【步步高】2015届高考数学第一轮大复习（基础+思想典型题+题组专练）文档专练 文（打包56套）新人教A版
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【步步高】2015届高考数学第一轮大复习（基础+思想典型题+题组专练）文档专练 文（打包56套）新人教A版,步步高,高考,数学,第一轮,复习,温习,基础,思想,典型,题组专练,文档,打包,56,新人
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1 合的概念与运算 1 集合与元素 (1)集合元素的三个特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 (2)元素与集合的关系是 属于 或 不属于 关系，用符号 或 表示 (3)集合的表示法： 列举法 、 描述法 、 图示法 (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或 N ) Z Q R (1)子集：对任意的 x A，都有 x B，则 A B(或 B A) (2)真子集：若 A B，且 A B，则 A B(或 B A) (3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集即 A， B(B ) (4)若 A 含有 n 个元素，则 A 的子集有 2A 的非空子集有 2n 1 个 (5)集合相等：若 A B，且 B A，则 A B. 3 集合的运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 符号 A B x|x A 或 x B A B x|x A 且 x B x|x U，且 xA 并集的性质： A A； A A A； A B B A； A B A B A. 交集的性质： A ； A A A； A B B A； A B A A B. 补集的性质： A ( U； A ( ； U( A. 2 1判断下面结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “” ) (1)A x|y 1 y|y 1 (x， y)|y 1 ( ) (2)1,2,3 3,2,1 ( ) (3) 0 ( ) (4)若 A B A C，则 B C. ( ) (5)已知集合 M 1,2,3,4， N 2,3，则 M N N. ( ) (6)若全集 U 1,0,1,2， P x Z|集合 B x|21 0， a0若 A B 中恰含有一个整数，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 34， 43 解析 A x|2x 30 x|x1 或 f(0) 10， 即 4 4a 1 0，9 6a 10， 所以 a 34， 当 y 1 时， x 可取 2,3,4,5，有 4 个； 当 y 2 时， x 可取 3,4,5，有 3 个； 当 y 3 时， x 可取 4,5，有 2 个； 当 y 4 时， x 可取 5，有 1 个 故共有 1 2 3 4 10(个 )，选 D. (2)因为 1， a b， a 0， b ， a 0， 所以 a b 0，得 1， 所以 a 1， b b a 2. 思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条 件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合； (2)集合中元素的互异性常常容易忽 略，求解问题时要特别注意分类讨论的思想方法常用于解决集合问题 (1)已知集合 A (x， y)|x， y R，且 1， B (x， y)|x， y R，且 y x，则 A B 的元素个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 (2)若集合 A x|3x 2 0的子集只有两个，则实数 a _. 答案 (1)C (2)0 或 98 解析 (1)集合 A 表示的是圆心在原点的单位圆，集合 B 表示的是直线 y x，据此画出图象，可得图象有两个交点，即 A B 的元素个数为 2. (2) 集合 A 的子集只有两个， A 中只有一个元素 当 a 0 时， x 23符合要求 当 a 0 时， ( 3)2 4a 2 0， a 98. 4 故 a 0 或 98. 题型二 集合间的基本关系 例 2 (1)已知集合 A x|3x 2 0， x R， B x|04，即 c 4. 题型三 集合的基本运算 例 3 (1)(2013湖北 )已知全集为 R，集合 A x|12x 1 ， B x|6x 8 0 ，则 A (于 ( ) A x|x 0 B x|2 x 4 C x|0 D x|04 或 (2)先求出集合 A，再根据集合的交集的特点求解 A x| 50，则 A B ( ) A x|22， A B x Z|21 D x|x 1 或 x 0， M x|x1 或 x 0， N y|y 1， M N x|x1 3已知 U y|y x1， P y|y 1x， x2，则 _. 答案 12， 解析 U y|y x1 y|y0， P y|y 1x， x2 y|00，若 A B，则实数 c 的取值范围是_ 答案 1， ) 解析 A x|y lg(x x|x (0,1)， B x| (0， c)， 因为 A B，画出数轴，如右图所示，得 c 1. 