第8讲圆巩固练习（解析版）

圆巩固练习

参考答案与试题解析

一.选择题（共15小题）

I.对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）

A.把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理

B.木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一•条笔直的果线是运用了“直线外一点

与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理

C.将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理

D.将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理

【分析】根据圆的有关定义、垂线段的性质、三角形的稳定性等知识结合生活中的实例

确定正确的选项即可.

【解答】解：八、把--条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点方间线段最短”

的原理，正确；

仄木匠师俾在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的果线是运用了“两点确定一

条直线”的原理，故错误；

C、将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理，正确；

。、将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理，正确，

故选：B.

【点评】本题考查了圆的认识、三角形的稳定性、确定直线的条件等知识，解题的关键

是熟练掌握这些定理，难度不大.

2.如图，0O的直径（7。=20,48是0O的弦，ABLCD,垂足为M,OM：0C=3：5,

则AB的长为（）

A.8B.12C.16D.2回

【分析】连接0A,先根据。0的直径。。=20,OM：0C=3：5求出。。及0M的长,

再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论.

【解答】解：连接0A，

:。0的直径C£>=20,OMtOC=3：5,

AOC=10,0M=6,

'：ABLCD,

：.AM=>/0A2-OM2=V102-62=8,

：.AB=2>\M=\6.

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题

的关键.

3.往直径为525？的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48c/〃,

【分析】连接08,过点。作OC_LAH于点。，交。。于点C,先由垂径定理求出BD的

长，再根据勾股定理求出。。的长，进而可得出CD的长.

【解答】解：连接。8,过点。作于点。，交。。于点C,如图所示：

'：AB=4Scm,

，8。=98=卜48=24(cm),

;。。的直径为52。〃，

：•OB=00—26cm,

在RtAOBD中，OD=>/OB2-BD2=V262-242=10(“〃),

：.CD=OC-OD=26-10=16(cm),

故选：C

48

【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识：根据题意作出辅助线，构造出直角三

角形是解答此题的关键.

4.如图，点A、8、C、。在0。上，4OC=120°,点8是扉的中点，则的度数是

()

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】连接OB,如图，利用圆心角、弧、弦的关系得至IJ/AO8=NCOB=*NAOC=

60°,然后根据圆周角定理得到NO的度数.

【解答】解:连接08,如图，

•・•点8是配的中点，

ZAOB=^ZAOC=1xl200=60。,

.\ZD=|ZAOB=30°.

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.

5.如图，点小B、。在。。上，CD±OA,CELOB,垂足分别为。、E,若NOCE=40°,

C.110°D.80

【分析】先根据四边形的内角和为360°求NAO8=360°-90°-90°-40°=140°,

再由同弧所对的阿周角是圆心角的一半可得NP的度数，最后由四点共圆的性质得结论.

【解答】解：如图，在优弧A8上取一点P,连接人P,BP,

VCD1OA,CELOB,

：.NODC=NOEC=90°,

VZDC£=40°,

••・N/lO8=360°-90°-90°-40°=140°,

AZP=1ZA05=70°,

「A、。、B、P四点共圆，

••・NP+NAC8=I8O°,

・•・NAC8=I8O'-70°=110°,

故选：C.

【点评】本题考杳的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相

等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.

6.如图，四边形ABCD为00的内接四边形，已知N3C。为120°,则N3O。的度数为（）

A.100"B.110°C.120°D.130°

【分析】根据圆内接四边形的性质求出NA,根据圆周角定理计算，得到答案.

【解答】解：•・•四边形A8C。是。。的内接四边形，

/.ZA=1800-NBCD=&)°,

由圆周角定理得，NBOD=2NA=120：

故选：C

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关

键.

7.如图，点4,8的坐标分别为4(2,0),H(0,2),点C为坐标平面内一点，BC=1,

点M为线段AC的中点，连接OM,则OM的最大值为()

A.V2+1B.收+之C.2V2+1D.2&-之

【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的08上，通过画图可知，。在8。

与圆8的交点时，OM最小，在。B的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理

可得结论.

