【备战2012】高考数学 最新专题冲刺 理（34套打包）
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用心 爱心 专心 - 1 - 【备战 2012】高考数学 最新专题冲刺 不等式（ 2） 理 一、选择题 : 1.(2011 年高考浙江卷理科 5)设实数 , 02 7 0 ,0 ， 若 ,34的最小值是 （ A） 14 （ B） 16 （ C） 17 （ D） 19 【答案】 B 【解析】：作出可行域，5 0 32 7 0 1x y xx y y 由 得， ,以 4, 1，m i n 3 4 4 1 1 6z 故选 B . 2.(2011年高考浙江卷理科 7)若 ,“ 01”是 11或 的 （ A）充分而不必要条件（ B）必要而不充分条件（ C）充分必要条件（ D）既不充分也不必要条件 3.(2011年高考安徽卷理科 4)设变量 ,则 2的最大值和最 小值分别为 （）， （）， （）， （）， 【答案】 B 【命题意图】本题考查线性规划问题 用心 爱心 专心 - 2 - 值分别为 2， . 4. (2011 年高考天津卷理科 2)设 ,x y R 则“ 2x 且 2y ”是“ 224”的 A. 充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D即不充分也不必要条件 9. (2011 年高考天津卷理科 8)对实数 a 与 b ，定义新运算“ ”：, 1, 1 .a a a b 设函数 22( ) 2 , .f x x x x x R 若函数 ()y f x c的图像与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是（ ） 用心 爱心 专心 - 3 - A 3, 2 1, 2 B 3, 2 1 , 4 C11,44 D. 11. (2011 年高考江西卷理科 3)若() lo g ( )fx x ，则 ()A. ( , ) B. ( , C. ( , ) D.( , ) 【答案】 A 【解析】要使原函数有意义 ,只须 12lo g ( 2 1) 0x ,即 0 2 1 1x ,解得 x ,故选 A. 12. (2011 年高考江西卷理科 4)若 ( ) x x x x ，则 ( ) 的解集为 A. ( , ) B. -+ （ ， ） （ ， ） C. ( , ) D. ( , )- 【答案】 C 【解析】因为 ( ) x x ,原函数的定义域为 (0, ) ,所以由311 , ,44 用心 爱心 专心 - 4 - ( ) 可得 2 20 ,解得 2x ,故选 C. 13. (2011年高考湖南卷理科 7)设 ,1m 在约束条件 1标函数 的最大值小于 2，则 m 的取值范围为 A. 21,1 B. ,21 C. 3,1 D. ,3 14. (2011 年高考广东卷理科 5)已知平面直角坐标系 的区域 给定 (x， y)为 2 ， 1)则 z A 的最大值为（ ） 解析】 C. 由 题 得 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 D 是 如 图 所 示 的 直 角 梯 形| | | | c o s 3 | | c o s 3 | |z O M O A O M O A A O M O M A O M O N ，所以就是求 |最大值， |示 方向上的投影，在 形结合观察得当点 的地方时， |最大。 用心 爱心 专心 - 5 - 等式 1，则 A. 2,2 B. 2,3 C. 3,2 D. 3,3 答案： D 解析：因为 ，故 0 ，即 2( ) 3( ) 0x z y z ，可得 23z x y，又因为 | | | | 1，其图像为四条直线 1 , 1 , 1 , 1x y x y x y x y 所围成的正方形面，由线性规划可计算得当 0, 1时， 33z x y 取到 z ，当 0, 1 ，取到 z ，所以选 D. 16 (2011 年高考湖北卷理科 9)若实数 , 0，且 0，则称 a 与 b 互补，记22( , ) ,a b a b a b 那么 ( , ) 0 是 a 与 分也不必要条件 答案： C 解析：由 ( , ) 0 ，即 22 0 a b a b ，故 22a b a b ，则 0 ，化简得2 2 2()a b a b ，即 ，故 0 且 0，则 0, 0且 0，故选 C. 17.(2011 年高考重庆卷理科 2) “ 1x ”是“ 2 10x ”的 （ A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 用心 爱心 专心 - 6 - (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析：选 D. 设 2 2f x m x ，则方程 2 20m x 在区间（ 0,1）内有两个不同的根等价于 20 1 001280 ，因为 02f ，所以 1 2 0f m k ，故抛物线开口向上，于是 0m ， 02 ，令 1m ，则由 2 80，得 3k ， 则 322，所以m 至少为 2，但 2 80，故 k 至少为 5，又 522 ，所以 m 至少为 3，又由2 5 2 ，所以 m 至少为 4，依次类推，发现当 6, 7时， , 的最小值为 13 25 (2011年高考上海卷理科 15)若 , ，且 0，则下列不等式中，恒成立的是 （ ） A 222a b B 2a b C1 1 2 D 2 【答案】 D 用心 爱心 专心 - 7 - 二、填空题 : 1.(2011年高考浙江卷理科 16)设 , 224 1,x y 则 2的最大值是 .。 