二次根式的运算-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）

第六讲二次根式的运算

【学习目标】

会进行二次根式的简单四则运算，并解决简单的实际问题.

【基础知识】

I.二次根式的乘法法则：JZ•〃二疝O9二JZ•6（〃*0,力20）（主要用于化简）

7（-6f）»（-Z?）=\[a^b=4ci^4h（。20,后0）

2.二次根式的除法法则：

Vd_[a[a_\[a

lb=\'boe=为（仑0/>0）

3.二次根式的乘方法则：6•右==4^=a（420）4ci*4a=（\/a）2=a（）

4.二次根式的加减运算方法：①不是最简二次根式的要先化成最简二次根式；②是最简二次根式，只把二

次根式系数想加减，二次根式不变照写；

【考点剖析】

考点一：二次根式的乘法

例I.（1）计算：瓜乂五=.

【答案】2百

【详解】

解：&6=而3=瓦=20

故答案为：2后

（2）计算（、6+2）（6-2）的结果等于.

【答案】1

【详解】

解:原式=（石+2）（石-2）

=（可"

=5-4

故答案为：1.

(3)计算(26一正尸的结果等于

【答案】14-4c

【详解】

解：(26-加尸

=(2而2_2X2厚血+(历

=12-45/6+2

=14—4^6•

故答案为：14-476.

考点二：二次根式的除法

例2.(I)计算：届+近二

【答案】3

【详解】解：底*&=也=3,

故答案为：3.

276

(2)计算的结果是

访

【答案】2夜

【详解】

故答案为2及.

考点三：二次根式的加减运算

例3.(1)计算J沃-2下的结果是

【答案】y/2

【详解】

解：原式二3近-2及二血.

故答案为：J5.

（2）计算：（屈—2我_（卜"）

【答案】?加+36

【解析】

解:（屈_2扬y屈）

二（3夜-2扬-（2&-5如

4

=3五-26」血+56

4

」血+36

4

（2）

考点四：二次根式的混合运算

例4.计算：

⑴2Gx逐；

⑵4而-3面+2底

（3）3亚△底+日

3

（4）3瓦—36+2屈.

【答案】⑴6&；（2）75;⑶5右；（4）6&一书

【详解】

解：（1）2岛指=2*3&=6&；

⑵4向-3而+2后

=4x2x/5-3x3x/5+2V5

8万-9石+2逐

(3)3加+贬

3

=3x175x304-2

3

=V75

(4)3配一3g+2/

=66-石+6及

=68-旦.

12

考点五：二次根式的应用

例5.（1）如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数因为被污染看不

清楚.

Az『-4。+6B：+2n—3

甲乙

（I）嘉嘉认为污染的数为一3,计算“A+3”的结果；

（2）若〃=3+百，淇淇认为存在一个整数，可以使得“A—8”的结果是整数，请你求出满足题意的被污

染的这个数.

【答案】（1）一2/-2。+3;（2）0.

【详解】解：（1）A+B=a2-46/+6+（-3«2+2«-3）

=a2-4a+6-3a1+2。-3

=-2a2-2a+3；

（2）设污染的数字为〃z,

:.A-B=^cr-4〃+6）-（楝2+2a-3）

a1-4/7+6-ma2-2〃+3

=屋一6。+9-ma2

=(tz-3)"-nui2

•・・〃=3+G

・・・(〃_3)2=(3+G—3『=3是整数

TA—6的结果是整数

**•ma2是整数

•・・〃2=(3+0『=]2+66是无理数，机是整数

m=0

即存在整数。满足题意.

例6.已知三角形的三边长分别为。，h,c,求其面积，古希措的几何学家海伦给出海伦公式

S=Jp(p_a)(p叫(p-c)(其中/="+；+'•),我国南宋时期数学教秦九昭提出了秦九昭公式

.I721-22、

S=-^laV--+厂厂,若一个三角形的三边长分别为2,2,3,请你选择自己喜欢的公式计算这

2丫I2J

个三角形的面积.

【答案】s=—

4

【详解】解：由题意得：〃=2力=2,。=3,

a+b+c7

••P=-2-=2f

・•・S;(〃一4)(〃一/)(〃—c)=^x|x|xi=乎.