【解答】解:如图,

•••点C为坐标平面内一点，BC=1,

在08上，且半径为1,

取0。=0/1=2,连接CQ,

\'AM=CM,OD=OA,

：.OM是△八CO的中位线，

：.OM=^CD,

当OM最大时，即CZ）最大，而。，B,。三点共线时，当C在。8的延长线上时，OM

最大.

\'OB=OD=2,/30。=90°,

:.8。=2夜，

.,.C/）=2夜+1,

AOM=1CD=V24-i,即OM的最大值为企+1；

故选：B.

【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大

值时点C的位置是关键，也是难点.

8.如图的矩形48CQ中,E为丽的中点，有一圆过C、O、E三点，且此圆分别与而、而相交于/）、

Q两点.甲、乙两人想找到此圆的圆心0,其作法如下：

（甲）作NOEC的角平分线L,作炉的中垂线，交L于。点，则。即为所求：

（乙）连接无、QD,两线段交于一点。，则。即为所求

对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）

A.两人皆正确B.两人皆错误

C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确

【分析】根据线段垂直平分线的性质判断甲，根据90°的圆周角所对的弦是直径判断乙.

【解答】解：甲，二•丽=丽，

...△£)£(?为等腰三角形，

工上为历之中垂线，

为两中垂线之交点，

即O为△COE的外心，

为此圆圆心.

乙，人。。=90°,ZDCB=W,

定、而为此圆直径，

・••定与而的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确.

故选：A.

【点评】本题考查的是确定圆的条件，掌握线段垂直平分线的性质、圆周角定理是解题

的关犍.

9.如图，△ABC中，AB=AC,4。是N8AC的平分线，E尸是AC的垂直平分线，交A。于

点。若。4=3,则△48C外接圆的而积为()

A.3nB.4nC.6nD.9n

【分析】由等腰三角形的性质得出BD=CD,ADA.BC,则点O是aABC外接圆的圆心,

则由圆的面积公式nJ可得出答案.

【解答】解：■A3=AC,AD是N3AC的平分线,

:.BD=CD,ADA.BC,

YE广是AC的垂直平分线，

.••点。是AABC外接圆的圆心，

*：OA=3,

.,.△ABC外接圆的面积=TTJ=ITX32=9TT.

故选：O.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆行外心，线段垂直平分线的性

质等知识，解题的关犍是熟练掌握三角形的外接圆和外心的概念和性质.

10.如图，RtZXABC中，ZC=90°,八8=5,cosA=1以点3为圆心，/•为半径作08,

当r=3时，0B与AC的位置关系是（）

A.相离B.用切C.相交D.无法确定

【分析】根据三角函数的定义得到AC,根据勾股定理求得BC,和。/?的半径比较即可.

4

【解答】解：TRtZXABC中，ZC=90°,AB=5,cosA=t

•_ACA__C4_

AB55

AC=4,

：.BC=>JAB2-AC2=3,

：•BC=厂=3,

.•・。8与AC的位置关系是相切，

故选：B.

【点评】本题考查了直线与网的位置关系的应用，注意：直线和网有三种位置关系：相

切、相交、相离.

11.如图，见是OO的切线，点A为切点，OP交OO于点&ZP=10°,点。在。O上，

OC//AB.则N8/1C等于（）

B

A\^o)

A.20°B.25°C.30°D.50°

【分析】连接04根据切线的性质得到/用0=90°,求出/AOR根据等腰三角形的

性质、平行线的性质求出/BOC,根据圆周角定理解答即可.

【解答】解：连接。4,

•・•密是。。的切线，

：.OA1AP,

：.ZPAO=W，

...NAO〃=90°-ZP=80°,

•：OA=OB,

.•.NOAB=NO/M=5(T,

\'OC//AB,

:.NBOC=NOBA=50°,

由圆周角定理得，NBAC=，BOC=25。，

4

故选:B.

B

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，

掌握圆的切线垂直于经过场点的半径是解题的关键.

