2013-2014学年高中数学课后习题解答+知能达标演练（打包21套） 新人教A版选修4-1
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2013-2014学年高中数学课后习题解答+知能达标演练（打包21套） 新人教A版选修4-1,学年,高中数学,课后,习题,解答,知能,达标,演练,打包,21,新人,选修
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1 2013年高中数学人教 A 版选修 4能达标演练： 1行线等分线段定理 一、选择题 1如图所示，已知 a b c，直线 a、 b、 c 交于点 A、 E、 B，直线 a、 b、 c 交于点 C、 E、 D，若 有 ( ) A E 解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案 答案 C 2若顺次连接等腰梯形各边中点，则得到的四边形是 ( ) A平行四边形 B菱形 C矩形 D正方形 解析 如图， 由等腰梯形的性质可得 122 理 又 1212 四边形 菱形 答案 B 3如图所示， 6，则 于 ( ) A 9 B 10 C 11 D 12 解析 过点 O 作一条与 行的直线，然后结合平行线等分线段定理即可解得 9. 答案 A 4如 图，已知 交于点 O，若 F， 10 长为 ( ) B 5 D 3 2 解析 C 为 点， O 为 点， 13103 答案 A 二、填空题 知 a b c，直线 m、 n 分别与 a、 b、 c 交于点 A、B、 C 和 A 、 B 、 C ，如果 1， A B 32，则 B C _. 解析 由平行线等分线段定理可直接得到 B C 32. 答案 32 6在梯形 ， M、 N 分别是腰 腰 中点，且 2， 4，则 _. 解析 由梯形的中位线定理直接可得 2 42 3. 答案 3 7已知梯形的中位线长 10 条对角线将中位线分成的两部分之差是 3 该梯形中的较大的底是 _ 解析 设梯形较大，较小的底分别为 a， b， 则有 a 10a23可得： a 13. 答案 13 8如图，在 ，点 E 是 中点， D 于点 G， 12 5 _ 20 _解析 E 为 中点， F 为 中点 E 为 中点， G 为中点，当 5 ，则 10 D 125 15 D 20 1210 3 答案 15 10 三、解答题 9如图所示，在梯形 ， 已知 B 60 ，E 为 中点 求证： 等边三角形 证明 过 E 作 F，连接 图所示 E 为 点， F 是 点 又 由 知， 垂直平分线， 等腰三角形 B 60 ， 等边三角形 又 E 是 点， 平分线， 30. 60. 由 知， 等边三角形 10如图，在 ， 设 E 和 F 分别是边 中点， 别交 P、 Q 两点 求证： 证明 四边形 平行四边形， E、 F 分别是 上的中点， 四 边形 平行四边形 在 ， F 是 中点， P 是 中点， 在 ， E 是 中点， Q 是 中点， 11 (拓展深化 )如图，以梯形 对角线 腰 邻边作平行四边形 延长线交 点 F，求证：证明 如图所示，连接 O. 四边形 平行四边形 O 是 中点 在梯形 ， ， 又 O 是 中点， 4 F 是 中点， 1 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 第 1 课时 平行线等分线段定理 习题 第 5 页 ) 1解 如图所示，设 待 7 等分的长为 6 厘米的线段 作法 (1)过点 A 作射线 (2)在射线 以适当的长度顺次截取 (3)连接 (4)过 D、 E、 F、 G、 H、 K 做 平行线，分别交 点 D 、 E 、 F 、 G 、 H 、 K ，则 D 、 E 、 F 、 G 、 H 、 K 即为线段 7 等分点 2解 猜想： 证明： M 是 中点， N 是 中点，四边形 平行四边形， 四边形 平行四边形 分 同理可证 3证明 E、 F 分别是梯形 上的中点， G、 H 分别是梯形对角线 中点 12121212又 2( 1212 1212 2 12( 1 2013年高中数学人教 A 版选修 4能达标演练： 1行线分线段成比例定理 一、选择题 1若 下列各式一定成立的是 ( ) c b b b 解析 cd c A 不正确 a b B 正确 同理知 C、 D 均不正确 答案 B 2如图，已知 么下列结论正确的是 ( ) 案 A 3如图所示，在 ， B、 D 分别在 ，下列推理不正确的是 ( ) A 析 由平行线分线段成比例定理的 推论不难得出 A、 B、 C 都是正确的， D 错 . 