5已知集合 A (x， y)|y a， B (x， y)|y 1， b0， b 1，若集合 A B 只有一个真子集，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 (1， ) 解析 由于集合 y 使集合 A B 只有一个真子集，那么 y 1(b0， b 1)与 y a 的图象只能有一个交点，所以实数 a 的取值范围是 (1， ) 1 题及其关系、充分条件与必要条件 1 命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假 的陈述句叫做命题其中 判断为真的语句叫真命题， 判断为假 的语句叫假命题 2 四种命题及相互关系 3 四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有 相同 的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 没有 关系 4 充分条件与必要条件 (1)如果 p q，则 p是 分条件 ， q是 要条件 ； (2)如果 p q， q p，则 p是 要条件 1判断下面结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “” ) (1)“ 2x 31” 是真命题 B逆命题 “ 若 m 1，则函数 f(x) 0， )上是增函数 ” 是假命题 C逆否命题 “ 若 m1，则函数 f(x) 0， )上是减函数 ” 是真命题 D逆否命题 “ 若 m1，则函数 f(x) 0， )上不是增函数 ” 是真命题 思维启迪 (1)可化简复数 z，再利用复数的知识判断命题真假； (2)利用四种命题的定义判断四种命题形式是否正确，可利用四种命题的关系判断命题是否为真 答案 (1)C (2)D 解析 (1)z 2 1 i 2 1 i 1 i 1 i 1 i， 所以 |z| 2， ( 1 i)2 (1 i)2 2i， z 1 i， 选 C. (2)命题 “ 若函数 f(x) 0， )上是增函数，则 m 1” 是真命题，所以其逆否命题 “ 若 m1，则函数 f(x) 0， )上不是增函数 ” 是真命题 思维升华 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键； (2)根据 “ 原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假 ” 这一性质，当 一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假； (3)判断一个命题为假命题可举反例 (1)命题 “ 若 3，则 12” 的逆命题是 ( ) A若 3，则 12 B若 3，则 12 C若 12，则 3 D若 12，则 3 (2)命题 “ 若 x， x 的逆否命题是 ( ) A若 x x与 B若 x x与 C若 x x与 D若 x x与 答案 (1)C (2)C 4 解析 (1)命题 “ 若 3，则 12” 的逆命题是 “ 若 12，则 3” (2)由 于 “ x， 的否定表达是 “ x， ， “ x 的否定表达是 “ x ，故原命题的逆否命题为 “ 若 x x， ，故选 C. 题型二 充要条件的判定 例 2 已知下列各组命题，其中 p是 ( ) A p： m 2 或 m 6； q： y m 3 有两个不同的零点 B p： f xfx 1； q： y f(x)是偶函数 C p： ； q： D p： A B A； q： A U， B U， 维启迪 首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断 答案 D 解析 对于 A，由 y m 3 有两个不同的零点，可得 4(m 3)0，从而可得 p是 对于 B，由 f xfx 1 f( x) f(x) y f(x)是偶函数，但由 y f(x)是偶函数不能推出 f xfx 1，例如函数 f(x) 0，所以 p是 对于 C，当 0 时，不存在 ，反之也不成立，所以 p是 对于 D，由 A B A，知 A B，所以 反之，由 A B，即 A B A. 所以 p q. 综上所述， p是 . 思维升华 充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据 p q， q (2)集合法：根据 p， (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如 “ 1” 是 “ x 1或 y 1” 的何种条件，即可转化为判断 “ x 1且 y 1” 是 “ 1” 的何种条件 (1)(2012福建 )已知向量 a (x 1,2)， b (2,1)，则 a ) A x 12 B x 1 C x 5 D x 0 5 (2)设集合 A x R|x 20， B x R|则 “ x A B” 是“ x C” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 (1)D (2)C 解析 (1) a (x 1,2)， b (2,1)， ab 2(x 1) 2 1 2x. 又 a b ab 0， 2x 0， x 0. (2)因为 A x|x 20 x|x2 (2， )， B x| x| ( ， 0) (2， ) 即 A B x A B” 是 “ x C” 的充要条件 . 题型三 充分条件与必要条件的应用 例 3 (1)函数 f(x) x0， 2x a， x 0 有且只有一个零点的充分不必要条件是 ( ) A 2)设 p： |4x 3| 1， q： (2a 1)x a(a 1) 0，若非 实数 ( ) A. 0， 12 B. 0， 12 C ( ， 0 12， D ( ， 0) 12， 思维启迪 (1)根据图象交点先求得 f(x)有一个零点的充要条件，再利用 “ 以小推大 ” (集合间关系 )判定； (2)考虑条件所对应集合间的包含关系 答案 (1)A (2)A 解析 (1)因为函数 f(x)过点 (1,0)，所以函数 f(x)有且只有一个零点 函数 y 2x a(x 0)没有零点 函数 y 2x(x 0)与直线 y 数形结合，可得 a 0 或 a1. 