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1 线、平面垂直的判定与性质 (1)判定直线和平面垂直的方法 定义法 . 利用判定定理:一条直线与一个平面内的两条 相交 直线都垂直,则该直线与此平面垂直 . 推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条直线也 垂直 于这个平面 . (2)直线和平面垂直的性质 直线垂直于平面,则垂直于平面内 任意 直线 . 垂直于同一个平面的两条直线 平行 . 垂直于同 一条直线的两平面 平行 . (1)平面与平面垂直的判定方法 定义法 . 利用判定定理:一个平面过另一个平面的 垂线 ,则这两个平面垂直 . (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直,则一个平面内垂直于 交线 的直线垂直于另一个平面 . 请在括号中打 “” 或 “” ) (1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直,则 l . ( ) (2)若直线 a 平面 ,直线 b ,则直线 a 与 b 垂直 . ( ) (3)直线 a , b ,则 a b. ( ) (4)若 , a a . ( ) (5)a , a . ( ) 2.(2013广东 )设 m, n 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( ) , m , n ,则 m n 2 , m , n ,则 m n C.若 m n, m , n ,则 D.若 m , m n, n ,则 答案 D 解析 m与 可异面、可平行; B中 m与 异面; ,仍然满足 m n, m , n ,故 3.设 a, b, c 是三条不同的直线, , 是两个不同的平面,则 a b 的一个充分条件是 ( ) c, b c , a , b , b , b 答案 C 解析 对于选项 C,在平面 内作 c b,因为 a ,所以 a c,故 a b; A, 线 a, 可能是异面直线; a b. 中的等腰直角三角形 斜边 中 线折起得到空间四面体 图 2),则在空间四面体 , 位置关系是 ( ) 答案 C 解析 在题图 1 中的等腰直角三角形 ,斜边上的中线 是斜边上的高,则折后如题图 2, 原线段 D、 两条线段与 直,即 平面 以 是两个不同的平面, m、 n 是平面 及 之外的两条不同的直线,给出四个论断: m n; ; n ; m ,以其中三个论断作为条件,剩余的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: _. 答案 可填 与 中的一个 题型一 直线与平面垂直的判定与性质 例 1 如图 所示,在四棱锥 P , 底面 60, E 是 中点 . 3 证明: (1) (2)平面 思维启迪 第 (1)问通过 平面 可通过 平面 到结论;第 (2)问利用线面垂直的判定定理证明直线 的两条相交直线垂直 . 证明 (1)在四棱锥 P , 底面 平面 A, 平面 而 平面 (2)由 60,可得 由 (1),知 C, 平面 而 平面 底面 又 A A, 平面 平面 A, 平面 思维升华 (1)证明直线和平面垂直的常用方法: 判定定理; 垂直于平面的传递性 (a b,a b ); 面面平行的 性质 (a , a ); 面面垂直的性质 . (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 . (3)线面垂直的性质,常用来证明线线垂直 . 如图,在 , 90, D 是 中点, S 是 在平面外一点,且 (1)求证: 平面 (2)若 证: 平面 证明 (1)因为 以 在 所以 以 又 D,所以 平面 (2)因为 以 4 由 (1)知 D,所以 平面 题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例 2 (2013北京 )如图,在四棱锥 P , 2面 底面 F 分别是 中点 (1)底面 (2)平面 (3)平面 平面 思维启迪 (1)平面 底面 由面面垂直的性质证 底面 (2)由 得线面平行; (3)证明直线 平面 证明 (1) 平面 平面 又平面 平面 底面 (2) 2 四边形 又 面 平面 平面 (3) 四边形 由 (1)知 底面 平面 而 又 E、 D、 由 E, 平面 平面 底面 思维升华 (1)判定面面垂直的方法: 面面垂直的 定义; 面面垂直的判定定理 (a , a ). (2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化 . 