【答案】 2 105 【解析】 224 4 3 1x y x y x y ，2 2 2 23 3 2 51 ( 2 ) 2 ( 2 ) ( ) ( 2 )2 2 2 8y x y x y x y 2 1 02 5 ，故 2的最大值为 2 105 2. (2011年高考全国新课标卷理科 13)若变量 , 9,6 9, 则 2z x y 的最小值为 。 答案 : 解析：如图可知最优解是（ 4， 所以，6)5(24m z 点评：本题考查线性规划问题，求最优解事先要准确画出线性区域是关键。 3 (2011年高考天津卷理科 13)已知集合 1| 3 4 9 , | 4 6 , ( 0 , )A x R x x B x R x t ，则集合=_ 【答案】 | 2 5 【解析】因为 0t ,所以 144t t ,所以 |2B x R x ;由绝对值的几何意义可得 : | 4 5A x R x ,所以 = | 2 5 . 4. (2011年高考湖南卷理科 10)设 , ，且 0则 2222 411 最小值为 . 用心 爱心 专心 - 8 - 6.(2011年高考安徽卷江苏 8)在平 面直角坐标系 ，过坐标原点的一条直线与函数)( 的图象交于 P、 线段 的最小值是 _ 【答案】 4 【解析】设坐标原点的直线方程为 ( 0)y kx k,则由2y x 解得交点坐标为2( , 2 )k 2( , 2 )k ，即为 P、 以线段 为222 2 2 2 2 4 ，当且仅当 1k 时等号成立，故线段 . 7 (2011 年高考上海卷理科 4)不等式 1 3 的解为 。 【答案】 0x 或 12x 三、解答题 : 1.( 2011年高考安徽卷理科 19)（本小题满分 12 分） （）设 1, 1,证明1 1 1x y x yx y x y ， （） 1 ，证明 l o g l o g l o g l o g l o g l o ga b c b c ab c a a b c . 用心 爱心 专心 - 9 - （）设 ， ，由换底公式得 lo g 1lo g lo g bc c x y， 1a x ，1b y ， c ，故 要证： l o g l o g l o g l o g l o g l o ga b c b c ab c a a b c 只要证明：1 1 1x y x yx y x y ，其中 ， 由 ( )知所要证明的不等式成立。 【解题指导】：证明不等式常规的方法有分析法，综合法，作差法和作商法，无论哪种方法不等式性质和代数式恒定变形是处理这类问题的关键。 第二问的处理很有艺术性，借助第一问题的结论巧妙地解决了，这也是一题多问的问题解决常规思路，前面的问题结论对后面问题解决常常有提示作用。 2 (2011 年高考广东卷理科 21)（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 ，给定抛物线 L: 214 实数 p， q 满足 2 40， 0x px q 的两根，记 12( , ) m a x ,p q x x 。 （ 1）过点 20 0 01( , ) ( 0 )4A p p p 作 B证明：对线段 （ p， q）有 0( , ) ;2 用心 爱心 专心 - 10 - （ 2）设 M（ a， b）是定点，其中 a， ,a 0过 M（ a， b）作 2,点分别为 221 1 2 211( , ) , ( , )44E p p E p p， 12,F。线段 证明： M（ a,b） X 12 ( , )12p ; （ 3）设 D= （ x,y） |y y 14 （ x+1） 2当点（ p,q）取遍 D 时，求 ( , )的最小值（记为 ）和最大值（记为 ） 【解析】 解：（ 1）证明：切线 l 的方程为 p x p 22 0| | ( )| | 4( , ) ( , )22p p pp p qQ p q A B p q 有当 0 0 000 |0 , 0 , ( , ) 2p p p p pp p p p q 时 于 是 当 0 0 000 |0 , 0 , ( , ) 2p p p p pp p p p q 时 于 是 （ 2） 12,21 1 2 21 1 1 1, 2 4y p x p y p x p 求得 12, M(a,b)的坐标 1 2 1 2( , )24p p p p ，由于 2 4 0 , 0a b a ，故有12| | | | 1）先证： 12( , ) | | | | .M a b x p p （ ）设 ( , ) .M a b X 当 121 1 1 2 1 1 20 , 0 0 2 | | | | p p p p p p 时 当 121 1 1 1 2 1 20 , 0 2 0 | | | | p p p p p p 时 （ ）设2 2 1 2121 1 1| | | | , | | 1 1 1 0 2 .p p p p p p 则 当 1 2 1 21 1 1 10 , 0 ; 0 1 p p pp p p 时 当 时 ,p 用心 爱心 专心 - 11 - 注意到 1( , ) , ( , ) .M a b l M a b X在 上 故 （ 3）求得 2151 ( 1 )44y x y x 和 的交点 12( 0 , 1), ( 2 ,1) 而 1是的切点为 2(2,1)Q 的切线，且与 y 轴交于 1(0, 1)Q ， 由（） ( , )Q p q线段 ( , ) 当 221 1 5 1 5( , ) : ( 1 ) ( 0 2 ) , ( 1 )4 4 4 4Q p q L y x x q p 时 2 4 4 2( ) ( , ) ( 0 2 ) ,22p p q p ph p p q p 在（ 0， 2）上，令4 2 1 3( ) 0 ,22 4 2ph
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