【步步高】（广东专用）2016高考数学一轮复习 第1-6章学案 文（含解析）（打包32套）
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【步步高】（广东专用）2016高考数学一轮复习 第1-6章学案 文（含解析）（打包32套）,步步高,广东,专用,高考,数学,一轮,复习,温习,章学案,解析,打包,32
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1 学案 2 命题及其关系、充分条件与必要条件 导学目标： 命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系 . 分条件与充要条件的含义 自主梳理 1命题 用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假的陈述句 叫做命题，其中判断为真的语句叫做 真命题 ，判断为假的语句叫做 假命题 2四种命题及其关系 (1)四种命题 一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用綈 p 和綈 q 分别表示 p 和 q 的否定，于是四种命题的形式就是 原命题：若 p 则 q(pq)； 逆命题： 若 q 则 p(qp)； 否命题： 若綈 p 则綈 q(綈 p綈 q)； 逆否命题： 若綈 q 则綈 p(綈 q綈 p) (2)四种命题间的关系 (3)四种命题的真假性 两个命题互为 逆否 命题，它们有相同的真假性 两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系 3充分条件与必要条件 若 pq，则 p 叫做 q 的 充分 条件；若 qp，则 p 叫做 q 的 必要 条件；如果 pq，则 q 的 充要 条件 自我检测 1 (2010 湖南 )下列命题中的假命题是 ( ) A x R， lg x 0 B x R， x 1 C x R， D x R,2x0 答案 C 解析 对于 C 选项，当 x 0 时， 03 0，因此 x R， 是假命题 2 (2010 陕西 )“ a0” 是 “| a|0” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 a0|a|0， |a|0 a0， “ a0” 是 “| a|0” 的充分不必要条件 3 (2009 浙江 )“ x0” 是 “ x0” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 2 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 对于 “ x0” “ x0” ，反之不一定成立，因此 “ x0” 是 “ x0” 的充分而不必要条件 4若命题 p 的否命题为 r，命题 r 的逆命题为 s，则 s 是 p 的逆命题 t 的 ( ) A逆否命题 B逆命题 C否命题 D原命题 答案 C 解析 由四种命题逆否关系知， s 是 p 的逆命题 t 的否命题 5 (2011 宜昌模拟 )与命题 “ 若 a M，则 b M” 等价的命题是 ( ) A若 a M，则 b M B若 b M，则 a M C若 a M，则 b M D若 b M，则 a M 答案 D 解析 因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可探究点一 四种命题及其相互关系 例 1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假 (1)实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧 解题导引 给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定 解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数真命题 否命题：若一个数不是 实数，则它的平方不是非负数真命题 逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数真命题 (2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高真命题 否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等真命题 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高假命题 (3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线真命题 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧真命题 