2026年高考数学复习（全国）重难点11 三角函数的图象与性质的综合应用9大题型（试题版）

重难点11三角函数的图象与性质的综合应用

【全国通用】

1、三角函数的图象与性质的综合应用

三角函数是高考考查的重点和热点内容，从近三年的高考情况来看，三角函数的图象与性质主要从以

下几个方面进行考查：

(1)三角函数的图象，涉及三角函数图象变换问题以及由部分图象确定函数解析式问题，主要以选择题、

填空题的形式考查，试题难度较低；

(2)利用三角函数的图象与性质来求解三角函数的值域、最值、单调性、奇偶性、对称性、周期性、零

点等问题，主要以选择题、填空题的形式考查，试题难度中等。

(3)三角恒等变换的化简求值是高考命题的热点，常与三角函数的图象与性质结合在一起综合考查，如

果单独命题，多以选择题、填空题的形式考查，难度较低；如吴三角恒等变换作为工具，将其与三角函数

及解三角形相结合来研究最值、范围问题，多以解答题形式考察，此时要灵活求解，试题难度中等。

知识梳理

知识点1各函数的图象变换规律

1.平移变换与伸缩变换法则

⑴垩移变换

函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对X作的变换；

(2)伸缩变换

①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0<<。<1)或缩短(①>1)为原来的、(倍)(纵坐标y不变)；

②沿)，轴伸缩时，纵坐标y伸长(人>1)或缩短(0<4<1)为原来的A(倍)(横坐标工不变).

2.三角函数的图象变换问题的求解方法

解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如F：

(1)定函数:一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；

(2)变同名:函数的名称要变得一样；

(3)选方法:即选择变换方法.

知识直2三角函数的单调性问题的求解策略

1.三角函数的单调区间的求解方法

求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成尸Asin(sx+夕)形式，再求尸4sin(s+9)的单调区间，只

需把(…看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把s化为正数.

2.已知三角函数的单调性求参数的解题思路

对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数/。的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单

调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题,

利用特值验证排除法求解更为简捷.

知识点3三角函数的值域与最值问题的求解策略

1.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：

⑴形如)=asiiu+〃cosx+c的三角函数化为产Asin(5+p)+c的形式，再求值域(最值)；

(2)形如)，=(屈114+加iiir+c的三角函数，可先设sin.t=/,化为关于t的二次函数求值域(最值)：

(3)形如_v=«sin.vcos.v+Z?(sinricosx)+c的三角函数，可先设sinvicosx,化为关于t的二次函数求值域(最值).

2.求三角函数最值的基本思路

(1)瘠问题化为产Asin(公什8)+8的形式，结合三角函数的图象和性质求解.

⑵洛问题化为关于siiu♦或cosx的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.

(3)利用导数判断单调性从而求解.

知识点4三角函数的周期拄、对称性、奇偶性的求解策略

1.二角函数周期的一般求法

(1)公式法；

(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.

2.三角函数的对称轴、对称中心的求解策略

⑴对于可化为小尸4sin(s+9)(或yU)=Acos(s+0))形式的函数，如果求/U)的对称轴,只需令①+

E(N£Z)(或令s+p二E(A£Z)),求工即可；如果求/U)的对称中心的横坐标，只需令cox+w=E(A£Z)(或

令(t)x+(p=-y+kit(k£Z))»求x即可.

(2)对于可化为,*x)=4an(①x+8)形式的函数，如果求./U)的对称中心的横坐标，只需令COX+Q=丁(Z《Z)),

求I即可.

3.三角函数的奇偶性的判断方法

三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在产AsiMs+9)中代入尸0,若产0

则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.

若产4sin(@x+。)为奇函数，则(p=kn(kEZ)：若产Asin(s+0)为偶函数，则%，+kn(k£Z).

知识点5三角恒等变换的综合应用

1.三角恒等变换的综合应用的解题策略

三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为

凡丫尸Asin(cox+e)+〃的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解

决相关问题.