观察选项，根据集合间关系 a| 答案选 A. (2)p： |4x 3| 1 1 4x 3 1， 12 x 1； q： (2a 1)x a(a 1) 0 (x a)x (a 1) 0， 6 a x a 1. 由题意知 p是 有 a 12，a 11，或 是 “ 命题 q：实数 1m1 表示的焦点在 p是 _ 答案 (1) 1 (2) 13， 38 解析 (1)由 ，得 又 “ ” 是 “ ，反之不成立， 所以 a 1，即 1. (2)由 a0， 712由 1m 1 表示焦点在 可得 2 mm 10，解得 11，4a 32 或 3a 1，4 x|y|” 的逆命题 B命题 “ 若 x1，则 ” 的否命题 C命题 “ 若 x 1，则 x 2 0” 的否命题 D命题 “ 若 ，则 x1” 的逆否命题 答案 A 解析 对于 A，其逆命题：若 x|y|，则 xy，是真命题， 这是因为 x|y| y y 0 y 于 B，否命题：若 x 1，则 1，是假命题如 x 5， 251；对于 C，其否命题：若 x 1，则 x 2 0，因为 x 2 时， x 2 0，所以是假命题；对于 D，若 ，则 x0 或 此原命题的逆否命题是假命题，故选A. 3已知集合 M x|00 不成立 ” 是真命题，则实数 _ 答案 3,0 解析 23 0 恒成立，当 a 0 时， 3 0 成立； 当 a 0 时，得 1是 2x 30的必要不充分条件，则实数 _ 答案 0,2 解析 由已知易得 x|2x 30 x|1， 又 x|2x 30 x| 1 m 1m 13，即 m2. 5下列四个结论中： “ 0” 是 “ a 0” 的充分不必要条件； 在 “ 是 “ 直角三角形 ” 的充要条件； 若 a， b R，则 “ 0” 是 “ a， 的充要条件； 若 a， b R，则 “ 0” 是 “ a， 的充要条件 正确的是 _ 答案 解析 由 0 可以推出 a 0，但是由 a 0 不一定推出 0 成立，所以 正确 由 直角三角形，但是由 直角三角形不能确定哪个角是直角，所以 不正确 由 0 可以推出 a， 反之，由 a， 0， 所以 不正确， 正确 1 单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1 简单的逻辑联结词 (1)命题中的 且 、 或 、 非 叫做逻辑联结词 (2)命题 p 且 q、 p 或 q、非 p 的真假判断 (1)全称量词：短语 “ 所有的 ”“ 任意一个 ” 在逻辑中通常叫做全称量词，用 “ ” 表示；含有全称量词的命题叫做 全称命题 (2)存在量词：短语 “ 存在一个 ”“ 至少有一个 ” 在逻辑中通常叫做存在量词，用 “ ”表示；含有存在量词的命题叫做 特称命 题 3 含有一个量词的命题的否定 1判断下面结论是否正确 (请在括号内打 “” 或 “” ) (1)命题 p q 为假命题，则命题 p、 q 都是假命题 ( ) (2)已知命题 p： N, 02n 1 000，则 p： n N, 02n 1 000. ( ) (3)命题 p 和 p 不可能都是真命题 ( ) (4)命题 “ x R， 0” 的否定是 “ x R， 命题 (4) s： x R， 1 0，假命题 思维升华 (1)对全 (特 )称命题进行否定的方法 找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定 对原命题的结论进行否定 (2)判定全称命题 “ x M， p(x)” 是真命题，需要对集合 x，证明 p(x)成立；要判断特称命 题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个 x p(立 (1)已知命题 p： R， (f( f( 0，则 p 是 ( ) A R， (f( f( 0 B R， (f( f( 0 C R， (f( f(” 的 否定 是 ( ) A对任意实数 x，都有 x1 B不存在实数 x，使 x 1 C对任意实数 x ，都有 x 1 D存在实数 x，使 x 1 答案 (1)C (2)C 解析 (1) p： R， (f( f(” 的否定是 “ 对任意实数 x，都有 x 1” 故选 C. 题型三 逻辑联结词与命题真假的应用 例 3 (1)已知 p： x R， 1 0， q： x R， 10，若 p q 为假命题，则实数 m 的取值范围为 ( ) A m 2 B m 2 C m 2 或 m 2 D 2 m 2 (2)已知命题 p： “ x 0,1， a ；命题 q： “ x R，使得 4x a 0” 若命题“ p q” 是真命题，则实数 a 的取值范围是 _ 思维启迪 利用含逻辑联结词命题的真假求参数范围问题，可先求出各命题为 真时参数的范 5 围，再利用逻辑联结词的含义求参数范围 答案 (1)A (2)e,4 解析 (1)依题意知， p， 10恒成立，则有 m 0；当q 是假命题时，则有 4 0， m 2 或 m p， q 均为假命题得 m 0m 2或 m 2 ，即 m 2. (2)若命题 “ p q” 是真命题，那么命题 p， x 0,1， a 得 a e；由 x R，使 4x a 0，知 16 4a 0， a 4，因此 e a 4. 