答案 D 4如图所示， 中线， E 是 的三等分点， 点 F，则 2 ( ) A 2 1 B 3 1 C 4 1 D 5 1 解析 要求 比，需要添加平行线寻找与之相等的比注意到 D 是 中点，可过 D 作 G，则 12 2 212 1. 答案 C 二、填空题 5如图所示，在 ， 7 3，则值为 _ 解析 由 7 3，有 3 10. 根据 得 得 310 答案 3 10 6如图所示，已知 a b， 35， 3，则 _. 解析 a b， 3， 3 4又 35， 35， 35， 125. 125. 答案 125 7如图所示， 4.5 3 5 F 12.9 _， _. 解析 由 得 所以 5 同理可得 长度 为 答案 7.5 4.4 3 8如图所示，已知 3 2，则 _， _. 解析 3 2， 23. 3 2. 又 3 2，即 32. 23 2 2， 即 2. 2 1. 答案 3 2 2 1 三、解答题 9 如图所示，已知平面 平面 ，点 P 是平面 、 外一点，且直线 别与 、 相交于 A、 B，直线 别与 、 相交于 C、 D. (1)求证： (2)如果 4 5 3 长 (1)证明 ，平面 面 (2)解 45 3 154 ， 3 154 274. 10已知 内角平分线，求证： 证明 过 C 作 延长线于 E，如图所示， 则 又 又由 4 11 (拓展深化 )如图所示， 在 ， 1 3， 2 1， 交于 F，求 解 过点 D 作 G， 则 13，而 13， 即 所以 从而有 故 12 1 32. 1 第 2 课时 平行线分线段成比例定理 习题 第 9 页 ) 1解 如图所示，由本节例 3 知， 三边对应成比例 6， 8， 15， 86 解得 607 . 15 607 457. 2证明 如图所示， (1) (2) 由 、 得 3. 解 方案 1：如图所示，在 一侧选择一个点 C，连接 量出 长在 选一点 D，过点 D 作 1 2)，再测量出 长此时， 以由 可以计算出 距离 2 方案 1 方案 2：如图所示，在 ，使 出 长度， 方案 2 由勾股定理即可算出 长 说明：此题是一个开放性问题，测量 度的方案还有许多 (如取 特殊角等 )，因此，可以鼓励学生去积极探索不同方案 4 (1)证明 如图所示，连接 12， 13. 而 13. 23. 1323 32 3 (2)证明 如果 23，那么 可推得 35. 2535 523(3)解 如果 么 n. 同理可推得 n. (m n) 1 2013年高中数学人教 A 版选修 4能达标演练： 1似三角形的判定及性质 一、选择题 1如图所示，给出下列条件： B 其中能够单独判定 个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析 题号 判断 原因分析 B 又 A A， 由判定定理 1， 知 又 A A， 由判定定理 1， 知 由判定定理 2 知 ， 不能单独判断 又 A A， 由判定定理 2，知 案 C 2如图所示，梯形 对角线交于点 O，则下列四个结论： S S S S 其中正确的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 2 解析 正确由 知， S 正确 S S S S S S S S 正确故 都正确 答案 C 3如图所示， 90 ， D， 3， 2，则 值是 ( ) A 3 2 B 9 4 C. 3 2 D. 2 3 解析 B 为公共角， 同理 3， 2， 32，即 3 2. 答案 A 4如图所示，在 ， M 在 ， N 在 ， 列结论中正确的是 ( ) A 析 由 又 故 答案 B 二、填空题 5如图所示， 已知 C 90 ， A 30 ， E 是 点， E，则 _ 解析 E 为 点， 12，即 12 3 在 ， A 30 ， 32 又 相似比为 13. 故 相似比为 3. 3 答案 3. 3 6 如图 ， 设 ， B 外接圆的直径为 1，则 _ 解析 B 12 两三角形外接圆的直径之比等于相似比 . 答案 2 7如图，在正方形 ， E 为 中点， 点 O，则 _ 解析 在 ， 公共角， E 为 中点， 212， 12. 答案 12 8如图所示，已知点 E、 F 分别是 的 中点，交于点 G， 2，则 长为 _ 解析 E、 F 分别是 的中点， 相似三角形的预备定理，得 12，又 2， 4， 6. 答案 6 三、解答题 4 9如图，在 ，延长 D，使 ，连接 点 E. (1)求 (2)若 a， 长 解 (1)如图所示，过点 F 作 点 M. F 为 中点， M 为 中点， 12 得 23. 2323 1213 C 1323. (2) a， 1212a. 