在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直 . (2012江西 )如图所示,在梯形 , E、 F 是线段 的两 5 点,且 12, 5, 4 2, 别沿 起,使 A, B 两点重合于点 G,得到多面体 (1)求证:平面 平面 (2)求多面体 体积 . (1)证明 因为 所以四边形 由 5, 4,得 3. 由 4 2, 4,得 4, 所以 5. 在 所以 又因为 以 平面 所以 以 平面 又 平面 以平面 平面 (2)解 如图,在平面 过点 H , 则 125 . 因为平面 平面 所以 平面 所以 V 多面体 13S 矩形 H 16. 题型三 直线、平面垂直的综合应用 例 3 如图所示,在四棱锥 P ,平面 平面 等边三角形,已知 28, 24 5. (1)设 M 是 的一点,求证:平面 平面 (2)求四棱锥 P 体积 . 思维启迪 (1)因为两平面垂直与 以在平面 一定有一条直线垂直于平面 虑证明 平面 (2)四棱锥底面为一梯形,高为 距离 . (1)证明 在 4, 8, 4 5, 6 又 面 面 面 面 面 又 面 面 面 (2)解 过 O 面 面 面 即 又 的等边三角形, 2 3. 在底面四边形 2 四边形 在 边 84 5 8 55 , 此即为梯形的高 . S 四边形 2 5 4 52 8 55 24. 13 24 2 3 16 3. 思维升华 垂直关系综合题的类型及解法 (1)三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化 . (2)垂直与平行结合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用 . (3)垂直与体积结合问题,在求体积时,可根据线面垂直得到表示高的线段,进 而求得体积 . (2013江西 )如图,直四棱柱 , 2, 3, E 为 一点, 1, 3. (1)证明: 平面 (2)求点 (1)证明 过 D 的垂线交 F,则 2, 1, 2. 在 3. 在 6. 在 为 9 由 平面 E 所以 平面 7 (2)解 三棱锥 E 13 2. 在 3 2. 同理, 3 2, 2 3. 故1 3 5. 设点 1d, 则三棱锥 V 13d1 5d, 从而 5d 2, d 105 . . 立体几何证明问题中的转化思想 典 例: (12 分 )如图所示, M, N, K 分别是正方体 B, 求证: (1)平面 (2)平面 平面 思维启迪 (1)要证线面平行,需证线线平行 .(2)要证面面垂直,需证 线面垂直,要证线面垂直,需证线线垂直 . 规范解答 证明 (1)如图所示,连接 在正方体 四边形 2 分 N, D, 四边形 3 分 四边形 4 分 平面 面 平面 6 分 (2)如图所示,连接 8 M, B, 四边形 8 分 在正方体 平面 平面 四边形 10 分 平面 平面 平面 平面 平面 平面 12 分 温馨提醒 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理; (2)线线关系是线面关系、面面关系的基础 证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例;证明垂直时常用的等腰三角形的中线等; (3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范 . 方法与技巧 (1)线面垂直的定义: 内任何直线都垂直 a ; (2)判定定理 1: m、 n , m n m, l n l ; (3)判定定理 2: a b, a b ; (4)面面平行的性质: , a a ; (5)面面垂直的性质: , l, a , a l a . (1)定义:两条直线所成的角为 90; (2)平面几何中证明线线垂直的方法; (3)线面垂直的性质: a , b a b; (4)线面垂直的性质: a , b a b. (1)利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角; (2)判定定理: a , a . 直关系的转化 9 线线垂直 判定性质 线面垂直 判定性质 面面垂直 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决 . 失误与防范 注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化 . 