【步步高】2015届高考数学第一轮大复习（基础+思想典型题+题组专练）文档专练 文（打包56套）新人教A版
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【步步高】2015届高考数学第一轮大复习（基础+思想典型题+题组专练）文档专练 文（打包56套）新人教A版,步步高,高考,数学,第一轮,复习,温习,基础,思想,典型,题组专练,文档,打包,56,新人
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1 曲线 平面内动点 P 与两个定点 2c0)的距离之差的绝对值为常数 2a (2c0： (1)当 ， P 点不存在 . 标准方程 1 (a0， b0) 1 (a0， b0) 图形 性质 范围 x a 或 x a， y R x R， y a 或 y a 对称性 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点 顶点 a,0)， A2(a,0) ， a)， ， a) 渐近线 y y 心率 ee (1， )，其中 c 虚轴 线段 的长 | 2a；线段 的长 | 2b； a 叫做双曲线的半实轴长， b 叫做双曲线的半虚轴长 a、 b、 c 的关系 ca0， cb0) 2 请在括号中打 “” 或 “” ) (1)平面内到点 ,4)， ， 4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线 .( ) (2)方程 1()表示焦点在 x 轴上的双曲线 . ( ) (3)双曲线方程 (m0， n0， 0)的渐近线方程是0，即xm0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. ( ) (5)若双曲线 1(a0， b0)与1(a0， b0)的离心率分别是 1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线 ). ( ) 1 (a0， b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 ( ) A. 5 C. 2 案 A 解析 焦点 (c,0)到渐近线 y 距离为 2a，解得 b 2a，又 5 离心率 e 5. 3.(2013福建 )双曲线 1 的顶点到其渐近线的距离等于 ( ) 5 5 答案 C 解析 双曲线的顶点 (2,0)到渐近线 y 12x 的距离 d 25 2 55 . 4.(2012天津 )已知双曲线 1(a0， b0)与双曲线 C2：1 有相同的渐近线，且 ( 5， 0)，则 a _， b _. 答案 1 2 解析 与双曲线 1 有共同渐近线的双曲线的方程可设为，即1. 由题意知 c 5，则 4 16 5 14，则 1， 4. 又 a0， b0，故 a 1， b 2. 5.(2012辽宁 )已知双曲线 1，点 其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若 | |值为 _. 答案 2 3 解析 设 P 在双曲线的右支上， | x(x0)， | 2 x，因为 以 (x 2)2 3 (2c)2 8， 所以 x 3 1， x 2 3 1， 所以 | | 2 3. 题型一 双曲线的定义及标准方程 例 1 (1)已知双曲线 1 (a0， b0)和椭圆1 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 _. (2)与双曲线 22 有公共渐近线，且过点 M(2， 2)的双曲线方程为 _. (3)已知圆 (x 3)2 1 和圆 (x 3)2 9，动圆 M 同时与圆 2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 _. 思维启迪 设双曲线方程为 1，求双曲线方程，即求 a、 b，为此需要关于 a、 b 的两个方程，由题意易得关于 a、 可根据双曲线的定义直接确定 a、 b、 c；根据双曲线的定义求轨迹方程 .(注意条件 ) 答案 (1)1 (2)1 (3)1(x 1) 解析 (1)椭圆 1 的焦点坐标为 7， 0)， 7， 0)，离心率为 e74 1 与椭圆1 有相同的焦点，因此 7. 又双曲线的离心率 e 7a ，所以7a 2 74 ， 所以 a 2， 3，故双曲线的方程为 1. (2)设与双曲线 1 有公共渐近线的双曲线方程为 k，将点 (2， 2)代入得 k 222 ( 2)2 2. 双曲线的标准方程为 1. (3)如图所示，设动圆 M 与圆 2分别外切于 A 和 B. 根据两圆外切的条件， 得 | | | | | | 因为 | | 所以 | | | | 4 即 | | | | 2， 所以点 M 到两定点 又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支 (点 M 与 与 ， 其中 a 1， c 3，则 8. 故点 M 的轨迹方程为 1(x 1). 