又 12a. 13 332a. 10 如图， 直角三角形， 90 ， D， E 是 中点， 延长线与 延长线交于点 F. 求证： 证明 E 是 边 中点， A 2. 又 1 2， 1 A. 1 90 1， A 90 A， 又 F 是公共角 5 11 (拓展深化 )如图， M 为线段 中点， 于点C， A B M 交 F， G， (1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对； (2)连接 果 45 ， 4 2， 3，求 长 解 (1) 以下证明： E A E A B， (2)当 45 时， 可得 M 为 中点， 2 2. 又 2 22 23 83. 又 4 25 4， 4 83 43. 4 3 1， 1 43 2 53. 1 第 3 课时 相似三角形的判定及性质 习题 第 19 页 ) 1证明 如图，连接 同弧上的圆周角， 又 A A， 2证明 如图所示， (1)在 ， (2)在 ， 又 又 3解 如图所示，设 A C x. 要使 A B C 只须 A A ， 当 x a ， A B C. 4作法 2 (1)作线段 B C ，使 B C 32 (2)以 B 为顶点， B C 为始边，作 D B C B； (3)在 B D 上截取线段 B A ，使 B A 32 (4)连接 A C ，则 A B C 为所作三角形 5证明 又 6证明 又 、 知 而 在 ，有 7证明 在 ， 90 ， 3 8解 方案 1： (1)在地面 适当位置选取一点 C，连接 量出 距离； (2)在点 C 竖立一根垂直于地面的标尺杆； (3)在 延长线上取一点 D，使点 D、标尺杆的顶点 E 和树尖在一条直线上； (4)测量 距离 在这个方案中，由于 长可以由测量而得，所以可以求出树高 长 (没有考虑测量仪的脚架高 ) 方案 2： (1)在地面上选取一点 C，连接 (2)测出 (3)在地面上选取一点 D，使 (4)过 D 作 垂线，交 E； (5)测量 长，由这三个量可以求得 长 因为按方案 2 的实施，易知 没有考虑测量仪的脚架高 ) 方案 3： (1)把一面镜子放在离树 a 米的点 E； (2)一个人望着镜子后退到点 D，这时恰好在镜子里望到树梢点 A； (3)量得 b 米，人的眼睛距地面的高度为 c 米，即可求 长 因为根据光学中的反射定律，知 所以 4 9证明 如图所示，设 A B C ，相似比为 k. (1)设 上的中线， A D 是 A B C 中 B C 边上的中线 A B C ， B C . 又 D、 D 分别为 B C 的中点， B C 2D D . 又 B B ， A B D. D B k. 其余两组对应中线之比同理可证 (2)设 A E 分别是 A B C 中 A 和 A 的内角平分线 A B C ， B A C ， B B. B A E. A B E. E B k. 同理可证，其余两个对应角的内角平分线之比也等于相似比 10解 在 ， 13. S 6， S 9S 96 54 ( 11解 问题 1：相似三角形对应角的外角平分线之比等于相似比 5 证明：设 A B C. A D 分别是 A、 A 的外角平分线，分别交 C 的延长线于 D、 D. A B C ， B A C. 又 1 2 B A C 3 4， 而 1 2， 3 4， 1 3. B A D. 又 B B ， A B D. D B k. 问题 2： A B C ，以 三条边为直径，分别向 作半圆 (如图所示 )，同样，以 A B C 的三条边为直径，分别向 A B C 外作半圆 则两个三角形中三个对应半圆的面积之比等于相似比的平方 说明 将三个半圆改为三个等边三角形、正方形、正多边形等，可以得到更多的命题 问题 3：如图所示， A B C ，相似比为 k， DC D D k. 6 说明 该题是一个开放型问题，可以由联想、类比等方法得到许多新问题在教学中应引导、启发和鼓励学生去探究、猜想 1 2013年高中数学人教 A 版选修 4能达标演练： 1角三角形的射影定理 一、选择题 1在 ， 90 ， 上的高，则相似三角形共有 ( ) A 0 对 B 1 对 C 2 对 D 3 对 解析 如图所示， 有 3 对 答案 D 2在 ， C 90 ， D，若 14，则 值是 ( ) D 2 解析 如图所示，由射影定理得 又 1 4，令 x，则 4x (x0) 4 2x， 在 ， 12. 答案 C 3如图 ， 90 ， D， 3， 2，则 ( ) 析 由题意得， 则 4，故2. 答案 A 4在 ， 90 ， 足为 C m， B ，则 长为 ( ) 2 A m B m C m D m 解析 由射影定理 ， 得 即 m， m， 即 又 . 