我们要作一个平面 的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可 . A 组 专项基础训练 (时间: 40分钟 ) 一、选择题 m 是平面 的一条斜线,点 A, l 为过点 A 的一条动直线,那么下列情形可能出现的是 ( ) m, l m, l m, l m, l 答案 C 解析 设 内的射影为 n,当 l 无公共点时, l m, l . 知 直角三角形,其中 90, M 为 中点, 直于 在平面,那么 ( ) C C 案 C 解析 又 平面 性质 判定 10 故 l, m, n 是三条不同的直线, , , 是三个不同的平面,则下列命题中为假命题的是 ( ) , , l,则 l , l , m,则 l m l, m, n,若 l m,则 l n , ,则 或 答案 D 解析 对于 A, 如果两个相交平面均垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面, 该命题是真命题; 对于 B, 如果一条直线平行于两个相交平面,那么该直线平行于它们的交线, 该命题是真命题; 对于 C, 如果三个平面两两相交,有三条交线,那么这三条交线交于一点或相互平行, 该命题是真命题; 对于 D,当两 个平面同时垂直于第三个平面时,这两个平面可能不垂直也不平行, D 是假命题 D. A B C D 中, E 为 A C 的中点,则直线 直于 ( ) C D 答案 B 解析 连接 B D , B D A C , B D ,且 A C C , B D 平面 E. 而 平面 E, B D 又 B D , 5. 如图所示,直线 直于 O 所在的平面, 接于 O,且 O 的直径,点 M 为线段 中点 平面 点 B 到平面 距离等于线段 长,其 中正确的是 ( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 对于 , 平面 平面 11 又 平面 对于 , 点 平面 平面 对于 ,由 知 平面 线段 长即是点 B 到平面 距离,故 都正确 . 二、填空题 为 在平面外一点,且 两垂直,则下列命题: 其中正确的个数是 _. 答案 3 解析 如图所示 . P, 平面 又 平面 同理 C. 底面为正三角形且侧棱相等 )P , D, E 分别是 中点, 有下列三个论断: 平面 平面 答案 解析 如图, P 又 平面 面 平面 正确 . 8已知平面 , 和直线 m,给出条件: m ; m ; m ; _时,有 m .(填所选条件的序号 ) 答案 解析 若 m , ,则 m . 三、解答题 边形 直 角梯形, 2, 3, 7, 边长为 6 的正三 角形 . (1)求证:平面 平面 (2)求点 A 到平面 距离 . (1)证明 因为四边形 12 2, 3,所以 13, 又因为 7, 6,所以根据勾股定理可得 因为 7, 6,同理可得 因为 D, 平面 平面 所以 平面 D 平面 所以平面 平面 (2)解 如图,取 中点 O,连接 因为 的正三角形, 所以 3 3, 易知 平面 则 13 12 2 3 3 3 3 3, 又因为直角三角形 2 6 13 3 13, 设点 h,则由 得 13 3 13h 3 3,所以 h 3 3913 , 所以点 3913 . 10.(2012江苏 )如图,在直三棱柱 D, E 分别是棱 点 D 不同于点 C),且 F 为 的中点 . 求证: (1)平面 平面 (2)直线 平面 证明 (1)因为 所以 平面 D 平面 以 又因为 平面 E, 所以 平面 D 平面 所以平面 平面 (2)因为 1 所以 因为 平面 平面 所以 又因为 平面 所以 平面 13 由 (1)知 平面 以 又 平 面 面 所以 平面 B 组 专项能力提升 (时间: 30分钟 ) 与平面 相交,直线 m ,则 ( ) m 平行,且存在直线与 m 垂直 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 m 平行,但必存在直线与 m 垂直 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 答案 C 解析 如图,在平面 内的直线若与 , 的交线 有 之垂直 内有与 有当 时才存 在 . 2.(2012江苏 )如图,在长方体 3 2 四棱锥 A 体积为 _ 答案 6 解析 连接 ,在长方体中, 3, 3 2且 又 底面 又 B, 平面 四棱锥 A O 123 22 . 1矩形 3 2 2 6 2, 131矩形 13 6 2 3 22 6( 14 知六棱锥 P 底面是正六边形, 平面 2下列结论中: 平面 平面 直线 平面 45. 其中正确的有 _(把所有正确的序号都填上 ). 答案
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