【步步高】（广东专用）2016高考数学一轮复习 第1-6章学案 文（含解析）（打包32套）
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【步步高】（广东专用）2016高考数学一轮复习 第1-6章学案 文（含解析）（打包32套）,步步高,广东,专用,高考,数学,一轮,复习,温习,章学案,解析,打包,32
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1 学案 30 等比数列及其前 n 项和 导学目标： n 项和公式 解等比数列与指数函数的关系 在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题 自主梳理 1等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数 (不为零 )，那么这个数列叫做等 比数列，这个常数叫做等比数列的 _，通常用字母 _表示 (q0) 2等比数列的通项公式 设等比数列 首项为 比为 q，则它的通项 _. 3等比中项： 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a， G， b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 4等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广： _ ( n， m N*) (2)若 等比数列，且 k l m n (k， l， m， n N*)，则 _ (3)若 项数相同 )是等比数列，则 a n ( 0) ， 1 (4)单调性： ，q1 或 1 _数列； q 1 _数列； 1 (n 1,2， ) ，若数列 连续四项在集合 53， 23,19,37,82中，则 6q _. 探究点一 等比数列的基本量运算 例 1 已知正项等比数列 ， 2100， 236，求数列 通项 n 项和 变式迁移 1 在等比数列 ， 66， 1 128， 126，求 n 和 q. 探究点二 等比数列的判定 例 2 (2011 岳阳月考 )已知数列 首项 5，前 n 项和为 1 2n 5， n N*. (1)证明数列 1是等比数列； (2)求 通项公式以及 变式迁移 2 设数列 前 n 项和为 知 23 (n 1)2n(n N*) (1)求 (2)求证：数列 2是等比数列 探究点三 等比数列性质的应用 例 3 (2011 湛江月考 )在等比数列 ， 8，且 11112，求 变式迁移 3 (1)已知等比数列 ，有 4列 等差数列，且 3 求 (2)在等比数列 ，若 1， 8，求 分类讨论思想与整体思想的应用 例 (12 分 )设首项为正数的等比数列 前 n 项和为 80，它的前 2n 项和为 6 560，且前 n 项中数值最大的项为 54，求此数列的第 2n 项 【答题模板】 解 设数列 公比为 q， 若 q 1，则 22 6 5602 160， q1 ， 2 分 由题意得 q 80， q 6 560. 4 分 将 整体代入 得 80(1 6 560， 81.6 分 将 81 代入 得 81) 80(1 q)， q 1，由 ，得 q1， 数列 递增数列 8 分 1 81 54. 23.10 分 与 q 1 联立可得 2， q 3， 23 2n 1 (n N*) 12 分 【突破思维障碍】 (1)分类讨论的思想： 利用等比数列前 n 项和公式时要分公比 q 1 和 q1 两种情况讨论； 研究等比数列的单调性时应进行讨论：当 ， q1 或 ,00 且 q1) 常和指数函数相联系 (3)整体思想：应用等比数列前 n 项和时，常把 本题条件前 4的利用是解决本题的关键，同时将 化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用 1等比数列的通项公式、前 1， q 1， q ， q比数列的判定方法： 4 (1)定义法：即证明 1q (q0 ， n N*) (q 是与 n 值无关的常数 ) (2)中项法：证明一个数列满足 1 2 (n N*且 1 20) 3等比数列的性质： (1)m (n， m N*)； (2)若 等比数列，且 k l m n (k， l， m， n N*)，则 (3)设公比不为 1 的等比数 列 前 n 项和为 公比为 4在利用等比数列前 n 项和公式时，一定要对公比 q 1 或 q1 作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法 5等差数列与等比数列的关系是： (1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列； (2)若 等比数列，且 ，则 lg 成等差数列 (满分： 75 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分 ) 1 (2010 辽 宁 )设 由正数组成的等比数列， n 项和已知 1， 7 ，则 于 ( ) (2010 浙江 )设 等比数列 前 n 项和， 80，则 ( ) A 11 B 8 C 5 D 11 3在各项都为正数的等比数列 ， 3，前三项的和 21，则 ) A 33 B 72 C 84 D 189 4等比数列 n 项的积为 么数列 25 中 也 是 常 数 的 项 是 ( ) A B C D (2011 佛山模拟 )记等比数列 前 n 项和为 2， 18，则 ) A 3 B 5 C 31 D 33 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题 (每小题 4 分，共 12 分 ) 6设 公比为正数的等比数列，若 1， 16，则数列 7项的和为 _ 7 (2011 平顶山月考 )在等比数列 ，公比 q 2，前 99 项的和 30，则 a3 _. 8 (2010 福建 )在等比数列 ，若公比 q 4，且前 3 项之和等于 21，则该数列的通项公式 _. 三、解答题 (共 38 分 ) 9 (12 分 )(2010 陕西 )已知 公差不为零的等差数列， 1，且 (1)求数列 通项； (2)求数列 2前 n 项和 5 10 (12 分 )(2011 廊坊模拟 )已知数列 1)为等差数列，且 3， 5. (1)求证：数列 1是等比数列； (2)求 11 11 11 (14 分 )已知等差数列 首项 1，公差 d0，且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比数列 第 2 项、第 3 项、第 4 项 (1)求数列 通项公式； (2)设数列 n N*均有 1成立，求 10. 