逆否命题：若一条直线不经过圆心 或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线真命题 变式迁移 1 有下列四个命题： “ 若 x y 0，则 x， y 互为相反数 ” 的逆命题； “ 全等三角形的面积相等 ” 的否命题； “ 若 q1 ，则 2x q 0 有实根 ” 的逆否命题； “ 不等边三角形的三个内角相等 ” 的逆命题 其中真命题的序号为 _ 答案 解析 的逆命题是 “ 若 x， y 互为相反数，则 x y 0” ，真； 的否命题是 “ 不全等的三角形的面积不相等 ” ，假； 若 q1 ，则 4 4q0 ，所以 2x q 0 有实根，其逆否命题与原 命题是等价命题，真； 的逆命题是 “ 三个内角相等的三角形是不等边三角形 ” ，假 3 探究点二 充要条件的判断 例 2 给出下列命题，试分别指出 p 是 q 的什么条件 (1)p： x 2 0； q： (x 2)(x 3) 0. (2)p：两个三角形相似； q：两个三角形全等 (3)p： q： y m 3 有两个不同的零点； p： f xf x 1； q： y f(x)是偶函数； p： ； q： ； p： A B A； q： A B C D 答案 D 解析 q： y m 3 有两个不同的零点 q： 4(m 3)0q： m6p； 当 f(x) 0 时，由 q p； 若 ， 2 ， k Z 时，显然 ，但 ； p： A B Ap： ABq： 符合题意 探究点三 充要条件的证明 例 3 设 a， b， c 为 三边，求证：方程 20 与 20 有公共根的充要条件是 A 90. 解题导引 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由 “ 条件 ” “ 结论 ” 是证明命题的充分性，由 “ 结论 ” “ 条件 ” 是证明命题的必要性证明要 分两个环节：一是充分性；二是必要性 证明 (1)必要性：设方程 20 与 20 有公共根 则 20， 20， 两式相减可得 a，将此式代入 20， 可得 A 90 ， (2)充分性： A 90 ， 将 代入方程 20， 可得 20， 即 (x a c)(x a c) 0. 将 代入方程 20， 可得 20，即 (x c a)(x c a) 0. 4 故两方程有公共根 x (a c) 所以方程 20 与 20 有公共根的充要条件是 A 90. 变式迁移 3 已知 ，求证： a b 1 的充要条件是 0. 证明 (1)必要性： a b 1， a b 1 0. (a b)( ( (a b 1)( 0. (2)充分性 ： 0， 即 (a b 1)( 0. 又 ， a0 且 b0. (a 34. a b 1 0， 即 a b 1. 综上可知，当 时， a b 1 的充要条件是 0. 转化与化归思想的应用 例 (12分 )已知两个关于 4x 4 0和 444m 5 0，且 m 【答题模板】 解 4x 4 0 是一元二次方程， m0. 2分 另一方程为 444m 5 0，两方程都要有实根， 1 m ， 2 164m ， 解得 m 54， 1 6分 两根为整数，故和与积也为整数， 4m 4m 5 Z， m 为 4 的约数， 8分 m 1 或 1，当 m 1 时， 第一个方程 4x 4 0 的根为非整数， 而当 m 1 时，两方程均为整数根， 两方程的根均为整数的充要条件是 m 1. 12分 【突破思维障碍】 本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想 0. 求出 m 的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数 【易错点剖析】 易忽略一元二次方程这个条件隐含着 m0 ，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数 5 1研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成 “ 如果 ，那么 ”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性 2在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出 p 与 q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是 p 对 q 而言，还是 q 对 p 而言还要分清否命题与命题的否定的区别 3本节体现了转化与化归的数学思想 6 (满分： 75 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分 ) 1 (2010 天津模拟 )给出以下四个命题： 若 ，则 a0 或 b0 ； 若 ab，则 在 ，若 ，则 A B； 在一元二次方程 c 0 中，若 4抛物线的开口可以向上因此否命题也是假命题 5 (2011 枣庄模拟 )集合 A x|x|4 ， x R， B x| ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不 必要条件 答案 B 解析 A x| 4 x4 ，若 AB，则 a4， a4 a5，但 a5a. 