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中国 石油大学 华东 数值 分析 习题 答案

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内容简介：

第 2 章 非线性方程（组）的数值解法 第 2 章 非线性方程（组）的数值解法 一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分) 1、 已知方程3250xx=在区间2 3 , 存在唯一正根， 若用二分法计算， 至少迭代 （ ）次可以保证误差不超过31102 。 (1) 5； (2) 7； (3) 10； (4) 12。 2、已知求方程0( )f x = =在区间 , a b上的根的不动点迭代为10 1 2(), , ,kkxxk + += = =L，对于其产生的数列kx，下列说法正确的是（ ） (1) 若数列kx收敛，则迭代函数( )x 唯一； (2) 若对1 , ,( )xa bx ，则kx收敛； (4)若1 , ,( )xa bxL ，则 kx收敛。 3、若迭代法122 23kkkxaxx+ +=+=+收敛于2，且要求收敛阶尽量高，则a的值为（ ）。 (1) 13； (2) 23； (3) 13； (4) 23。 4、求方程根的二分法的收敛阶为（ ） （1）线性收敛；（2）超线性收敛；（3）平方收敛；（4）局部平方收敛。 5、解非线性方程( )0f x = =的牛顿迭代法的收敛阶为（ ）。 （1）线性收敛；（2）局部线性收敛；（3）平方收敛；（4）局部平方收敛。 二、填空题（每小题 3 分，共计 15 分） 1、若使迭代公式2125kkkkqaraxpxxx+ +=+=+产生的序列收敛到3a，并使其收敛阶尽可能高， 则常数, ,p q r的值分别为_。 2、设函数( )f x在区间 , a b上有足够阶连续导数， ,pa b 为( )f x的一个m重零点，则迭代公式1()()kkkkf xxxmfx+ +=的收敛阶至少是_ _。 13、求方程根的割线法的收敛阶为_ 。 4、设向量函数32222( , )xyF x yxxy=+=+，则其导函数在点1 2( , )值1 2( , )F = = 。 5、求5的 Newton 迭代格式为 。 三、（12 分）已知方程220sinxx=在12 2 , 内存在唯一根，（1）试建立一种收敛于方程根的迭代方法， 并说明收敛的理由； （2） 写出相应的 Steffenson 迭代格式， 并以01 5.x= =为初值迭代一步。 四、 （12 分）应用牛顿法于方程0nf xxa= =( )和10naf xx= = =( )，分别导出求na的迭代公式，并求极限12nkknkaxax+lim()。 五、（12）方程3680xx =在3x= =附近有根，把方程写成三种不同的等价形式(1)368xx=+=+对 应 迭 代 格 式3168nnxx+ += =+ +； (2)86xx= =+ +对 应 迭 代 格 式186nnxx+ +=+=+；(3)358xxx=对应迭代格式3158nnnxxx+ += =。判断迭代格式在03x= =的收敛性，选一种收敛格式计算3x = =附近的根，精确到小数点后第二位。 六、（12 分）对于下列两个方程，（1）4xxx+=+=cossin，（2）42xx = = ，问能不能用迭代 法求解？如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式，并说明理由。 七、（12 分）考虑下述修正的牛顿迭代公式： 10nnnnnnnnnf xf xf xf xxxDnDf x+ +=+=()()(),() 假定0fx ()，证明它对单根是一个二阶方法。 八、（10 分）设3xxx =+=+( )，0x= =为x ( )的一个不动点，验