答案 自主梳 理 1公比 q 1 4.(1)m (2)4)递增 递减 常 摆动 我检测 1 D . 9 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中共有 q， n， 道其中任意三个量，都可以求出其余两个量解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解； (2)本例可将所有项都用 q 表示，转化为关于 q 的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消 元转化 解 方法一 由已知得： 2100，236. ，得 464， 16. 代入 ，得 16216 16100. 解得 4 或 14. 又数列 正项数列， q 2 或 12. 当 q 2 时，可得 12， 122 n 1 2n 2， 2(1 2n)1 2 2n 1 12； 6 当 q 12时，可得 32. 32 12 n 1 26 n. 2 1 12 12 64 26 n. 方法二 由 2100，236， 可得 2100，236， 即 ( 100，( 36. 10，6. 解得 8，2， 或 2，8. 当 8， 2 时， 28 14. q0， q 12，由 8， 得 32， 32 12 n 1 26 n. 2 26 n 121 12 64 26 n. 当 2， 8 时， 82 4，且 q0， q 2. 由 24 12. 122 n 1 2n 2. 2(2n 1)2 1 2n 1 12. 变式迁移 1 解 由题意得 1 128，66， 解得 64，2 或 2，64. 若 64，2， 则 Snq 64 2q 126， 7 解得 q 12，此时， 2 64 12 n 1， n 6. 若 2，64， 则 64q 126， q 2. 64 22 n 1. n 6. 综上 n 6， q 2 或 12. 例 2 解题导引 (1)证明数列是等比数列的两个基本方法： 1q (q 为与 n 值无关的常数 )(n N*) 1 2 ( ， n N*) (2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数 列来证明，也可用反证法 (1)证明 由已知 1 2n 5， n N*， 可得 n2 时， 21 n 4， 两式相减得 1 2(1) 1， 即 1 21，从而 1 1 2(1)， 当 n 1 时， 21 5， 所以 26， 又 5，所以 11， 从而 1 2(1)， 故总有 1 1 2(1)， n N*， 又 5， 10 ，从而 1 11 2， 即数列 1是 首项为 6，公比为 2 的等比数列 (2)解 由 (1)得 1 62 n 1， 所以 62 n 1 1， 于是 6 (1 2n)1 2 n 62n n 6. 变式迁移 2 (1)解 23 (n 1)2n(n N*)， 当 n 1 时，21 2； 当 n 2 时， 2( 4， 4； 当 n 3 时， 232( 6， 8. (2)证明 23 (n 1)2n(n N*)， 当 n2 时， 23 (n 1)1 (n 2)1 2(n 1) 得 (n 1)(n 2)1 2 n(1) 21 2 212. 21 2 0，即 21 2， 2 2(1 2) 2 40 ， 1 20 ， 21 2 2， 故 2是以 4 为首项， 2 为公比的等比数列 例 3 解题导引 在解决 等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质 “ 若 m n p q，则 ，可以减少运算量，提高解题速度 解 由已知得 8 1 82， 4， 2. 若 2，设数列的公比为 q， 则 2 2q 2 2q 28， 即 11q 1 q 1q 12 2 q 12 2 12 4. 此 式显然不成立，经验证， 2 符合题意，故 2. 变式迁移 3 解 (1) 4 ， 4， 4， 等差数列， 28. (2)1. 8. ： 82， 又 ( 0 12 10 1 024. 课后练习区 1 B 由正数组成的等比数列，且 1， 设 公比为 q，则 q0，且 1，即 1. 7， 11q 1 7，即 6q 1 0. 故 q 12或 q 13(舍去 )， 14. (1 125)1 12 8(1 125) 314. 2 A 由 80，得 80，所以 q 2，则 25) 22) 11. 3 C 由题可设等比数列的公比为 q， 则 3(1 q 211 q 7q 6 0 (q 3)(q 2) 0， 根据题意可知 q0，故 q 2. 所以 421 84. 4 C 5 17 ( 以下标和为 9 的倍数的积为定值，可知 5 D 因为等比数列 有 2， 18， 9 即 q 1 182 9， 故 q 2，从而 q 1 1 25 33. 6 127 解析 公比 16，且 q0， q 2， 1 271 2 127. 解析 30，即 99 1) 30， 数列 ， ， 4 833)1 8 499 1)7 4730 1207 . 8 4n 1 解析 等比数列 前 3 项之和为 21，公比 q 4， 不妨设首项为 4 16) 2121， 1， 14 n 1 4n 1. 9解 (1)由题设知公差 d0 ， 由 1， 得 1 2 1 82d， (4分 ) 解得 d 1 或 d 0(舍去 ) 故 通项 1 (n 1)1 n. (7分 ) (2)由 (1)知 22n，由等比数列前 n 项和公式， 得 2 22 23 2n 2(1 2n)1 2 2n 1 2. (12分 ) 10 (1)证明 设 1) 1 1) d (n2) ，因为 3， 5，所以 d 1) 1) 1， (3 分 ) 所以 1) n，所以 1 2n， 所以 11 1 2 (n2) ，所以 1是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列 (6分 ) (2)解 由 (1)可得 1 (1)2 n 1， 所以 2n 1， (8 分 ) 所以 11 11 0 122 2 123 22 12n 1 2n 12 122 12n 1 12n. (12分 ) 11解 (1)由已知有 1 d， 1 4d
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