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中国 石油大学 华东 数值 分析 习题 答案

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内容简介：

第 3 章 数值逼近 参考答案 第 3 章 数值逼近 参考答案 一、选择题（15 分，每小题 3 分) 1、(3) 2、(2) 3、(1) 4、(2) 5、(2) 二、填空题（15 分，每小题 3 分） 1、10；2、2；3、fx ( )；4、221n+ +；5、( )( )f xp x 三、（12 分） 解：（1） 31230230130120 1 02 0310 12 1 320 2 1 2330 3 1 32()()()()()()()()()()()()( )()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxL x=+=+ 32482133xxx=+=+ -（5 分） （2）均差表：011329327 2618 26 43 -（8 分） 341221123( )()()()Nxxx xx xx= += +-（10 分） 31 51 55( . )( . )fN= - （12 分） 四、（14 分） 解：214( )( )()()H xNxkx xx=+=+,其中221171666( )()Nxxx xxx= += +为不考虑导数条件的 2 次牛顿插值多项式。 -（3 分） 代入导数条件21111329( )( )HNkk= =（2546( )N = =） -（5 分） 21149( )( )()()H xNxx xx=+=+ - （7 分） 设214( )( )( )( ) () ()R xf xH xk x x xx= -（9 分） 令214( )( )( )( ) () ()g tf tH tk x t tt=， -（10 分） 1则( )g t有 4 个互不相同的根,0,1,2;ix ix= =，（ixx ，否则结论显然成立） 且10( )g=， 故由罗尔定理( )g t 有 4 个互不相同的根， 以此类推， 则存在 使得40( )( )g = =，即有4440( )( )( )( )( ) !gfk x=44( )( )( )!fk x =-（13 分） 因此42144( )( )( )( )( )() ()!fR xf xH xx xx =。-（14 分） 五、（12 分） 解：不超过2n 次的多项式g x( )和h x( )分别满足 11iig xf xin=()(),，2iih xf xin= =()(),， 于是可设待求插值多项式为 1q xg xA h xg xxx=+=+( )( )( ( )( )() -（3 分） 显然q x( )为次数不超过1n 次的多项式，且满足 1 21iiiq xg xf xin= =()()(), ,L 利用nnq xf x= =()()，即 1nnnnng xA h xg xxxf x+ +=()( ()()()()-（6 分） 得()()111nnnnnnfxg xAh xg xxxxx=()( ()()()nnh xf x= =( ()()-（9 分） 故 11111nnnnxxxxxxq xg xh xg xg xh xxxxxxx =+=+=+=+( )( )( ( )( )( )( ). -（12 分） 六、（10 分） 解 ： 设1 12212xcxcxcc x =+=+=+=+( )( )( )，( () )( ()() ()()()() ()()()111121221222cfcf =,，-（2分） ()()11101dx = ,，()()112012xdx = ,，()()1222013x dx = = = ,，-（4分） ()()1101fx dxe = ,exp( )，()()1201fxx dx = = = ,exp( )-（6分） 1211 211 21 31cec=，-（8分） 2 120 87311 690cc=.,( )( )( () )4101860 8731 1 6903xee xx =+=+=+=+.-（10分） 七、（12 分） 解：21011002001221001102xxxxxxxxxxxpxf xfxf xxxxxxx+= += +()()()()()( )()()()()()() 则200200211pxf xpxfxpxf x=()(),()(),()(),且2f xpxr x= =+ +( )( )( ), 所以r x( )是( )f x关于二次多项式2( )p x的插值余项，即2( )( )( )r xf xpx=。 对于任意的 , xa b，若0xx=或1xx=,则( )0r x =； 若0xx，1xx，则作辅助函数 2201201r xF tf tp ttxtxta bxxxx=( )( )( )( )() (), , () () 得0100F xF xF xFx=()()( )()，且( )F t在 , a b上有三阶导数，则函数( )F t在 , a b上有三个不同的零点01,xx x。由罗尔定理知，F t ( )在 , a b上不同于01,xx x且互不相同的零点，又00Fx = =()，则( )F t在 , a b上至少有三个互异的零点，那么Ft ( )在 , a b上至少有两个，Ft ( )在 , a b， 则由2201210r xFtftpxtxtxxxxx=( )( )( )( )() ()()() 得20130r xfxxxx =( )( )!() ()，即2013xxxxr xf =() ()( )( )!。 总之，对于任意的 , xa b，存在( , )a b，使得2013fr xxxxx =( )( )() ()!。 八、（10 分） 证明：以xa xb=,为基点进行线性插值，得： 112xbxaxaxbf xp xRxf af bfabba =+=+=+=+()()( )( )(