转化法、推理能力与计算能力.

如图所示，设尸为稀圆的左焦点，连接”'，叱，则四边形A阳F是

平行四边形，可得"+|叫=|A目+|A尸|=2a=4,解得〃=2,取加（。,〃），

44b4

可得点M到直线/的距离方即有赤K=s，解得〃=1,

c7a2-护=6,则焦距为2c=26，故选B.

【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质、点到直线的距离公

式求椭圆的定义，属于难题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图

形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、

焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的

关系，挖掘出它们之间的内在联系.解答本题的关键是利用椭圆的对

称性得到河|+|四=|AF|+|A尸|=2〃=4,从而利用椭圆的定义求解.

10.C

【解析】解：看左视图，左视图为高为6的等腰三角形，如图所示,

图中OP=4,

ZOPM=30,/.ZCPD=60,又PC=PD,

故△PCD为等边三角形，:.6=4后,

即椭圆的短轴长为.

本题选择C选项.

11.A

【解析】试题分析：设点尸距X轴的距离为6,因为IG〃6工，则点

/距x轴的距离为母，连接甲，修，巴，则

=gx恒国xG二

=+$*/=卜内用x乎+；刈尸R|+|P可［电=la+c)孚,

©寸斤：

所以(a+c)g=6c,=>a=2c=>b=6c,所以*+5=】=2,所以

椭圆方程为t+〈=L

OO

【点评】椭圆的标准方程.

12.①②④⑤

【分析】由题设条件线段的垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义,

分类讨论，即可求解.

【解析】(1)因为A为圆0。内的一定点，尸为0。上的一动点，

线段AP的垂直平分线交半径0P于点M,

可得|M4|=|MP|,|M4|+|M0=|阴+|M@=依4=〃，

即动点M到两定点。，A的距离之和为定值，

①当。A不重合时，根据椭圆的定义，可知点M的轨迹是：以O，A为

焦点的椭圆；

②当O,A重合时，点M的轨迹是圆；

(2)当A为圆。。外的一定点，P为。。上的一动点，

线段AP的垂直平分线交半径0P于点M,

可得|M4|=四斗,|M4|-眼。=|MP|-四。==j

即动点加到两定点。，八的距离之差为定值，

根据双曲线的定义，可得点M的轨迹是：以。M为焦点的双曲线；

（3）当A为圆。。上的一定点，d为。。上的一动点，此时点M的轨

迹是圆心0.

综上可得：点M的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线.

故答案为：①②④⑤

【点评】本题主要考查了椭圆、双曲线和圆的定义及其应用，其中解

答中熟练应用线段垂直平分线的性质，以及椭圆和双曲线的定义是解

答的关键，着重考查推理与论证能力，以及转化思想的应用.

【分析】先利用椭圆的几何性质得到。的轨迹方程为：f+V=再

根据M的坐标与Q的坐标关系可得M的轨迹方程.

如图，延长鸟。交货的延长线于S,连接0Q.

因为PQ为4SPF?的平分线且F2S1PQ,

故为等腰三角形且设。=旧局,

所以附|+|桃|=网+阀|=2x4=8.

在△mg中，因为出a=iEa，|sa=iQ用,所以

忻S|=；（内尸|+|8|）=4,

故。的轨迹方程为;A-2।r=16.

令M（x,），），则。（2x,），），所以“+）,2=i6即鸟+《=1,

416

故答案为：一+2=1

416

【点评】本题考查椭圆的几何性质以及动点的轨迹方程，注意遇到与

焦点三角形有关的轨迹问题或计算问题时，要利用好椭圆的定义，另

外，求动点的轨迹,QQ群333528558

注意把要求的动点的轨迹转移到已知的动点的轨迹上去.

14.8+2/

【分析】取椭圆左焦点为左焦点为连接“石，则

++尸因为|仪|为定值故只需求出IMPI+IM/H的最大

值即可求得AA/弘周长的最大值.

【解析】由椭圆=1的焦点在X轴上知"3力=2夜「1,右焦点

尸。0）,左焦点为甲T，。），连接

=|印+阿4+眼曰=2+

由椭圆定义可知：M用+|M用=2%

\MP\+\MF\^MP\+2a-\MF\=6+1MP|-\MF\,即I一眼周最大时,

IMPI+IM用最大，

在大中，两边之差总小于第三边，

IMP\-\MF\<\PF\=7(l+D2+(2-0)2=2V2,

当且仅当P、M、”共线时，取最大值2上，此时|MP|+|"〃|

取最大值6+2及，

则周长品杵=2+|MP|+|"目的最大值为8+2a.