二、填空题 (每小题 4 分，共 12 分 ) 6 “ 且 ” 是 “ 且 ” 的 _条件 答案 充要 7 (2011 惠州模拟 )已知 p： (x 1)(y 2) 0， q： (x 1)2 (y 2)2 0，则 p 是 _条件 答案 必要不充分 解析 由 (x 1)(y 2) 0 得 x 1 或 y 2，由 (x 1)2 (y 2)2 0 得 x 1 且 y 2，所 以由 q 能推出 p，由 p 推不出 q, 所以填必要不充分条件 8已知 p(x)： 2x m0，如果 p(1)是假命题， p(2)是真命题，则实数 m 的取值范围为 _ 答案 3,8) 解析 因为 p(1)是假命题，所以 1 2 m0 ， 解得 m3 ；又因为 p(2)是真命题，所以 4 4 m0， 解得 綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，求 a 的取值范围 解 设 A x|p x|43 x|x 60 x|2x 80 x| 2 x3 x| x|x 4 或 x 2 (4 分 ) 綈 p 是綈 q 的必要不充分条件， 綈 q綈 p，且綈 p 綈 q. 则 x|綈 q x|綈 p， (6 分 ) 而 x|綈 q x| 4 x 2， x|綈 p x|x3 a 或 x a， a0， x| 4 x 2 x|x3 a 或 x a， a0， (10 分 ) 8 则 3a 2，a0 或 a 4，a0. (11 分 ) 综上，可得 23 a0 或 x 4.(12 分 ) 11 (14 分 )已知数列 前 n 项和 q(p0 ，且 p1) ，求证：数列 等比数列的充要条件为 q 1. 证明 充分性：当 q 1 时， p q p 1.(2 分 ) 当 n2 时， 1 1(p 1) 当 n 1 时也成立 (4 分 ) 于是 1pn p1 p p(n N*)， 即数列 等比数列 (6 分 ) 必要性：当 n 1 时， p q. 当 n2 时， 1 1(p 1) p0 ， p1 ， 1pn p1 p p.(10 分 ) 等比数列， 1p，即 p pp q p， 即 p 1 p q. q 1.(13 分 ) 综上所述， q 1 是数列 等比数列的充要条件 (14 分 ) 1 学案 3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 导学目标： 或、且、非 ” 的含义 . 自主梳理 1逻辑联结词 命题中的 或，且，非 叫做逻辑联结词 “ p 且 q” 记作 p q， “ p 或 q” 记作 p q， “ 非p” 记作 綈 p. 2命题 p q， p q，綈 p 的真假判断 p q p q p q 綈 p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 (1)短语 “ 所有的 ”“ 任意一个 ” 在逻辑中通常叫做 全称量词 ，并用符号 “ ” 表示含有全称量词的命题，叫做 全称命题 ，可用符号简记为 x M， p(x)，它的否定 x M，綈 p(x) (2)短语 “ 存在一个 ”“ 至少有一个 ” 在逻辑中通常叫做 存在量词 ，并用符号 “ ” 表示含有存在量词的命题，叫做 特称命题 ，可用符号简记为 x M， p(x)，它的否定 x M，綈 p(x) 自我检测 1命题 “ x R， 2x 10 C x R， 2x 10 D x R， 2x 10 B x N*， (x 1)20 C x R， lg x (0， ) ， (12)x x (0， 13)， (12)究点一 判断含有逻辑联结词的命题的真假 例 1 写出由下列各组命题构成的 “ p q” 、 “ p q” 、 “ 綈 p” 形式的复合命题，并判断真假 (1)p： 1 是素数； q： 1 是方程 2x 3 0 的根； (2)p：平行四边形的对角线相等； q：平行四边形的对角线互相垂直； (3)p：方程 x 1 0 的两实根的符号相同； q：方程 x 1 0 的两实根的绝对值相等 解题导引 正确理解逻辑 联结词 “ 或 ” 、 “ 且 ” 、 “ 非 ” 的含义是解题的关键，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断其步骤为： 确定复合命题的构成形式； 判断其中简单命题的真假； 根据其真值表判断复合命题的真假 解 (1)p q： 1 是素数或是方程 2x 3 0 的根真命题 p q： 1 既是素数又是方程 2x 3 0 的根假命题 綈 p： 1 不是素数真命题 (2)p q：平行四边形的对角线相等或互相垂直假命题 p q：平行四边形的对角相等且互相垂直假命题 綈 p：有些平行四边形的对角线 不相等真命题 (3)p q：方程 x 1 0 的两实根的符号相同或绝对值相等假命题 p q：方程 x 1 0 的两实根的符号相同且绝对值相等假命题 綈 p：方程 x 1 0 的两实根的符号不相同真命题 变式迁移 1 (2011 厦门月考 )已知命题 p： x R，使 x 1，命题 q： 3x 212. (2) ， 使 ) . (3) x， y N，都有 x y N. (4) Z，使得 23. 