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中国 石油大学 华东 数值 分析 习题 答案

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内容简介：

第 9 章 常微分方程初值问题数值方法 参考答案 第 9 章 常微分方程初值问题数值方法 参考答案 一、选择题（15 分，每小题 3 分) 1、(2) 2、(3) 3、(4) 4、(2) 5、(3) 二、填空题（15 分，每小题 3 分） 1、0( , , )( , )x yf x y = =；2、( 2,0) ；3、11100kkkka rara ra+ +=+=L； 4、0,Redyydx=；5、2 三、（10 分） 解：Euler 预报校正法 01011110 2 20 40 80 1 220 160 20 82( )( ). (). ().nnnnnnnnnnnnnnnyyxyxyyyxyxyxxy+=+=+=+=+=+=+=+=+-（3 分） 10 20 2 0 20 82 10 86( . ).yy=+ =+ = -（4 分） 经典的四阶龙格库塔法 1123412132430 2226220 10 120 10 120 20 2.()(. )(.)(. )(.)(. )(.)nnnnnnnnnnyykkkkkxykxykkxykkxyk+ +=+=+=+=+=+=+=+=+-（8 分） 12341 50411 55371 54871 5943.;.;.;.kkkk= 10 20 8562( . ).yy=-（10 分） 四、（12 分） 解：设阻力为fkv= =，由题意知35358.86k =，-（2 分） 根据力学知识建立其数学模型为 909058 805012.( )dvgvtdtv=，即9 89 80515012.( )dvvtdtv= =，-（7 分） 相应的欧拉公式为19 89 8115.( .),nnnvvhvh+ +=+=+=，-（9 分） 计算结果为 1 t 0 1 2 v 12 13.96 14.6395 -（12 分） 五、（12 分） 解：该初值问题的精确解为212( )y xaxbx=+=+，只需证明每一步的迭代值等于对应的精确值即()nnyy x= =。-（2 分） 由题意知0( , ),0f x yaxb x=+=+=，令nxnh= =，则21()2nnny xaxbx=+=+，-（5 分） 11122 (,)(,(,)nnnnnnnnnnnhhyyf xyf xyhf xyyaxbaxb+=+=+=+=+， 212122nnnnahahyxxhbynhb+ +=+=+=+=+，-（8 分） 由上式递推得到 22122021212322221233 12()()()nnnahahyynhbynnhbahynnnhb=+=+ +=+ + +=+=+ +=+ + +LL，-（10 分） 即22122()()nnnna nhynhbxbxy x=+=+=+=+=。-（12 分） 六、（12 分） 解：梯形公式为1112 (,)(,)nnnnnnhyyf xyf xy+=+=+，( , )f x yy= = -（2 分） 111122nnnnnnnnhhyyyyyyyy+=+=+=+=+ -（5 分） 从而得到递推公式2120222222nnnnhhhyyyyhhh=+=+L，01y = =-（7 分） 所以22nnhyh=+=+，-（9 分） 由题设知此处xnh= = 2222200002221222limlimlimlimxhhxnhhh hxnhhhhhhhyehhh+ + +=+=+。-（12 分） 七、（14 分） 证明：局部截断误差为 11112()()(, ()(, ()nnnnnnnhTy xy xf xy xf xy x+=+=+ -（2 分） 2341232()()()()()()()()!nnnnnnnhhhy xhy xyxyxO hy xy xy x =+=+ -（5 分 ） 2342323222()()()()()()()!()()()()!nnnnnnnnnhhhy xhy xyxyxO hy xy xhhy xhyxyxO h=+=+-（8 分） 23341122234()()()()()()()!nnnhhhhy xyxyxO h=+=+ -（10 分） 因此有102210=+=+=31= = -（12 分） 局部截断误差主项为3512()nhyx ，该方法是 2 阶的。 -（14 分） 八、（10 分） 证明：记0,ibahxaihinn=+=+ 将原方程两边在区间1,nnxx+ +上积分得11()()( , ( )nnxnnxy xy xf x y x dx+ + +=+=+ ，-（2 分） 以nx和1nx 为插值节点作( , ( )f x y x的一次插值多项式， 111111( )(, ()(, ()nnnnnnnnnnxxxxL xf xy xf xy xxxxx=+=+-（4 分）分） 代入前式 111()()( )nnxnnxy xy xL x dx+ + + 31111111()(, ()(, ()nnnnxxnnnnnnnxxnnnnxxxxy xf xy xdxf xy xdxxxxx+ =+=+1132()(, ()(, ()nnn