答案 C 二、填空题 5如图所示，四边形 矩形， 90 ， 这四个三角形能相似的是_ 解析 因为四边形 矩形， 所以 A D 90. 因为 90 ，所以 1 2 90. 因为 1 90 ，所以 2. 又因为 A D 90 ，所以 答案 6 (2012 陕西 )如图，在圆 O 中，直径 弦 直，垂足为 E， 足为 F，若6， 1，则 _. 解析 连接 为 6， 1，所以 5，所以 E 15 5，在 ，有 5. 答案 5 7在 ， C 90 ， a b 1， 32，其中 a、 A 和 B 的对边，则斜边上的高 h _. 解析 由 32和 a b 1， a 3， b 2，故 c 13， h 6 1313 . 答案 6 1313 8 如图所示 ， 在 ， 90 ， 点 D， 4， 45， 则 _， _. 3 解析 在 ， 4， 45， 得 5， 又由射影定理 54. 254 4 94， 由射影定理 4 94 9， 94 254 ， 154. 答案 3 154 三、解答题 9如图所示， 边 高， 交于点 F. 求证： 证明 因为 所以 是直角三角形 又因为 以 所以 所以 10如图所示， D 为 上的一点， B，若 ， 10， 8，求 长 解 在 ， 6， 10， 8，满足 90 ， 即 又 B，且 C 90. C B 90 ，即 90 ， 故在 ， 由射影定理知 62 8 92. 11 (拓展深化 )如图， 已知 周长为 48 一锐角平分线分 4 对边为 3 5 两部分 (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长 解 (1)如图，设 3x， 5x， 则 8x， 过 D 作 由 知， 3x， 4x， 12x 48， 又 24 6x， 24 2x， (24 6x)2 (8x)2 (24 2x)2， 解得： 0(舍去 )， 2， 20， 12， 16， 三边长分别为： 20 2 6 (2)作 F 点， 2220365 ( 同理： 6220645 ( 两直角边在斜边上的射影长分别为 365 645 1 第 4 课时 直角三角形的射影定理 习题 第 22 页 ) 1解 直角三角形， 上的高， 602 25 144， 25 144 169. 又 25169 65. 又 144169 156. 2 证明 直角三角形 又 60 ， 30. 12又 123作法 (1)作一直线 l，在 l 上截取线段 b， a； (2)过 D 作 垂线 l ； (3)以 中点 O 为圆心， 长为半径作弧，与 l 交于点 C，则 为所求 证明：连接 12 直角三角形 2 线段 a 和 b 的比例中项 1 2013年高中数学人教 A 版选修 4能达标演练： 2周角定理 一、选择题 1下列说法中： (1)直径相等的两个圆是等圆； (2)长度相同的两条弧是等弧； (3)圆中最长的弦是通过圆心的弦； (4)一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，正确的有 ( ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 解析 考查圆的一些基本概念 答案 B 2如图所示， 若 D 是 中点， 则 与 等的角的个数 是 ( ) A 7 B 3 C 2 D 1 解析 由同弧或等弧所对的圆周角相等知 与 等的角有 3 个 答案 B 3如图，点 A、 B、 C 是圆 O 上的点，且 4， 30 ，则圆O 的面积等于 ( ) A 4 B 8 C 12 D 16 解析 连接 30 ， 60 ， 又 等边三角形， 又 4， 4， S O 4 2 16. 答案 D 4如图所示，若圆内接四边形的对角线相交于 E，则图中相似三角形有( ) 2 A 1 对 B 2 对 C 3 对 D 4 对 解析 由推论 1 知 答案 B 二、填空题 5如图所示，在 ， C 90 ， 10， 6，以直径的圆与斜边交于点 P，则 为 _ 解析 连接 推论 2 知 90 ， 即 射影定理知 答案 如图所示， O 的直径， 4 3 ，则 长为 _ 解析 由 O 的直径，可知 90 ，由勾股定理可得 5 S 1212故 34 5 以 125 答案 125 7如图所示，在 O 中，已知 60 ， 3，则 周长是 _ 解析 由圆周角定理得 A D 60 ，所以 等边三角形，所以周长等于 9. 答案 9 8如图所示， 若 等腰三角形， 接于 O， A 40 ， D 是 B C 的中点， E 是 A C 的中点，分别连接 三内角的度数分别是 _ 解析 如图所示，连接 3 D 是 B C 的中点， 圆心 O. A 40 ， 20. 