举一后二

【题型1三角函数的图象识别与应用】

【例1】(2025•天津和平•三模)或数/•(%)=-%+(e*+eT)sinx在区间［一3.2,3.2］的图象大致为()

【变式1・1】(2025♦河北秦皇岛•模拟预测)函数f(x)=2sin(2x+J与函数g(x)=Inx的图象交点个数为()

A.3B.5C.6D.7

【变式1-2］(2025•贵州黔东南•模拟预测)函数/(%)=瞽胃+sinx的大致图象为()

【变式1-3]（2025・贵州安顺・模拟预测）曲线y=2cos（2%+]）与直线y=x-1的交点个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【题型2三角函数的图象变换问题】

【例2】（2026.浙江.模拟预测）将函数f（%）=sin卜x+力的图象向左平移沙单位，得到函数g（%）的图象，

则小）=（）

A.1B.

C.叵D.-更

22

【变式2-1]（2026.山东威海•一模）将函数f（%）=cos（2x+@）（0<<p<n）图象上的所有点向左平移?个单位

6

后，得到的函数图象关于点（%。）中心对称，则枢二（）

A.-B.-C.-D.-

6336

【变式2-2]（2026•陕西咸阳,一模）为了得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=sin（2%-?的图象（）

A.向左平移嗫个单位B.向右平移工个单一位

C.向左平移[个单位D.向右平移2个单位

OO

【变式2-3]（2026•重庆九龙坡・一模）将函数八幻=sina>x（a）>0）的图象平移得到g（x）=sin（s+与的图

象，且直线为曲线y=g（幻在），轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（）

A.向左平移弓个单位B.向右平移5个单位

«5J

C.向左平移;个单位D.向右平移;个单位

【题型3三角函数的定义域、值域和最值】

【例3】（2025•甘肃武威・模拟预测）己知函数/（幻=3•（5+9（3>0）在区间（一黑）上单调递增，则当

口取最大值时，/（x）在区间即）上的值域为（）

A•（-泻1B.（一渭]C.（专用•（一舞

【变式3-1]（2025•湖北黄冈•模拟预测）已知函数/•（%）=33（5：+9（3>0）的最小正周期为季则/•（%）在

卜法]上的最大值为（）

A-113禺C,2D.3

【变式3-2]（25-26高一匕全国・单元测试）己知函数“幻=2（:。$&-2%）,则函数f（x）在[一[修]卜的值域

为（）

A.[-V3,l|B.[-V3,2|

C.[-1,2]D.[-2,2]

【变式3-3]（2025•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知函数4%）=5皿2%+?）+685（2%+*）为奇函数,则〉=

|/（小在卜》到上的最大值为（）

A.—B.V3C.V3+1D.迪或

22

【题型4三角函数的单调性】

【例4】（2025.陕西汉中.三模）座数/（%）=3（2%-习的一个单调递减区间为（）

A.（冷）B.（0m）C,售塔）D,尊等

【变式4-1]（2026♦江西九江•一模）下列函数中，在（0,g）上单调递增的是（）

A.fW=cos(x+B.f(x)=sin1

C.f(x)=sin(x+D./(x)=tanQ-x)

【变式4-2]（2025•辽宁•二模）已知函数/"（为二期小工+习侬:^在区间&引上单调，则①的取值范围

为（）

A，尊1）B.刖C.(0甲D.(0.|]

【变式4-3］（2026・湖北荆州•一模）将函数y=2sin作一J的图象向左平移;个单位长度，得到函数/⑴的

图象，则函数/（X）的一个单调增区间为（)

卜卜上］

B-卜羽

C.卜制］D.触

【题型5三角函数的奇偶性】

【例5】（202&陕西西安三模）若函数/（幻=5也%+85（2%+0）（0<@<71）是奇函数，则/C）=（）

A.0B.C.萼D.1

【变式5-1］（2025•全国•二模）函数/（%）=sin卜万一：+0）（0</<IT）是R上的偶函数，则尹=（）

A.。B,=c-1D-T

【变式5-2］（2025・上海普陀•一模）下列函数中，周期为n的奇函数是（）

A.y=|sinx|B.y=cos2x-sin2x

nsinZx

C.y=cos-x)D.y=--------

J1+COS2X

【变式5-3］（2025•安徽•模拟预测）函数/（%）=（%-2）3cose%.若存在aWA,使得f（%+a）为奇函数，则

实数3的值可以是（）

.irc3n

HDU

A.-4-B.—4

【题型6三角函数的对称性与周期性】

【例6】（2026•河南郑州•模拟预测）已知函数/1（%）=sin（5+3（3>0）在（一黑）上单调递增，且其图象

关于直线”一1对称，则-（）

A.-亨B.c-1D-T

【变式6-1］（2025•福建泉州•模拟预测）已知函数/a）=cos（2x+s）的图象关于点g,0）中心对称，则其图

象的一条对称轴方程可以是（）

A-X=-lB.x=-^C.x=^D.“屋

【变式6-2](2025•海南•模拟预测)已知函数/(%)=sin(3%+g(3>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离

