【步步高】2015届高考数学第一轮大复习（基础+思想典型题+题组专练）文档专练 文（打包56套）新人教A版
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【步步高】2015届高考数学第一轮大复习（基础+思想典型题+题组专练）文档专练 文（打包56套）新人教A版,步步高,高考,数学,第一轮,复习,温习,基础,思想,典型,题组专练,文档,打包,56,新人
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1 直线的位置关系 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 斜率分别为 有 直线 (2)两条直线垂直 如果两条直线 为 k1 1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线 垂直 . 线相交 交点：直线 0 和 0 的公共点的坐标与方程组 00 的解一一对应 . 相交 方程组有 唯一解 ，交点坐标就是方程组的解； 平行 方程组 无解 ； 重合 方程组有 无数个解 . (1)点 A( B(的距离： | . (2)点 P(直线 l： C 0 的距离： d |C| (3)两平行直线 0 与 0 (的距离为 d |2 请在括号中打 “” 或 “” ) (1)当直线 定有 ( ) 2 (2)如果两条直线 它们的斜率之积一定等于 1. ( ) (3)已知直线 0， 0(，若直线 0. ( ) (4)点 P(直线 y b 的距离为 |b|1 ( ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离 . ( ) (6)若点 A， B 关于直线 l： y b(k 0)对称，则直线 斜率等 于 1k，且线段 中点在直线 l 上 . ( ) 3， a)、 ( 2,0)的直线与经过点 (3， 4)且斜率为 12的直线垂直，则 a 的值为 ( ) . 10 答案 D 解析 a 03 2 2， a 10. x 3y C 0 与直线 2x 3y 4 0 的交点在 y 轴上，则 C 的值为 _. 答案 4 解析 因为两 直线的交点在 以点 0， 43 在第一条直线上，所以 C 4. x y 1 0平行，且 ，则直线 _. 答案 x y 1 0 或 x y 3 0 解析 设 x y c 0，则 |c 1|2 2. |c 1| 2，即 c 1或 c 3. x 2y 1 0， x y 2 0 之间的距离 是 _. 答案 34 2 解析 先将 2x 2y 1 0化为 x y 12 0， 则两平行线间的距离为 d|2 12|2 34 2. 3 题型一 两条直线的平行与垂直 例 1 已知两条直线 4 0 和 (a 1)x y b 0，求满足下列条件的 a， b 的值 . (1) 3， 1)； (2)坐标原点到这两条直线的距离相等 . 思维启迪 本题考查两直线平行或垂直成立的充分必要条件，解题易错点在于忽略斜率不存在的情况 . 解 (1)由已知可得 1 a. 若 0，则 1 a 0， a 1. 线 b 0. 又 3， 1)， 3a 4 0，即 a 43(矛盾 ). 此种情况不存在 ， 0. 即 1 a， 1，即 a) 1. 又 3， 1)， 3a b 4 0. 由 联立，解得 a 2， b 2. (2) 直线 1 a. 又 坐标原点到这两条直线的距离相等，且 的截距互为相反数，即 4b b， 联立 ，解得 a 2，b 2 或 a 23，b 2. a 2， b 2或 a 23， b 2. 思维升华 当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况 x、 已知两直线 x 1 0 和 2x y 1 0，求 的值，使得： (1) (2) 4 解 (1)方法一 当 0时，直线 ，显然 当 0时， 1， 2. 要使 1 2， 即 22 . 所以 4， k Z，此时两直线的斜率相等 . 故当 4， k 方法二 由 0，得 21 0， 所以 22 . 又 0，所以 1 0，即 1. 所以 4， k Z. 故当 4， k (2)因为 0是 所以 2 0，即 0，所以 k Z. 故当 k 题型二 两直线的交点 例 2 过点 P(3,0)作一直线 l，使它被两直线 2x y 2 0 和 x y 3 0 所截的线段 P 为中点，求此直线 l 的方程 . 