【真题演练】

1.下列各数中，与血的积为无理数的是()

A.5B.V12c.y/18D.V32

【答案】B

【解析】

A、二Jgx2=JF=1,不是无理数，错误；

B、V12X2=A^4=2>/6，是无理数，正确；

C、7?8xA/2=-/18X2=\/36=6*不是无理数，错误；

D、V32xV2=\/32X2=V64=8»不是无理数，错误;

故选B.

2.已知：J而是整数，则满足条件的最小正整数〃为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

•・•）20〃=,4x5〃=2J5〃，且V20/?是整数，

・・・2痴是整数,即5n是完全平方数，

・・・n的最小正整数为5.

故选D.

3.6+V5?与\/a->/b互为倒数，则（）

A.a=b—1B.a+b=1C.a=b+1D.a+b=—1

【答案】C

【解析】

解：由题意得，（&+扬）（&-扬）=1

a-b=1,即a=b+1

故选：C

4.已知"7=1+=1—yf2»则代数式J-3〃?〃的值为()

A.±3B.3C.5D.9

【答案】B

【解析】

由已知可得：m+/:=2,mn=(1+>/2)(1->/2)=-1,

原式二J(m+〃)2-5m77=y]22—5x(—1)=也-3

故选：B

5.下列计算正确的个数是()

①J16/=4“2②y/5ax\/\0a=5y/2a③x'=8④y[3a-\[2a=4ci

A.1个D.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

A、原式=4a2,所以A选项的计算正确;

B、原式=师而=562,所以B选项的计算正确;

C、原式=&+6=2&,所以C选项的计算错误；

D、病-J工不能合并，所以D选项的计算错误.

故选：B.

6.下列运算正确的是（）

A.V2+V3=>/5

C.J（-2）.（-3）=后「D.(>/2+1)(>/2-1)=1

【答案】D

【解析】

解：A选项后和百不是同类二次根式，不能相加，A错误;

»B错误;

C选项小（一2〉（一3）=&,被开方数不能是负数，C错误;

7.若a=1-血，b=-a+],则。与〃的关系是（）

A.互为相反数B.相等

C.互为倒数D.互为有理化因式

【答案】B

【解析】

1

b=--7=-=-（V2-1）=-血+1，

V2+1

而。=1-血，

所以a=b.

故选：B.

若14a42，则化简、与_2a+1+|a_2|的结果是()

A-2a-3B--aC-3-2aD-1

【答案】D

【解析】

解：・门乡及，

/.a-l>0,a-2<0,

:.原式=I~=a-l+2-a=1,

J白-1厂+|”2|

故答案为：D.

9.若x=血・1,贝ijX3+X2・3X+2020的值为.

【答案】2019

【解析】

解：原式

=/(0-l+l)-3x+2O2O

=V2x2-3x+2020

=j(V2x-3)+2020

=(V2-l)[V2x(V2-l)-3+2020

=(>/2-l)(-V2-l)4-2020

=-1+2020

=2019

10.若ab>。，a+bvO,那么下面各式:①，石=;②

,其中正确的是（填序号）

【答案】②③

【解析】

解:因为若ab>0,a+b<0,所以a<0,b<0.

由干a<0,b<0,&与物无意义，所以①的变形错误;

=1,故②正确;

由于b<0,J原式二b,故③正确;

,/4ab•聆=Jub,=\[a^=问，由于a<0,

••・原式二-a,故④计算错误.

故答案为②③.

【答案】平

14ay/IUb

一益*2b2

12.已知。=&+1，求a'-a?一3。+2018的值•

【答案】2019.

【解析】解：,**a=五+1•*,*61-1=>/2，

(a-1)=2,即a?-2rz—1.

.,.原式=a^a2-2a)+(/-2〃)-a+201S=a+1-a+2018=2019

13.(2019•广东初二月考)已知t二6+2，y=45-2.

(1)求X+y与X-y的值：(2)利用(1)的结果求f+xy+y2的值

【答案】(1)20；4；(2)19.