20. E 是 A C 的中点， 12 35. 55. 180 20 55 105. 答案 55 20 105 三、解答题 9如图所示， O 的直径，弦 3 4 足为 D，求 D 的长 解 O 的直径， 3 4 5 95 165 95 165 14425 4 14425 125 95 165 10如图， 接于 O， 点 D 是 任意一点，6 5 3 长 解 在题图中 又 B D ， 63 5 2.5 11 (拓展深化 )如图 所示， 接于 O， D 是 上的一点， E 是直线 接圆的交点 (1)求证： (2)如图 所示，当 D 为 长线上的一点时，第 (1)题的结论成立吗？若成立 ， 请证明；若不成立，请说明理由 证明 (1)如图 ，连接 即 (2)如图 ，连接 四边形 接于 O， 5 180 180 1 第二讲 直线与圆的位置关系 第 1 课时 圆周角定理 习题 第 26 页 ) 1证明 如图所示，设 延长线与 O 相交于 E，则 接 C 的直径， O 的直径， 90. O 是 中点， 点 D 是 中点 2解 连接 圆的直径， 直角 . 由射影定理得 即 B 62 3 13解得 4 或 9. 3证明 如图所示，连接 又 O 的直径， 90. 90 又 2 90 即 等腰三角形，故 1 2013年高中数学人教 A 版选修 4能达标演练： 2的切线的性质及判定定理 一、选择题 1已知四边形 圆内接四边形，下列结论中正确的有 ( ) 如果 A C，则 A 90 如果 A B，则四边形 等腰梯形 A 的外角与 C 的外角互补 A B C D 的比 可以是 1 2 3 4 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 解析 由 “ 圆内接四边形的对角互补 ” 可知： 相等且互补的两角必为直角； 两相等邻角的对角也相等 (亦可能有 A B C D 的特例 )； 互补两内角的外角也互补； 两组对角之和的份额必须相等 (这里 1 32 4)因此得出 正确， 错误 答案 B 2如图所示，分别延长圆内接四边形 组对边相交于 E 和 F 两点，如果 E 30 ， F 50 ，那么 A 为 ( ) A 55 B 50 C 45 D 40 解析 由 A E 180 ， A F 180 ， 180 ， A 12(180 E F) 50. 答案 B 3圆内接平行四边形 一定是 ( ) A正方形 B菱形 C等腰梯形 D矩形 解析 由于圆内接四边形对角互补，平行四边形的对角相等，所以圆内接平行四边形的各角均为直角，故为矩形 答案 D 4如图所示，已知在圆内接四边形 ， 延长线交于点 P， 交于点 E，则图中共有相似三角形 2 ( ) A 5 对 B 4 对 C 3 对 D 2 对 解析 由圆周角和圆内接四边形的性质可以判定： 答案 B 二、填空题 5若 边 上的高，则 _四点共圆 解析 由 90 ，知 圆 答案 B、 C、 E、 F 6若圆内接四边形中 三 个相邻的内角比为 5 6 4，则这个四边形中最大的内角为 _，最小的内角为 _ 解析 四边形 6 4，故四个角之比一定为 5 64 3，从而最大角为 360 65 6 4 3 120 ，最小角为 360 35 6 4 3 60. 答案 120 60 7如图所示，四边形 O 的内接四边形，已知 60 ，则 _， _. 解析 由 A 12 30 ， 180 A 150. 答案 30 150 8若两条直线 (a 2)x (1 a)y 3 0， (a 1)x (2a 3)y 2 0 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数 a _. 解析 由圆内接四边形的性质，知 (a 2)(a 1) (1 a)(2 a 3) 0，整理得 1， a 1. 答案 1 或 1 三、解答题 9试说明矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上 证明 四边形 矩形， 则点 A、 B、 C、 D 到点 O 的距离相等， A、 B、 C、 D 这四个点在以点 O 为圆心， 半径的同一个圆上 10如图所示， 是圆的弦，且 F 为圆上一点，延长 于点 E. 3 求证： 证明 连接 为 以 因为 A、 B、 D、 F 四点共圆，所以 F. 因为 E 为 公共角， 所以 所以 所以 即 11 (拓展深化 )如图，已知 的两条角平分线 交于 H， B 60 ， F 在 (1)证明： B、 D、 H、 E 四点共圆； (2)证明： 分 证明 (1)在 ，因为 B 60 ， 所以 120. 