2026年广东揭阳市高三二模高考数学试卷答案详解

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页揭阳市2025～2026学年度高三级数学教学质量测试（满分150分.考试用时120分钟.）注意事项：1.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.2.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1．若集合，，则（

）A． B． C． D．2．设复数z满足，则（

）A． B．3 C． D．53．已知a，b，，且，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．4．若，，则（

）A． B． C． D．5．已知数列满足，且，则数列的前项和为（

）A． B． C． D．6．设，则.A．-4 B．-8 C．-12 D．-167．若点关于动直线l：的对称点为N，则点N的轨迹为（

）A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分8．已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（

）A．数据的方差为4；B．数据的平均数为24；C．数据的平均数为10，方差大于1；D．若数据的中位数为，分位数为，则.10．已知等差数列的公差，为数列的前n项和，对给定的n且，，，则下列说法正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当，时， D．当，时，11．如图，已知正方体，点，O分别为上、下底面的中心.正四面体以为轴旋转一圈，形成一个空间几何体，该几何体的轴截面的截口曲线（截面与几何体侧面的交线）为双曲线的局部，则（

）A．直线与直线所成的角为90°B．直线与平面所成的角为45°C．若正方体的棱长为2，则点到平面的距离为D．此双曲线的离心率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.12．已知，，若，则______.13．已知点在抛物线上，若点P到点的距离与点到抛物线的准线的距离相等，则______.14．已知函数，，有恒成立，则的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.15．如图，三棱锥中，平面AOB，，，．(1)求证：平面POC；(2)求平面PAB与平面POC夹角的余弦值．16．如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P.(1)求中线BN的长；(2)求的余弦值.17．某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.(1)求中奖次数X的分布列和数学期望；(2)求第二次中奖的概率；(3)已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？18．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交于右支两点.(1)求双曲线的方程；(2)证明存在轴上的一点，使得为定值；(3)求的最大值.19．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，（i）过点可以作函数的两条切线，求b的取值范围；（ii）设A，B是图象上两个不同的点，且A，B两点到的距离相等，判断线段AB的中点在第几象限，并证明.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【详解】由，，则.2．C【详解】，故.3．D【详解】对于A，当时，满足，而，故A错误；对于B，当时，，故B错误；对于C，当时，满足，而，故C错误；对于D，因为函数在上单调递增，且，则，故D正确.4．B【详解】由，则，又，所以，而，则，所以.5．D【详解】由，，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，则，所以数列的前项和为.6．C【分析】根据，是展开式中的系数，利用二项展开式的通项公式，求得结果．【详解】，是展开式中的系数，∴，故选C．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．7．A【分析】先求出直线l过定点，再利用对称性得，最后根据圆的定义即可判断.【详解】由直线l：，令，解得，则直线l（不包含直线）过定点，由对称性可知，，即点N到定点的距离为，又直线l不包含直线，所以点关于直线的对称点不在点N的轨迹中，则N的轨迹是以为圆心，为半径的圆（去掉点），因此，点N的轨迹为圆的一部分.8．B【分析】取圆锥的轴截面，分析可得接触点的轨迹为两个圆，进而结合图形关系、相似比求解即可.【详解】取圆锥的轴截面，因为圆锥的底面半径为，母线长为，所以轴截面为等边，半径为1的圆与此等边三角形的一条腰和底边相切，如图，设切点为，圆心为，由于球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则接触点的轨迹为两个圆，设其圆心为，则，所以，，，，由于，则，即，则，所以该球与圆锥的接触点的轨迹长度为.9．ABD【分析】根据平均数和方差的计算方法即可判断，，；由中位数和百分位数的计算方法即可判断.【详解】对于，因为，所以，所以数据的平均数为，故正确；对于，因为，所以，所以数据的方差为，故正确；对于，，，故错误；对于，将数据从小到大排序，所以中位数为第三个数和第四个数的平均数，因为，所以分位数为第五个数，按从小到大排序后，第五个数大于等于第三个数和第四个数的平均数，所以，故正确.