函数的求导法则

函数的求导法则Tag内容描述：<p>1、一、函数的和、差、积、商的 三、复合函数的求导法则 四、初等函数的求导问题 二、反函数的求导法则 第二节 函数的求导法则 求导法则 定理1 并且 则它们的线性组合、积、商 在点 x处也可导, 一、函数的线性组合、积、商的求导法则 证则由导数的定义有 证(3) 推论 注意: 例 解 例 解 例 解 同理可得 即 例 解 同理可得 即 解 法一 法二 注 在进行求导运算中, 且也能提高结果的准这样使求导过程简单, 尽量先化简再求导, 确性. 用求导法则与用定义求导数时, 结果有时不一致, 这是为什么?如已知 无意义, 解 所以,不存在. 上述解法有问题吗? 注。</p><p>2、上页下页返回 2.2 函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、复合函数的求导法则 三、反函数的求导法则 四、基本求导公式及求导法则 上页下页返回 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1 并且 在点 x处也可导.则它们的和、差 证 2.2 函数的求导法则 上页下页返回 定理2 并且 则它们的积 在点 x处也可导. 定理1可推广到多个函数的情形. 证 2.2 函数的求导法则 上页下页返回 推论 ( C为常数 ) 2.2 函数的求导法则 上页下页返回 定理3 则它们的商在点 x处也可导.并且 证 2.2 函数的求导法则 上页下页返回 特别地， 2.2 函。</p><p>3、三角函数的求导公式是什么？ 数学 作业 收藏 转发至天涯微博悬赏点数 109个回答crystalzjyu2009-03-28 14:18:39三角函数的求导公式是什么？回答回答skoou2009-03-28 14:18:48(sinX)=cosX;(cosX)=-sinX;(lnX)=1/X;(logaX)=1/Xlogae 。</p><p>4、Ch4.3Ch4.3 复合函数的求导法则及应用复合函数的求导法则及应用 一、复合函数的求导法则 四、由极坐标方程确定的函数的导数 二、隐函数的导数 三、由参数方程确定的函数的导数 将求导公式化！将求导公式化！ 一、复合函数的求导法则 定理(链式法则) 即 因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量 求导，乘以中间变量对自变量求导. 1. 复合函数求导的链式法则 证 * 注 2) 多层复合的情形 例1 求下列函数的导数 解 1. 在求复合函数导数时关键是搞清复合结构, 然后如同锁链一样,需由表及里一层一层地 求导,一直求到最里面,不能漏掉任何一层, 。</p><p>5、第二节 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、函数的和、差、积、商求导法则 函数的求导法则 第二章 1.1.导数定义：导数定义： 4.4.求导法则：求导法则： 复习 2.2.导数的几何意义：导数的几何意义：曲线上该点处切线的曲线上该点处切线的斜率斜率. . 3.3.可导的可导的几何意义：几何意义： 曲线曲线在在存在存在不垂直于不垂直于轴的轴的切线切线. . （注意使用条件）（注意使用条件） 5.5.反函数的求导法则：反函数的求导法则： 请熟记以下公式 现在看：现在看： 函数函数对 对 x x 可导，可导， 函数。</p><p>6、链式法则 第四节 复合函数的求导法则 证 情形一:中间变量为一元函数 定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 以上公式中的导数 称为全导数全导数. . 情形二: 中间变量为多元函数 链式法则如图示 情形三:中间变量既有一元函数,又有多元函数 z=f(x,y), x=u(s,t) ,y=v(t) ,则 特殊地 即 令 其中 两者的区别 区别类似 解 解 解令 记 同理有 于是 链式法则（分三种情况） （特别要注意课中所讲的特殊情况） 二、小结 思考题 思考题解答 练 习 题 练习题答案。</p><p>7、2.2 复合函数的求导法 则（续） 第二章 导数与微分 1 1. 常数和基本初等函数的导数公式 一、基本求导法则与导数公式 2 2. 函数的线性组合、积、商的求导法则 都可导, 则 3. 反函数的求导法则 或 且 ,)()1(vuvu +baba .)()2(vuvuvu + ).0()3( 2 v v vuvu v u ,内也可导 x I 3 4. 复合函数的求导法则 初等函数的导数仍为初等函数.注 利用上述公式及法则初等函数求导问题 可完全解决. 