解题导引 判定一个全 (特 )称命题的真假的方法： (1)全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可 (2)特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立 解 (1)真命题， 因为 x 1 (x 12)2 34 3412. (2)真命题，如 4 ， 2 ，符合题意 (3)假命题，例如 x 1， y 5，但 x y 4 N. (4)真命题，例如 0， 3 符合题意 变式迁移 2 (2011 日照月考 )下列四个命题中，其中为真命题的是 ( ) A x R， 30，是真命题，这是由于 x R， 2x 2 (x 1)2 110成立 (4)綈 s： x R， 10 ，是假命题，这是由于 x 1 时， 1 0. 变式迁移 3 (2009 天津 )命题 “ 存在 R,2” 的否定是 ( ) A不存在 R,2 B存在 R,2 C对任意的 x R,2x0 D对任意的 x R,2x0 答案 D 解析 本题考查全称命题与特称命题的否定原命题为特称命题，其否定应为全称命题，而 “” 的否定是 “” ，所以其否定为 “ 对任意的 x R,2x0” 转化与化归思想的应用 例 (12 分 )已知命题 p： “ x 1,2， a0” ，命题 q： “ R， 22 a 0” ，若命题 “ p 且 q” 是真命题，求实数 a 的取值范围 【答题模板】 解 由 “ p 且 q” 是真命题， 则 p 为真命题， q 也为真命题 3分 若 p 为真命题， a x 1,2， a1. 6分 若 q 为真命题， 即 22 a 0 有实根， 44(2 a)0 ， 即 a1 或 a 2， 10分 综上，所求实数 a 的取值范围为 a 2 或 a 1. 12分 【突破思维障碍】 含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的 (一个或两个 )命题的真假，求出参数存在的条件，命题 p 转化为恒成立问题，命题 q 转化为方程有实根问题，最后再求出含逻辑联结词的命题成立的条件若直接求 p 成立的条件困难，可转化成求綈 p 成立的条件，然后取补集 【易错点剖析】 “ p 且 q” 为真是全真则真，要区别 “ p 或 q” 为真是一真则真，命题 q 就是方程 22 a 0 有实根，所以 0. 不是找一个 1逻辑联结词 “ 或 ”“ 且 ”“ 非 ” 的含义的理解 (1)“ 或 ” 与日常生活用语中的 “ 或 ” 意义有所不同，日常用语 “ 或 ” 带有 “ 不可兼有 ”的意思，如工作或休息，而逻辑联结词 “ 或 ” 含有 “ 同时兼有 ” 的意思，如 (2)命题 “ 非 p” 就是对命题 “ p” 的否定，即对命题结论的否定；否命题是四种命题中的一种，是对原命题条件和结论的同时否定 2判断复合命题的真假，要首先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后根据真值表判断 3全称命题 “ x M， p(x)” 的否定是一个特称命题 “ x M，綈 p(x)” ， 特称命题 “ x M， p(x)” 的否定是一个全称命题 “ x M，綈 p(x)” 5 (满分： 75 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分 ) 1 (2011 宣城模拟 )已知命题 p： x R， 3x 30 ，则 ( ) A綈 p： x R， 3x 30，且綈 p 为真命题 B綈 p： x R， 3x 30，且綈 p 为假命题 C綈 p： x R， 3x 30，且綈 p 为真命题 D綈 p： x R， 3x 30，且綈 p 为假命题 答案 C 解析 命题 p 是一个特称命题，它的否定綈 p：对所有的 x R，都有 3x 30 为真故答案为 即全称量词的否定为存在量词，存在量词的否定为全称量词，而且要否定结论 2已知命题 p： x R， 2x 30，如果命题綈 p 是真命题，那么实数 a 的取值范围是 ( ) A 一切 x R 恒成立，这时应有 a0， 4 p 是假命题，即命题綈 p 是真命题时， 实数 a 的范围是 a 13. 