为;,g(x)=sinQx+g),则()

A./(%)的最小正周期为27r

B.f(x)的图象关于点(g,0)对称

C.将g(x)的图象向左平移g个单位长度可得到/(%)的图象

D./(%)与g(幻的图象关于y轴对称

【变式6-3](2025•云南昆明•一模)若函数/(x)=tan(2%4-与函数g(x)=cos(wx+@)3)>0,0<(/)<TT)

图象的对称中心完全一致，则9二()

A.-B.-C.-D.-

3366

【题型7三角函数中切的最值与范围问题】

【例7】(2025•北京平谷•一模)已知函数/(%)=2sin(3%-§3>0),若/i(幻在区间(一汉)上没有最值，

则3的最大值为()

A"B—C.1D.2

【变式7-1](2025,甘肃白银•三模)已知函数/•(%)=3$E(5：+9(3>0)在(0刀)上恰有两个零点，两个极

值点，则3的取值范围是()

A-(源B.品)C.[评D.展)

【变式7-2](2025.陕西西安・二模)已知函数/(%)二而即一9(3>0),/(均在[0用上单调，则3的最大

值为()

A号B.3C,2D品

【变式7-3](2025•四川绵阳•模拟预测)函数f(%)=sin(o)x+0)(3>0且geR在信号)上单调，且/&)+

f管)=0,若/(%)在售,同上恰有2个零点，则3的取值最准确的范围是()

【题型8三角恒等变换与三角函数综合】

【例8】(2026•河北邢台・一模)若函数/(%)=V5sin23X-2COS2G%(3>0)在(0,g)上恰有两个零点，则

实数切的取值范围为()

【变式8-1](2026•安徽宿州•一模)己知函数/'(%)=gsinxcosx-乎cos2x+1,当^6卜：，：]时，f(x)的最

小值为()

A.；B.|C.D.-3

【变式8-2](2026•新疆•二模)己知函数/(%)=cos4x+2sinxccsx-sin4x,xGR.

⑴求/(%)的最小正周期；

(2)若％e[0,ir],求不等式;•(%)2-1的解集.

【变式8-3](2025・广东•模拟预测)己知函数/(%)=sin2wx4-2V3cos26>x-6(e>0)的部分图象如图所示.

\O\7n\/x

\J'T\J

(1)求/(%)的解析式;

(2)即(x)的图象向右平移味个单位长度，得到函数g(x),求使g(x)2-1成立的”的取值集合.

【题型9三角函数新定义问题】

【例9】(2025•陕西咸阳・模拟预测)音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线它的性质是

每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为|y|=(2-

2[?])lsina,xK0X<2n),其中[x]表示不超过x的最大整数，如[一2.1]=-3,1<343且3€Z,且经过

点则该条葫芦曲线与直线X=^口交点的纵坐标为()

A.±—B.±—C.±—D.±—

2244

【变式9-1](2025・河南•三模)定义2x2行列式隈=即%-。2a3,已知函数f(x)=凰黑蓝制+

ERa

产;2~sX|(°>一|)，若在区间I。，：]卜」始终存在两个不相等的实数与，x2.满足fa)f3)=京

则。的取值范围是()

【变式9-2](2025•广东江门•模拟预测)若a,Ac,d£妹且aVbVcVd,则d-c+b—a的值叫做[a,b]u[c,d]

的''区间长度”.已知函数f(x)=(cosx-0(tcosx+^),xee(p2)-

(1)当。=1时，求关丁工的不等式/。)>；解集的“区间长度”；

(2)设关于无的不等式/(x)>0解集的“区间长度”为/.