因为 角平分线， 所以 60 ， 故 120. 于是 120. 因为 180 ， 所以 B、 D、 H、 E 四点共圆 (2)连接 平分线， 得 30. 由 (1)知 B、 D、 H、 E 四点共圆 所以 30. 又 60 ， 由已知可得 可得 30 ， 4 所以 分 1 第 2 课时 圆内接四边形的性质与判定定理 习题 第 30 页 ) 1证明 为直角三角形 设 O 是 中点，连接 1212 A、 B、 D、 E 四点共圆 2证明 如图所示，设四边形 对角线互相垂直，点 E、 F、 G、 H 分别是 A 的中点连接 又 同理可证 180. F、 G、 H、 E 四点共圆 3证明 A、 B、 C、 D 四点共圆， A. 2 A 而 1 2013年高中数学人教 A 版选修 4能达标演练： 2的切线的性质及判定定理 一、选择题 1已知圆的半径为 6.5 心到直线 l 的距离为 4.5 么这条直线和这个圆的公共点的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D不能确定 解析 圆心到 l 的距离是 4.5 于圆的半径 6.5 圆与 l 相交 答案 C 2下列说法中正确的个数是 ( ) 垂直于半径的直线是圆的切线； 过圆心且垂直于切线的直线必过切点； 过切点且垂直于切线的直线必过圆心； 过半径的一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 同心圆内大圆的弦 小圆的切线，则切点是 中点 A 2 B 3 C 4 D 5 解析 不正确，因为垂直于半径的直线不一定是圆的切线； 正确； 正确； 不正确，必须是过半径的外端点且垂直于这条半径的直线才是圆的切线； 正确 答案 B 3如图所示，已知 O 的直径与弦 夹角为 30 ，过 C 点的切线 延长线交于 P， 5，则 O 的半径为 ( ) C 10 D 5 解析 连接 有 60 ， 求 53 3. 答案 A 4如图所示，在 ， C 90 ， 4， 3，以 为圆心作 O 与 切于 E，与 切于 C，又 C 的另一个交点为 D，则线段 长为 2 ( ) A 1 析 O 与 切于 C，则 90 ，又 4， 3， 5，连接 设 O 的半径为 R，则由 54R， R 54R 94R 3， R 43， 2R 3 83 13. 答案 C 二、填空题 5 若 直线 l 与半径为 r 的 O 相交，且圆心 O 到直线 l 的距离为 5，则 r 的取值范 围是_ 解析 由直线与圆相交的等价条件易得 答案 (5， ) 6如图所示， O 的直径， O 于 B， 延长线交 ， A 20 ，则 _. 解析 连接 90 A 70 ， 180 110 ， 又 12(180 35 ， 90 55. 答案 55 7如图所示，直线 O 相切于点 P， O 的直径， C、 D 与距离分别为 4 2 O 的半径为 _ 解析 利用圆的切线及梯形中位线的知识可知 O 的半径为 3 答案 3 如图所示， 正方形 接于 O， O 的半径为 4 过点的弦 长是 _ 解析 利用圆内半径与弦的关系，并结合圆内接四边形的知识连接 H，连接 2 42 22 2 33 4 3 答案 4 3 三、解答题 9如图所示， O 的直径， 分 O 于 E 点，过 E 作 O 的切线交 点D，试判断 形状，并说明理由 解 直角三角形，理由如下： 连接 O 切线， 1 又 1 2， 2 直角三角形 10如图所示，在直角梯形 ， A B 90 ， E 为 分 分 直径的圆 与 怎样的位置关系？ 解 过 E 作 F， 分 分 A B 90 ， 12 以 直径的圆的圆心为 E， 圆心 E 到 距离，且 12 以 直径的圆与边 相切关系 11 (拓展深化 )如图， 接于 O，点 D 在 延长线上， 12， D 30. (1)求证： O 的切线 (2)若 6，求 长 (1)证明 如图 ，连接 12， B 30 ， 2 B， 60 ， 4 D 30 ， 180 D 90 ， O 的切线 (2)解 60 ， 等边三角形， 6， 90 ， D 30 ， 36 3. 1 第 3 课时 圆的切线的性质及判定定理 习题 第 32 页 ) 1证明 如图所示，连接 O 作 垂线与 交于 E. O 的切线， 等腰三角形， 点 E 在圆上 O 相切 2证明 如图所示，连接 O 的半径， 且 B 90 B， 90 3 证明 如图所示，连接 1 2， 3 4. 又 1 3. 2 4. 又 O 的切线， 90. 90. 