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中国 石油大学 华东 数值 分析 习题 答案

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第 9 章 常微分方程初值问题数值方法 第 9 章 常微分方程初值问题数值方法 一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分) 1、改进的 Euler 法的整体截断误差是（ ） (1) ( )O h；(2) 2()O h；(3) 3()O h；(4) 4()O h。 2、经典的四阶龙格库塔公式的局部截断误差是( )。 (1) 3()O h；(2) 4()O h；(3) 5()O h； (4) 6()O h。 3、 设112(,)nnnnyyhf xy+=+=+是求解常微分方程初值问题00( , )()yf x yy xy =的数值公式， 对于该迭代公式，下列说法正确的是（ ） (1) 单步一阶；（2）多步一阶；（3）单步二阶；（4）多步二阶。 4、对于常微分方程初值问题00( , )()dyf x ydxy xy=，下列说法错误的是（ ） (1)隐式方法要比显式方法稳定性要好； (2)N级显式龙格-库塔方法的局部收敛阶可以达到1N + +； (3)N级隐式龙格-库塔方法的局部收敛阶可以达到2N； (4) 如果( , )f x y满足对y的李普希兹（Lipschitz）条件，则龙格-库塔方法一定收敛。 5、求解常微分方程初值问题的中点公式12121(,)11(,)22nnnnnnyyhkkf xykf xh yhk+ +=+=+=+=+的局部截断误差为 （1）( )O h；）（2）2()O h；（3）3()O h；（4）4()O h。 二、填空题（每小题 3 分，共计 15 分） 1、 设00( , )()dyf x ydxy xy=的显式单步法为1(, )nnnnyyhxyh + += =+ +， 如果该方法与初值问题相容，则增量函数 满足条件_ _。 2、Euler 方法的绝对稳定区间为 _。 3、k阶齐次线性差分方程111100kn kkn knna yaya ya y+ + +=+=L的特征方程是 _ _。 14、用于检验求解常微分方程初值问题的数值方法稳定性的实验方程是 。 5、求解常微分方程初值问题的梯形方法的局部收敛阶为 。 三、（10 分）对于一阶微分方程初值问题201( )dyxydxy = =，取步长0 2 .h = =，分别用 Euler 预报校正法和经典的四阶龙格库塔法求0 2( . )y的近似值。 四、（12 分）某伞兵与降落伞质量为90kg，当伞张开时以12/m s速度垂直下降，假设空气阻力与伞的下降速度成正比，在速度为6/m s时，测得的空气阻力为353N（牛顿），试用欧拉方法求伞兵开伞后，第 1 秒末、第 2 秒末时各时刻的速度。 五、（12 分）证明改进的欧拉方法能够准确地求解初值问题00( )dyaxbdxy = =+=+=。 六、（12 分）对于初值问题01( )dyydxy= = = = ，证明：用梯形公式求得的数值解为22nnhyh=+=+，证明当步长0h时，ny收敛于初值问题的精确解( )xy xe = =。 七、（14 分）用二步法1112(,)(,)nnnnnnhyyf xyf xy+=+=+求解一阶常微分方程初值问题00( , )()yf x yy xy = =，问：如何选择参数, 的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。 八、（10 分）考虑常微分方程初值问题( , )()( )dyf x y