思维启迪 求直线的方程一般需要两个已知条件，本例已知直线 l 过一定点 P(3,0)，还需要寻求另一个条件 此，有两种解法 . 解 方法一 设直线 为 y k(x 3)， 将此方程分别与 得 y kx 3，2x y 2 0 和 y kx 3，x y 3 0. 解之，得 3k 2k 2和 3k 3k 1， P(3,0)是线段 6得 3k 2k 23k 3k 1 6，解得 k 8. 故直线 y 8(x 3)，即 8x y 24 0. 方法二 设 的坐标为 ( 5 P(3,0)是线段 则 的坐标为 (6 22 0，6 3 0. 解这个方程组，得 113，163 . 点 113， 163 )，由两点式可得 x y 24 0. 思维升华 (1)两直线交点的求法 求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点 . (2)常见的三大直线系方程 与直线 C 0平行的直线系方程是 A x m 0(m R且 m C). 与直线 C 0垂直的直线系方程是 m 0(m R). 过直线 0 与 0 的交点的直线系方程为 1 ( 0( R)，但不包括 如图，设一直线过点 ( 1,1)，它被两平行直线 x 2y 1 0， x 2y 3 0 所截的线段的中点在直线 x y 1 0 上，求其方程 . 解 与 x 2y 2 0. 设所求直线方程为 (x 2y 2) (x y 1) 0， 即 (1 )x (2 )y 2 1,1)， (1 )( 1) (2 )1 2 0. 解得 13. 所求直线方程为 2x 7y 5 0. 题型三 距离公式的应用 例 3 正方形的中心在 C( 1,0)，一条边所在的直线方程是 x 3y 5 0，求其他三边所在直线的方程 . 思维启迪 借助平行直线系和垂直直线系设出其他三边所在直线的方程，利用正方形的中心到各边距离相等列出方程求直线系中的参数 . 解 点 x 3y 5 0的距离 d | 1 5|1 9 3 105 . 6 设与 x 3y 5 0平行的一边所在直线的方程是 x 3y m 0(m 5)， 则点 x 3y m 0的距离 d | 1 m|1 9 3 105 ， 解得 m 5(舍去 )或 m 7， 所以与 x 3y 5 0平行的边所在直线的方程是 x 3y 7 0. 设与 x 3y 5 0垂直的边所在直线的方程是 3x y n 0， 则点 x y n 0的距离 d | 3 n|1 9 3 105 ， 解得 n 3或 n 9， 所以与 x 3y 5 0垂直的两边所在直线的方程分别是 3x y 3 0和 3x y 9 0. 思维升华 正方形的四条边两两平行和垂直，设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决，解题时要结合图形进行有效取舍 运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中 x， 已知点 P(2， 1). (1)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程； (2)求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程，并求出最大距离 . (3)是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由 . 解 (1)过 ，而 2， 1)，可见，过 P(2， 1)垂直于 此时 方程为 x 2. 若斜率存在，设 y 1 k(x 2)， 即 y 2k 1 0. 由已知，得 | 2k 1|1 2，解之得 k 34. 此时 x 4y 10 0. 综上，可得直线 x 2或 3x 4y 10 0. (2)作图可证过 距离最大的直线是过 由 l 1. 所以 12. 由直线方程的点斜式得 y 1 2(x 2)， 即 2x y 5 0， 7 即直线 2x y 5 0是过 距离最大的直线，最大距离为 | 5|5 5. (3)由 (2)可知，过 P 点不存在到原点距离超过 5的直线，因此不存在过 P 点且与原点距离为 6的直线 . 题型四 对称问题 例 4 已知直线 l： 2x 3y 1 0，点 A( 1， 2) (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A 的坐标； (2)直线 m： 3x 2y 6 0 关于直线 l 的对称直线 m 的方程； (3)直线 l 关于点 A( 1， 2)对称的直线 l 的方程 . 