山东省青岛市2024年高二《数学》12月月考试题与参考答案

14/16山东省青岛市2024年高二《数学》12月月考试题与参考答案一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线：与直线：垂直，则实数m的值为（）A.0 B.或0 C.0或 D.【答案】C2.与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】C3.设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则（）A.7 B.12 C.15 D.31【答案】D4.求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】A5.已知等差数列的前项和为，，则（）A.240 B.180 C.120 D.60【答案】A6.若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（）A.28 B.29 C.30 D.31【答案】B7.细心的观众发现，2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂．“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“．团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善．花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为O，若其中一片花瓣所在圆圆心记为C，两个花瓣端点记为A、B，切点记为D，则不正确的是（）A.在同一直线上 B.12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上C. D.弧形所在圆的半径BC变化时，存在【答案】D8.双曲线：的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线C左支交于点P，原点O到直线的距离为，且，则双曲线C的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】D二、选择题本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知首项为正数的等比数列的公比为，曲线，则下列叙述正确的有（）A.若为圆，则B.若，则离心率为2C.离心率为D.是双曲线且其渐近线方程为【答案】AC10.已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且满足，，，则（）A. B.C.对任意的正整数，有 D.使得的最小正整数为4047【答案】BD11.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则（）A. B.当为奇数时，C.数列为等比数列 D.数列的前项和小于【答案】ACD12.已知抛物线的焦点为，准线为，过的一条直线与交于，两点，若点在上运动，则（）A.当时，B.当时，C.当时，三点的纵坐标成等差数列D.当时，【答案】ACD三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13.在数列中，若，，则的通项公式为______．【答案】【分析】将变为，利用累加法即可求得答案.【详解】由题意可知数列中，，，故，所以，故答案为：14.已知圆：，直线，直线与圆交于两点，最短弦长______________.【答案】【分析】先求得直线所过定点，然后根据圆的几何性质求得最短弦长.【详解】直线，即，由，解得，设，由于，所以在圆内，圆的圆心为，半径，当时，最短，，所以的最小值为.故答案为：15.英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为.若，则_________【答案】【分析】根据等比数列的通项即可由指数运算求解.【详解】由题意可知，1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列，设第一个音频率为，所以，故，因为，所以，所以，解得.故答案为：.16.已知，分别为双曲线：的左右焦点，过点且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，且点A、B在x轴的上方，A、B两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的渐近线方程是_____________________.【答案】【分析】设是的中点，先求得点的坐标，然后利用点差法求得，进而求得正确答案.【详解】设，依题意，设的中点为，由于，所以，所以，，由于，所以，所以，所以或，由于在双曲线的渐近线上，所以，两式相减并化简得，，若，则不符合题意，舍去.若，则，所以，所以渐近线方程为.故答案为：【点睛】本题解题的关键点有两个，一个是，则在线段的垂直平分线上，由此可以构建中点和斜率的关系式；另一个关键点是点差法，利用点差法可以减少运算量，可以快速求得问题的答案.四、解答题本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.（1）求直线方程：（2）求的面积.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用点斜式求得直线的方程.（2）先求得两点的坐标，结合点到直线的距离公式、两点间的距离公式求得三角形的面积.【小问1详解】边上的高所在直线方程为，直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为.【小问2详解】边上中线所在的直线方程为，由解得，即.设，则，所以，解得，即.，到的距离为，所以三角形的面积为.18.已知等差数列的前项和为，，.（1）求的通项公式；（2）求的最小值，并指出取何时取得最小值.【答案】（1）（2）的最小值为，对应或【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得.（2）利用，求得取得最小值时对应的值，进而求得的最小值.【小问1详解】设等差数列的公差为，依题意，，，解得，所以.【小问2详解】由，解得，所以当或时取得最小值，且的最小值为.19.数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2），求数列的前项和.【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意直接由以及时，即可求解.（2）发现数列是“差比数列之积”的形式，所以直接选择用错位相减法、等边数列求和公式法运算即可求解.【小问1详解】由题意，当时，，当时，也有成立，综上所述，数列的通项公式为.【小问2详解】由（1）可知，所以由题意，所以，，两式相减得，所以数列的前项和为.20.已知抛物线上的一点到抛物线的焦点的距离是.（1）求抛物线的方程；（2）已知过点的直线与C交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，设，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据抛物线的定义求得，进而求得抛物线的方程.（2）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，求得直线的方程并与准线方程求得，根据两点间的距离公式、弦长公式、对钩函数等知识来求得实数的取值范围.【小问1详解】根据抛物线的定义有，所以抛物线的方程为.【小问2详解】，抛物线准线为，依题意可知直线与轴不重合，设直线的方程为，由消去并化简得，，设，则，，所以，由于垂直平分，所以直线的方程为，令得，则，，，所以.21.已知数列中，，且.（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）设，，其中，若对任意，总有成立，求的取值范围.【答案】（1）证明详见解析，（2）【分析】（1）利用构造法，结合等比数列的定义证得数列是等比数列，先求得，进而求得.（2）利用二次函数的性质求得的最小值，利用商比较法求得的最大值，从而列不等式来求得的取值范围.【小问1详解】依题意，，且，所以，则，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.【小问2详解】，依题意，，且对任意，总有成立，所以，，当时取得最小值.，当时，，当时，，当时，，所以，则，解得或（舍去），综上所述，的取值范围是.22.设椭圆的上顶点，左焦点，右焦点，左、右顶点分别为、.（1）求椭圆方程；（2）已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交y轴于点Q，若的面积是面积的倍，求直线的方程；（3）如图过椭圆的上顶点K作动圆的切线分别交椭圆于M、N两