12.如图，矩形48C。中，G是的中点，过4、。、G三点的圆。与边4B、C。分别交

于点£点F,给出下列说法：（1）4。与的交点是圆O的圆心；（2）4〃与。E的交

点是圆。的圆心；（3）8c与圆O相切，其中止确说法的个数是（）

o

A.0B.1C.2D.3

【分析】连接OG、AG,作于"，连接OD,如图，先确定AG=7）G,则G〃

垂直平分AO,则可判断点。在，G上，再根据，GJ-BC可判定8C与圆O相切：接着

利用OG=O。可判断圆心。不是AC与8。的交点；然后根据四边形AEF。为0O的内

接矩形可判断A尸与OE的交点是圆。的圆心.

【解答】解：连接。G、AG,作G〃_LA。于，，连接0。，如图，

•二G是BC的中点，

，4G=OG,

.•.G”垂直平分A。，

.•.点。在"G上，

，：AD〃RC,

：.HG±BC,

与圆0相切:

*：OG=OD,

••・点。不是的中点，

，圆心O不是人。与BD的交点；

VZADF=ZDAE=90°,

AZA£F=90°,

.••四边形AEFD为。。的内接矩形,

.,.八F与DE的交点是圆O的圆心：

...(1)错误，(2)(3)正确.

【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等：三

角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了矩形的性质.

13.如图，P为。O的直径6A延长线上的一点，PC与。O相切，切点为C,点。是。O

上一点，连接PD已知PC=PD=BC.下列结论：

(1)PO与OO相切：(2)四边形PC8。是菱形；(3)PO=AB；(4)NPDB=120".

【分析】(1)利用切线的性质得出NPCO=90°,进而得出△PCOg^PDO(SSS),即

可得出NPCO=NPOO=9D°,得出答案即可：

(2)利用(1)所求得出：NCPB=/BPD,进而求出(SAS),即可得

出答案：

(3)利用全等三角形的判定得出△PCO乌△8CA(ASA),进而得出答案；

(4)利用四边形PC8。是菱形，NCPO=30°,则则NOP8=NO8P=30°,

求出即可.

【解答】解：(1)连接。0,D0,

•••PC与。0相切，切点为C，

，NPCO=90°,

在△PCO和△POO中，

(CO=DO

IPO=PO,

(PC=PD

:.△PCO94PDOCSSS'),

:.NPCO=NPDO=9U0,

，夕。与。0相切，

故(1)正确：

(2)由(1)得：NCPB=NBPD,

在△CPB和aOPB中，

PC=PD

乙CPB=Z-DPB,

PB=PB

:.△CPB9ADPB(SAS),

：.BC=BD,

：.PC=PD=BC=BD,

••・四边形PCBO是菱形，

故(2)正确：

(3)连接AC,

•:PC=CB,

:./CPB=NCBP,

TAB是00直径，

AZACB=90°,

在△PCO和△8CA中，

Z.CPO=Z-CBP

PC=BC,

Z.PCO=Z.BCA

(ASA),

：.PO=AB,

故(3)正确：

(4)•.•四边形PCBD是菱形，ZCPO=30°,

:.DP=DB,则NOP8=NO8P=30°,

：.ZPDB=\20°,

故(4)正确：

正确个数有4个，

【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定

与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键.

14.如图，已知雨，P8是。。的两条切线，A,8为切点，线段OP交。。于点M.给出

下列四种说法：

①%=P8；

@OP1AB：

③四边形。APB有外接圆：

④M是△AOP外接圆的圆心.

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行

判断：利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当NAPO=30°时，OP

=20A,此时PM=OM,则可对④进行判断.

【解答】解：•••必，P8是OO的两条切线，人，B为切点、,

：.PA=PB,所以①.正确；

*：OA=OB,M=PB,

垂直平分A班所以②正确：

•.•以，PB是。0的两条切线，A,B为切点,

：,OALPA,OBSB,

：.NOAP=NOBP=90°,

.,.点A、B在以OP为直径的圆上，

.••四边形OAP8有外接圆，所以③正确：

•・•只有当N4PO=30°时，OP=2OA.此时PM=OM,

不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误.

故选：C.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了切线长定

理.

15.如图，0O是等边△48C的内切圆，分别切AB,BC,AC于点.E,F,D,。是标上一

点，则NEPF的度数是（

E,D

A.65°B.60cC.58°D.50°

【分析】如图，连接OE，OF.求出NEOF的度数即可解决问题.