思维启迪 解决对称问题，不管是轴对称还是中心对称，一般都要转化为点之间的对称问题 . 解 (1)设 A (x， y)，再由已知 y 2x 123 1，2 x 12 3 y 22 1 0. 解得 x 3313，y 413. A ( 3313， 413). (2)在直线 M(2,0)， 则 M(2,0)关于直线 m 上 . 设对称点为 M (a， b)，则 2 a 22 3 b 02 1 0，b 0a 223 ( 613， 3013). 设 m与 ，则由 2x 3y 1 0，3x 2y 6 0. 得 N(4,3). 又 m 经过点 N(4,3)， 由两点式得直线方程为 9x 46y 102 0. (3)设 P(x， y)为 l 上任 意一点， 则 P(x， y)关于点 A( 1， 2)的对称点为 P ( 2 x， 4 y)， P 在直线 2( 2 x) 3( 4 y) 1 0， 即 2x 3y 9 0. 8 思维升华 解决成中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住 “ 垂直平分 ” ，由垂直列一方程，由平分列一方程，联立求解 . 光线沿直线 x 2y 5 0 射入，遇直线 l： 3x 2y 7 0 后反射，求反射光线所在的直线方程 . 解 方法一 由 x 2y 5 0，3x 2y 7 0， 得 x 1，y 2. 反射点 1,2). 又取直线 x 2y 5 0上一点 P( 5， 0)，设 (由 23 5. 而 的中点 52 ， 352 27 0. 由 523，325 7 1713， 9x 2y 33 0. 方法二 设直线 x 2y 5 0上任意一点 P(于直线 (x， y)，则 x 23， 又 的中点 Q x y 3 x 2 y 7 0， 由 x 23，3 x y 7 点的横、纵坐标分别为 5x 12y 4213 ， 12x 5y 2813 ， 9 代入方程 x 2y 5 0中，化简得 29x 2y 33 0， 所求反射光线所在的直线方程为 29x 2y 33 0. 转化与化归思想在对称问题中的应用 典例： (12 分 )已知直线 l： x 2y 8 0 和两点 A(2,0)， B( 2， 4). (1)在直线 l 上求一点 P，使 | |小； (2)在直线 l 上求一点 P，使 | |最大 . 思维启迪 处理此类解析几何最值问题时，一般转化为一条线段的长度来计算 . 规范解答 解 (1)设 (m， n)， 则 n 0m 2 2m 22 2n 02 8 0， 解得 m 2n 8 ，故 A ( 2,8). 3 分 则 | | | | |A B|， 当且仅当 B， P， A 三点共线时， | |得最小值， 为 |A B|，点 5 分 解 x 2x 2y 8 0 得 x 2y 3 ， 故所求的点 2,3). 7 分 (2)A， 线 则 | | |当且仅当 A， B， | |取得最大值，为 |点 9 分 又直线 y x 2， 解 y x 2x 2y 8 0 得 x 12y 10 ， 故所求的点 12,10). 12 分 温馨提醒 在直线 l 上找一点 P 到两定点 A， B 的距离之和最小，则点 P 必在线段 上，故将 l 同侧的点利用对称转化为异侧的点；若点 P 到两定点 A， B 的距离之差最大，则点 B 的延长线、或 的延长线上，故将 A ， 10 B 为点 A， B 关于 l 的对称点 ). 方法与技巧 直和重合 l2，k1 么另一条直线的斜 率一定要特别注意 . 利用坐标转移法 . 失误与防范 先应分析直线的斜率是否存在 根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑 . d |2 定要注意将两方程中 x， y 的系数化为相同的形式 . A 组 专项基础训练 (时间： 40分钟 ) 一、选择题 1.(2012浙江 )设 a R，则 “ a 1” 是 “ 直线 2y 1 0 与直线 x (a 1)y 4 0平行 ” 的 ( ) 答案 A 解析 若直线 a(a 1) 2 1 0， 即 a 2或 a 1， 所以 “ a 1” 是 “ 直线 的充分不必要条件 . 