(i)若/=7T,求t的值：

(ii)求/的最大值.

【变式9-3](2025•陕西•模拟预测)对于定义域为/?的函数y=或幻，若存在常数T>0,使得y=cos(g(x))

是以T为周期的周期函数，则称y=g(x)为“余弦周期函数”，且称T为其“余弦周期”.使得、=5由(90))是

以7为周期的周期函数，则称y=g(x)为“正弦周期函数”，且称T为其“正弦周期

⑴判断函数/■(%)=x+cos：是否为“余弦周期函数”，并说明理由：

（2）已知y=g（%）是以7为“正弦周期”的“正弦周期函数”,设g（%）为连续函数”,若g（O）=n,g（T）=5n,求

g（2T）的值;

（3）已知y=h（x）是以丁为一个“余弦周期”的“余弦周期函数”，且VxeR,hM>0恒成立，若存在Q>0和力>

0,使得对任意％WR,都有/1（%+0）=4/1（%）,证明：y=/i（x）是周期函数.

:课后提升练］

一、单选题

1.（2026.安徽合肥•一•模）己知函数/•（%）=会.85（2%+0-2）（0>0）为偶函数，则8的最小值为（）

A.-B.-C.—D.—

6336

2.（2026・新疆•模拟预测）若点t,0）是函数、=85（2%+@）">0）的图象的一个对称中心，则0的最小值

为（）

A-R-C-D—

A,64。3U，6

3.（2025•河北•,模）将函数f（x）=sins十V5coss（3>0）的图象向右平移g个单位K度，得到的图象

关于y轴对称，则3的最小值为（）

7531

A.-B.-C.-D.-

2222

4.（2026.云南大理•二模）若函数/（x）=V3sinwx-cos3x（3>0）满足/（x+IT）=f（-x）,且在（0,；）有唯

一零点，则3的最大值为（）

A.—B.3C.2D.-

33

5.（2026・四川泸州,二模）已知函数/'（x）=sin（nx+g,则下列结论正确的是（）

A.八切的最小正周期为1B./1+|）是偶函数

C./（幻的图象关于直线无二|对称D.f（x）在区间（一表0）上单调递增

6.（2026•湖北省直辖县级单位•模拟预测）记函数/'（幻=sin+3,其中3>0,若/外在［0m］恰有两

个零点，且fC)=一当，则函数“0在％e［o图上的单调增区间为()

7.(2025•黑龙江牡丹江•模拟预测)函数/(%)=2sin(2^+0(0<to<1)的图象如图所示，将其向左平

A.3制B.函数f(x)的图象关干点(冶，0)对称

C.函数、=9(幻的图象关于直线X=河称D.函数y=g(2%+9在［一］局上单调递减

8.(2026•四川攀枝花•一模)己知函数/(%)=V^sin2x-2siMx+1,则下列说法中正确的是()

A.y=/(x)的最小正周期为2IT

B.y=f。)在区间［0T上单调递增

C.y-f(x)的图象向左平移个单位长度后关于)，轴对称

O

D.若y=/(%)在区间(0,m)(m>0)上恰有一个零点，则实数用的取值范围是(工，詈)

二、多选题

9.(2026•江苏镇江.模拟预测)将函数y=cos2x的图象沿x轴向右平移？个单位长度，再向上立移2个单位

4

长度，得到函数y=g(x)的图象，则()

A.9(%)的最小正周期为nB.g(x)在(06)上单调递增

C.g(x)的图象关于直线％=弓对称D.g(x)的图象关于点(03)中心对称

10.(2026・贵州六盘水•模拟预测)已知函数/(%)=2cos(3%+勿)(3>0,|@|<》的部分图象如图所示，则

()

B./Xx）的对称轴方程为％=-嗫+弟kez

C.陪）=-V3

D.若关于％的方程/（%）=m（mGR）在（0j）上有两个根，贝！mG（-2,-73）

11.（2026•四川广安•一模）已知函数f（x）=J5sin2x+2COS2》,则下列说法中正确的是（）

A./（幻的图象关于直线”=方对称

B./（幻的图象关于点,1）对称

C.若f（xj-/（%2）=4,则乂一的最小值为］

D.若/（/）+/（无2）=2（%1H%2），则1巧