【解答】解：如图,连接。£，OF.

•••00是△A3C的内切圆，E,1是切点,

J.OE^AB,OF±BC,

••"OEB=NOFB=90’,

:△ABC是等边三角形，

AZfi=60°,

；・NEOF=120°,

:./EPF=gNEOF=60。,

故选：B.

【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关

键是熟练掌握基木知识，屈于中考常考题型.

二.填空题（共15小题）

16.如图，以AABC的边8C为直径的。。分别交A8、4c于点。、E,连结。。、OE,若

NA=65°,则50°.

【分析】如图，连接BE.由圆周角定理和三角形内角和定理求得N48E=25°,再由“同

弧所对的圆周角是所对的圆心角的•半”进行答题.

【解答】解：如图，连接BE.

•••8C为。。的直径，

；.NCEB=NAEB=90°，

•・・/A=65",

AZABE=25a,

:.NDOE=2NABE=50°：（圆周角定理）

故答案为：50°.

【点评】本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识，难度不大.

17.如图，已知A3是半圆。的直径，弦、CD//AB,。。=8,4?=10,则C。与A3之间的

【分析】过点。作OH_LCD于从连接OC，如图，根据垂径定理得到。〃=。”=4,再

利用勾股定理计和出OH=3,从而得到CD与AB之间的距离.

【解答】解：过点。作OH_LCO于从连接O。，如图，则。〃=。”=2。。=4,

在RtZ\OC〃中，OH=V52-42=3,

所以CD与AB之间的距离是3.

故答案为3.

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

18.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材理壁”的问题：“今有圆材埋

在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”意思是：今有一圆

柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小.用锯去锯这木材，锯口深七。=1寸，锯道长A8

=1尺（1尺=10寸）.问这根圆形木材的直径是」^寸.

【分析】根据题意可得OEUB,由垂径定理可得4。=80=>8另尺=5寸，设半径

OA=OE=r寸，则OD=r-\,在RtAO^D中，根据勾股定理可得：O-I）2+52=r2,

解方程可得出木材半径，即可得出木材直径.

【解答】解:由题意可知。£_LA8,

YOE为OO半径，

：-AD=BD=^AB=/尺=5寸，

设半径OA=OE=r寸，

'：ED=\,

：.OD=r-1,

则RtZkOAO中，根据勾股定理可得：（r-1）2+52=/,

解得：r=13,

，木材直径为26寸；

故答案为；26.

【点评】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度.如果题干中出现弦的垂线或者

弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，

也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解.

19.如图，。。的半径为5,点P在。0匕点人在。0内，且AP=3,过点A作AP的垂

线交。0于点8、C.设P8=x,PC=y,则y与x的函数表达式为4=乎_.

【分析】连接PO并延长交。。于。，连接8。，根据圆周角定理得到NC=/。，NPRD

=90°,求得NMC=NPB。，根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：连接尸。并延长交。。于。，连接8Q,

则NC=N。，NP8O=90°,

,：PALBC,

.,.ZMC=90°,

ZMC=ZP/?D,

・•・△%Cs/\p8。，

PBPD

PA~PC

•(DO的半径为5,4P=3,PB=x,PC=y,

x_10

3=7

.xy=30t

故答案为：尸三

【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性肢，正确的作出辅助线是解题

的关键.

20.如图，在0O中，四边形O4BC为菱形，点。在而K•上，则的度数是-60°.

m

【分析】根据菱形的性质得出/8=NAOC,根据圆内接区边形的性质得出/8+/。=

180。，即可得出ND+NAOC=I80°,根据圆周角定理得出3//5=180°,即可求得/

ADC=(y()°.

【解答】解：•・•四边形A8C。内接于。0,

.•・/8+/。=180°,

♦・•四边形。48c为菱形，

：,ZB=ZAOC,

，ND+NAOC=I80°,

'：N4OC=2/O,

3ZD=180°,

ZADC=60°,

故答案为600.

【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，菱形的性质，熟练掌握性质定

理是解题的关键.

ZC=180°,结合图形计算即可.

【解答】解：连接E4,

•.•砂为50°,

.・./的=25°,

四边形DCAE为。。的内接四边形,

.•.Z£>EA+ZC=180°，

.•.Z£>EB+ZC=180°-25°=155°，

故答案为：155.