思维升华 求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法 定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a， b， c， 出 a， b 的值 双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 ( 0)，再由条件求出 的值即可 特别注意 条件 “ 差的绝对值 ” ，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支 . (1)(2012湖南 )已知双曲线 C： 1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为 ( ) 1 1 1 1 (2)设椭圆 13，焦点在 x 轴上且长轴长为 26，若曲线 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 ( ) 1 1 1 1 答案 (1)A (2)A 解析 (1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解 . 1 的焦距为 10， c 5 又双曲线渐近线方程为 y P(2,1)在渐近线上， 2 1，即 a 2b. 由 解得 a 2 5， b 5，则 C 的方程为 1，故应选 A. (2)由题意知椭圆 1( 5,0)， ,0)，设曲线 ，则 | | 8. 由双曲线的定义知： a 4， b 3. 故曲线 1. 5 题型二 双曲线的几何性质 例 2 (1)(2013浙江 )如图， 1： 1 与双曲线 公共焦点， A， B 分别是 象限的公共点 形 ( ) A. 2 B. 3 D. 62 (2)若点 O 和点 F( 2,0)分别为双曲线 1(a0)的中心和左焦点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，则 的取值范围为 ( ) A.3 2 3， ) B.3 2 3， ) C. 74， ) D.74， ) 思维启迪 (1)求圆锥曲线的离心率 e，可以求出 a， 而求出 e. (2)在圆锥曲线中求某一量的值或范围，一定要注意圆锥曲线本身的 x， 答案 (1)D (2)B 解析 (1)| 2 1. | | 4， | | 2a， | 2 a， | 2 a. 在 90， | | |， 即 (2 a)2 (2 a)2 (2 3)2， a 2， e 32 62 . (2)由条件知 1 22 4， 3， 双曲线方程为 1， 设 P 点坐标为 (x， y)，则 (x， y)， (x 2， y)， 1， 2x 2x 1 432x 1 43(x 34)2 74. 又 x 3(P 为右支上任意一点 )， 3 2 . 思维升华 在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多 e 只需根据条件得到 6 关于 a、 b、 用 b，然后变形求 e，并且需注意 ex， (1)(2013课标全国 )已知双曲线 C： 1(a0， b0)的离心率为52 ，则C 的渐近线方程为 ( ) 14x 13x 12x x (2)过双曲线 1(a0， b0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂 线，垂足为点 A，与另一条渐近线交于点 B，若 2，则此双曲线的离心率为 ( ) A. 2 B. 3 D. 5 答案 (1)C (2)C 解析 (1)由 e 52 知， a 2k， c 5k(k R )， 由 b 12. 即渐近线方程为 y . 7 (2)如图， 2， A 为线段 中点， 2 3. 又 1 2， 2 60， 0 3， 1 ( 4， e 2. 题型三 直线与双曲线的位置关系 例 3 已知双曲线 C： 1 及直线 l： y 1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围； (2)若 l 与 C 交于 A， B 两点， O 是坐标原点，且 面积为 2，求实数 k 的值 . 思维启迪 本题主要考查直线与双曲线的位置关系，解题关键是联立方程用根与系数的关系求解 . 解 (1)双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点， 则方程组 1，y 1 有两个不同的实数根， 整理得 (1 k2)22 0. 1 0， 481 0， 解得 2|， S S S 12(| | 12| 当 A， B 在双曲线的两支上且 x1 S S S 12(| | 12| S 12| 2， 8 ( (2 2)2， 即 ( 2 81 8，解得 k 0 或 k 62 . 又 20， b0). 由已知得： a 3， c 2，再由 1， 双曲线 C 的方程为 1. (2)设 A( B( 将 y 2代入 1， 得， (1 3k2)6 29 0. 由题意知 1 30， 361 0，6 23得 33 0， b0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为t (t 0). 要令双曲线的标准方程中 “ 1” 为“ 0” 就得到两渐近线方程，即方程 0 就是双曲线1 (a0， b0)的两条渐近线方程 . 失误与防范 a， b， c 大小关系 与椭圆中的 a， b， c 大小关系，在椭圆中 在双曲线中 e (1， )，而椭圆的离心率 e (0,1). 1 (a0， b0)的渐近线方程是 y 1 (a0， b0)的渐近线方程是y 设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况 . 于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点 . A 组 专项基础训练 (时间： 40分钟 ) 一、选择题 1.