4 例 解 5 例 ysinnx sinn x (n为常数) 求y n sinn1xsin(n+1)x ncos nxsinn x+n sinn1xcos x (sin x)nsinn1x +sin nx sinn xncos nx + sin nx (sinn x)(sin 。</p><p>8、复合函数的 求导法则 高二数学 选修2-2 第4章 导数及其应用 一、复合函数的求导法则 1、引例 (1)求 的导数 解1 解2 因为 所以 解1是错误的。 因为 是基本初等函数，而 是复 合函数。 (2)求y=lnsinx的导数 ? 2、法则5 设 ，且 在点 处可导， 在相应点 处可导。则函数在点 处也可导， 且 或 记作 证： 设自变量 在点 处取得改变量 ，中间变量 则取得相应改变量 ，从而函数 取得改变量 。当 时， 有 因为 在 处可导，从而在 处必连续， 所以当 时， 。因 此 于是得 即 当 时，可证上式亦成立。 求 的导数 因为 于是 解：设则 二、举例 (A) 例。</p><p>9、河海大学理学院高等数学 高高 等等 数数 学学 ( (上上 ) ) 河海大学理学院高等数学 第二章 导数与微分 高等数学（上） 河海大学理学院高等数学 一、复合函数的求导法则 定理1 (链式法则)如果 在点 x 处可导，而函数 在对应的点 u 处可 导，则复合函数 在点 x 处可导 ，且 第二节 2 复合函数的求导法则 反函数的求导法则 或或 河海大学理学院高等数学 例1 ，求 . 解 令 ，则 故 推广 河海大学理学院高等数学 例2 ，求 . 解 河海大学理学院高等数学 例例3 3 , ,求求 例例4 4 , , 求求 例例5 5 , , 求求 河海大学理学院高等数学 例7 解 河海。</p><p>10、下页 上页下页首页 定理1 如果函数u(x),v(x)在点x可导,则它们的和、 差、积、商(分母不为零)在点x也可导,且 一、和、差、积、商的求导法则 上页下页首页 此法则可推广到任意有限项的情形. 设f(x)=u(x)+v(x) , 则证(1) 上页下页首页 (2) 证: 设则有 推论:( C为常数 ) 上页下页首页 (3) 上页下页首页 例1 解 例2 解 上页下页首页 例3 解 同理可得 上页下页首页 例4 解 同理可得 例5 解 同理可得 上页下页首页 例6 解 上页下页首页 上页下页首页 定理2. 设y=f(x)是x=f -1(y)的反函数, x=f -1(y) 在 y 的某邻域内单调可导, 且f -1(y)0,则则 证。</p><p>11、螃肀节蚆袅芅膈蚅肇肈薇蚄螇莃蒃蚃衿膆荿蚂羁莂芅蚂肄膅薃螁螃羇葿螀袆膃莅蝿羈羆芁螈螈膁芇螇袀肄薆螆羂艿蒂螆肅肂莈螅螄芈芄袄袇肁薂袃罿芆蒈蒀蚈蚆羂葿莈袂羈肅薀螅袄肄蚃羀膂肃莂螃肈肃蒅羈羄肂薇螁袀膁虿薄腿膀荿蝿肅腿薁薂肁膈蚄袈羇膇莃蚀袃膇蒆袆膁膆薈虿肇膅蚀袄羃芄莀蚇衿芃蒂袃螅节蚄蚅膄节莄羁肀芁蒆螄羆芀蕿罿袂艿蚁螂膁芈莁薅肇莇蒃螀羃莆薅薃衿莆芅蝿袅莅蒇蚁膃莄薀袇聿莃蚂蚀羅莂莂袅袁蒁蒄蚈膀蒀薆袃肆蒀蚈蚆羂葿莈袂羈肅薀螅袄肄蚃羀膂肃莂螃肈肃蒅羈羄肂薇螁袀膁虿薄腿膀荿蝿肅腿薁薂肁膈蚄袈羇膇莃蚀袃膇蒆袆膁膆薈虿。</p><p>12、1,一、和、差、积、商的求导法则,二、反函数的导数,三、复合函数的求导法则,四、初等函数的求导问题,五、小结及作业,第二节 函数的求导法则,2,导数概念的回顾,2、导数几何意义,3、求导公式,1、导数的定义,3,4,定理,一、和、差、积、商的求导法则,5,证（3）,证(1)、(2)略.,6,7,推论,如,8,例1,解,例2,解：,因为,所以,.,9,例3,解,同理可得,因此,10,例4,解,同理可得,因此,11,12,例6,解,13,于是,所以,14,定理,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,连续函数的性质：,问题：,可导函数的反函数是。</p><p>13、1,函数的线性组合、积、商的求导法则,小结 思考题 作业,第二节 函数的求导法则,第二章 导数与微分,反函数的求导法则,基本求导法则与导数公式,复合函数的求导法则,2,定理1,并且,则它们的线性组合、积、商,在点 x处也可导,一、函数的线性组合、积、商的求导法则,3,证,则由导数的定义有,4,证,由乘积的导数:,得,故,特别,即,5,推论,且,6,例,解,例,解,7,例,解,同理可得,即,8,例,解,同理可得,即,9,练习,解,法一,法二,注,在进行求导运算中,且也能提高结果的准,这样使求导过程简单,尽量先化简再求导,确性.,10,?,用求导法则与用定义求导数时, 结果有。</p><p>14、2.1.2 函数的求导法则,一、函数和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、小结,一、和、差、积、商的求导法则,定理,所以f(x)在点x处可导，且,类似的，可以得,，,因此得函数的和、差的求导法则：两个可导函数之和 （之差）的导数等于这两个函数的导数之和（差）。