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互

补是解题的关健.

22.如图，。0的弦A3、C。相交于点E,若CE：BE=2：3,则A氏DE=2：3.

【分析】根据相交弦定理得到于是得到结论.

【解答】解：;。。的弦AB、C。相交于点E,

：.AE*BE=CE*DE,

：,AE：DE=CEzBE=2：3,

故答案为：2：3.

【点评】此题考查了相交弦定理，物练掌握相交弦定理是解题的关键.

23.如图，在矩形A3CO中，48=4,BC=3,E,尸分别为AB,CQ边的中点.动点/，从

点E出发沿E4向点A运动，同时，动点。从点尸出发沿FC向点C运动，连接PQ,

过点H作于点，，连接。”.若点，的速度是点。的速度的2倍，在点，从点

E运动至点八的过程中，线段PQ长度的最大值为小或线段DH长度的最小值为

V13-V2_.

【分析】连接EF交PQ于M,连接BM,取BM的中点().连接O，，OD,过点。作

ONLCD于N.首先利用相似三角形的性质证明初/=2FN,推出E/=2,FM=I,当点

。与A重合时，PQ的值最大，解直角三角形求出0。，0”即可解决问题.

【解答】解：连接EF交PQ于M,连接BM,取BM的中点O,连接OH,OD,过点O

作ONLCD千N.

;四边形A8C。是矩形，。产=C凡AE=EB,

...四边形是矩形，

:.EF=AD=3,

VFQ//PE,

：.4MFQs»MEP,

.MFFQ

''ME-PE'

'：PE=2FQ,

：.EM=2MF,

：.EM=2,FM=1,

当点尸与A更合时，PQ的值最大，此时PM=\/AE2+ME2=V22+22=2^2,

MQ=JFQ2+MF2=Vl2+I2=\[2,

:,PQ=3y[l,

*：MF//ON//BC,MO=OB,

.・.FN=CN=1,DN=DF+FN=3,ON=1(FM+BC)=2,

：.OD=y/DN2+0N2=V32+22=V13,

•；BHLPQ,

9：OM=OB,

OH=%M=；xV224-22=\f2,

・：DH、OD-OH,

：.DH>V13-V2,由于M和8点都是定点，所以其中点。也是定点，当O,H,。共

线时，此时最小，

：.DH的最小值为旧一\[2,

故答案为3鱼，V13-V2.

【点评】本题考查矩形的性质，解直角三角形，梯形的中位线的性质，直角三角形斜边

中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属

于中考填空题中的压轴题.

24.如图，点A,B,C均在6X6的止方形网格格点上，过4B,C三点的外接圆除经过

4,B,C三点外还能经过的格点数为

【分析】根据例的确定先做出过八，B,。三点的外接圆，从而得出答案.

【解答】解：如图，分别作AS、8c的中垂线，两直线的交点为O,

以。为圆心、为半径作圆，则。O即为过A,B,C三点的外接网，

由图可知，。。还经过点。、E、F、G、〃这5个格点，

故答案为：5.

【点评】本题主要考查圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是

解题的关键.

25.如图，。。是△ABC的外接圆，ZBAC=45a,八于点。，延长人。交。0于点

V41-5

E,若BO=4,CD=\,则。E的长是_---------

【分析】连结08,OC,0A,过。点作OF_L8c于凡作OG_LAE于G,根据圆周角定

理可得/B0C=9（T,根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得。G,AG,可求4）,

再根据相交弦定理可求。£

【解答】解:连结03,OC,OA,过。点作0"_L8C于凡作OG_LAE于G,

•••00是△A8C的外接圆,ZBAC=45°,

AZ5OC=90°,

'：BD=4,。。=1,

:.8c=4+1=5,

.•.08=。。=察

•,Q=岁,OF=BF=I，

3

：.DF=BD-BF=^,

解法一：在RtZ^AGO中，AG=ylOA7-0G7=

:.GE=

：.DE=GE-GD=^~S

解法二：在RtZkAGO中，AG=\/0A2-OG2=空,

•,•AD=AG+GD=——»

,：ADXDE=BDXCD,

4x1闻一5

：.DE=

吗+5-2~

同-5

故答案为:

2

BfC

【点评】考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周隹定理，等腰直角三角形的性

质，解题的难点是求出人。的长.

