2022年甘肃省兰州市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2022年甘肃省兰州市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.等于()。A.-1B.-1/2C.1/2D.1

2.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是（）A.A.椭球面B.锥面C.柱面D.平面

3.若f(x)有连续导数，下列等式中一定成立的是

A.d∫f(x)dx=f(x)dx

B.d∫f(x)dx=f(x)

C.d∫f(x)dx=f(x)+C

D.∫df(x)=f(x)

4.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k有关

5.

6.

7.（）。A.3B.2C.1D.0

8.

9.A.A.

B.

C.

D.

10.

11.f(x)在x=0的某邻域内一阶导数连续且则()。A.x=0不是f(x)的极值点B.x=0是f(x)的极大值点C.x=0是f(x)的极小值点D.x=0是f(x)的拐点

12.

A.

B.

C.

D.

13.

14.设函数f(x)在区间(0，1)内可导，f'(x)＞0，则在(0，1)内f(x)()．A.单调增加B.单调减少C.为常量D.既非单调，也非常量

15.

16.A.eB.e-1

C.e2

D.e-2

17.图示为研磨细砂石所用球磨机的简化示意图，圆筒绕0轴匀速转动时，带动筒内的许多钢球一起运动，当钢球转动到一定角度α=50。40时，它和筒壁脱离沿抛物线下落，借以打击矿石，圆筒的内径d=32m。则获得最大打击时圆筒的转速为()。

A.8．99r／minB.10．67r／minC.17．97r／minD.21．35r／min18.对于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

19.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2()．A.A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解20.曲线y=lnx-2在点(e，-1)的切线方程为()A.A.

B.

C.

D.

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.

25.设sinx为f(x)的原函数，则f(x)=________。26.空间直角坐标系中方程x2+y2=9表示的曲线是________。27.

28.

29.30.微分方程y''+6y'+13y=0的通解为______.

31.

32.33.

34.曲线y=x/2x-1的水平渐近线方程为__________。

35.

36.

37.

38.39.设y=ln(x+2)，贝y"=________。

40.

三、计算题(20题)41.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

42.求曲线在点(1，3)处的切线方程．43.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

44.45.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．46.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．47.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则48.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

49.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

50.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．51.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．52.

53.

54.

55.求微分方程的通解．56.

57.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

58.

59.证明：60.四、解答题(10题)61.62.证明：

63.

64.

65.

66.求微分方程xy'-y=x2的通解．

67.

68.

69.

70.y=xlnx的极值与极值点．

五、高等数学(0题)71.x→0时，1一cos2x与

等价，则a=__________。

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.C本题考查的知识点为定积分的运算。

故应选C。

2.B对照二次曲面的标准方程可知，所给曲面为锥面，因此选B．

3.A解析：若设F'(x)=f(x)，由不定积分定义知，∫f(x)dx=F(x)+C。从而

有：d∫f(x)dx=d∫F(x)+C]=F'(x)dx=f(x)dx，故A正确。D中应为∫df(x)=f(x)+C。

4.A本题考查的知识点为无穷级数的收敛性。

5.B解析：

6.C

7.A

8.D解析：

9.Dy=e-2x，y'=(e-2x)'=e-2x(-2x)'=-2e-2x，dy=y'dx=-2e-2xdx，故选D。

10.A

11.A∵分母极限为0，分子极限也为0；(否则极限不存在)用罗必达法则同理即f"(0)一1≠0；x=0不是驻点∵可导函数的极值点必是驻点∴选A。

12.D本题考查的知识点为导数运算．

因此选D．

13.A解析：

14.A由于f(x)在(0，1)内有f'(x)＞0，可知f(x)在(0，1)内单调增加，故应选A．

15.C解析：

16.C

17.C

18.D特征方程为r2-2r+1=0，特征根为r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1为特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此选D。

19.B本题考查的知识点为线性常系数微分方程解的结构．

已知y1，y2为二阶线性常系数齐次微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个解，由解的结构定理可知C1y1+C2y2为所给方程的解，因此应排除D．又由解的结构定理可知，当y1，y2线性无关时，C1y1+C2y2为y"+p1y'+p2y=0的通解，因此应该选B．

本题中常见的错误是选C．这是由于忽略了线性常系数微分方程解的结构定理中的条件所导致的错误．解的结构定理中指出：“若y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个线性无关的特解，则C1y1+C2y2为所给微分方程的通解，其中C1，C2为任意常数．”由于所给命题中没有指出)y1，y2为线性无关的特解，可知C1y1+C2y2不一定为方程的通解．但是由解的结构定理知C1y1+C2y2为方程的解，因此应选B．

20.D

21.x/1=y/2=z/-1

22.y=1/2y=1/2解析：

23.1/e1/e解析：

24.(1/2)x2-2x+ln｜x｜+C25.本题考查的知识点为原函数的概念。

由于sinx为f(x)的原函数，因此f(x)=(sinx)=cosx。26.以Oz为轴的圆柱面方程。F(x，y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面，称之为柱面方程，方程x2+y2=32=0表示母线平行Oz轴的圆柱面方程。

27.

28.29.本题考查的知识点为幂级数的收敛区间。由于所给级数为不缺项情形，

30.y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)微分方程y''+6y'+13y=0的特征方程为r2+6r+13=0，特征根为所以微分方程的通解为y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x).

31.

32.

33.e-1/2

34.y=1/2

35.

36.-ln2

37.

38.

39.

40.

41.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

42.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

43.

44.

45.

46.

列表：

说明

47.由等价无穷小量的定义可知48.函数的定义域为

注意

49.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％50.由二重积分物理意义知

51.52.由一阶线性微分方程通解公式有

53.

54.

55.

56.

则

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.64.本题考查的知识点为定积分的换元积分法．

65.66.将方程化为标准形式本题考查的知识点为求解一阶线性微分方程．

求解一阶线性微分方程常可以采用两种解法：

67.解

68.

69.

70.y=xlnx的定义域为x＞0y'=1+lnx．