故选：.10．ABD【分析】利用等差数列通项公式写出不等式，利用不等式的性质解题.【详解】对于A，当时，，因为，，所以，又因为，，所以，故A正确；对于B，当时，，若，则，若，则，故B正确；对于C，当时，，若，则，因为，与题目条件矛盾，若，则，，，故C错误；对于D，当时，，又因为，代入可得：，，所以，解得，故D正确.11．ACD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量相乘为零可以判断A选项，利用线面夹角公式可以判断B选项，利用点到面距离公式可以判断C选项，结合题目条件分析其为等轴双曲线即可求出离心率，判断出D选项【详解】对于A，设正方体棱长为，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示所以，，，，，，所以，所以直线与直线所成的角为，故A正确；对于B，，，，，，，设平面的一个法向量为，所以，令，，设直线与平面所成的角为，则，因为，所以，故B错误；对于C，由于正方体的棱长为2，则，，，，，，设平面的一个法向量为，所以，令，得，所以点到平面的距离，故C正确；对于D，因为，，所以旋转轴的方向向量为，四个顶点，，，，所以，，同理可得是正四面体，正四面体绕轴旋转，其侧面上的每一条母线绕轴旋转形成一个曲面，在包含旋转轴的轴截面中，这些母线的轨迹与轴截面相交形成双曲线，选取母线，计算母线与旋转轴的夹角，，所以，在轴截面中，其母线旋转轨迹是双曲线，其渐近线与轴角也为，即渐近斜率为，所以，，故D正确.,12．【详解】由，，得，因为，所以，解得.13．4【详解】由抛物线，则焦点，准线方程为，因为点P到点的距离与点P到抛物线C的准线的距离相等，结合抛物线的定义可得，则点在线段的垂直平分线上，而，，则点的横坐标为3，所以.14．【分析】分，，和，讨论和正负，即可得出答案.【详解】因为，所以，当时，那么函数恒成立，所以要使，有恒成立，则在恒成立，又函数在上单调递减，根据与一定存在交点可知存在零点，所以存在，使得时，，时，，不合题意，舍去.当时，设为切线，设切点为，则，所以，那么，，①当时，存在两个零点，令，那么，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，当时，，此时无法满足题意，舍去；②当时，由①可知，，所以；③当时，恒成立，要使得恒成立，则只需恒成立，由①得：，所以，即，综上：的取值范围是：.故答案为：.15．(1)证明见详解(2)【分析】（1）根据几何性质，证明，再结合平面AOB即可证明平面POC；（2）以O为原点，OA为轴，OC为轴，OP为轴建立空间直角坐标系，通过空间向量法求解二面角的余弦值即可．【详解】（1）因为平面AOB，平面AOB，因此，，故，在等腰中，易知，，由正弦定理可得，则，在中，由余弦定理，可得，故有，则，因为，平面POC，且、，所以平面POC．（2）由（1）知，OA、OP、OB三者两两垂直，则以O为原点，OA为轴，OC为轴，OP为轴建立空间直角坐标系，则，，，，又，可得，因为平面POC，所以平面POC的一个法向量为，又，，设平面PAB的法向量为，则，即，令，则可得平面PAB的一个法向量，为，所以平面PAB与平面POC的夹角余弦值为．16．(1)(2)【分析】（1）直接根据余弦定理求解即可；（2）建立平面直角坐标系，求出的坐标，进而求解即可.【详解】（1）由，BN为中线，则，在中，由余弦定理得，则.（2）以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由，，，得，则，则，即，所以，，，则，所以的余弦值为.17．(1)的分布列为012.(2)(3)中奖2次的人数为时的概率最大.【分析】（1）根据题意分析随机变量的可能取值，求出各个值对应的概率可得分布列及期望；（2）根据（1）的计算数据可求第二次中奖的概率；（3）设位顾客中中奖2次的人数为，则，故可不等式组的整数解确定中奖2次的人数为何值时对应的概率最大.【详解】（1）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，则中奖次数的可能取值为，则，，，则的分布列为012所以的期望为.（2）设为“第二次中奖”，则.（3）设位顾客中中奖2次的人数为，由（1）的分布列可得，故，其中，令，所以，化简得，故，故中奖2次的人数为的概率最大.18．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程；（2）设，，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化，根据该值为定值可求的坐标；（3）先求、，再根据两角和的正切公式结合韦达定理可求，故可求的最大值.【详解】（1）因为实轴长为，故，而点到双曲线C的渐近线的距离为1，故，故双曲线的方程为：.（2）设为半焦距，则，故，因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设，，由可得即，故且，所以.又.设，则，，故为定值当且仅当，故，故存在轴上的一点，使得为定值且定值为.（3）由双曲线的对称性不妨设，，故，，故，其中，设，则，故，而，故，注意到，故的最大值为.19．(1)单调性见解析；(2)（i）；（ii）第四象限，证明见解析.【分析】（1）求导后对分类讨论即可；（2）（i）求出切线方程代入点坐标得到，再设新函数求导研究即可；（ii）设点坐标，根据得到方程，再构造函数，求导后研究其单调性，从而构造函数，求导后得到即可.【详解】（1），①当