,这个法则可以推广导任意有限项的情形。,积的求导法则,证明：由导数定义与极限法则，有,其中，,是因为,存在，从而,在x处连续。,所以， 在点x处可导，且,，简记,因此得函数积的求导法则：两个可导函数 的乘积的导数等于第一个因子的导数与第 。</p><p>15、第二节,二、反函数的求导法则,三、复合函数求导法则,四、初等函数的求导问题,一、四则运算求导法则,函数的求导法则,思路:,( 构造性定义 ),求导法则,其它基本初等函数求导公式,证明中利用了 两个重要极限,初等函数求导问题,本节内容,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和,例题 .,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:,设, 则,故结论成立.,例如,(2),证: 设,则有,故结论成立.,v (x)可导, 因此连续, 有,推论:,( C为常数 ),同理:,(3),证: 设,则。</p><p>16、1,一、和、差、积、商的求导法则,二、反函数的导数,三、复合函数的求导法则,四、初等函数的求导问题,五、小结及作业,2,一、和、差、积、商的求导法则,定理,3,证(3),证(1)、(2)略.,4,5,推论,6,例1,解,例2,解,7,例3,解,同理可得,8,例4,解,同理可得,9,10,例6,解,11,12,二、反函数的导数,定理,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,13,证,于是有,14,15,例2,解,同理可得,16,同理可得,17,例2,解,特别地,18,三、复合函数的求导法则,定理,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),19,证,20,推广,。</p><p>17、2019年5月24日星期五,1,第二节 函数的求导法则,第二章,三、反函数的求导法则,二、函数的和、差、积、商的求导法则,一、问题的提出,四、复合函数的求导法则,五、小结与思考题,2019年5月24日星期五,2,一、问题的提出,2019年5月24日星期五,3,2. 利用导数的定义得出以下导数公式：,2019年5月24日星期五,4,但是，对于比较复杂的函数，,直接根据定义求它,们的导数往往很困难.,例如，求下列函数的极限：,为此，我们有必要研究一下函数的求导法则！,2019年5月24日星期五,5,二、函数的和、差、积、商的求导法则,定理1,的和、,差、,积、,商 (除分母,。</p><p>18、2019/5/24,1,第二节 函数的求导法则,第二章,三、反函数的求导法则,二、函数的和、差、积、商的求导法则,一、问题的提出,四、复合函数的求导法则,五、小结与思考题,（The Rule of Derivation）,2019/5/24,2,一、问题的提出（Introduction）,2019/5/24,3,2. 利用导数的定义得出以下导数公式：,2019/5/24,4,但是，对于比较复杂的函数，,直接根据定义求它,们的导数往往很困难.,例如，求下列函数的导函数：,为此，我们有必要研究一下函数的求导法则！,2019/5/24,5,二、函数的和、差、积、商的求导法则,定理1,的和、,差、,积、,商 (除分母,为0的。</p><p>19、第二节 函数的求导法则,二、反函数的求导法则,三、复合函数求导法则,四、基本求导法则与导数公式,一、函数的和、差、积、商的求导法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:,设, 则,故结论成立.,例如,(2),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,( C为常数 ),(3),证: 设,则有,故结论成立.,( C为常数 ),求证,证:,类似可证:,二、反函数的求导法则,定理2.,y 的某邻域内单调可导,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因。</p><p>20、第二节 函数的和、积、商的求导法则,第二节 函数的和、积、商的求导法则,一，函数和的求导法则,函数和的导数,二，函数积的求导法则,函数积的导数,函数积的导数可以推广到有限个函数乘积的情形，此时公式为：,特别地，当 n =3 时，有下面的公式：,结论：对函数的乘积求导数时，在乘积中每次取其中一个因子求导，其余因子不动， 然后把得到的乘积相加。,三，函数商的求导法则,同理可得：,作业 课本110页 习题22 2. （2）（3）（4）（7）（10）（12）（18） （1） 7.,第三节 反函数的导数 复合函数导数,一，反函数的导数,证明：,结论：反函数。</p>