2 O 的切线 1 2013年高中数学人教 A 版选修 4能达标演练： 2切角的性质 一、选择题 1如图， 点分别为 D、 E、 B 50 ， C 60 ，连接 么 ( ) A 40 B 55 C 65 D 70 解析 B 50 ， C 60 ， A 70 ， 110 ， 55. 答案 B 2如图所示， O 的直径， ， ， 2， 6，则 ( ) A 2 B 3 C 2 3 D 4 解析 连接 90 ， 又 90 ， 即 又 12， 即 2 3. 答案 C 3如图所示，经过 的切线和弦 延长线相交于点P，若 40 ， 100 ，则 对的弧的度数为 ( ) A 40 B 100 C 120 D 30 解析 O 的切线， 40 ， 2 又 100 ， 60 ， 即 度数 为 120. 答案 C 4如图所示， 线 ， C、 40 ， 则 ( ) A 110 B 115 C 120 D 135 解析 由 90 50 ， =m 2 100 ，又 =m 50 ， 12(180 50) 115. 答案 B 二、填空题 5如图所示， O 于点 F， 列出图中所有的弦切角 _ 解析 弦切角的三 要素： (1)顶点在圆上， (2)一边与圆相交， (3)一边与圆相切三要素缺一不可 答案 如图所示，已知 ，且 且 长 为圆周长 的 四分之一 ，则 _， _， _， _. 解析 弦切角等于所夹弧所对的圆周角，等于所夹弦所对圆心角度数的一半 答案 45 135 45 90 7如图所示， 点分别为 B、 C，D 是优弧 的点， 若 80 ，那么 _. 解析 连接 则 180 100 ， 12 50. 答案 50 3 8如图所示， ， 25 ，则 _ 解析 12 225 50 ， B 12(180 50) 65. 答案 65 三、解答题 9如图所示，已知 O 的弦， P 是 长线上一点， O 相切于点 A， 5 ， 80 ，求 解 因为 ， 所以 25. 又因为 80 ，所以 100. 又因为 P 180 ， 所以 P 180 100 25 55. 10如图所示，已知四边形 O， C 130 ， O 的直径，过 B 作 O 的切线 度数 解 因为四边形 C 130 ，所以 A 50. 连接 50 ，所以 80. 又因为 12 40 ， 所以 180 180 40 140 ， 即 140. 11 (拓展深化 )如图所示， O， 线 ， . (1)求证： (2)若 6 4 (1)证明 因为 以 1 2. 4 因为 以 1 3， 2 3. 因为 3 4，所以 2 4. 因为 因为 所以 (2)解 因为 3 2， 所以 因为 6 4 所以 6(6 E 103 1 第 4 课时 弦切角的性质 习题 第 34 页 ) 1证明 圆的切线， A. A 2证明 O 的切线， O 的切线， 1 C， 2 D， 1 2013年高中数学人教 A 版选修 4能达标演练： 2圆有关的比例线段 一、选择题 1如图所示， O 于 A， 延长线交 O 于 B， O 于 B，若 1 2，则 于 ( ) A 2 1 B 1 1 C 1 2 D 1 4 解析 连接 又 1 2，设 x，则 2x， x 2 2， 2 1. 答案 A 2如图所示， O 的两条切线， A、 B 为切点，连接 C，连接 图中等腰三角形、直角三角形 的 个数分别为 ( ) A 1,2 B 2,2 C 2,6 D 1,6 解析 O 切线， 分 直 角三角形有 6 个，等腰三角形有 2 个 即直角三角形有： 腰三角形有： 答案 C 3 设 圆内两条相交弦，其中一弦长为 8 被交点平分，另一条弦被交点分成 1 4 两部分，则这条弦长是 ( ) A 2 B 8 C 10 D 12 析 由相交弦推论即可得 设另一条弦被分成 x 2 4x 82 2 x4 x，所以 x 2 所以弦长为 10 答案 C 4如图所示，在 O 中，弦 半径 交于点 M，且 4，则 于 ( ) A 2 6 B. 6 C 2 3 D 2 2 解析 延长 O 于 D，则 3 3， 2， 2 2. 答案 D 二、填空题 5如图所示，已知 O 的两条弦 交于 中点 E，且4， 3，则 长为 _ 解析 由相交弦定理知 (*) 又 E 为 点， 4， 3， (*)式可化为 22 E 3) 3 4(舍去 )或 1. 23 2 3 5. 答案 5 6如图所示， O 的两条切线， A、 B 为切点，直线 O 于点 D、 E，交 点 C，图中互相垂直的线段有 _ _.(只要求写出一对线段 ) 解析 如题图所示，由于 为 O 切线， B A 角平分线， 应填 B 答案 P 7如图所示， O 的直径， O 于 B， O 于 D，交 延长线于 E，若 1， 2，则 长为 _ 解析 O 切线， D 为切点， 又 1， 2， 4， 3 又 为 O 切线， 在 ，设 x，则 x 2. 