2,3)射出的光线沿与向量 a (8,4)平行的直线射到 y 轴上，则反射光线所在的直线方程为 ( ) 2y 4 0 y 1 0 6y 16 0 y 8 0 答案 A 11 解析 由直线与向量 a (8,4)平行知：过点 (2,3)的直线的斜率 k 12，所以直线的方程为 y 3 12(x 2)，其与 0,2)，又点 (2,3)关于 2,3)，所以反射光线过点 ( 2,3)与 (0,2)，由两点式知 l 过点 P(3,4)且与点 A( 2， 2)， B(4， 2)等距离，则直线 l 的 方程为 ( ) 3y 18 0 y 2 0 2y 18 0 或 x 2y 2 0 3y 18 0 或 2x y 2 0 答案 D 解析 设所求直线方程为 y 4 k(x 3)， 即 y 4 3k 0， 由已知，得 | 2k 2 4 3k|1 |4k 2 4 3k|1 k 2或 k 23. 所求直线 x y 2 0或 2x 3y 18 0. 4.设 a、 b、 c 分别是 A、 B、 C 所对边的边长，则直线 c 0 与 0 的位置关系是 ( ) 答案 C 解析 由 ，得 0. 两直线垂直 . 知 A(4,0)、 B(0,4)，从点 P(2， 0)射出的光线经直线 射 后再射到直线 ，最后经直线 射后又回到 P 点，则光线所 经过的路程是 ( ) 0 答案 A 12 解析 由题意知点 (4,2)，关于 对称点为 C( 2,0)，则光线所经过的路程 2 10. 二、填空题 3y 1 0 与直线 2x (a 1)y 1 0 垂直，则 实数 a _. 答案 35 解析 由两直线垂直的条件得 2a 3(a 1) 0， 解得 a 35. m 被两平行线 x y 1 0 与 x y 3 0 所截得的线段的长为 2 2，则 m 的倾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 _. 答案 解析 两直线 x y 1 0与 x y 3 0之间的距离为 |3 1|2 2，又动直线 2，故动直线与两直线的夹角应为 30，因此只有 适合 . 标纸折叠一次，使得点 (0,2)与点 (4,0)重合，点 (7,3)与点 (m， n)重合，则 m n_. 答案 345 解析 由题意可知纸的折痕应是点 (0,2)与点 (4,0)连线的中垂线，即直线 y 2x 3，它也是点 (7,3)与点 (m， n)连线的中垂线，于是 3 2 7 3n 3m 712， 解得 m 35n 315，故 m n 345 . 三、解答题 l 过点 A(1， 1)与已知直线 2x y 6 0 相交于 B 点，且 | 5，求直线 l 的方程 . 解 过点 A(1， 1)与 x 1. 解方程组 x 12x y 6 0 ， 13 求得 1,4)，此时 | 5， 即 x 1为所求 . 设过 A(1， 1)且与 y 1 k(x 1)， 解方程组 2x y 6 0y 1 kx 1 ， 得两直线交点为 x k 7k 2y 4k 2k 2. (k 2，否则与已知直线平行 ). 则 k 7k 2， 4k 2k 2 ). 由已知 (k 7k 2 1)2 (4k 2k 2 1)2 52， 解得 k 34， y 1 34(x 1)， 即 3x 4y 1 0. 综上可知，所求直线的方程为 x 1或 3x 4y 1 0. 顶点 A(5,1)， 上的中线 在直线方程为 2x y 5 0， 上的高 在直线方程为 x 2y 5 0，求直线 方程 . 解 依题意知： 2， A(5,1)， x y 11 0， 联立 2x y 11 0，2x y 5 0， C(4,3). 设 B( 为 (52 ， 12 )， 代入 2x y 5 0，得 21 0， 21 0，25 0， B( 1， 3)， 65， 直线 方程为 y 3 65(x 4)， 即 6x 5y 9 0. B 组 专项能力提升 (时间： 25分钟 ) 1.(2013天津 )已知过点 P(2,2)的直线与圆 (x 1)2 5 相切，且与直线 y 1 0 垂直，则 a 等于 ( ) 14 A. 12 案 C 解析 圆心为 O(1,0)， 由于 P(2,2)在圆 (x 1)2 5上， 点处的切线垂直 . 2 02 1 2， 又点 y 1 0垂直 . a 2，选 C. y 和直线 y 2x c，则直线 ( ) x 轴围成等腰直角三角形 答案 D 解析 1,1， ，积可能为 1，即两直线可能垂直，斜率不可能相等，所以
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