26.如国，直线a_L耳垂足为从点P在直线b上，PH=4cm,O为直线〃上一动点，若

以1cm为半径的O。与直线〃相切，则OP的长为3cm或.

【分析】当点。在点，的左侧0。与直线〃相切时，OP=PH-OH；当点。在点〃的

右侧。0与直线〃相切时，OP=PH+OH,即可得出结果.

【解答】解：•・•直线a_LA0为直线〃上一动点，

，0。与直线。相切时，切点为“，

：.OH=\cm,

当点。在点〃的左侧，0。与直线。相切时，如图I所示:

OP=PH-OH=4-1=3(cvw)；

当点。在点”的右侧，与直线”相切时，如图2所示:

与直线a相切，OP的长为3cm或5cm,

故答案为：3cm或5cm.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、切线的性质以及分类讨论：熟练掌握切线的

性质是解题的关键.

27.如图，已知直线.v=-祗\+4与x、y轴交于A、8两点，。0的半径为1,P为A8上一

动点，PQ切OO于。点.当线段0Q氏取最小值时，直线PQ交y轴于例点，〃为过点

M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为，百

［分析】在直线尸—V5x+4上,X=0时,y=4,y=0时,x=可得03=4,0A=4得角

084=30°,根据PQ切0O于Q点可得OQ_LPQ,由。。=1,因此当0P最小时PQ

长取最小值，此时OP_LN6,若使点P到直线”的距离最大，则最大值为尸M,且M位

于x轴下方，过点P作PE1），轴于点E,根据勾股定理和特殊角30度即可求出PM的长.

【解答】解：如图，

在直线y=-VIr+4上，.*=0时，y=4.

当时，

y=0»3

：.0B=4,0A=隼，

AtanZOBA=黑=孚

••・NOBA=30°,

由PQ切OO于。点可知：OQ上PQ，

:.PQ=y[OPiOQ^r

由于OQ=1,

因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP±AB,

：.OP=208=2,

此时PQ=>/22-I2=V3»

BP=>/42—22=2>f3,

：.OQ=^OP,KPZOP2-300,

若使点/>到直线〃的距离最大，

则最大值为PM，且用位于x轴下方，

过点〃作P£_Ly轴于点E,

：,EP=抑>=6，

:.BE=J(2b)2-(遍)2=3,

••・OE=4-3=1,

"：OE=*0P,

；.NOPE=30",

：.ZEPM=300+30°=60°,

即NEMP=30",

:.PM=2EP=2®

故答案为：2V3.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,

必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了一次函数的性质.

28.如图，在8c中，AB=ACfN8=30°,以点A为圆心，以为半径作OA,当

6时,BC与0A相切.

【分析】当8。与0A相切，点A到BC的距离等于半径即可.

【解答】解：如图，过点A作ADLSC于点D.

'：AB=AC,ZB=30°,

.\AD=^AB,即AB=2AD

又•••8。与OA相切，

工八。就是圆A的半径，

AD-3cruf

则AB=2AD=6cni.

【点评】本题考查了切线的判定.此题利用了切线的定义和含30度角的直角三角形的性

质得到AB的长度的.

29.如图，中，/C=90',AC=12,点D在边6C上，CD=5,80=13.点?

是线段AD上一动点，当半径为6的G)P与△ABC的一边相切时,AP的长为6.5或30区.