【解析】

解：(1)因为x=j5+2,y=V5-2

所以x+y=石+2+石一2=2下；

尸)=(石+2)-(6-2)=4.

(2)x2+xy-i-y2=(x+»-xy

=(25/5)'-(5/5+2)(>/5-2)=20-1=19

【过关检测】

1.下列运算正确的是()

A.J(—2)2=-2B.(26)2=6C.&+K=不D.6*K=瓜

【答案】D

【解析】

A：7(-2)2=2,故本选项错误；

B：(2百产=12,故本选项错误；

C：及与6不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；

D：根据二次根式乘法运算的法见知本选项正确,

故选D.

2.下列计算正确的是()

A.6+&=石B.711-6=5

C石？血6D.厄+6=4

【答案】B

【解析】

解：A.G+&不能合并.故选项错误；

B.厄一石=2百一百=百.故选项正确；

C.拒乂五=瓜.故选项错误；

D.匠+6=J12+3="=2.故选项错误.

故选B.

3.已知％=1_”，则代数式(6+2否)炉4-(1+VS)%+的的值是()

A-2O+V5B-Vsc-12-V512+近

【答案】D

【解析】

Fl-的，

•••(6+2而)炉+(14而)犬+VS

=(6+275)(1-V5)2+(1+V5)(1-V5)+V5

=(642s1)(6—2VS.)+1-5+眄

=36-20+1-5+75

=12+国

故选D.

4.计算：(4拉-36)及的结果是()

3R1道C23

A.Z9--VJn.I-C.一D.

233

【答案】A

【解析】

（4^2-3限）+2&=4a+2&-3瓜=2--1\/3.

故选：A.

5.下列运算中错误的是（）

A.&-x/3=V6B.况:&=2C.V2+6=$D.（-石产=3

【答案】C

【解析】

A.o-6="正确，不符合题意；

B.返+血=〃=2正确，不符合题意；

C.不能合并，及+6=，5错误，符合题意；

D.（-6>=3正确，不符合题意；

故选C

6.已知实数〃=2+6,则与实数。互为倒数的是（）

A.-2-x/3B.2-V3C.-2+V3D.3-2V3

【答案】B

【解^5]

j2_h

解：a的倒数=7^―疗=——=2-6,

2+J3(2+V3)(2-x/3)

故选：B

7.卜列计算①石x石=后⑵巨—更.⑸迫=也；④Jid=4.其中错误的是（

V100-10'727T).

A.①B.②C.③D.©

【答案】C

【解析】

①5/3x\/5—>/1-5,正确：

②忌噜正除

③率=啤=旦=显，故错误；

V273V333

④痛=4正确.

故选c.

8.（2019・贵阳市清镇市卫城中学初二期中）下列计算正确的是（）

A.2^x3V3=65/3B.72+73=75

C.5>/5-2>/2=3x/3D.V2->/3=—

3

【答案】D

【解析】

解：A.2Gx3jj=18，故A选项错误；

B.J5,、万不是同类项，不能会井，故B选项错误；

C.56,2无不是同类项,不能合并，故C选项错误;

"567聋,故D选项正确.

故选：D

9.下列运算正确的是（)

A.V2+百二逐B.\/3x(\/s~\/2)=>/3x5/6=\/1-8

C.弧=±3D.|石-加二百~亚

【答案】D

【解析】

A、V2+&卞加，故A选项错误:

B、下>x(-5y2)=下>xy/^--^3x^2,=-\/24->/6=2>/6->/6=\/6»故B选项错•误;

C、邪二3,故C选项错误；

D、|逐-币忖币-、后，故D选项正确.

故选:D

A.—~\fcihB.—\[abC.—\[cibD.b4ab

ab~abb

【答案】A

【解析】

胸;③,

11.（2019•邢台市第八中学初二月考）二次根式：©V12;④a中，能与G合并

的是（）

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

【答案】C

【解析】

解：①疝=20;②V第二3；③后等；④后=36：

所以，能与6合并的是①和④.

故选:C.

12.（2020.湖南初二期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦

九韶公式，也叫三斜求积公式，即