思维升华 以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据 “ p q”“ p q”“ p” 形式命题的真假，列出含有参数的不等式 (组 )求解即可 (1)已知命题 p： “ x 1,2， a 0” ，命题 q： “ x R，使 22 a 0” ，若命题 “ p 且 q” 是真命题，则实数 a 的取值范围是 ( ) A a|a 2 或 a 1 B a|a 1 C a|a 2 或 1 a 2 D a| 2 a 1 (2)命题 “ x R,2390，且 c 1，设 p：函数 y 上单调递减； q：函数 f(x) 21 在 12， 上为增函数，若 “ p 且 q” 为假， “ p 或 q” 为真，求实数 c 的取值范围 思维启迪 (1)p、 别求出相应的 (2)用补集的思想，求出 p、 (3)根据 “ p且 q” 为假、 “ p或 q” 为真，确定 p、 规范解答 解 函数 y 上单调递减， 00且 c 1， p： c1.3 分 又 f(x) 21在 12， 上为增函数， c 12. 即 q： 00且 c 1， q： c12且 c 1.5 分 又 “ p或 q” 为真， “ p且 q” 为假， 6 p真 p假 6 分 当 c|012且 c 1 c|121 c|01，则 ax成立；命题 q：在等差数列 (其中公差 d 0)， m n p q 是 m， n， p， q N*) 则下面选项中真命题是 ( ) A p q B p q C p q D p q 答案 B 解析 对于命题 p，如图所示，作出函数 y ax(a1)与 y a1)在 (0， )上的图象，显然当 a1时，函数 y y 当 a1时， ax命题 对于命题 q，由等差数列的性质，可知当公差不为 0时， m n p q是 命题 命题 p 5下列命题中，真命题是 ( ) A 0， 2 ， 2 B x (3， )， x 1 C R， 1 8 D x 2， ， xx 答案 B 解析 对于选项 A， x 0， 2 ， x x 2 x 4 2， 此命题为假命题； 对于选项 B，当 x (3， )时， 2x 1 (x 1)2 20， 此命题为真命题； 对于选项 C， x R， x 1 x 12 2 340， 此命题为假命题； 对于选项 D，当 x 2， 时， 是 “ 23 M 23 N” 的充分不必要条件 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 C 解析 对于 ，易知 是正确的；对 于 ，由 “ p是 知， p，则q(注：互为逆否的两个命题的真假性一致 )，因此 正确；对于 ，由 M 23 M 23 N，因此 是错误的故选 C. 二、填空题 7若命题 p：关于 x 的不等式 b0 的解集是 x|x 命题 q：关于 x 的不等式 (x a)(x b) p q” 是假命题； 已知直线 3y 1 0， x 1 0，则 3； 命题 “ 若 3x 2 0，则 x 1” 的逆否命 题： “ 若 x 1，则 3x 2 0” 其中正确结论的序号为 _ 9 答案 解析 中命题 题 所以 p 正确； 当 b a 0时，有 不正确； 正确所以正确结论的序号为 . 9写出下列命题的否定，并判断真假： (1)q： x R， x 不是 5x 12 0 的根； (2)r：有些质数是奇数； (3)s： R， |0. 解 (1) q： R， x 12 0的根，真命题 (2) r：每一个质数都不是奇数，假命题 (3) s： x R， |x| 0，假命题 10已知 c0，设命题 p：函数 y 题 q：当 x 12， 2 时，函数 f(x) x 1x1果 “ p 或 q” 为真命题， “ p 且 q” 为假命题，求 c 的取值范围 解 由命题 012， 若 “ p或 q” 为真命题， “ p且 q” 为假命题， 则 p、 当 p真 0 B x N*， (x 1)20 C x R， lg 解集是 x| 12 4a a 0 ，解得 a12. 所以命题 a|a 12 由 “ p p ，可知命题 p， 当 p真 ( a|02或 a 2 1 1 机抽样 1 简单随机抽样 (1)定义：设一个总体含有 N 个个体，从中 逐个不放回地 抽取 n 个个体作为样本 (n N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都 相等 ，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样 (2)最常用的简单随机抽样的方法： 抽签法 和 随机数法 2 系统抽样的步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本 (1)先将总体的 N 个个体 编号 ； (2)确定 分段间隔 k，对编 号进行 分段 当 Nn(n 是样本容量 )是整数时，取 k (3)在第 1 段用 简单随机抽样 确定第一个个体编号 l (l k)； (4)按照一定的规则抽取样本通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号 (l k)，再加 个个体编号 (l 2k)，依次进行下去，直到获取整个样本 3 分层抽样 (1)定义：在抽样时，将总体分成 互不交叉 的层，然后按照 一定的比例 ，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样 (2)分层抽样的应用范围 ： 当总体是由 差异明显的几个部分 组成时，往往选用分层抽样 1判断下面结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “” ) (1)简单随机抽样是一种不放回抽样 ( ) (2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关 ( ) (3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样 ( ) (4)要从 1 002 个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本，需要剔除 2 个学生，这样对被剔除者不公平 ( ) (5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关 ( ) 2在某班的 50 名学生中，依次抽取学号为 5、 10、 15、 20、 25、 30、 35、 40、 45、 50 的 10 2 名学生进行作业检查，这种抽样方法是 ( ) A随机抽样 B分层抽样 C系统抽样 D以上都不是 答案 C 3将参加英语口语测试的 1 000 名学生编号为 000,001,002， ， 999，从中抽取一个容量为50 的样本，按系统抽样的方法分为 50 组，如果第一组编号为 000,001,002， ， 019，且第一组随机抽取的编号为 015，则抽取的第 35 个编号为 ( ) A 700 B 669 C 695 D 676 答案 C 解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号 l 15， 分段间隔数 k 1 00050 20，则抽取的第 35个编号为 15 (35 1) 20 695. 4大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品 120 个、 60 个、 20 个，现在需从这三个盒子中抽取一个样本容量为 25 的样本，较为恰当的抽样方法为 _ 答案 简单随机抽样 解析 因为三个盒子中装的是同一种产品，且按比例抽取每盒中抽取的不是整数，所以将三盒中产品放在一起搅匀按简单随机抽样法 (抽签法 )较为适合 5一支田径队有男运动员 48 人，女运动员 36 人若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，则抽取男运动员的人数为 _ 答案 12 解析 样本的抽取比例为 2148 36 14， 所以应抽取男运动员 48 14 12(人 ). 题型一 简单随机抽样 例 1 下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？ (1)从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本 (2)盒子里共有 80 个零件，从中选出 5 个零件进行质量检验在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里 (3)从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检验 (4)某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加 学校组织的篮球赛 思维启迪 判断一个抽样是否为简单随机抽样，要判断是否符合简单随机抽样的特征 解 (1)不是简单随机抽样因为被抽取的样本总体的个体数是无限的，而不是有限的 (2)不是简单随机抽样因为它是放回抽样 (3)不是简单随机抽样因为这是 “ 一次性 ” 抽取，而不是 “ 逐个 ” 抽取 3 (4)不是简单随机抽样因为不是等可能抽样 思维升华 (1)简单随机抽样需满足： 被抽取的样本总体的个体数有限； 逐个抽取； 是不放回抽取； 是等可能抽取 (2)简单随机抽样常有抽签法 (适用总体中个体数较少的情况 )、随机数法 (适用于个体数较多的情况 ) (2013江西 )总体由编号为 01,02， ， 19,20 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为 ( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 B 07 C 02 D 01 答案 D 解析 从第 1行第 5列、第 6列组成的数 65开始由左到右依次选出的数为 08,02,14,07,01，所以第 5个个体编号为 01. 题型二 系统抽样 例 2 将参加夏令营的 600 名学生编号为 001,002， ， 0 的样本，且随机抽得的号码为 00 名学生分住在三个营区，从 001 到 300 在第 营区，从 301 到 495 在第 营区，从 496 到 600 在第 营区，三个营区被抽中的人数依次为 ( ) A 26,16,8 B 25,17,8 C 25,16,9 D 24,17,9 思维启迪 系统抽样又称 “ 等距抽样 ” 可以根据 “ 等距 ” 确定各营区被抽中的人数 答案 B 解析 由题意及系统抽样的定义可知，将这 600名学生按编号依次分成 50组，每一组各有 12名学生，第 k(k N*)组抽中的号码是 3 12(k 1) 令 3 12(k 1) 300得 k 1034 ，因此第 营 区被抽中的人数是 25； 令 3003 12(k 1) 495得 1034 k 42，因此第 营区被抽中的人数是 42 25 17. 结合各选项知，选 B. 