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中国 石油大学 华东 数值 分析 习题 答案

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内容简介：

第 6 章 线性方程组迭代解法 第 6 章 线性方程组迭代解法 一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分) 1、设Axb= =的系数矩阵122111221A= = ，若用雅可比法和高斯-赛德尔法求解，则下列说法正确的是（ ） （1）两者都收敛；（2）两者都发散；（3）前者收敛，后者发散；（4）前者发散，后者收敛。 2、用一般迭代法(1)( )kkxBxg+ +=+=+求解方程组Axb= =的解，则当（ ）时，迭代收敛。 （1）方程组系数矩阵A对称正定；（2）方程组系数矩阵A严格对角占优； （3）迭代矩阵B严格对角占优；（4）迭代矩阵B的谱半径( )1B =，故此迭代发散； （4）迭代矩阵B的谱半径( )1B ，故此迭代发散。 4、若线性代数方程组Axb= =的系数矩阵A为严格对角占优阵，若用雅可比法和高斯-赛德尔法求解，则下列说法正确的是（ ） （1）两者都收敛；（2）两者都发散；（3）前者收敛，后者发散；（4）前者发散，后者收敛。 5、 若线性代数方程组Axb= =的系数矩阵A为对称正定矩阵， 则下列说法正确的是 （ ） （1）雅可比法收敛；（2）高斯-赛德尔法收敛；（3）雅可比法和高斯-赛德尔法均收敛； （4）SOR 迭代法收敛。 二、填空题（每小题 3 分，共计 15 分） 1、设10102aA=，要使lim0kkA= =，a应满足的条件是_ _。 12、若用高斯-赛德尔法解方程组1212423xaxaxx+=+=+ += = ，其中a为实数，则该方法收敛的充要条件 是a应满足_ _。 3、给定方程组121122xaxbaxxb=+=+=，a为实数，当a满足_且02 时，SOR 迭 代法收敛。 4、设求解线性代数方程组Axb= =的雅可比法的迭代矩阵为B，且12( )B = =，若改用 SOR 迭代法计算，则最佳松弛因子 = = 。 5、 设实对称正定方程组Axb= =， 其中()n nijAaR =， 二次函数12( )(, )( , )xAx xb x =，则( )x = 。 三、（9 分）对于下面的迭代矩阵B，判断迭代法1kxBxf = =+ +的是否收敛。 （1）0 90 30 00 5.B=；（2）1 10 30 41 2.B = ； （3）0 90 30 00 8.B = 。 四、（14 分）已知方程组Axb= =，其中122111221A = ，123b = ， （1）写出该方程组的 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式； （2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快； （3）写出相应的 SOR 迭代法的分量形式（取1 5 . = =）。 五、（10 分）设 n 阶矩阵 B 的谱半径( )1B，但 B 有一个特征值，其模1。证明：存在初始向量(0)x，使得迭代法(1)( ),0,1,2,kkxBxgk+=+=L得到的向量序列收敛到方程xBxg=+的唯一解*x。 六、（12 分）用共轭梯度法求解方程组123210113110143xAxxbx = = = = ，初始近似向量取为()Tx0 , 0 , 0)0(=。 七、（10 分）设 H 为 n 阶实对称矩阵，A 为 n 阶正定矩阵，AHAH正定，证明：迭代格 2式()1( ),0,1,2,kkxHxbk+=+=L对任意初始向量(0)x都收敛。 八、 （15 分） 设方程组Axb=的系数矩阵n nAR非奇异，ADLU=， 其中D, L, U分别是 A 的对角阵、严格下三角阵和严格上三角阵，D 非奇异。 (1) 写出 Jacobi 迭代法的迭代矩阵B，并证明其特征方程为( () )0detDLU =； (2) 写出 Gauss-Seidel 迭代法的