无穷小与无穷大

无穷小与无穷大Tag内容描述：<p>1、第四节第四节 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 第四节 无穷大量与无穷小量 无穷小量 无穷大量 1 1 第四节第四节 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 第一章第一章 函数函数 极限极限 连续连续 一 无穷小 1 无穷小量的定义 定义1 如果函数 在自变量的某个趋向过程 下以零为极限,则称为该趋向过程的无穷小量, 简称无穷小. 根据极限的统一定义,无穷小也可以叙述为: 如果对于任意给定的 总存在某一个时刻,自此以后,恒有 在自变量的某个趋向过程中, 则称为该趋向过程的无穷小量,简称无穷小. 。</p><p>2、微积分 微 积 分 微积分 第二章 极限与连续 数列极限 函数极限 变量极限 无穷大与无穷小 极限的运算法则 两个重要的极限 函数的连续性 微积分 2.4 无穷大量与无穷小量 一. 无穷小量 定义1：以0为极限的变量,称为无穷小量（无穷小 ）。 定义2：0,某个时刻，在此时刻以后， |y|0,0，使得当00,M0，使得当|x|M时, |f(x)|0,某个时刻，在此时刻以后， |y|E,恒成立. 则称y在此变化过程为无穷大量（无穷大）。 记为：limy= 同理可定义： 正无穷大 limy=+负无穷大 limy=- 微积分 无穷大量 对于xx0： E0,0，使得当0E,恒成立 . 对于x： E0,M0，使得当。</p><p>3、1.1 集合 1.2 函数 1.4 无穷小量与无穷大量 1.3 函数的极限 1.5 函数的连续性 一、无穷小量 二、无穷小量的比较 三、无穷大量 四、数列极限与函数极限的关系 1.4 无穷小量与无穷大量 一、无穷小量 1 定义1 在某一极限过程中, 以0为极限的变量(数列) 称为该极限过程的无穷小量,简称无穷小. 无穷小量的等价定义 1. 无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 相对于某变化过程而言! 2.零是可以作为无穷小量的唯一的数. 注意 例如, 2. 无穷小量的性质 定理1 在同一极限过程中, （1）有限个无穷小的代数和仍然是无穷小. （2）有限个无穷小的乘积仍然是。</p><p>4、无穷小(infinitely small) 无穷大(infinitely great) 无穷小与无穷大的关系 1.4 无穷小与无穷大 第一章 函数与极限 1函数与极限 1. 定义 极限为零的变量称为无穷小量, 简称 如, 无穷小是指 函数变化的趋势. 无穷小. 一、无穷小 在某个过程中 无穷小与无穷大 2 定义1 记作 1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆; 2) 零是可以作为无穷小的唯一的数. 注 “无穷小量”并不是表达量的大小,而是表达 它的变化状态的.“无限制变小的量” 无穷小与无穷大 3 2. 无穷小与函数极限的关系 定理1 无穷小与无穷大 例 4 在同一过程中, 有限个无穷小的。</p><p>5、二、 无穷大 三 、 无穷小的比较 一、 无穷小 第四节 无穷小与无穷大 是 一、 无穷小 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 是时的无穷小; 函数 时的无穷小; 为 时的无穷小 . 注：此结论对数列也成立 是数列 时的无穷小; 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 时 , 函数(或 ) 则称函数为 定义1. 若 (或 )时的无穷小 . 其中 为 时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) 证: 对自变量的其它变化过程类似可证 . 定理2. 有限个无穷小的和还是无穷小 . Note: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， 2、无穷小的性。</p><p>6、第1章 函数、极限与连续 公共课部数学教研组 四、 无穷小量与无穷大量 一、无穷小量及其性质 二、无穷大量 三、无穷大量与无穷小量的关系 第1章 函数、极限与连续 公共课部数学教研组 一、 无穷小量及其性质 定义5:极限为零的变量称为无穷小量（或无穷小）. 1、无穷小量的概念 第1章 函数、极限与连续 公共课部数学教研组 例如: 第1章 函数、极限与连续 公共课部数学教研组 关于无穷小量的几点说明: 2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 3.零是可以作为无穷小的唯一的数. 1.此定义包含自变量的任何变化趋势,如 第1章 函数、极限与连续 公。</p><p>7、2.2.3 无穷小与无穷大 在自变量的某一趋势过程中函数的极限为零，则 称此函数在此变化过程中为一无穷小量。 A. 无穷小（量） 定理5（基本极限定理） 基本极限定理的意义 定义 B. 无穷大（量） 注意： （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大. 不是无穷大 无界. 解： 分析： 定义 C. 无穷小与无穷大的关系 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒 不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 意义 ： 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论. 其他性质 解： 不能保证. 例 有 思考。</p><p>8、3.5 无穷小量与无穷大量,本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。,一、无穷小,在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义,1.定义:,极限为零的变量称为无穷小.,例如,注意,1.称函数为无穷小，必须指明自变量的 变化过程；,2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,3.零是可以作为无穷小的唯一的数.,2.无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,意义,1.将。</p><p>9、无穷是一个永恒的谜 Hilbert,第五节 无穷小和无穷大,（一） 无穷小 （二） 无穷大 （三） 二者关系 （四）无穷小的阶,一、无穷小,定义1：在自变量的某种趋势下，以零为极限的函数（变量）称为无穷小量，简称无穷小.,例如：,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（3）零是可以作为无穷小的唯一的数.,（2）无穷小是变量的一种变化趋势;,例如,证,2、无穷小与函数极限的关系:,意义,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);,3、无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,注意 无穷多个无穷小的。