思维升华 (1)系统抽样的特点 机械抽样，又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第 1组所抽取的样本号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码 (2)系统抽样时，如果总体中的个体数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行 (2013陕西 )某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查， 4 将 840人按 1,2， ， 840随机编号，则抽取的 42人中，编号落入区间 481,720的人数为 ( ) A 11 B 12 C 13 D 14 答案 B 解析 由 84042 20，即每 20人抽取 1人，所以抽取编号落入区间 481,720的人数为 720 48020 24020 12(人 ) 题型三 分层抽样 例 3 (2013湖南 )某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件， 80件， 60 件为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则 n 等于 ( ) A 9 B 10 C 12 D 13 思维启迪 分层抽样，抽样比是一个定值 答案 D 解析 360 80 60， n 13. 思维升华 在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n N. 某校共有学生 2 000 名，各年级男、女生人数如下表已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到二年级女生的概率是 4 名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 ( ) 一年 级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z B 18 C 16 D 12 答案 C 解析 依题意我们知道二年级的女生有 380人，那么三年级的学生人数应该是 2 000 373 377 380 370 500，即总体中各个年级的人数比为 3 3 2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为 64 28 16. 五审图表找规律 典例： (12 分 )某单位有 2 000 名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所 示： 5 人数 管理 技术开发 营销 生产 共计 老年 40 40 40 80 200 中年 80 120 160 240 600 青年 40 160 280 720 1 200 小计 160 320 480 1 040 2 000 (1)若要抽取 40 人调查身体状况，则应怎样抽样？ (2)若要开一个 25 人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？ (3)若要抽 20 人调查对广州亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？ 抽取 40 人 调查身体状况 (观察图表中的人数分类统计情况 ) 样本人群应受年龄影响 (表中老、中、青分类清楚，人数确定 ) 要以老、中、青分层，用分层抽样 要开一个 25 人的座谈会 (讨论单位发展与薪金调整 ) 样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响 (表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚，人数确定 ) 要以管理、技术开发、营销、生产人员分层，用分层抽样 要抽 20 人调查对广州亚运会举办情况的了解 可认为亚运会是大众体育盛会，一个单位人员对情况 ,了解相当 将单位人员看作一个整体 (从表中数据看总 人数为 2 000 人 ) 人员较多，可采用系统抽样 规范解答 解 (1)按老年、中年、青年分层，用分层抽样法抽取， 1 分 抽取比例为 402 000 150. 2 分 故老年人，中年人，青年人各抽取 4人， 12人， 24人 4 分 (2)按管理、技术开发、营销、生产分层，用分层抽样法抽取， 5 分 抽取比例为 252 000 180， 6 分 故管理，技术开发，营销，生产各抽取 2人， 4人， 6人， 13人 8 分 6 (3)用系统抽样， 对全部 2 000人随机编号，号码从 0001 2000，每 100号分为一组，从第一组中用随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加 100,200， ， 1 900，共 20人组成一个样本 12 分 温馨提醒 (1)本题审题的关键有两点，一是对图表中的人员分类情况和数据要审视清楚；二是对样本的功能要审视准确 (2)本题易错点是，对于第 (2)问，由于对样本功能审视不准确，按老、中、青三层分层抽样 方法与技巧 三种抽样方法的比较 类别 各自特点 相互联系 适用范围 共同点 简单随机抽样 从总体中逐个抽取 最基本的抽样方法 总体中的个体数较少 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等 系统抽样 将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取 在起始部分抽样时，采用简单随机抽样 总体中的个体数较多 分层抽样 将总体分成几层，按各层个体数之比抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 失误与防范 进行分层抽样时应注意几点 ： (1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠； (2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同； (3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样 . A 组 专项基础训练 一、选择题 1 (2012四川 )交通管理部门为了解机动车驾驶员 (简称驾驶员 )对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为 N， 其中甲社区有驾驶员 96 人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43，则这 7 四个社区驾驶员的总人数 N 为 ( ) A 101 B 808 C 1 212 D 2 012 答案 B 解析 由题意知抽样比为 1296，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为 12 21 25 43101， 故有 1296 101N ，解得 N 808. 2某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级有 40 名 现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了 6 名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ( ) A 6 B 8 C 10 D 12 答案 B 解析 设样本容量为 N，则 N 3070 6， N 14， 高二年级所抽人数为 14 4070 8. 3某单位有职工 750 人，其中青年职工 350 人，中年职工 250 人，老年职工 150 人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职 工为 7人，则样本容量为 ( ) A 7 B 15 C 25 D 35 答案 B 解析 由题意知青年职工人数 中年职工人数 老年职工人数 350 250 1507 5 人得样本容量为 15. 4为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查抽到的班级一共有 52 名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本，已知 7 号、33 号、 46 号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应为 ( ) A 13 B 19 C 20 D 51 答案 C 解析 抽样间隔为 46 33 13， 故另一位同学的编号为 7 13 20，选 C. 5某学校高一、高二、高三三个年级共有学生 3 500 人，其中高三学生是高一学生的两倍，高二学生比高一学生多 300 人，现在按 1100的抽样比例用分层抽样的方法抽取样本，则高一学生应抽取的人数为 ( ) A 8 B 11 C 16 D 10 答案 A 解析 设高一学生有 x 人，则高三学生有 2x 人，高二学生有 (x 300)人，学校共有 4x 8 300 3 500(人 )，解得 x 800(人 )，由此可得按 1100的抽样比例用分层抽样的方法抽取样本，高一学生应抽取的人数为 1100 800 8(人 )，故应选 A. 二、填空题 6 (2012天津 )某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取 _所学校，中学中抽取 _所学校 答案 18 9 解析 150 30150 75 25 150 30250 18,75 30250 9. 7将某班的 60 名学生编号为 01,02， ， 60，采用系统抽样方法抽取一个容量为 5 的样本，且随机抽得的一个号码为 04，则剩下的四个号码依次是 _ 答案 16,28,40,52 8 (2012福建 )一支田径队有男女运动员 98 人，其中男运动员有 56 人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本，那么应抽取女运动员人数是_ 答案 12 解析 依题意，女运动员有 98 56 42(人 ) 设应抽取女运动员 据分层抽样特点， 得 2898，解得 x 12. 9课题组进行城市空气质量调查，按地域把 24 个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为 4,12,8，若用分层抽样抽取 6 个城市，则丙组中应抽取的城市数为 _ 答案 2 解析 由已知得抽样比为 624 14， 丙组中应抽取的城市数为 8 14 2. 10用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的 样本，将 160 名学生从 1 160 编号，按编号顺序平均分成 20 组 (1 8 号， 9 16 号， ， 153 160 号 )，若第 16 组抽出的号码为 123，则第 2 组中应抽出个体的号码是 _ 答案 11 解析 由题意可知，系统抽样的组数为 20，间隔为 8，设第 1组抽出的号码为 x，则由系统抽样的法则可知，第 x (n 1) 8，所以第 16组应抽出的号码为 x (16 1) 8 123，解得 x 3，所以第 2组中应抽出个体的号码为 3 (2 1) 8 11. B 组 专项能力提升 9 1某初级中学有学生 270 人，其中一年级 108 人，二、三年级
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