【分析】根据勾股定理得到AB=712?+182=6g,AD=V4C2+CD2=13,当于

8C相切时，点。到8c的距离=6,过，作P”_L8C于〃，则〃，=6,当。。于A8相

切时，点〃到48的距离=6,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：..•在RIA48C中，NC=90",AC=\2,8Q+CO=I8,

：.AB=V122+182=6V13,

在Rlz^AOC中，ZC=90°,AC=12,CD=5,

：,AD=>JAC2+CD2=13,

当OP于BC相切时，点P到BC的距离=6,

过P作PHLBC于H,

则PH=6,

VZC=90°,

：.ACVBC,

：.PH//AC,

:.△DPHs^DAC,

.PDPH

"'DA~~AC'

.PD6

••,

1312

:.PD=65,

，"=6.5：

当OP于A8相切时，点〃到4B的距离=6,

过，作PGLAB于G,

则PG=6,

•.•AO=8O=13,

.•.N/XG=N8,

•：NAGP=NC=90°,

：.△AG/>s/\8C4,

•_AP_P_G

••_=9

ABAC

.AP6

**6x^13-12，

A4P=3x/l3,

VCD=5<6,

.•・半径为6的OP不与aABC的AC边相切，

综上所述，AP的长为6.5或3旧，

故答案为：6.5或3d.

【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正

确切线的性质是解题的关键.

30.如图，F，P8是。。的切线，A,8为切点，NCM8=38°,则//>=76°.

【分析】由切线的性质得出以=。从PAIOA.得出/OAP=90°.由

已知得出/PB4=N%3=90°-NOA3=52°,再由三角形内角和定理即可得出结果.

【解答】解：•・•一,P8是0。的切线，

:.PA=PB,B4_LOA,

：.ZPAB=ZPBA,/OAP=90°,

.../P8A=N*8=90°-NOA4=90°-38°=52°,

/.ZP=180°-52°-52°=76°；

故答案为：76.

【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内

角和定理；利用切线的性质来解答问题时，解此类问题的一般思路是利用直角来解决问

题.

三.解答题（共10小题）

31.如图，C。是00的直径，A8是00的弦，AB1CD,垂足为G,OG：OC=3：5,AB

=8.

（1）求0O的半径；

（2）点E为圆上一点，ZECD=15°,将在沿弦CE翻折，交CD于点F,求图中阴影

部分的面积.

【分析】（1）根据人8_LCQ,垂足为G,OG：0。=3：5,A8=8,可以求得。。的半径；

（2）要求阴影部分的面枳只要做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数、扇形的而积

和三角形的面积即可解答本题.

【解答】解：（1）连接人0,如右图1所示，

为OO的直径，AB1CD,A8=8,

：.AG=lAB=4,

FOG：0C=3：5,ABICD,垂足为G,

••・设0O的半径为5k,则0G=3k,

/.（Rk）2+42=（SAO2.

解得，A=1或七=-1（舍去）,

,54=5,

即。。的半径是5；

（2）如图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点”的对应点为W,

VZECD=15°,由对称性可知，NOCM=30°,S阴影=S，；形CBM

连接0M,则NMOO=60°,

••・/M0C=120°,

过点M作MNLCD于点N,

.,.MN=MO・sin60"=5乂*=竽，

.c0120X7TX521_57325n25&

•.3阴影=3方形OMC-〃0MC=----360-------2X5X--------^―，

即图中阴影部分的面积是：-.

34

图1

【点评】本题考查垂径定理、扇形的面积、翻折变换，解题的关键是明确题意，找出所

求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题.

32.如图，00中，弦与。。相交于点E,AB=CD,连接A。、BC.

求证：(1)Af)=RC：

【分析】(I)由A8=C。知肪=口，即而+扉=就1+检，据此可得答案：

(2)由丽=觉知AO=BC,结合NADE=/C8E,/OAE=/8CE可证△AOEgZXCBE,

从而得出答案.

【解答】证明(1)\'AB=CD,

：.AB=CD,即而+衣=就+宿

AAD=BC；

(2)由(1)知而=BC,

：,AD=BC,

"：AC=AC,BD=BD,

；.NAQE=NCBE,NDAE=NBCE,

：.^ADE^^CBE(.ASA),

：.AE=CE.

【点评】本题主要考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关

系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三

项“知一推二”，一项相等.其余二项皆相等.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等

弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

33.如图，在△八8。中，。是边8。上一点，以8。为直径的OO经过点人，且NC/1O=N

ABC.

（1）请判断直线人c是否是OO的切线，并说明理由：

（2）若。0=2,CA=4,求弦八8的长.