</p><p>10、一、无 穷 小,二、无 穷 大,三、小 结,第四节 无穷小与无穷大,一、无穷小(infinitesimal),1、定义:,极限为零的变量称为无穷小（量）.,例如,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.,2、无穷小与函数极限的关系:,证：,必要性,充分性,意义：,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);,二、无穷大(infinite),绝对值无限增大的变量称为无穷大.,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,不是无穷。</p><p>11、第三节 无穷小量与无穷大量,2.3.1 无穷小量,1.定义1 设 f (x)在某U(x0)内有定义. 若 则称 f (x)为当 xx0 时的无穷小量.,例如：,(2)无穷小量与极限过程分不开，不能脱离极限过程谈无穷小量.,如sinx是x0时的无穷小量，但,注,(1)无穷小量是变量，不能与很小的数混淆;,(3)关于有界量.,2.无穷小量的运算性质,时, 有,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,证: 设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,。</p><p>12、一、 无穷小的概念与性质,第五节,无穷小与无穷大,二、无穷小的比较,三、无穷大,第二章,一、 无穷小的概念与性质,定义2.5 若,时 ,则称函数,例如：,函数 x-1是 的无穷小;,为,时的无穷小 .,1. 无穷小的概念,称为当,的无穷小 .,(4),以零为极限的数列,都是,时的无穷小 .,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !,注 1,2不能笼统地说某函数是无穷小，,而应当说函数,是自变量趋向某个值时的无穷小.,例如，说,是无穷小”是不对的 ;,函数,当,时为无穷小.,“函数,而应当说 ，,其中 为,时的无穷小 .,2. 无穷小与函数极限的关系 定理 2.7,证,当,时,有,。</p><p>13、第二章,二、 无穷大量,三 、无穷小量与无穷大量的关系,一、 无穷小量,2.4 无穷大量与无穷小量,当,一、 无穷小量,定义1 . 若,时 , 函数,则称函数,例如 :,函数,当,时为无穷小量;,函数,时为无穷小量;,函数,当,为,时的无穷小量 .,时为无穷小量.,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小量 !,时 , 函数,(或 ),则称函数,为,定义1. 若,(或 ),时的无穷小量 .,其中 为,时的无穷小量 .,定理 2.5 . ( 无穷小量与函数极限的关系 ),证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证 .,定理 2.6 无穷小量与局部有界变量的乘积还是,证明 （就函数情形证明。</p><p>14、一、无穷小量,1、定义:,极限为零的变量称为无穷小量.,5 无穷小量与无穷大量,设f在某U(x0)内有定义,若 则称f为当xx0时的无穷小量。,若函数g在某U(x0)内有界，则称g为xx0时的有界量。,类似可定义xx0+, xx0-,x+, x以及x时的无穷小量与有界量。,任何无穷小量都是有界量。,例1,注意,（1）无穷小是一种变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的常数.,问：无穷小是否为很小的数？,很小的数是否为无穷小？,二、无穷小量与极限的关系,定理1,意义：,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小量);,三、无穷小量的性质,性质1 有。</p><p>15、二 无穷小与无穷大和极限的关系,三 无穷小的运算性质,第四节 无穷小与无穷大,一 无穷小与无穷大的概念,一、无穷小与无穷大的概念,极限为零的变量称为无穷小.,1.无穷小,例如,2.无穷大,定义,2,如果对于任意给定的正数,M,(,不论它多么,小,),总存在正数,d,(,或正数,X,),使得对于适合不等,式,(,或,X,),的一切,x,所对应的函,数值,都满足不等式,则称函数,当,(,或,),时为无穷小,记作,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,特殊情形：正无穷大，负无穷大,),3,2,1,0,(,2,2,1,k,L,=,+,=,k,k,x,p,p,取,(1),2,2,),(,k,p,p,+,=,k,x,y,.,),(,k,M,x,y,充分大时。</p><p>16、2.4 无穷小与无穷大 无穷小的比较,2.4.1 无穷小,2.4.2 无穷大,2.4.3 无穷小的比较,定义1.12 若函数 在自变量 的某个变化过程中以零为极限，则称在该变化过程中, 为无穷小量简称无穷小,2.4.1 无穷小,例如，当 时， ， ， 是无穷小量；当 时， 是无穷小量 当 时， ， 是无穷小量,我们经常用希腊字母 ， ， 来表示无穷小量,3,注意：,（1）无穷小是以零为极限的变量， 常数中只有零是无穷小,（2）无穷小总是和自变量的变化趋势相关联的， 例如:,当 时, 为无穷小,当 时, 就不是无穷小,定理1.2 函数 以 为极限的充分 必要条件是： 可以表示为 与。</p><p>17、4无穷小与无穷大的阶的比较,一、无穷小,定义7.1,例,例,观察下列无穷小收敛到零的速度：,不同的无穷小收敛到零的速度不同，如何描述？,定义7.2 (无穷小量阶的比较),定义7.3 (无穷小量阶的量化比较),例1,解,例2,解,例3 确定下列无穷小的阶,2阶,1阶,二、无穷大,定义7.4,记作,特别：,注意：无穷大量和无界量的区别.,不是无穷大,无界!,证,例 4,定义7.5 (无穷小量阶的比较),定义7.6 (无穷大量阶的量化比较),例4,2阶无穷大,2阶无穷大,（1）,（2）,判断下列无穷大的阶,三、 表示与性质,定义7.7：,（2）,（1）,定义7.8：,（2）,（1）,（3）,四、等。</p><p>18、西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研室,第1章 极限与连续,第一节 函数 第二节 极限 第三节 无穷小量与无穷大量 第四节 极限的四则运算法则 第五节 两个极限存在准则与两个重要极限 第六节 函数的连续性 第七节 闭区间上连续函数的性质,前一页,后一页,返回,前一页,后一页,返回,前一页,后一页,返回,前一页,后一页,返回,前一页,后一页,返回。</p>