3 (2011 龙岩月考 )已知条件 p： |x 1|2，条件 q： xa，且綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是 ( ) A a1 B a1 C a 3 D a 3 答案 A 解析 綈 p 是綈 q 的充分不必要条件的等价命题 为 q 是 p 的充分不必要条件，即 qp，而 p q，条件 p 化简为 x1 或 a0” ，则它的否命题是 ( ) A a， b R，如果 a0 的否定分别为 ，a0 ，故选 B. 5 (2011 宁波调研 )下列有关命题的说法正确 的是 ( ) A命题 “ 若 1，则 x 1” 的否命题为 “ 若 1，则 x1” B “ x 1” 是 “ 5x 6 0” 的必要不充分条件 C命题 “ x R，使得 x 13” 的否定是 _ 答案 x R， |x 2| |x 4|3 7已知命题 p： “ x R， m R 使 4x 2x 1 m 0” ，若命题綈 p 是假命题，则实数m 的取值范围为 _ 答案 m1 解析 命题綈 p 是假命题，即命题 p 是真命题，也就是关于 x 的方程 4x 2x 1 m 0 有 实数解，即 m (4x 2x 1)，令 f(x) (4x 2x 1)，由于 f(x) (2x 1)2 1，所以当 f(x)1 ，因此实数 m 的取值范围是 m1. 8 (2010 安徽 )命题 “ 存在 x R，使得 2x 5 0” 的否定是 _ 答案 对任意 x R，都有 2x 50 解析 因特称命题的否定是全称命题，所以得：对任意 x R，都有 2x 50. 三、解答题 (共 38 分 ) 9 (12 分 )分别指出由下列命题构成的 “ p q”“ p q”“ 綈 p” 形式的命题的真假 (1)p： 4 2,3， q： 2 2,3； (2)p： 1 是奇数， q： 1 是质数； (3)p： 0 ， q： x|3x 50 对一切 x R 恒成立， q：函数 f(x) (3 2a) p 或 q 为真， p 且 q 为假，求实数 a 的取值范围 解 设 g(x) 24， 由于关于 x 的不等式 240 对一切 x R 恒成立，所以函数 g(x)的图象开口向上且与 x 轴没有交点， 故 4161， 3 分 ) q： 44(m 2)x 1 0 无实根 2 16(m 2)2 162m1 或 m3 m3 ； (10 分 ) 当 p 假且 q 真时，有 m21m3 1m2.(12 分 ) 综上可知， m 的取值范围为 m|1m2 或 m3 (14 分 ) 1 第一章 集合与常用逻辑用语 学案 1 集合的概念与运算 导学目标： 形语言、集合语言 (列举法或描述法 )描述不同的具体问题 . 识别给定集合的子集 . 求两个简单集合的并集与交集 解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 使用韦恩 (表达集合的关系及运算 自主梳理 1集合元素的三个特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 2元素与集合的关系是 属于 或 不属于 关系，用符号 或 表示 3集合的表示法： 列举法 、 描述法 、 图示法 、 区间法 4集合间的基本关系 对任意的 x A，都有 x B，则 AB(或 BA) 若 AB，且在 B 中至少有一个元素 x B，但 x A，则 A B(或 B A) 若 AB 且 BA， 则 A B. 5集合的运算及性质 设集合 A， B，则 A B x|x A 且 x B， A B x|x A 或 x B 设全集为 U，则 x|x U 且 x A A ， A BA， A BB， A B AAB. A A， A BA， A BB， A B BAB. A ； A U. 自我检测 1 (2011 长沙模拟 )下 列集合表示同一集合的是 ( ) A M (3,2)， N (2,3) B M (x， y)|x y 1， N y|x y 1 C M 4,5， N 5,4 D M 1,2， N (1,2) 答案 C 2 (2009 辽宁 )已知集合 M x| 33 当 ( B B 时， B 即 A B . 当 B ，即 a0 时，满足 B 当 B ，即 (1)若 a 1，求 A B； (2)若 A B R，求实数 a 的取值范围 解 (1)当 a 1 时， A x| 35 A B x| 35，且 A B R， a 45 12m 1，即 m” 或 “ ” 两种情况 解答集合问题时应注意五点： 1注意集合中元素的性质 互异性的应用，解答时注意检验 2注意描述法给出的集合的元素如 y|y 2x， x|y 2x， (x， y)|y 2x表示不同的集合 3注意 的特殊性在利用 AB 解题时，应对 A 是否 为 进行讨论 4注意数形结合思想的应用在进行集合运算时要尽可能借助 和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用 表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍 5注意补集思想的应用在解决 A B 时，可以利用补集思想，先研究 A B 的情况，然后取补集 (满分： 75 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分 ) 1满足 1 A1,2,3的集合 A 的个数是 ( ) A 2 B 3 C 4 D 8 答案 B 解析 A 1 B，其中 B 为 2,3的子集，且 B 非空，显然这样的集合 A 有 3 个， 即 A 1,2或 1,3或 1,2,3 2 (2011 杭州模拟 )设 P、 Q 为两个非空集合，定义集合 P Q a b|a P， b Q若P 0,2,5， Q 1,2,6，则 P Q 中元素的个数是 ( ) A 9 B 8 C 7 D 6 答案 B 解析 P Q 1,2,3,4,6,7,8,11，故 P Q 中元素的个数是 8. 