【分析】（I）如图，连接。八，由圆周角定理可得/切。=90°=ZOAB+ZOAD,由等

腰三角形的性质可得NO/1B=NC/IO=NA8C,可得NO4c=90°,可得结论：

（2）由勾股定理可求0/1=0。=3,由面积法可求人E的长，由勾股定理可求八8的长.

【解答】解：（1）直线AC是。。的切线，

理由如下：如图，连接04,

,.•6。为。。的直径，

AZBAD=90a=ZOAB+ZOAD,

♦：OA=OB,

：.ZOAB=ZABC.

又,.,NC4O=NA8C,

:.ZOAB=ZCAD=NABC,

.•・/OA£>+/CA£)=90°=ZOAC,

：.AC±OA,

又・・・O1是半径，

.,・直线AC是OO的切线：

(2)方法一、过点A作AE_L8。于E,

■:OC~=A(T+4。-,

(OA+2)2=]6+04)

：.0A=3,

：.0C=5,BC=8,

11

・：S*)AC=IxOAXAC=IxOCXAE,

.人厂3x412

・.心丁=可，

/-------

：.OE=7AO2

:.BE=BO+OE=F，

.ACy口2上A021576,1441275

..AB=7BpEz+AEz=+=5.

方法二、'：ZCAD=ZABC,ZC=ZC,

CDACAD

AC~BC~AB'

24AD

4~BC~BA'

:.BC=8,AB=2AD,

.•.8/)=6,

\'AB2+AIT=BD1,

••・5A£>2=36,

6/5

.'.AD=廿

,AB=2AD=^^-.

【点评】本题考杳了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，求圆的半径是本题

的关键.

34.如图，四边形A3C。内接于圆，NA3C=60°,对角线4Z)平分乙4OC.

(I)求证：△A4C是等边三角形;

（2）过点8作3E〃CO交DA的延长线于点£若人。=2,DC=3,求△BOE的面积.

【分析】（I）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断：

（2）过点A作4瓦LCD,垂足为点E,过点8作协工AC,垂足为点尸.根据S网成形"⑺

=S“BLS.ACD，分别求出△"（?,AACD的面枳，即可求得四边形ABCD的面积，然

后通过证得△EABqaOCAAAS）,即可求得的面积=四边形A8CO的面积=等.

【解答】（1）证明：•.•四边形ABC。内接于圆.

AZABC+ZADC=\SO0,

VZABC=60a,

AZADC=120°,

VOB平分NADC,

，NADB=NCDB=60°,

AZACB=ZADB=60a,NBAC=NCDB=60",

:.ZABC=ZBCA=NBAC,

.'.△ABC是等边三角形.

（2）过点A作八M_LCD,垂足为点M,过点8作BN_LAC垂足为点M

，NAMO=90°,

VZADC=120°,

•••/AOM=60°,

•••/。人M=30°,

/.DM=14D=1.AM=y/AD2-DM2=x<22-12=0,

,:CD=3,

:.CM=CD+DM=1+3=4,

*,«5AXCD=ICD*AM=1x3x\^=挈

乙乙乙1

R5MC中，ZAMD=90i，

：.AC=\/AM24-CM2=VTT16=屈,

「△ABC是等边三角形，

也

1竽

-X=

22

...四边形ABCD的面积=竽+孥=笨，

\'BE//CD,

-,.ZE+Z>4DC=180o,

VZADC=\20°,

AZE=60°,

：.4E=4BDC,

'：四边形ABCD内接于。0,

；./EAB=NBCD,

在△EAB和△OCB中，

NE=乙BDC

乙EAB=Z.DCB,

AB=BC

.,.△E4的△OCB(A4S),

・•・△BOE的面积=四边形ABCD的面积=今色.

【点评】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形

的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中

考常考题型.

35.如图1,OO的半径为〃”>0),若点P'在射线OP上，满足OP'・OP=J,则称点

P,是点尸关于。。的“反演点”.

如图2,OO的半径为4,点8在。。上，N8OA=60°,0A=8,若点从'，B'分别

是点A,8关于。0的反演点，求八'B'的长.

图1图2

【分析】设04交O。于C,连结夕C,如图2,根据新定义计算出OV=2,OB'

4,则点八'为0。的中点，点8和夕重合，再证明△0