故答案为：8+2忘

【点评】本题考查椭圆的定义与几何性质，椭圆中三角形周长问题,

属于中档题.

15.28

【解析】设椭圆的另一个焦点为尸由椭圆的几何性质可知：

山尸忖"?,同产臼用西a,同理可得

|Z?F|+|F|=|P2F\+\PbF\=\7>F|+|P5F\=2\P4F\=2a,且〃=4,故

任尸|+|P2F\+\吕曰+H=7。=28，故答案为28.

16.12

【解析】设.1£V的中点为0,椭圆。的左，右焦点分别为BE,如图

所示，连接听,亚，因为三是Ud的中点，。是MV的中点，所以行D

ni1

是△ULV的中位线，所以|囱|=:憧阚，同理，p月上发左邛所以

艮\1+四］=?(较目+皿巾，因为。在椭圆。上，所以根据椭圆的定义,

可得忸国一归月|=%=6,所以懊制书恸用=：退.

【考点】

椭圆的定义及标准方程.

17.1

【分析】根据已知可以转化为尸制=俨网+归段-3然后由三点

共线即两点之间线段最短可得答案.

【解析】由已知得力=4,6=3,。2“2_/="口I©,

因为|呐+|叫=2=4,所以|叫=4-|尸矶

所以-附|=|「刈一（4一|尸闾）=|PM|+|P段-4,

所以当三点用、尸尸2共线时，|户网+|尸马-4最小，

即1PMi+|尸鸟卜4二|M外卜4=寿一4二1.

故答案为：1.

【点评】本题考查了椭圆上的点到焦点和定点距离和的问题，解题关

键是利用定义转化为两点之间线段最短的问题，考查了学生分析问题、

解决问题的能力.

18.y

【分析】首先根据椭圆定义分析，分析当厂的周长最大时，直线A3

的位置，再求△,的面积，得到椭圆的离心率.

【解析】设椭圆的右焦点为『，当直线AB过右焦点

F时，等号成立，

・•・”B尸的周长/=|囚|+|明+|的V|AF|+忸同+|AT|+忸F|=4,

此时直线A3过右焦点，|4吊=当，

12b2.zc1

…^He=-=-

故答案为：X

【点评】关键点【点评】本题考查椭圆内的线段和的最值问题，关键

是利用两边和大于第三边，只有三点共线时，两边和等于第三边，再

结合椭圆的定义，求周长的最值.

19.j+4=1

【分析】由圆与圆的位置关系可得MG|+|MG|=6>|GG|,再由椭圆的定

义即可得解.

【解析】由题意，圆G：（、+1）2+/=25的圆心为（T0）,半径为5,

圆。2：（1『+丁=1的圆心为（1,（））,半径为1,

设动圆的圆心M（x，y）,半径为R,

动圆与圆G：（%+1『+），=25内切，与圆G：（戈-1）。丁=1外切,

所以|MG|=5-R,|"。2|=1+尺,

所以|MG|+|MC』=5-A+1+R=6>|GG|,

所以M的轨迹是以原点为中心，焦点在X轴上的椭圆，且加=6,C

所以从=4-2=8,

•••椭圆的方程为卷+卷=1.

yo

故答案为：g+5j

Vo

【点评】本题考查了圆与圆位置关系及椭圆定义的应用，考查了运算

求解能力与转化化归思想，属于中档题.

20-内=

【分析】设复数Z对应的点为Z,由|z+4+|z-/|=4,知点z到点A(0,

1)、点8((),・1)的距离和大于|A5|,由此可得结论，求出方程即可.

【解析】设复数z对应的点为Z,

则|z-i|表示点Z到点A((),1)的距离，|z+i|表示点Z到点5(01)的

距离，

又H8|=2,

由|z+H+|z-i|=4知点Z到点A、B的距离和大于|A8|,

z在复平面内对应点的轨迹为椭圆，所以0=4,c、=l,贝l]b=G,

椭圆的焦点就是A,B,

所以z在复平面内对应的点的轨迹方程是：[