3 (2010 北京 )集合 P x Z|0 N x| 2x 11 ，则右图中阴影部分所表示的集合是 ( ) A x| 2 求 A B. 解 A x|5x 60 x| 6 x1 (3 分 ) B x|3x0 x| (6 分 ) 如图所示， A B x| 6 x1 x| R.(9 分 ) A B x| 6 x1 x| x| 6 5 分 ) a 8，a 12. 120 时，如图，若 BA， 则 1a 12，4a2 ，(9 分 ) a2 ，a2. 0a2.(11 分 ) 综上知，当 BA 时， 12a2.(12 分 ) 11 (14 分 )(2011 岳阳模拟 )已知集合 A x|x 5x 10 ， B x|2x m0， (1)当 m 3 时，求 A( (2)若 A B x| 1x4，求实数 m 的值 解 由 x 5x 10 ， 所以 1x5 ，所以 A x| 1x5 (3 分 ) (1)当 m 3 时， B x| 1x3， 则 x|x 1 或 x3 ， (6 分 ) 所以 A( x|3 x5 (10 分 ) (2)因为 A x| 1x5 ， A B x| 1x4， (12 分 ) 所以有 42 24 m 0，解得 m 8. 此时 B x| 2x4，符合题意， 故实数 m 的值为 8.(14 分 ) 1 学案 16 定积分及其简单的应用 导学目标： 根据几何意义解释定积分 用求导公式和导数运算法则，反方向求使 F( x) f(x)的 F(x)，并运用牛顿 莱布尼茨公式求 f(x)的定积分 通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积 熟练运用定积分求变速直线运动的路程 用定积分求变力所做的功 自主梳理 1定积分的几何意义：如果在区间 a， b上函数 f(x)连续且恒有 f(x)0 ，那么函数f(x)在区间 a， b上的定积分的几何意义是直线 _所围成的曲边梯形的 _ 2定积分的性质 (1)x)_ (k 为常数 )； (2)baf1(x) f2(x)_； (3)x)_. 3微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是区间 a， b上的连续函数，并且 F( x) f(x)，那么 x)F(b) F(a)， 这个结论叫做 _，为了方便，我们常把 F(b) F(a)记成_，即 x)F(x)|F(b) F(a) 4定积分在几何中的应用 (1)当 x a， b且 f(x)0 时，由直线 x a， x b (a b)， y 0 和曲线 y f(x)围成的曲边梯形的面积 S _. (2)当 x a， b且 f(x)g(x)0 时，由直线 x a， x b (a b)和曲线 y f(x)， y g(x)围成的平面图形的面积 S _. (4)若 f(x)是偶函数，则 a af(x)2x) f(x)是奇函数，则 a af(x)0. 5定积分在物理中的应用 (1)匀变速运动的路程 公式 做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v v(t)v(t)0 在时间区间a， b上的定积分，即 _ (2)变力做功公式 一物体在变力 F(x)(单位： N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与 F 相同的方向从 x a 移动到 x b (， S k0(2kx) k0(x k)213(x k)3|0 13( k)3 由题意知 9， k 3. 由图象的对称性可知 k 3 也满足题意，故 k 3. 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)与绝对值有关的函数均可化为分段函数 分段函数在区间 a， b上的积分可分成几段积分的和的形式 分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细 (2)f(x)是偶函数，且在关于原点对称的区间 a， a上连续，则 a af(x)2x)解 (1) x 1x 1x2 12x2|ln x|1x| 12(1) (ln e ) 1e 11 121e 32. (2) 2 0(x 2x) 2 02 2 0 ( x)| 2 0 2x| 2 0 2 ( ) 2 2 1. (3)0 (2x 32) 20 30 0 2 2( x)|0 30 2x|0 2( ) ( ) 3( 2( 0) 7 3 2 . (4) 0 x2 ， 于是 |1| 1， 1x2 ，1 0 x1 ， 20|1|10(1 x2)21(1) x 1310 13x |21 2. 