(2013北京 )若双曲线 1 的离心率为 3，则其渐近线方程为 ( ) 2 x 2x 12x 22 x 答案 B 解析 由 e 3，知 c 3a，得 b 2a. 渐近线方程为 y y 2x. 11 2 (2013湖北 )已知 00， b0)，由于直线 l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线 l 的方程为 l： x c 或 x c，代入 1 得 b2(1) y |2依题意2 4a， 2， 1 2， e 3. 1 的右焦点为圆心，且与 双曲线1 的渐近线相切的圆的方程是 ( ) 10x 9 0 10x 9 0 10x 9 0 10x 9 0 答案 A 解析 由于右焦点 (5,0)到渐近线 4x 3y 0 的距离 d 205 4， 所以所求的圆是圆心坐标为 (5,0)，半径为 4 的圆 10x 9 0. 是双曲线 1(a0， b0)的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、 B 两点，若 锐角三角形，则该双曲线的离心率 ( ) A.(1， ) B.(1,2) C.(1,1 2) D.(2,1 2) 答案 B 解析 由题意易知点 F 的坐标为 ( c,0)， A( c， ， B( c， E(a,0)， 因为 锐角三角形，所以 0， 即 ( c a， ( c a，0， 整理得 32e e(3e 3 1)1， 12 e (1,2)，故选 B. 二、填空题 x2 y 0，且双曲线过点 M(4， 3)，则双曲线的方程为 _. 答案 1 解析 双曲线过点 M(4， 3)， M 在 y 双曲线焦点在 x 轴上， 设双曲线方程为 1，又2， 因此设 a 2k， b k(k0)， 1， 代入 M(4， 3)解得 k 1， a 2， b 1， 方程为 1. n 1 的离心率是 3，则 n _. 答案 4 解析 根据双曲线方程得 n(12 n)0， 00， b0)的两个焦点， P 是 C 上一点，若 | | 6a 且 0，则双曲线 C 的离心率为 _. 答案 3 解析 不妨设 | 则 | | 2a， 又 | | 6a， | 4a， | 2a. 又在 30， 由正弦定理得， 90， | 2 3a， 双曲线 C 的离心率 e 2 3 3. 三、解答题 点 心率为 2，且过点 (4， 10). (1)求双曲线方程； (2)若点 M(3， m)在双曲线上，求证：点 M 在以 (3)在 (2)的条件下求 13 (1)解 离心率 e 2， 双曲线为等轴双曲线， 可设其方程为 ( 0)， 则由点 (4， 10)在双曲线上， 可得 42 ( 10)2 6， 双曲线方程为 6. (2)证明 点 M(3， m)在双曲线上， 32 6， 3， 又双曲线 6 的焦点为 2 3， 0)， 3， 0)， ( 2 3 3， m)(2 3 3， m) ( 3)2 (2 3)2 9 12 3 0， 点 M 在以 的圆上 . (3)解 21 12 4 3 |m| 6. l： y 1 与双曲线 C： 21 的右支交于不同的两点 A、 B. (1)求实数 k 的取值范围； (2)是否存在实数 k，使得以线段 直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F？若存在，求出 不存在，说明理由 . 解 (1)将直线 l 的方程 y 1 代入双曲线 C 的方程 21 后，整理得 (2)22 0. 依题意，直线 l 与 双曲线 C 的右支交于不同两点， 故 2 0， 2k2 820， 220，22k 的取值范围是 20， b0)，如图所示，双曲线 的一条渐近线方程为 y 1， 整理得 0，两边同除以 e 1 0， 解得 e 1 52 或 e 1 52 (舍去 )，故选 D. 2.(2013重庆 )设双曲线 C 的中心为点 O，若有且只有一对相交于点 O、所成的角为 60的直线 2 | |其中 2、 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A. 2 33 ， 2 B. 2 33 ， 2 C. 2 33 ， D. 2 33 ， 答案 A 解析 由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于 x 轴 (或 y 轴 )对称 该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于 30且小于等于 60，即 00， b0)的两焦点，以线段 15 若边 在双曲线上，则双曲线的离心率是 ( ) 2 3 B. 3 1 C. 3 12 D. 3 1 答案 D 解析 因为 在双曲线上， | | 2a， 长都是 2c，所以 3c c 2a， 所以 e 23 1 3 1，故选 D. 4.(2013辽宁 )已知 F 为双曲线 C： 1 的左焦点， P， Q 为 C 上的点 Q 的长等于虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 ，则 周长为 _. 答案 44 解析 由双曲线 C 的方程，知 a 3， b 4， c 5， 点 A(5,0)是双曲线 C 的右焦点， 且 | | | 4b 16， 由双曲线定义，得 | | 6， | | 6. | | 12 | | 28， 因此 周长为 | | | 28 16 44. 1 (a0， b0)的左、右焦点分别为 P 在双曲线的右支
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