由勾股定理： 42 (x 2)2，得 x 3， 3. 答案 3 8 (2012 湖南高考 )如图所示，过点 P 的直线与 O 相交于 A， 1， 2， 3，则 O 的半径等于 _ 解析 设半径为 R，由相交弦定理得 (R)(R) 3 R)(3 R) 13,9 3， 6， R 6. 答案 6 三、解答题 9如图所示，四边形 边 O 分别相切于点 L、 M、 N、 P. 求证： 明 因为 与 O 相切， L、 M、 N、 P 为切点，所以 所以 B 10如图，已知在 O 中， P 是弦 中点，过点 P 作半径 垂线 ，垂足是点 O 于 C、 D 两点 . 求证： 证明 连接 P 为 中点， 4 11 (拓展深化 )如图所示， O 的直径，弦 点 P， 10 1 5，求 O 的半径 解 法一 连接 k 5k (k0) 为 O 直径，所以半径1212( 12(k 5k) 3k，且 3k k 2k. 因为 直 P， 所以 125 在 ， 由勾股定理， 得 所以 (3k)2 52 (2k)2， 即 525，所以 k 5 所以半径 3k 3 5 ( 法二 设 k， 5k， 由相交弦定理： 即 k5 k. k 5， 3 5， 即 O 的半径为 3 5 1 第 5 课时 与圆有关的比例线段 习题 第 40 页 ) 1解 如图所示，设两条弦相交于 P， 12， 18， 3 D x，则 3x. 由相交弦定理得 1218 83 x 9 (即 9 839 24 故 24 9 33 2解 如图 (1)是轴纵断面图，图 (2)是圆头部分的图形，其中弦 30，直径 72，且 M，因此 是圆头部分的长设 x，由相交弦定理得 而 ( 152 (72 x)x3633 ， 9 ， . 轴的全长可能是 160 69 229，或者 160 3 163. 3证明 如图所示，延长 圆相交于点 D. 4解 设 O 的半径为 x. x， x 12 x. 又 6 713 403. 6 403 (12 x)(12 x) 2 解得 x 8. 5证明 O 的割线， 而 O 的切线， 6证明 O 的切线， M 是 中点， 7证明 如图所示，连接 1 和 2 是同弧上的圆周角， 1 2. 2 90 3 90 2 3. 1 3. 又 8证明 如图所示，连接 度数等于弧 度数 度数等于弧 数的一半，而 又 又 9解 如图 (1)所示， 圆内相交的弦， 3 图 (1) 圆的切线， 即 而 G， G. 图 (2) 如果 图 (2)所示，连接 1， 2， 1 2. 3 4. 四边形 边的中点在同一个圆周上 由 可以推出，四边形 在内切圆 (证明略 ) 1 模块检测 (时间： 90 分钟 满分： 120 分 ) 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的 ) 1如图所示， 图中的相似三角形共有 ( ) A 2 对 B 3 对 C 4 对 D 5 对 答案 B 2如图所示，在 ， H， E 是 中点， F，若 14 于 ( ) 析 由 1412 32答案 D 3如图所示， 2， 3，则 长是 ( ) A 析 1， 65. 答案 C 2 4 若 一个直角三角形的一条直角边为 3 边上的高为 2.4 这个直角三角形的面积为 ( ) A 7.2 B 6 12 D 24 析 长为 3 2 故由射影定理知斜边长为 5 ( 三角形的面积为 125 6 ( 答案 B 5如图所示， O 的直径， O 的弦，过 中点 H 作 垂线交延长线于点 B 6， 4，则 O 的直径为 ( ) A 10 B 13 C 15 D 20 解析 连结 H 为 点 ， 2 13. 四边形 O 的 内接四边形， A A 42 13 213， 直径 132 13. 答案 B 6如图所示， O 于 D， 延长线交 O 于 B，且 C 1 2，则 ( ) A 2 1 B 1 1 C 1 2 D 1 析 如图所示，连接 90. 12， 3 B 90 ， A 30. 12 21. 答案 A 7如图所示， O 于 B， 延长线交 O 于 A，若 C 36 ，则 度数是 ( ) A 72 B 63 C 54 D 36 解析 连结 O 的切线， 90. C 36 ， 54. 又 2 A， A 27. A C 27 36 63. 答案 B 8如图， O 直径， O 于 C， 12 ( ) B. 22 C. 32 D. 55 解析 连接 O 于 C， 90 ， 90 ， B 90 ， B，
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