变式迁移 1 解 (1) ( x) x， 20 |x|0 |x|2 |x| 0 2 x|0 x|2 ( ) ( ) 4. 7 (2)0 0 12 12x 0 12120 12x|0 12 12x |0 2 0 12 12 12 2. 例 2 解题导引 求曲线围成的面积的一般步骤为： (1)作出曲线的图象，确定所要求的面积； (2)联立方程解出交点坐标； (3)用定积分表示所求的面积； (4)求出定积分的值 解 作出函数 y 12y 3 (x 1)2的图象 (如 图所示 )，则所求平面图形的面积 S 为图中阴影部分的面积 解方程组 y 12x2，y 3 x 2，得 x 23，y 29或 x 2，y 2. 所以两曲线交点为 A 23， 29 ， B(2,2) 所以 S 2 233 (x 1)22 2312 2 23( 2x 2)2 2312 132x 2 23 16 23 83 4 4 881 49 43 16 8 827 42027. 变式迁移 2 解 如图， 设 f(x) x 3， g(x) 2x 3， 两函数图象的交点为 A， B， 8 由 y x 3，y 2x 3. 得 x 0，y 3 或 x 3，y 6. 曲线 y 2x 3 与直线 y x 3 所围图形的面积 S 30f(x) g(x) 30(x 3) (2x 3) 30( 3x) 133230 92. 故曲线与直线所围图形的面积为 92. 例 3 解题导引 用定积分解决变速 运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案 s(t)求导后得到速度，对速度积分则得到路程 解 方法一 由速度 时间曲线易知 v(t) 3t， t 0， ，30， t 10， ， 90， t 40， 60，由变速直线运动的路程公式可得 s 100 34010306040( 90) 3200 30t|4010 3490t |6040 1 350 (m) 答 此汽车在这 1 所行驶的路程是 1 350 m. 方法二 由定积分的物理意义知，汽车 1 所行驶的路程就是速度函数在 0,60上的 积分，也就是其速度曲线与 x 轴围成梯形的面积， s 12(30 12(30 60)30 1 350 (m) 答 此汽车在这 1 所行驶的路程是 1 350 m. 变式迁移 3 解 (1)设 v(t) v(t) 24， t 20. A、 C 间距离 | 200 (200 0 2 240 (m) (2)由 D 到 B 时段的速度公式为 v(t) (24 m/s，可知 | | 240 (m) (3) | | 240 (m)， | 7 200 2402 6 720 (m) C、 D 段用时 6 72024 280 (s) 又 A、 C 段与 B、 D 段用时均为 20 s， 共用时 280 20 20 320 (s) 课后练习区 1 D 析 设力 F 与弹簧伸长的长度 x 的关系式为 F 则 1 k k 50， F 50x，伸长 12 克服弹力做的 功 9 W 0502 502 ) 7 1 解析 10(21) 2k 11 x 10 2k 1 1 2， k 1. 8 18 解析 f( x) 2x 2f(2) ， f(2) 4 2f(2) ， 即 f(2) 4， f(x) 8x 3， 30f(x)133 3 43 2 33 18. 9解 (1)函数 y 21y 23ln x， 所以 21 21x 23ln x 21 163 23 143 . (3分 ) (2)32 x 1x 232 x 1x 2 12ln x 2x 32 92 6 (2 4) 2 92. (6分 ) (3)函数 y x x 的一个原函数为 y x 12x，所以 3 0(x x) x 12x 3 0 12 14 1 12 14. (9分 ) 322( 4 ) 3 2 3 2 3 22 311 232( 3 2 ) ( 2 3 )2 31 2x d x x d x x d xx d x x d x (3x 321 (3x)|232 12. (12分 ) 10解 (1)设 f(x) c (a0) ， 则 f( x) 2b.又 f( x) 2x 2， 10 所以 a 1， b 2，即 f(x) 2x c. (4分 ) 又方程 f(x) 0 有两个相等实根， 所以 4 4c 0，即 c 1. 故 f(x) 2x 1. (8分 ) (2)依题意，所求面积 S 10(2x 1) 13x |10 13. (12分 ) 11解 画出直线 x ， y e 1 及曲线 y 1 如图所示，则所求面积为图中阴影部分的面积 由 y e 1，y 1， 解得 B(1， e 1) 由 x ，y 1， 解得 A ， 12 . (4分 ) 此时， C( ， e 1)， D( ,0) 所以 S S 曲边梯形 S 曲边三角形 1 (e 1)10(1)| |0 x x (7 分 ) (e 1)x|1 (x)|10 |(x)|0 | (10 分 ) (e 1)(1 ) (e 1 |(e )| (e 1)(1 ) (e 2) 12 12. (14 分 ) 1 学案 14 导数在研究函数中的应用 0 导学目标： 利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间 (多项式函数一般不超过三次 )解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值 (多项式函数一般不超过三次 )及最大 (最小 )值 自主梳理 1导数和函数单调性的关系： (1)若 f( x)0 在 (a， b)上恒成立，则 f(x)在 (a， b)上是 _函数， f( x)0 的解集与定义域的交集的对应区间为 _区间； (2)若 f( x)1. (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)证明：若 a 1. 多角度审题 (1)先求导，根据参数 (2)若 x1论等价于 f( x1f( 10，故 f(x)在 (a 1,1)上单调递减，在 (0， a 1)， (1， )上单调递增 若 a 11，即 a2 时，同理可得 f(x)在 (1， a 1)上单调递减， 在 (0,1)， (a 1， ) 上单调递增 6 分 (2)证明 考虑函数 g(x) f(x) x 12(a 1)ln x x. 则 g( x) x (a 1) a 1x 2 x a 1x (a 1) 1 ( a 1 1)2. 4 由于 10， 即 g(x)在 (0， ) 上单调递增， 从而当 x1 时，有 g( g(0， 即 f( f( ， 故 f f 1.10 分 当 0 1. 综上，若 a 1.12 分 【突破思维障碍】 (1)讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于 0 或小于 0 的不等式的解集，一般就是归结为一个一元二次不 等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得到导数等于 0 的根的情况下，根的大小是分类的标准； (2)利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过函数研究函数的性质进而解决不等式问题 1求可导函数单调区间的一般步骤和方法： (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求 f( x)，令 f( x) 0，求出它在定义域内的一切实根； (3)把函数 f(x)的间断点 (即 f(x)的无定义点 )的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间； (4)确定 f( x)在各个开区间内的符号，根据 f( x)的符号判定函数 f(x)在每个相应小开区间内的增减性 2可导函数极值存在的条件： (1)可导函数的极值点 定满足 f( 0，但当 f( 0 时， 一定是极值点如 f(x) f(0) 0，但 x 0 不是极值点 (2)可 导函数 y f(x)在点 f( 0，且在 x)的符号不同 3函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值 4求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 (满分： 75 分 ) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分 ) 1 (2011 大连模拟 )设 f(x)， g(x)是 R 上的可导函数， f( x)、 g( x)分别为 f(x)、g(x) 的 导 函 数 ， 且 f( x) g(x) f(x)g( x)f(b)g(x) B f(x)g(a)f(a)g(x) C f(x)g(x)f(b)g(b) D f(x)g(x)f(a)g(a) f(x)的定义域为开区间 (a， b)，导函数 f( x)在 (a， b)内的图象如图所示，则函数 f(x) 在开区间 (a ， b) 内 有 极 小 值 点 ( ) 5 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3 (2011 嘉兴模拟 )若函数 y a(x)在区 间 33 ， 33 上为减函数，则 a 的取值范围是 ( ) A a0 B 11 D 032 C m 32 D m 3 B a 13 D 函数 y f(x)在区间 (a 1， a 1)内的极值 答案 自主梳理 1 (1)增
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